2020年遼寧省鞍山市中考數(shù)學試卷（含解析版）

2020年遼寧省鞍山市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本題共8個小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）﹣的絕對值是（）A．﹣2020 B．﹣ C． D．20202．（3分）如圖，該幾何體是由5個相同的小正方體搭成的，則這個幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）下列計算結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝a4 B．（a3）2＝a5 C．（a+1）2＝a2+1 D．a(chǎn)?a＝a24．（3分）我市某一周內(nèi)每天的最高氣溫如下表所示：最高氣溫（℃）25262728天數(shù)1123則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．26.5和28 B．27和28 C．1.5和3 D．2和35．（3分）如圖，直線l1∥l2，點A在直線l1上，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交直線l1，l2于B，C兩點，連接AC，BC，若∠ABC＝54°，則∠1的度數(shù)為（）A．36° B．54° C．72° D．73°6．（3分）甲、乙兩人加工某種機器零件，已知每小時甲比乙少加工6個這種零件，甲加工240個這種零件所用的時間與乙加工300個這種零件所用的時間相等，設(shè)甲每小時加工x個零件，所列方程正確的是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為2cm，若BC＝2cm，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．25° C．15° D．10°8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3，A4，…在x軸正半軸上，點B1，B2，B3，…在直線y＝x（x≥0）上，若A1（1，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，則線段B2019B2020的長度為（）A．22021 B．22020 C．22019 D．22018二、填空題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）9．（3分）據(jù)《光明日報》報道：截至2020年5月31日，全國參與新冠肺炎疫情防控的志愿者約為8810000，將數(shù)據(jù)8810000科學記數(shù)法表示為．10．（3分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝．11．（3分）在一個不透明的袋子中裝有6個紅球和若干個白球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻后隨機摸出一個球，記下顏色后放回，不斷重復這一過程，共摸球100次，發(fā)現(xiàn)有20次摸到紅球，估計袋子中白球的個數(shù)約為．12．（3分）如果關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，那么實數(shù)k的值是．13．（3分）不等式組的解集為．14．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD的中點，AE，BC的延長線交于點F．若△ECF的面積為1，則四邊形ABCE的面積為．15．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，已知A（3，6），B（﹣2，2），在x軸上取兩點C，D（點C在點D左側(cè)），且始終保持CD＝1，線段CD在x軸上平移，當AD+BC的值最小時，點C的坐標為．16．（3分）如圖，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且AE＝DF，AF與CE相交于點G，BG與AC相交于點H．下列結(jié)論：①△ACF≌△CDE；②CG2＝GH?BG；③若DF＝2CF，則CE＝7GF；④S四邊形ABCG＝BG2．其中正確的結(jié)論有．（只填序號即可）三、解答題（每小題8分，共16分）17．（8分）先化簡，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2．18．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求證：CB＝CD．四、解答題（每小題10分，共20分）19．（10分）為了解某校學生的睡眠情況，該校數(shù)學小組隨機調(diào)查了部分學生一周的平均每天睡眠時間，設(shè)每名學生的平均每天睡眠時間為x時，共分為四組：A．6≤x＜7，B．7≤x＜8，C．8≤x＜9，D．9≤x≤10，將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖：注：學生的平均每天睡眠時間不低于6時且不高于10時．請回答下列問題：（1）本次共調(diào)查了名學生；（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；（3）求扇形統(tǒng)計圖中C組所對應的圓心角度數(shù)；（4）若該校有1500名學生，根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請估計該校有多少名學生平均每天睡眠時間低于7時．20．（10分）甲、乙兩人去超市選購奶制品，有兩個品牌的奶制品可供選購，其中蒙牛品牌有兩個種類的奶制品：A．純牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三個種類的奶制品：C．純牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．