中考數(shù)學(xué)幾何模型專項復(fù)習(xí) 模型37 圓-定弦定角模型-（原卷版+解析）

圓模型（三十七）——定弦定角模型定弦定角：線段定，角度大小定知識點一:解題步驟：尋找張角根據(jù)張角動線段、確定隱形圓定角是圓周角，找圓心，定半徑◎結(jié)論1：解題步驟：尋找張角根據(jù)張角動線段、確定隱形圓定角是圓周角，找圓心，定半徑◎結(jié)論2：90°，如圖AB定長，P動點，保持∠APB＝90o，則點P在以AB為直徑的圓弧上運動（不包含A、B兩點）知識點二：30o、150°◎結(jié)論3：如圖，AB定長，P動點，保持∠APB＝30o（或∠APB＝150o），則點P在以AB為邊構(gòu)造的等邊△ABC（或△ABC′）的頂點C（或C′）為圓心的圓弧上運動（不包含A、B兩點）P在圓上運動1.30°圓周角＝60°圓心角，即∠AO1B＝60°。以AB作等邊三角形O1AB，以O(shè)1為圓心，OA為半徑畫圓，∠APB＝30°.等邊三角形AO2B也可向下作∠AP0B＝30°。P在圓上運動1.30°圓周角＝60°圓心角，即∠AO1B＝60°。以AB作等邊三角形O1AB，以O(shè)1為圓心，OA為半徑畫圓，∠APB＝30°.等邊三角形AO2B也可向下作∠AP0B＝30°。點P在弧APB和弧AP0B（除端點）上運動。當(dāng)動點處的角度為150°時，方法同上知識點三：45o、135°◎結(jié)論4：如圖，AB定長，P動點，保持∠APB＝45o（或∠APB＝135o），則點P在以AB為底，AB為腰構(gòu)造的等腰直角三角形△ABC（或△ABC′）的頂點C（或C′）為圓心的圓弧上運動（不包含A、B兩點）P在圓上運動1.45°圓周角＝90°圓心角。2.以AB為斜邊作Rt△O1AB，O1A＝O1B,以O(shè)1為圓心，O1A為半徑畫圓，∠APB＝45°3.等腰直角三角形AO2B也可向下作∠AP0B＝45°P在圓上運動1.45°圓周角＝90°圓心角。2.以AB為斜邊作Rt△O1AB，O1A＝O1B,以O(shè)1為圓心，O1A為半徑畫圓，∠APB＝45°3.等腰直角三角形AO2B也可向下作∠AP0B＝45°點P在弧APB和弧AP0B（除端點）上運動。當(dāng)動點處的角度為135°時，方法同上知識點四60o、120°◎結(jié)論5：如圖，AB定長，P動點，保持∠APB＝60o（或∠APB＝120o），則點P在以AB為底，AB為腰構(gòu)造的等腰直角三角形△ABC（或△ABC′）的頂點C（或C′）為圓心的圓弧上運動（不包含A、B兩點）P在圓上運動1.60°圓周角＝120°圓心角.2以AB作等腰三角形的底邊AO1B，O1A＝O1B,∠AO1B＝120°以O(shè)1為圓心AO1為半徑作圓，∠APB＝60°.P在圓上運動1.60°圓周角＝120°圓心角.2以AB作等腰三角形的底邊AO1B，O1A＝O1B,∠AO1B＝120°以O(shè)1為圓心AO1為半徑作圓，∠APB＝60°.3.等腰直角三角形AO2B也可向下作∠AP0B＝60°點P在弧APB和弧AP0B（除端點）上運動。當(dāng)動點處的角度為120°時，方法同上1．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點在半圓上，半徑，，點在弧上移動，連接，作，垂足為，連接，點在移動的過程中，的最小值是______．2．(2023·四川·成都嘉祥外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，，過點作的平行線，為直線上一動點，為的外接圓，直線交于點，則的最小值為__________．1．(2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”．如圖所示，點、、、分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點，已知點的坐標(biāo)為，為半圓的直徑，半圓圓心的坐標(biāo)為，半圓半徑為．（1）求“蛋圓”拋物線部分的解析式及“蛋圓”的弦的長；（2）已知點是“蛋圓”上的一點（不與點，點重合），點關(guān)于軸的對稱點是點，若點也在“蛋圓”上，求點坐標(biāo)；（3）點是“蛋圓”外一點，滿足，當(dāng)最大時，直接寫出點的坐標(biāo)．1．(2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，拋物線交x軸于點，，D是拋物線的頂點，P是拋物線上的動點，點P的橫坐標(biāo)為，交直線l：于點E，AP交DE于點F，交y軸于點Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；（3）連接BQ，點M在拋物線的對稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且，在點P從點B運動到點C的過程中，點M也隨之運動，直接寫出點M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．