2023年高考模擬考數(shù)學(xué)試卷2（理）（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)模擬考試卷2(理)

第I卷

一、選擇題

1.已知集合A={x∣≥l},8={x∣-2<x<l},則AC僅8)=()

A.(-2,2)B.[-l,?]C.(→o,-2]u[2,+oo)D.(-∞,-l)u(l,÷w)

H答案HC

K解析》因?yàn)樯?等價(jià)于=≥0,解得x<T或XN2,

x+1x+1

所以A=(YO,-1)[2,”)，

因?yàn)?={xI-2<X<1},

所以48=(-∞,-2][l,-f<o),

所以Ac(aB)=(-∞,-2]U[2,+∞).

故選：C

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足z+i=三，則Z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是()

A.[1,一力B?H'-|)C.(TT)D.(I1)

K答案UB

Zi+1(i+l)(i+2)13

K解析R由z+i=V，得z=-r>.=T《i,

1-1ι-2(ι-2)(ι+2)55

所以Z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是[-g-1)?

故選：B.

3.已知等比數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S,,,若q+2%=0,53=J,且α≤S.M”+2,則實(shí)數(shù)

O

a的取值范圍是()

-?0-33'

A.B.」?C.D.0,1

L2J_24_[42JL2J

K答案HB

K解析》設(shè)等比數(shù)列｛4,｝的公比為4,

9

因?yàn)閝+2/=0,

8

〃為奇數(shù)

,〃為偶數(shù)

當(dāng)X為正整數(shù)且奇數(shù)時(shí)，函數(shù)y=(；)*+1單調(diào)遞減，

當(dāng)X為正整數(shù)且偶數(shù)時(shí)，函數(shù)y=-ψt+?單調(diào)遞增，

所以〃=1時(shí)，S,取得最大值：，當(dāng)〃=2時(shí)，S,取得最小值金,

24

所以4「解得-g≤α≤I

,C、324

a+2≥-

2

故選：B.

4.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/(x+2)=2-∕(x),/(2-3x)為偶函數(shù)，若/(0)=0,

￡/(&)=123,則〃的值為()

*=1

A.117B.118C.122D.123

K答案》c

/(x+2)+∕(x)=2

K解析U由解得了(x+4)=/(x),即/(x)是以4為周期的周期函

f(x+4)+∕(x+2)=2

數(shù)，所以A以=F(O)=

因?yàn)?(2-3x)為偶函數(shù),所以f(2-3x)=√(3x+2)n∕(2-x)="2+x),當(dāng)X=I時(shí)有

/0)=/(3)-

又因?yàn)?l)+"3)=2,所以"1)="3)=1,

所以/(2)=2-∕(0)=2,/⑶=2-/⑴=1,

120

所以Zf*)=30[∕(l)+/(2)+/(3)+/(4)]=120,

k=?

120120122

所以EfW+/(121)+/(122)=￡/(?)+/(1)+/(2)=123即X/(Q=123,

?=lA=IA=I

故選：C

5.某校高二年級(jí)學(xué)生舉行中國(guó)象棋比賽，經(jīng)過初賽，最后確定甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)入決

賽.決賽規(guī)則如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；

每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人

被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，最后的勝者獲得冠軍，比賽結(jié)束.

若經(jīng)抽簽，已知第一場(chǎng)甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為則

()

A.甲獲得冠軍的概率最大B.甲比乙獲得冠軍的概率大

C.丙獲得冠軍的概率最大D.甲、乙、丙3人獲得冠軍的概率相等

K答案》C

R解析2根據(jù)決賽規(guī)則，至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽，至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽，

(1)甲獲得冠軍有兩種情況：

①共比賽四場(chǎng)結(jié)束，甲四連勝奪冠，概率為

216

②共比賽五場(chǎng)結(jié)束，并且甲獲得冠軍.則甲的勝、負(fù)、輪空結(jié)果共有四種情況：勝勝勝負(fù)

勝，

勝勝負(fù)空勝，勝負(fù)空勝勝，負(fù)空勝勝勝，概率分別為d)'，d)'，d)4，d)4，即

2222

_LJ__LJ_

32,16,16,16,

因此，甲最終獲得冠軍的概率為??+L+4+??+上=L

Io32IoIoIo32

9

(2)乙獲得冠軍，與(1)同理，概率也為臺(tái)

(3)丙獲得冠軍，概率為1-育9-9/=/14=；7>《9，

3232321632

由此可知丙獲得冠軍的概率最大，即A,B,D錯(cuò)誤，C正確,

故選：C.