（1）甲從這兩個品牌的奶制品中隨機選購一種，選購到純牛奶的概率是；（2）若甲喜愛蒙牛品牌的奶制品，乙喜愛伊利品牌的奶制品，甲、乙兩人從各自喜愛的品牌中隨機選購一種奶制品，請利用畫樹狀圖或列表的方法求出兩人選購到同一種類奶制品的概率．五、解答題（每小題10分，共20分）21．（10分）圖1是某種路燈的實物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，MN為立柱的一部分，燈臂AC，支架BC與立柱MN分別交于A，B兩點，燈臂AC與支架BC交于點C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架BC的長．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.449）22．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝x+1的圖象與x軸，y軸的交點分別為點A，點B，與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于C，D兩點，CE⊥x軸于點E，連接DE，AC＝3．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求△CDE的面積．六、解答題（每小題10分，共20分）23．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，點D在⊙O上，，AD與BC相交于點E，AF與⊙O相切于點A，與BC延長線相交于點F．（1）求證：AE＝AF．（2）若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半徑．24．（10分）某工藝品廠設(shè)計了一款每件成本為11元的工藝品投放市場進行試銷，經(jīng)過市場調(diào)查，得出每天銷售量y（件）是每件售價x（元）（x為正整數(shù)）的一次函數(shù)，其部分對應數(shù)據(jù)如下表所示：每件售價x（元）…15161718…每天銷售量y（件）…150140130120…（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）若用w（元）表示工藝品廠試銷該工藝品每天獲得的利潤，試求w關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）該工藝品每件售價為多少元時，工藝品廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？七、解答題（滿分12分）25．（12分）在矩形ABCD中，點E是射線BC上一動點，連接AE，過點B作BF⊥AE于點G，交直線CD于點F．（1）當矩形ABCD是正方形時，以點F為直角頂點在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，連接EH．①如圖1，若點E在線段BC上，則線段AE與EH之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；②如圖2，若點E在線段BC的延長線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；（2）如圖3，若點E在線段BC上，以BE和BF為鄰邊作平行四邊形BEHF，M是BH中點，連接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．八、解答題（滿分14分）26．（14分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）經(jīng)過點A（﹣2，﹣4）和點C（2，0），與y軸交于點D，與x軸的另一交點為點B．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接BD，在拋物線上是否存在點P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，連接AC，交y軸于點E，點M是線段AD上的動點（不與點A，點D重合），將△CME沿ME所在直線翻折，得到△FME，當△FME與△AME重疊部分的面積是△AMC面積的時，請直接寫出線段AM的長．

2020年遼寧省鞍山市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共8個小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）﹣的絕對值是（）A．﹣2020 B．﹣ C． D．2020【分析】﹣的絕對值等于它的相反數(shù)，據(jù)此求解即可．【解答】解：|﹣|＝．故選：C．【點評】此題主要考查了絕對值的含義和應用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①當a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；③當a是零時，a的絕對值是零．2．（3分）如圖，該幾何體是由5個相同的小正方體搭成的，則這個幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．【分析】從正面看所得到的圖形是主視圖，從左面看到的圖形是左視圖，從上面看到的圖象是俯視圖，畫出從正面看所得到的圖形即可．【解答】解：從正面看，底層是三個小正方形，上層左邊是一個小正方形．故選：A．【點評】此題主要考查了三視圖，關(guān)鍵是把握好三視圖所看的方向．屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．3．（3分）下列計算結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝a4 B．（a3）2＝a5 C．（a+1）2＝a2+1 D．