圓模型（三十七）——定弦定角模型定弦定角：線段定，角度大小定知識點一:解題步驟：尋找張角根據(jù)張角動線段、確定隱形圓定角是圓周角，找圓心，定半徑◎結(jié)論1：解題步驟：尋找張角根據(jù)張角動線段、確定隱形圓定角是圓周角，找圓心，定半徑◎結(jié)論2：90°，如圖AB定長，P動點，保持∠APB＝90o，則點P在以AB為直徑的圓弧上運動（不包含A、B兩點）知識點二：30o、150o◎結(jié)論3：如圖，AB定長，P動點，保持∠APB＝30o（或∠APB＝150o），則點P在以AB為邊構(gòu)造的等邊△ABC（或△ABC′）的頂點C（或C′）為圓心的圓弧上運動（不包含A、B兩點）P在圓上運動1.30°圓周角＝60°圓心角，即∠AO1B＝60°。以AB作等邊三角形O1AB，以O(shè)1為圓心，OA為半徑畫圓，∠APB＝30°.等邊三角形AO2B也可向下作∠AP0B＝30°。P在圓上運動1.30°圓周角＝60°圓心角，即∠AO1B＝60°。以AB作等邊三角形O1AB，以O(shè)1為圓心，OA為半徑畫圓，∠APB＝30°.等邊三角形AO2B也可向下作∠AP0B＝30°。點P在弧APB和弧AP0B（除端點）上運動。當(dāng)動點處的角度為150°時，方法同上知識點三：45o、135o◎結(jié)論4：如圖，AB定長，P動點，保持∠APB＝45o（或∠APB＝135o），則點P在以AB為底，AB為腰構(gòu)造的等腰直角三角形△ABC（或△ABC′）的頂點C（或C′）為圓心的圓弧上運動（不包含A、B兩點）P在圓上運動1.45°圓周角＝90°圓心角。2.以AB為斜邊作Rt△O1AB，O1A＝O1B,以O(shè)1為圓心，O1A為半徑畫圓，∠APB＝45°3.等腰直角三角形AO2B也可向下作∠AP0B＝45°P在圓上運動1.45°圓周角＝90°圓心角。2.以AB為斜邊作Rt△O1AB，O1A＝O1B,以O(shè)1為圓心，O1A為半徑畫圓，∠APB＝45°3.等腰直角三角形AO2B也可向下作∠AP0B＝45°點P在弧APB和弧AP0B（除端點）上運動。當(dāng)動點處的角度為135°時，方法同上知識點四60o、120o◎結(jié)論5：如圖，AB定長，P動點，保持∠APB＝60o（或∠APB＝120o），則點P在以AB為底，AB為腰構(gòu)造的等腰直角三角形△ABC（或△ABC′）的頂點C（或C′）為圓心的圓弧上運動（不包含A、B兩點）P在圓上運動1.60°圓周角＝120°圓心角.2以AB作等腰三角形的底邊AO1B，O1A＝O1B,∠AO1B＝120°以O(shè)1為圓心AO1為半徑作圓，∠APB＝60°.P在圓上運動1.60°圓周角＝120°圓心角.2以AB作等腰三角形的底邊AO1B，O1A＝O1B,∠AO1B＝120°以O(shè)1為圓心AO1為半徑作圓，∠APB＝60°.3.等腰直角三角形AO2B也可向下作∠AP0B＝60°點P在弧APB和弧AP0B（除端點）上運動。當(dāng)動點處的角度為120°時，方法同上1．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點在半圓上，半徑，，點在弧上移動，連接，作，垂足為，連接，點在移動的過程中，的最小值是______．答案:分析先確定點H的運動軌跡，再根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可得取最小值時，點H的位置，然后利用圓周角定理、線段的和差即可得．【詳解】如圖，設(shè)AD的中點為點E，則由題意得，點H的運動軌跡在以點E為圓心，EA為半徑的圓上由點與圓的位置關(guān)系得：連接BE，與圓E交于點H，則此時取得最小值，連接BDAB為半圓O的直徑故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理、點與圓的位置關(guān)系、勾股定理等知識點，依據(jù)題意，確定點H的運動軌跡，從而得出BH取最小值時，點H的位置是解題關(guān)鍵．2．(2023·四川·成都嘉祥外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，，過點作的平行線，為直線上一動點，為的外接圓，直線交于點，則的最小值為__________．答案:2分析如圖，連接CE．首先證明∠BEC=120°，根據(jù)定弦定角，可得點E在以M為圓心，MB為半徑的上運動，連接MA交于E′，此時AE′的值最小．【詳解】解：如圖，連接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC=∠ACB=60°，∴∠CEP=∠CAP=60°，∴∠BEC=120°，,為定值，則點E的運動軌跡為一段圓弧如圖，點E在以M為圓心，MB為半徑的上運動，過點作∴中優(yōu)弧度數(shù)為=240°，則劣弧度數(shù)為120°∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°，∵∠BCM=30°，BC=，∴MB=MC=8，∴連接MA交于E′，此時AE′的值最?。