,2

6.設(shè)雙曲線=l(α>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn),B為雙曲線E上在第

a^h'2

一象限內(nèi)的點(diǎn)，線段與雙曲線E相交于另一點(diǎn)A,AB的中點(diǎn)為M,且?LAB,若

=30。，則雙曲線E的離心率為()

A.√5B.2C.√3D.^2

K答案2D

R解析H如圖，連接

因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)2M±AB,所以∣4段=IB用.

設(shè)IA閭=∣%∣=m,

因?yàn)镮A用-IA用=24,所以I*I=叱-2α.

又因?yàn)楫婭-I叫I=2a,所以為周=m+2α,

則IABl=忸制TMI=40.

因?yàn)椤盀锳B的中點(diǎn)，所以IAMI=I9∣=20,則出M∣=m.

設(shè)歸勾=2c,在RtZXKEM中，∣F2M∣=J∣G∕FTEΛ√=?∕4C2-"22,

在RtΔAF2M中，?F2M?=JMKfT=’"下-4/,

則√4c2-m2=，加2_4/，整理可得m2=2a2+2c2,所以出MI=√2c2-2α2.

當(dāng)』4耳b=30。時(shí)，SinNAH用=幻沙=運(yùn)乏I=L,則c?=2”？，

恒周2c2

所以離心率為e=f=√∑.故選：D.

a

X-γ+3≤0,

7.記不等式組χ+y+l≤0,的解集為。，現(xiàn)有下面四個(gè)命題：

x+3≥0

P]?V(x,?)∈D,2x-y+8>0;p2:3(x,?)∈￡),x-2y+4>0;

p3:V(x,y)∈￡>,x+γ+3>0;p4:3(x,y)≡D,x÷3γ-3≤0.

其中真命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

K答案HC

K解析Il不等式組的解集。表示的可行域如圖中陰影部分所示，依據(jù)圖m知命題Pl為

真命題，依據(jù)圖(2)知命題必為真命題,

依據(jù)圖(3)知命題外為假命題，依據(jù)圖(4)知命題〃為真命題.所以真命題有3個(gè),

其中若∣則

i=l,2,g<p<P2<l,()

A.E(行<E(4,D(3?+1)<D(3?+1)B.E(?)<E(?),D(3?+1)>D(3?+1)

C.E(芻)>風(fēng)電)，D(3?+1)<D(3?+1)D.E(?)>E(?),D(3?+1)>D(3?+1)

K答案2B

K解析2由表中數(shù)據(jù)可知&8(2,p,),

.?.E(ξi)=2pi,D(ξi)=2pi(l-pi),

又Y；<Pi<02<1，

㈤，2

.?.E⑹<ED(?I)-D(?)=2(P,-P2)-2(PI-P?=2(P,-P2)(1-PI-P2)>0,

.?.D(?)>D(?),D(3?+1)=9D(?)>9D(?)=D(3?+1).?fe?：B

9.在正方體ABCo-AAG。中，點(diǎn)P在正方形8CG4內(nèi)，且不在棱上，則正確的是

()

A.在正方形OCGR內(nèi)一定存在一點(diǎn)Q,使得PQ，AC

B.在正方形。CeQl內(nèi)一定存在一點(diǎn)Q,使得PQ〃AC

C.在正方形。CGR內(nèi)一定存在一點(diǎn)Q，使得AC_L平面PQG

D.在正方形力CCl，內(nèi)一定存在一點(diǎn)°,使得平面PQG〃平面ABC

K答案WA

K解析》對(duì)于A,假設(shè)P為正方形8CC內(nèi)的中心，。為正方形OCCR的中心,

作PHlBC,QGLCD,垂足分別為“，G,連接”，G,

則P”G。為矩形，

則R2〃"G,且"G為BCS的中點(diǎn)，連接G”,E),

則GH//BD,

'：AClBD,J.GHVAC,即PQ?LAC,故A正確;

對(duì)于B,假設(shè)在正方形。CGR內(nèi)存在一點(diǎn)Q,使得PQ/AC,

作PELBC,。/J_C。，垂足分別為E,F,連接所，

則尸瓦Q為矩形，且E尸與AC相交，

.?.PQ//EF,PQ∕/AC,：.ACEF,

這與AC,EF相交矛盾，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,假設(shè)在正方形。CG。內(nèi)一定存在一點(diǎn)Q,使得AC，平面PQG,