a(chǎn)?a＝a2【分析】各項計算得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：A、原式＝2a2，不符合題意；B、原式＝a6，不符合題意；C、原式＝a2+2a+1，不符合題意；D、原式＝a2，符合題意．故選：D．【點評】此題考查了完全平方公式，合并同類項，以及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握公式及運算法則是解本題的關(guān)鍵．4．（3分）我市某一周內(nèi)每天的最高氣溫如下表所示：最高氣溫（℃）25262728天數(shù)1123則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．26.5和28 B．27和28 C．1.5和3 D．2和3【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義，結(jié)合表格和選項選出正確答案即可．【解答】解：共7天，中位數(shù)應該是排序后的第4天，則中位數(shù)為：27，28℃的有3天，最多，所以眾數(shù)為：28．故選：B．【點評】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的知識，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．5．（3分）如圖，直線l1∥l2，點A在直線l1上，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交直線l1，l2于B，C兩點，連接AC，BC，若∠ABC＝54°，則∠1的度數(shù)為（）A．36° B．54° C．72° D．73°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2的度數(shù)，再由作圖可知AC＝AB，根據(jù)等邊對等角得出∠ACB的度數(shù)，最后用180°減去∠2與∠ACB即可得到結(jié)果．【解答】解：∵l1∥l2，∠ABC＝54°，∴∠2＝∠ABC＝54°，∵以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交直線l1、l2于B、C兩點，∴AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC＝54°，∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，∴∠1＝72°．故選：C．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊對等角，解題的關(guān)鍵是要根據(jù)作圖過程得到AC＝AB．6．（3分）甲、乙兩人加工某種機器零件，已知每小時甲比乙少加工6個這種零件，甲加工240個這種零件所用的時間與乙加工300個這種零件所用的時間相等，設(shè)甲每小時加工x個零件，所列方程正確的是（）A． B． C． D．【分析】設(shè)甲每小時加工x個零件，則乙每小時加工（x+6）個，根據(jù)甲加工240個零件所用的時間與乙加工300個零件所用的時間相等，列方程．【解答】解：設(shè)甲每小時加工x個零件，根據(jù)題意可得：＝．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題意找到合適的等量關(guān)系．7．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為2cm，若BC＝2cm，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．25° C．15° D．10°【分析】連接OB和OC，證明△OBC為等邊三角形，得到∠BOC的度數(shù)，再利用圓周角定理得出∠A．【解答】解：連接OB和OC，∵圓O半徑為2，BC＝2，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC為等邊三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A＝∠BOC＝30°，故選：A．【點評】本題考查了圓周角定理和等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3，A4，…在x軸正半軸上，點B1，B2，B3，…在直線y＝x（x≥0）上，若A1（1，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，則線段B2019B2020的長度為（）A．22021 B．22020 C．22019 D．22018【分析】設(shè)△BnAnAn+1的邊長為an，根據(jù)直線的解析式能的得出∠AnOBn＝30°，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)及外角的性質(zhì)即可得出∠OBnAn＝30°，∠OBnAn+1＝90°，從而得出BnBn+1＝an，由點A1的坐標為（1，0），得到a1＝1，a2＝1+1＝2，a3＝1+a1+a2＝4，a4＝1+a1+a2+a3＝8，…，an＝2n﹣1．即可求得B2019B2020＝a2019＝×22018＝22018．【解答】解：設(shè)△BnAnAn+1的邊長為an，∵點B1，B2，B3，…是直線y＝x上的第一象限內(nèi)的點，∴∠AnOBn＝30°，又∵△BnAnAn+1為等邊三角形，∴∠BnAnAn+1＝60°，∴∠OBnAn＝30°，∠OBnAn+1＝90°，∴BnBn+1＝OBn＝an，∵點A1的坐標為（1，0），∴a1＝1，a2＝1+1＝2，a3＝1+a1+a2＝4，a4＝1+a1+a2+a3＝8，…，∴an＝2n﹣1．∴B2019B2020＝a2019＝×22018＝22018，故選：D．【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律BnBn+1＝OBn＝an，本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)等邊三角形邊的特征找出邊的變化規(guī)律是關(guān)鍵．