摺螦CB=60°，∠BCO=30°，∴∠ACM=90°，∴MA==，∴AE的最小值為=．故答案為：2【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點與圓的位置關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問題．1．(2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”．如圖所示，點、、、分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點，已知點的坐標(biāo)為，為半圓的直徑，半圓圓心的坐標(biāo)為，半圓半徑為．（1）求“蛋圓”拋物線部分的解析式及“蛋圓”的弦的長；（2）已知點是“蛋圓”上的一點（不與點，點重合），點關(guān)于軸的對稱點是點，若點也在“蛋圓”上，求點坐標(biāo)；（3）點是“蛋圓”外一點，滿足，當(dāng)最大時，直接寫出點的坐標(biāo)．答案:（1）“蛋圓”拋物線部分的解析式為，CD的長；（2）E1(，1)，E2(，1)，E3(，?1)，E4(，?1)；（3）點P的坐標(biāo)為（1，）．分析（1）求出點A，B的坐標(biāo)，運用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；將x=0代入拋物線的解析式得y=-3，故此可得到DO的長，可得到AB的長，由M為圓心可得到MC和OM的長，然后依據(jù)勾股定理可求得OC的長，最后依據(jù)CD=OC+OD求解即可．（2）假設(shè)點E在x軸上方的“蛋圓”上，EF與x軸交于點H，連接EM．由HM2+EH2=EM2，點F在二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象上，可得方程組，以及對稱性求解；（3）根據(jù)∠BPC=60°保持不變，點P在一圓弧上運動和直徑是最大的弦進(jìn)行解答即可．【詳解】解：（1）∵圓心的坐標(biāo)為，半圓半徑為2．∴A（-1，0），B（3，0）設(shè)“蛋圓”拋物線部分的解析式為把A（-1，0），B（3，0），D（0，-3）代入解析式得，解得，∴“蛋圓”拋物線部分的解析式為連接AC，BC，MC∵點D的坐標(biāo)為（0，-3），∴OD的長為3．∵A（-1，0），B（3，0）．∴AO=1，BO=3，AB=4，∵M(jìn)（1，0）．∴MC=2，OM=1．在Rt△COM中，OC=．∴CD=CO+OD=，即這個“蛋圓”被y軸截得的線段CD的長．（2）假設(shè)點E在x軸上方的“蛋圓”上，設(shè)E（m，n），則點F的坐標(biāo)為（m，-n）．EF與x軸交于點H，連接EM．∴HM2+EH2=EM2，∴（m-1）2+n2=4，…①；∵點F在二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象上，∴m2-2m-3=-n，…②解由①②組成的方程組得：；．（n=0舍去）由對稱性可得：；．∴E1(，1)，E2(，1)，E3(，?1)，E4(，?1)．（3）如圖，∵∠BPC=60°保持不變，因此點P在一圓弧上運動．此圓是以K為圓心（K在BC的垂直平分線上，且∠BKC=120°），BK為半徑．當(dāng)BP為直徑時，BP最大．在中，∴，∴∴∵∴在中，∴∴在Rt△PCR中，∴∴∴∴點P的坐標(biāo)為（1，）．【點睛】本題考查的是圓與二次函數(shù)知識的綜合運用，正確理解“蛋圓”的概念、掌握圓周角定理、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，解答時，注意輔助線的作法要正確．1．(2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，拋物線交x軸于點，，D是拋物線的頂點，P是拋物線上的動點，點P的橫坐標(biāo)為，交直線l：于點E，AP交DE于點F，交y軸于點Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；（3）連接BQ，點M在拋物線的對稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且，在點P從點B運動到點C的過程中，點M也隨之運動，直接寫出點M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．答案:（1）；（2）；（3）．分析（1）運用待定系數(shù)法將，代入，即可求得答案；（2）利用配方法可求得拋物線頂點坐標(biāo)，由得，再根據(jù)與的面積相等，可得，故點F分別是AP、ED的中點，設(shè)，，結(jié)合中點坐標(biāo)公式建立方程求解即可；（3）根據(jù)題意，分別求出