GQU平面PQc,,則4C1C?,

又CGCQ=G,GC,GQU平面ABC。，故GCLAC,

而Ca_L平面ABCZZACi平面ABa),故CQLAC,

而GCGQ=G，GC,GQU平面OCCa,

故ACJ"平面DCC?D?,

???A。，平面力CGR,故c,D重合，與題意不符，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,在正方形。CGA內(nèi)一定存在一點(diǎn)°,使得平面PQG〃平面A8C,

由于平面ABCC平面DCC1D1=CD,平面PQG「平面DCCB=GQ,

.?.CD∕∕ClQ,而Ca〃CO,

則Q在GA上，這與題意矛盾，故D錯(cuò)誤；

故選：A.

10.任意寫出一個(gè)正整數(shù)，”，并且按照以下的規(guī)律進(jìn)行變換：如果根是個(gè)奇數(shù)，則下一步

變成3加+1,如果m是個(gè)偶數(shù)，則下一步變成;，明無論“是怎樣一個(gè)數(shù)字，最終必進(jìn)入

循環(huán)圈1→4-2→1,這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”.它可以表示為數(shù)列｛5｝：《=機(jī)

3q+1,當(dāng)4為奇數(shù)時(shí)

(根為正整數(shù))，??,1北由她4，若為=2,則機(jī)的所有可能取值之和為

+/%,當(dāng)凡為偶數(shù)時(shí)

)

A.188B.190C.192D.201

K答案》B

K解析H由題意，q→%f43T?4->%→?%?→外的可能情況有：

①2?→l→4f2fl->4f2;②16→?8->4f2fIf4.2；

③20→10→5→16→8→4→?2;④3→10→5→16→8→4→2;

⑤128→64→32→16→8→4→2;(6)21→64→32→16→8→4→2;

所以，機(jī)的可能取值集合為{2,16,20,3』28,21},加的所有可能取值之和為

2+16+20+3+I28÷21=190.

故選：B.

11.函數(shù)f(x)=j5cos、-4sinx+5-∣3CoSjCl的最大值為().

A.2√2B.2√3C.2√5D.3

K答案1D

K解析》H√?5cos3x-4sinx+5=9COS2X-4COS2x-4sinv+5

=9cos2x+4sin2x-4sinx+l=(3COSX)-+(2sinx-l)^,

故/(》)的最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸(3。05乂2疝6到4(0,1)與3(0,2遍》)的距離之差的最大值,

因?yàn)?14SinX41,-2≤-2sinx≤2,-l<l-2sinx<3?

所以IPAHPB∣≤M.=1(l-2sinx)2=II-2sinx∣≤3,

當(dāng)且僅當(dāng)SinX=T時(shí)，等號(hào)成立，則IMTPBl≤3,

2

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)COSX=0,/(x)?λ∕5×0-4×(-l)+5-13×0∣?3,

所以”x)≤3,即F(X)的最大值為3.

故選：D.

12.設(shè)“=己］,b-,c=21n∣,貝IJ()

IeJ202

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.a>b>c

K答案HA

K解析W令函數(shù)/(x)=e?'-er,貝IJr(X)=e「e,當(dāng)x<l時(shí)，∕,(x)<0,當(dāng)x>l時(shí),

第x)>0,所以函數(shù)〃x)在(-8,D上單調(diào)遞減，在(l,+∞)上單調(diào)遞增，故

/(x)>∕(l)=O,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，即e*≥ex?所以

17ιγ17J73

e2°>—e>—×2,7=2.295>2,25,故一>ln2.25=21n-,gpb>c.

2020202

令函數(shù)g(x)=e*-x-1,x>0,則g'(x)=e?v-l>O,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以

g(x)>e?！?=0,故g(0.3)=e°3-0.3—1>0,BPe0'3>1.3,故=*

令函數(shù)∕z(x)=InX-生二D,則/?x)='-二工T=與2≥0,故當(dāng)χ>l時(shí)，

v,x+1X(x+l)X(X+1)

Λ(x)>Λ(l)=O,所以力(2.25)=ln2.25-W∣∣∣^Q>o,即/，所以c>..

綜上。>C>4.

故選：A.

第H卷

二、填空題

13.已知向量α/滿足W=5,∣α-0=6,卜+4=4,則向量0在向量°上的投影為

K答案H-1

K解析H?.?向量滿足W=5,∣a-0=6,∣"+q=4,

.?.卜一0=25+b-2a?b=36,∣a+∕>∣=25+h^+2a?h=16.*.ah=-5>W=

向量力在向量1上的投影為=4木=1=V=T,

故K答案H為：-L

14.(x-2y)3(y-2z)5(z-2x)7的展開式中不含Z的各項(xiàng)系數(shù)之和.