二、填空題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）9．（3分）據(jù)《光明日報》報道：截至2020年5月31日，全國參與新冠肺炎疫情防控的志愿者約為8810000，將數(shù)據(jù)8810000科學記數(shù)法表示為8.81×106．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．【解答】解：8810000＝8.81×106，故答案為：8.81×106．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．10．（3分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝a（a﹣b）2．【分析】先提取公因式a，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解．【解答】解：a3﹣2a2b+ab2，＝a（a2﹣2ab+b2），＝a（a﹣b）2．【點評】本題考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵，分解因式一定要徹底．11．（3分）在一個不透明的袋子中裝有6個紅球和若干個白球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻后隨機摸出一個球，記下顏色后放回，不斷重復這一過程，共摸球100次，發(fā)現(xiàn)有20次摸到紅球，估計袋子中白球的個數(shù)約為24．【分析】估計利用頻率估計概率可估計摸到白球的概率為0.2，然后根據(jù)概率公式構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：設(shè)白球有x個，根據(jù)題意得：＝0.2，解得：x＝24，經(jīng)檢驗：x＝24是分式方程的解，即白球有24個，故答案為24．【點評】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．用頻率估計概率得到的是近似值，隨試驗次數(shù)的增多，值越來越精確．12．（3分）如果關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，那么實數(shù)k的值是．【分析】利用判別式的意義得到△＝（﹣3）2﹣4k＝0，然后解關(guān)于k的方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得△＝（﹣3）2﹣4k＝0，解得k＝．故答案為．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．13．（3分）不等式組的解集為1＜x≤2．【分析】首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集．【解答】解：解不等式2x﹣1≤3，得：x≤2，解不等式2﹣x＜1，得：x＞1，則不等式組的解集為1＜x≤2，故答案為：1＜x≤2．【點評】本題考查的是一元一次不等式組的解，解此類題目常常要結(jié)合數(shù)軸來判斷．還可以觀察不等式的解，大小小大取中間．14．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD的中點，AE，BC的延長線交于點F．若△ECF的面積為1，則四邊形ABCE的面積為3．【分析】根據(jù)?ABCD的對邊互相平行的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)知EC是△ABF的中位線；然后證明△ABF∽△ECF，再由相似三角形的面積比是相似比的平方及△ECF的面積為1求得△ABF的面積；最后根據(jù)圖示求得S四邊形ABCE＝S△ABF﹣S△CEF＝3．【解答】解：∵在?ABCD中，AB∥CD，點E是CD中點，∴EC是△ABF的中位線；∵∠B＝∠DCF，∠F＝∠F（公共角），∴△ABF∽△ECF，∵，∴S△ABF：S△CEF＝4：1；又∵△ECF的面積為1，∴S△ABF＝4，∴S四邊形ABCE＝S△ABF﹣S△CEF＝3．故答案為：3．【點評】本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)；解得此題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及三角形的中位線的判定證明EC是△ABF的中位線，從而求得△ABF與△CEF的相似比．15．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，已知A（3，6），B（﹣2，2），在x軸上取兩點C，D（點C在點D左側(cè)），且始終保持CD＝1，線段CD在x軸上平移，當AD+BC的值最小時，點C的坐標為（﹣1，0）．【分析】把A（3，6）向左平移1得A′（2，6），作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接B′A′交x軸于C，在x軸上取點D（點C在點D左側(cè)），使CD＝1，連接AD，則AD+BC的值最小，求出直線B′A′的解析式為y＝2x+2，解方程即可得到結(jié)論．【解答】解：把A（3，6）向左平移1得A′（2，6），作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接B′A′交x軸于C，在x軸上取點D（點C在點D左側(cè)），使CD＝1，連接AD，則AD+BC的值最小，∵B（﹣2，2），∴B′（﹣2，﹣2），設(shè)直線B′A′的解析式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線B′A′的解析式為y＝2x+2，當y＝0時，x＝﹣1，∴C（﹣1，0），故答案為：（﹣1，0）．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且AE＝DF，AF與CE相交于點G，BG與AC相交于點H．