K答案H128

K解析》(x-2yY(y-2z)5(z-2x)7利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行展開，設(shè)(x-2y)'項(xiàng)

為3(y-2z)3項(xiàng)為"，(Z—2x)7項(xiàng)為加.

展開后得CW2y)*?ν?z)"?/-?(-Zr對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行合并得

CGq(-2)"'*""∕zMy5-"+。?-"，+",因?yàn)檎归_式中不含z,所以7—"z+"=0,又切得取值

為{0,1,2,3,4,5,6,7},〃得取值為{0,1,2,3,4,5}‘故得，"=7"=0.

代入展開式得CeC叉-2)"產(chǎn)=C(-2廣**產(chǎn)*,又％得取值為{0,1,2,3},分別

帶入后各項(xiàng)系數(shù)之和為

Cθ(-2)7+C；(-2)8+C(-2)9+e?(-2)1°=(-2)7+3?(-2)8÷3?(-2)9+(-2)1°=128.

故K答案H為：128

15.如圖，在四面體A8C。中，AB=BC=AD=CD=A,AC=I,

ZBCD=ABAD=120。，則四面體ABCD外接球的表面積為

r7f→.?,v,208兀

K答案』一廠

R解析Il如圖1,取BO的中點(diǎn)E,由Afi=BC=AD=CD=4,

可得4石_LbD,CE_L5O,

又NBCD=/BAO=120°,

可得ΛE=CE=2,又AC=2,所以zMCE為等邊三角形.

因?yàn)锳ELBD,CELBD,AEu平面AEC,CEU平面4EC,AEHCE=E,

則Bo1平面ACE.

如圖2,延長(zhǎng)AE至Q,使得AE=QE,延長(zhǎng)CE至P,使得CE=M,

4

由正弦定理，可得ABCD,4A3O外接圓半徑為一--=4,

2sin300

又AE=CE=2,AE=QE,CE=PE,則P為48CD的外心，。為△?￡>的外心，過點(diǎn)

P作平面BC。的垂線，過點(diǎn)。作平面48。的垂線，

兩垂線的交點(diǎn)O就是四面體ABCD外接球的球心.

連接OE,因PE=QE,EO=EO,則_PEO三QEOnNPEo=30",

OE=PE=2=4

由PE=Aε=2,NOEP=30。，可得一cos30°一正一耳,

2

4

則在aOAE中，EA=2,OE=忑,ZOEA=150",

452

由余弦定理OA2=2?+-2×2×-j=×cos(150°)=—,

V33

故四面體ABCo外接球的表面積為47txO42=等.故K答案H為：?

Q

圖2

16.已知點(diǎn)F是橢圓［+V=1(〃>1)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(0,3)到橢圓上的動(dòng)點(diǎn)。的距離的最

Cr

大值不超過26，當(dāng)橢圓的離心率取到最大值時(shí)，則歸。+|。Pl的最大值等于

K答案23√2+2√iθ

K解析》設(shè)Q(XO,%),則耳+￥=1,即其且％∈[-],]].

a

22

因?yàn)镮PQI=Jx：+(%-3p=y]a^-ayl+y;-6y0+9=??(l-t/??ɑ-6y0+9+t∕,

而α>l,即1—a：。，

3

所以，當(dāng)即l<α≤2時(shí)，

?-a

當(dāng)為=-1時(shí)，|尸。取得最大值，IPQk=4≤2√^.

又因?yàn)闄E圓的離心率因此當(dāng)α=2時(shí)，e最大.

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為4,則F1(-√3,θ),因此∣PQ+IQFI=IPg+2aTQ制=IPQiTQ用+4,

所以當(dāng)Q在"的延長(zhǎng)線上時(shí)，∣PQ-∣Q娟取得最大值，

(IPQHQ用L=M=√(√3)2÷32=2√3，

因此∣PQ∣+∣QF∣的最大值為26+4.當(dāng)7±τ>-l,即a>2時(shí)，

當(dāng)先=τ?時(shí)，儼。取得最大值，PQL=J-τ?+∕+9,

由J‰+∕+9≤2后解得2≤q2≤10,BP2<a≤√Γδ.