下列結(jié)論：①△ACF≌△CDE；②CG2＝GH?BG；③若DF＝2CF，則CE＝7GF；④S四邊形ABCG＝BG2．其中正確的結(jié)論有①③④．（只填序號即可）【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△ACF≌△CDE，可判斷①；過點F作FP∥AD，交CE于P點，利用平行線分線段成比例可判斷③；過點B作BM⊥AG于M，BN⊥GC于N，得到點A、B、C、G四點共圓，從而證明△ABM≌△CBN，得到S四邊形ABCG＝S四邊形BMGN，再利用S四邊形BMGN＝2S△BMG求出結(jié)果即可判斷④；證明△BCH∽△BGC，得到，推出GH?BG＝BG2﹣BC2，得出若等式成立，則∠BCG＝90°，根據(jù)題意此條件未必成立可判斷②．【解答】解：∵ABCD為菱形，∴AD＝CD，∵AE＝DF，∴DE＝CF，∵∠ADC＝60°，∴△ACD為等邊三角形，∴∠D＝∠ACD＝60°，AC＝CD，∴△ACF≌△CDE（SAS），故①正確；過點F作FP∥AD，交CE于P點．∵DF＝2CF，∴FP：DE＝CF：CD＝1：3，∵DE＝CF，AD＝CD，∴AE＝2DE，∴FP：AE＝1：6＝FG：AG，∴AG＝6FG，∴CE＝AF＝7GF，故③正確；過點B作BM⊥AG于M，BN⊥GC于N，∵∠AGE＝∠ACG+∠CAF＝∠ACG+∠GCF＝60°＝∠ABC，即∠AGC+∠ABC＝180°，∴點A、B、C、G四點共圓，∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∠CGB＝∠CAB＝60°，∴∠AGB＝∠CGB＝60°，∴BM＝BN，又AB＝BC，∴△ABM≌△CBN（HL），∴S四邊形ABCG＝S四邊形BMGN，∵∠BGM＝60°，∴GM＝BG，BM＝BG，∴S四邊形BMGN＝2S△BMG＝2××＝BG2，故④正確；∵∠CGB＝∠ACB＝60°，∠CBG＝∠HBC，∴△BCH∽△BGC，∴，則BG?BH＝BC2，則BG?（BG﹣GH）＝BC2，則BG2﹣BG?GH＝BC2，則GH?BG＝BG2﹣BC2，當∠BCG＝90°時，BG2﹣BC2＝CG2，此時GH?BG＝CG2，而題中∠BCG未必等于90°，故②不成立，故正確的結(jié)論有①③④，故答案為：①③④．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形，把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為兩個全等三角形的面積是解題的關(guān)鍵．三、解答題（每小題8分，共16分）17．（8分）先化簡，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2．【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再將x的值代入進行計算即可【解答】解：（x﹣1﹣）÷，＝（﹣），＝，＝，當x＝﹣2時，原式＝＝＝＝1﹣2．【點評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵，并注意將結(jié)果分母有理化．18．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求證：CB＝CD．【分析】先證明△AEC≌△AFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CAE＝∠CAF，利用角平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：連接AC，在△AEC與△AFC中，∴△AEC≌△AFC（SSS），∴∠CAE＝∠CAF，∵∠B＝∠D＝90°，∴CB＝CD．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．四、解答題（每小題10分，共20分）19．（10分）為了解某校學生的睡眠情況，該校數(shù)學小組隨機調(diào)查了部分學生一周的平均每天睡眠時間，設(shè)每名學生的平均每天睡眠時間為x時，共分為四組：A．6≤x＜7，B．7≤x＜8，C．8≤x＜9，D．9≤x≤10，將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖：注：學生的平均每天睡眠時間不低于6時且不高于10時．請回答下列問題：（1）本次共調(diào)查了50名學生；（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；（3）求扇形統(tǒng)計圖中C組所對應的圓心角度數(shù)；（4）若該校有1500名學生，根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請估計該校有多少名學生平均每天睡眠時間低于7時．【分析】（1）根據(jù)D組的人數(shù)和所占的百分比，可以求得本次調(diào)查的人數(shù)；（2）根據(jù)頻數(shù)分布直方圖中的數(shù)據(jù)和（1）中的結(jié)果，可以得到C組的人數(shù)，從而可以將頻數(shù)分布直方圖補充完整；（3）根據(jù)頻數(shù)分布直方圖中的數(shù)據(jù)，可以計算出扇形統(tǒng)計圖中C組所對應的圓心角度數(shù)；（4）根據(jù)頻數(shù)分布直方圖中的數(shù)據(jù)，可以計算該校有多少名學生平均每天睡眠時間低于7時．【解答】解：（1）本次共調(diào)查了17÷34%＝50名學生，故答案為：50；（2）C組學生有50﹣5﹣18﹣17＝10（名），補全的頻數(shù)分布直方圖如右圖所示；（3）扇形統(tǒng)計圖中C組所對應的圓心角度數(shù)是：360°×＝72°，即扇形統(tǒng)計圖中C組所對應的圓心角度數(shù)是72°；（4）1500×＝150（名），答：該校有150名學生平均每天睡眠時間低于7時．【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖、用樣本估計總體、扇形統(tǒng)計圖，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．20．（10分）甲、乙兩人去超市選購奶制品，有兩個品牌的奶制品可供選購，其中蒙牛品牌有兩個種類的奶制品：A．純牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三個種類的奶制品：C．純牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．（1）甲從這兩個品牌的奶制品中隨機選購一種，選購到純牛奶的概率是；（2）若甲喜愛蒙牛品牌的奶制品，乙喜愛伊利品牌的奶制品，甲、乙兩人從各自喜愛的品牌中隨機選購一種奶制品，請利用畫樹狀圖或列表的方法求出兩人選購到同一種類奶制品的概率．【分析】（1）用純牛奶的個數(shù)除以總牛奶的個數(shù)即可得出答案；（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)和兩人選購到同一種類奶制品的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵蒙牛品牌有兩個種類的奶制品：A．純牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三個種類的奶制品：C．純牛奶，D．酸奶，E．核桃奶，∴甲從這兩個品牌的奶制品中隨機選購一種，選購到純牛奶的概率是：；故答案為：；（2）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：共有6種等可能的情況數(shù)，其中兩人選購到同一種類奶制品的有2種，則兩人選購到同一種類奶制品的概率是＝．【點評】此題考查的是樹狀圖法求概率．樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．五、解答題（每小題10分，共20分）21．（10分）圖1是某種路燈的實物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，MN為立柱的一部分，燈臂AC，支架BC與立柱MN分別交于A，B兩點，燈臂AC與支架BC交于點C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架BC的長．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.449）【分析】如圖2，過C作CD⊥MN于D，則∠CDB＝90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖2，過C作CD⊥MN于D，則∠CDB＝90°，∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm），∴CD＝AC?sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm），∵∠ACB＝15°，∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝45°，∴BC＝CD＝20≈49（cm），答：支架BC的長約為49cm．【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型．22．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝x+1的圖象與x軸，y軸的交點分別為點A，點B，與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于C，D兩點，CE⊥x軸于點E，連接DE，AC＝3．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求△CDE的面積．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)表達式推出△CAE為等腰直角三角形，得到AE＝CE，再由AC的長求出AE和CE，再求出點A坐標，得到OE的長，從而得到點C坐標，即可求出k值；（2）聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)表達式，求出交點D的坐標，再用乘以CE乘以C、D兩點橫坐標之差求出△CDE的面積．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝x+1與x軸和y軸分別交于點A和點B，∴∠CAE＝45°，即△CAE為等腰直角三角形，∴AE＝CE，∵AC＝，即，解得：AE＝CE＝3，在y＝x+1中，令y＝0，則x＝﹣1，∴A（﹣1，0），令y＝3，得到x＝2，∴OE＝2，CE＝3，∴C（2，3），∴k＝2×3＝6，∴反比例函數(shù)表達式為：，（2）聯(lián)立：，解得：x＝2或﹣3，當x＝﹣3時，y＝﹣2，∴點D的坐標為（﹣3，﹣2），∴S△CDE＝×3×[2﹣（﹣3）]＝．【點評】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，求反比例函數(shù)表達式，解一元二次方程，三角形面積，難度不大，解題時要注意結(jié)合坐標系中圖形作答．六、解答題（每小題10分，共20分）23．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，點D在⊙O上，，AD與BC相交于點E，AF與⊙O相切于點A，與BC延長線相交于點F．（1）求證：AE＝AF．（2）若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半徑．【分析】（1）由切線的性質(zhì)得出∠FAB＝90°，由圓周角定理得出∠CAE＝∠D，∠D＝∠B，證得∠F＝∠CEA，則可得出結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)的定義得出，求出AE＝10，由勾股定理求出AC，則可求出AB的長．