V?-a

又因?yàn)闄E圓的離心率e=J要=m，因此當(dāng)α=J16時(shí)，e最大.

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為耳，則大(-3,0),

因此IPQl+1QF∣=IPa+為TQ4I=IPQlTQ制+2√iδ,

所以當(dāng)Q在尸耳的延長(zhǎng)線上時(shí)，爐。-|。制取得最大值，

22

(阿I-IM)nwι=I尸止√(-3)÷3=3&，

因此∣PQ∣+∣QF∣的最大值為3√Σ+2ji6?綜上所述，|p。+IQFl的最大值為3√Σ+2√i6?

故K答案U為：30+2ViU

三、解答題

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=6sin(二+x)sin(二一x)+sinxcosx.

44

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

Ajr

(2)在ABC中，若/(,一五^)=L求sin3+sinC的最大值.

解：(1)依題意，

/(x)=?∕3sin(-+x)sin[-一(四+x)]+,sin2x=?/?Sin(E+x)ɑos(-+x)+?sin2x

4242442

g?/兀c?1?c1?n?/?_?/C兀、

=2siπ(~+2x)+~sin2%=~sin2x4—cos2x—SIΠ(2Λ,十,

所以函數(shù)/(X)的周期為T=T=九

(2)由⑴知，/(y-?)=sin[2(y-?)÷11=sin(A+^)=1，

在、ABC中，0<AV7T,W^τ<A+—<—-,于是A+：=彳，解得A=3,則8+C=棗，

6666233

sinB+sinC=sinB+sin(--B)=SinB+且°sB+?sinB=-SinB+—cosB=>∕3sin(B÷—)，

322226

顯然OvB<§,g<3+g<號(hào)，因此當(dāng)5+2=g,即8=9時(shí)，(sin8+sinC)πm=√5,

?o66623

所以sinB+sinC的最大值為√5.

18.(12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線

上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：Cm)做好記錄.下表是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次

抽取的16個(gè)零件的尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸(cm)9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516

零件尺寸(Cm)10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

經(jīng)計(jì)算得M=It>=9.97,s=展/=UtXT6v?θ?212,

/16,16

J∑(i-8.5)-≈18.439,∑(X,-Λ)(∕-8.5)=-2.78,其中為為抽取的第i個(gè)零件的尺寸

V1?=ι>=|

(∕=1,2,???,16).

(1)求(x,,i)(i=l,2,…,16)的相關(guān)系數(shù)，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不

隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若N<0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過

程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小)；

(2)一天內(nèi)抽檢的零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(T-3sR+3s)之外的零件，就認(rèn)為這條生

產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

①?gòu)倪@一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？

②在(元-3s芝+3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零

件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.(精確到0.01)

解：(I)由樣本數(shù)據(jù)得相關(guān)系數(shù):

16

Na-T)(T.5)

r==?L-------------------------≈-----------J=-----------≈-0.18

GR序菽0.212x716x18.439

-H<0.25可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變

小.

(2)①X=9.97,s≈0.212,.?.x-3,y=9.334,5+3s=10.606,

抽取的第13個(gè)零件的尺寸在G-3sl+3s)以外，

???需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

②剔除離群值，即第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為AX(16x9.97-9.22)=10.02,

即這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計(jì)值為10.02cm；

16

由S得：^X,2≈16×0.2122+16×9.972≈1591.134,

/=I

剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為gχ(1591.134-9.222-15x10.022)B0.008,

樣本標(biāo)準(zhǔn)差為√0.008≈0.09,

即這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為Q09cm.

19.(12分)如圖，已知四棱錐P-A8C。，底面ABC。為菱形，PA，平面ABC￡),

NABC=60。，E是5C的中點(diǎn).

(2)4為尸。上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面公。所成最大角的正切值為漁，求異面直線尸B與

2

AC所成的角的余弦值.

(1)證明：由四邊形ABC。為菱形，WC=60。，可得.ABC為正三角形，

因?yàn)镋為3C的中點(diǎn)，所以AElBC,

又BCHAD,因此AELAD,

因?yàn)楱M?，平面ABCZ）,AEU平面ABC。，所以A

而E4u平面附力，ADU平面以。，PAryAD^A,

則ΛEJ"平面PAD,又尸DU平面B4。，

所以A￡_LP￡>.

⑵解：設(shè)AB=2,連接AH,EH,

由（1）知AEL平面以力，則NEH4為E”與平面玄。所成的角,

因?yàn)锳HU平面以。，所以AE_LA”.