【解答】（1）證明：∵AF與⊙O相切于點A，∴FA⊥AB，∴∠FAB＝90°，∴∠F+∠B＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠CEA＝90°，∵＝，∴∠CAE＝∠D，∴∠D+∠CEA＝90°，∵∠D＝∠B，∴∠B+∠CEA＝90°，∴∠F＝∠CEA，∴AE＝AF．（2）解：∵AE＝AF，∠ACB＝90°，∴CF＝CE＝EF＝6，∵∠ABF＝∠D＝∠CAE，∴sin∠ABF＝sin∠CAE＝，∴，∴AE＝10，∴AC＝＝＝8，∵sin∠ABC＝＝＝，∴AB＝，∴OA＝AB＝．即⊙O的半徑為．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（10分）某工藝品廠設(shè)計了一款每件成本為11元的工藝品投放市場進行試銷，經(jīng)過市場調(diào)查，得出每天銷售量y（件）是每件售價x（元）（x為正整數(shù)）的一次函數(shù)，其部分對應數(shù)據(jù)如下表所示：每件售價x（元）…15161718…每天銷售量y（件）…150140130120…（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）若用w（元）表示工藝品廠試銷該工藝品每天獲得的利潤，試求w關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）該工藝品每件售價為多少元時，工藝品廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法求解；（2）利用利潤＝銷售量×（售價﹣成本）即可表示出w；（3）根據(jù)（2）中解析式求出當x為何值，二次函數(shù)取最大值即可．【解答】解：（1）設(shè)y＝kx+b，由表可知：當x＝15時，y＝150，當x＝16時，y＝140，則，解得：，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y＝﹣10x+300；（2）由題意可得：w＝（﹣10x+300）（x﹣11）＝﹣10x2+410x﹣3300，∴w關(guān)于x的函數(shù)解析式為：w＝﹣10x2+410x﹣3300；（3）∵對稱軸x＝＝20.5，a＝﹣10＜0，x是整數(shù)，∴x＝20或21時，w有最大值，當x＝20或21時，代入，可得：w＝900，∴該工藝品每件售價為20元或21元時，工藝品廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大，最大利潤是900元．【點評】本題考查了求一次函數(shù)表達式，二次函數(shù)的實際應用，解題的關(guān)鍵是弄清題中所含的數(shù)量關(guān)系，正確列出相應表達式．七、解答題（滿分12分）25．（12分）在矩形ABCD中，點E是射線BC上一動點，連接AE，過點B作BF⊥AE于點G，交直線CD于點F．（1）當矩形ABCD是正方形時，以點F為直角頂點在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，連接EH．①如圖1，若點E在線段BC上，則線段AE與EH之間的數(shù)量關(guān)系是相等，位置關(guān)系是垂直；②如圖2，若點E在線段BC的延長線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；（2）如圖3，若點E在線段BC上，以BE和BF為鄰邊作平行四邊形BEHF，M是BH中點，連接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．【分析】（1）①證明△ABE≌△BCF，得到BE＝CF，AE＝BF，再證明四邊形BEHF為平行四邊形，從而可得結(jié)果；②根據(jù)（1）中同樣的證明方法求證即可；（2）說明C、E、G、F四點共圓，得出GM的最小值為圓M半徑的最小值，設(shè)BE＝x，證明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF＝，求出最值即可得到GM的最小值．【解答】解：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，即∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥BF，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠CBF＝∠BAE，又AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，AE＝BF，∵△FCH為等腰直角三角形，∴FC＝FH＝BE，F(xiàn)H⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四邊形BEHF為平行四邊形，∴BF∥EH且BF＝EH，∴AE＝EH，AE⊥EH，故答案為：相等；垂直；②成立，理由是：當點E在線段BC的延長線上時，同理可得：△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，AE＝BF，∵△FCH為等腰直角三角形，∴FC＝FH＝BE，F(xiàn)H⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四邊形BEHF為平行四邊形，∴BF∥EH且BF＝EH，∴AE＝EH，AE⊥EH；（2）∵∠EGF＝∠BCD＝90°，∴C、E、G、F四點共圓，∵四邊形BEHF是平行四邊形，M為BH中點，∴M也是EF中點，∴M是四邊形GECF外接圓圓心，則GM的最小值為圓M半徑的最小值，∵AB＝3，BC＝2，設(shè)BE＝x，則CE＝2﹣x，同（1）可得：∠CBF＝∠BAE，又∵∠ABE＝∠BCF＝90°，∴△ABE∽△BCF，∴，即，∴CF＝，∴EF＝＝，設(shè)y＝，當x＝時，y取最小值，∴EF的最小值為，故GM的最小值為．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，圓的性質(zhì)，難度較大，找出圖形中的全等以及相似三角形是解題的關(guān)鍵