所以在RtZkEA"中，AE=B

所以當(dāng)AH最短時(shí)，即當(dāng)47_LPD時(shí)，NEHA最大,此時(shí)tanNE∕M=空?=巫=逅，

AHAH2

因此又A￡>=2,所以/4￡>"=45。，所以E4=2.

故以A為原點(diǎn)，AE所在直線為X軸，AO所在直線為y軸，AP所在直線為Z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),B(√3,-1,0),C(√3,1,0),P(0,0,2),

貝IlPB=(石,-1,-2),AC=(6,1,0),

PBAC2-√2

cos<PB,AQ=

?PB??AC?2√2×2^4

異面直線PB與AC所成的角的余弦值也.

4

20.（12分）已知直線x+2y-2=0過拋物線C:x?=2Py（P>0）的焦點(diǎn).

（1）求拋物線C的方程；

（2）動(dòng)點(diǎn)A在拋物線C的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A作拋物線C的兩條切線分別交X軸于M,N兩

點(diǎn)，當(dāng),AMN的面積是逆時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

2

解：(1)x+2y—2=0中令X=O得：)=1,

故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),故與=1，解得：P=2,故拋物線方程為V=4y;

(2)拋物線準(zhǔn)線方程為：y=-l,

設(shè)A(〃?,-l),過點(diǎn)A的拋物線的切線方程設(shè)為y=—l+Z(x-帆)，

聯(lián)立得：χ-46+4=0,

由4=16父—16=0,設(shè)過點(diǎn)A的拋物線的兩條切線方程的斜率分別為年,向，

故％+k2=m,kxk2=-1,

令y=T+%(x-中，令y=0得：x=-+m,

11

不妨設(shè)X=7+加，尤2=—+^,故IMNI=W-Xj===|心一M,

k

ιh?v?脫2KIK2

則SAMN=JMNl×1=#-H='{(&+匕)2-4Z*2=gj,∕+4=與，

解得：加=±1,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為A。,-1)或(T,T).

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=XlnX和g(x)=b(x-√7)僅＞0)有相同的最小值.

(1)求人的值；

(2)設(shè)〃(X)=/(x)+g(x),方程〃(X)=W有兩個(gè)不相等的實(shí)根玉，々，求證:七寶

(1)解：g(χ)=%(χ-6)=彳(?-；)-?≥-g,

所以g(x)mm=g(j=4；

函數(shù)“X)的定義域?yàn)?0,y),Γ(x)=lnx+1,

令/'(x)<0,解得0<x<eL用冷>0解得x>e-∣,

所以〃x)在(0,e')上單調(diào)遞減，在(e∣,+∞)上單調(diào)遞增.

所以/(x)mhl=∕(e')=-e'

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=XlnX和g(x)=b(x-√I)僅>0)有相同的最小值,

所以T=-e∣

4

4

BP?=-;

e

(2)證明：∕ι(%)=xl∏Λ+-^x-V%j,

"'(x)=lnx+l+gl一步)

11_3

令H(%)="(χ),則/Γ(x)=-+72>0,

Xe

所以“(X)即Λ,(Λ)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)榻?-J卜①"(9=h<0

所以叫?g),使“(/)=0,

于是〃(力在(o,χ0)上單調(diào)遞減，在(天,一)上單調(diào)遞增.

XA(I)=O,當(dāng)X趨于0時(shí)，MX)趨于0,

則當(dāng)XW(O,1)時(shí),MX)<0

方程Mx)=機(jī)有兩個(gè)不相等的實(shí)根根4，X2,

不妨設(shè)o<χ∣<%<??<ι.

設(shè)G(X)=∕ι(x)-∕z(2?-X)(O<x<Λ?),

,rr

則G(x)=Λ(x)+Λ(2x0-x)=In%+1

2

=InX(2%-x)——+2+。謁-2/2+2+號(hào)

eeeJTLJ2/_Xe

-22c8

<21∏Λ?j------+2d—

eJXoe

4

由〃(%)=0即lnx°+l+1=0,

得如而

214]22r8八

并代入上式，得G'（x）＜2—^=?+2H—=O

e√x0e

所以G（X）是減函數(shù),

G(xl)>G(?)=Λ(?)-Λ(2?-xo)=O,

即〃(X)>∕z(2x0—占)，

又由題意人㈤=M電），得〃（Λ2）＞M4f），

而2XO-X∣＞ΛO,且MX）在（Xo,+。。）上單調(diào)遞增,

所以J?>