2022屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷6

2022屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷6

一、單選題(每小題5分，計(jì)40分)

I.若集合4={x[y=/x+2b8=卜y=一”,則A「18=()

A.[1,+8)B.[-2,—l]U[h+°°)

C.[2,+00)D.[―2,-1]U[2,+oo)

2,設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)一L在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2V2

3.若方程」x一+二一=1表示橢圓，則相的取值范圍是()

5-mm+3

A.(-3,5)B.(-5,3)C.(—3,1)1(1,5)D.(-5,1)U(1,3)

“、(3Q-1)X+4G,X<1

4.若函數(shù)〃x)=l7是R上的減函數(shù)，則。的取值范圍為()

-ax,x>1

C.(+8)D.TJ8

5.下列函數(shù)中，最小值為4的是()

4

A.y=x+—B.y=sinx+—(0<x<1)

xsinx

D.y=>Jx2+l+——

C.y=e"+4eT

Vx+1

6.已知函數(shù)/(力是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x?0時(shí)，/(X)=X2-4X,則不等式〃x+2)<5的解集

為()

A.(-3,7)B.(-4,5)C.(-7,3)D.(-2,6)

7.函數(shù)f(x)=21業(yè)二的圖象大致為()

x3+sinx

8.已知函數(shù)/（x）=x-asinx,對(duì)任意的百，Xje（-oo,+oo）,且玉片馬，不等式辦一''''>a恒

%一%

成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

111、1

A.u<一B.a<—C.u>一D.ci—

2222

二、多選題（每小題5分，計(jì)20分，多選得0分，少選得3分）

2a,?03

9.若數(shù)列｛%｝滿足《，則數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)的值可能為（）

10.下面命題正確的是（）

A.“a>1”是“工<1”的充分不必要條件

a

B.命題“對(duì)任意xeR,%2+%+1<0”的否定是“存在xeR,使得f+x+lzo”

C.設(shè)x,y&R,則且>22”是“2+yN4”的必要不充分條件

D.設(shè)a,beR,則“a。0”是“ab。（）”的必要不充分條件

11.已知函數(shù)〃力="3+芯+｛ac<0）,則函數(shù)y=/（x）的圖象不可能是（）

yy

設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx,g(x)=J3,給定下列命題，其中是正確命題的是()

12.

A.不等式g(x)>0的解集為4,+。

B.函數(shù)g(x)在(O,e)單調(diào)遞增，在(e,+o。)單調(diào)遞減

C.若mNl,則當(dāng)工1>々>0時(shí)，有三卜；一工；)>〃％)-/(%2)

D.若函數(shù)/(x)=/(x)—以2有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

三、填空題(每小題5分，計(jì)20分)

13.已知/(力=爐+奴3+"一8,若"—2)=10,則/(2)=.

14.設(shè)函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且"X)=<30，則g[/(-7)]的值為

15.已知P：實(shí)數(shù)加滿足加2+12。2<7卬"。〉0),q:方程工+。_=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.若

m—12-m

〃是夕的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

16.已知函數(shù)〃x)=%—2Zlnx+H，若x=2是函數(shù)〃尤)的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)z的取值集合是

四、解答題(共6小題，計(jì)70分)

17.【本題滿分10分】

在①〃+缶C=+02,?4zcosB=Z?sinA,③sin3+cos3=J5這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下

面的問題中，并解決該問題.

己知△ABC的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,A=§,。=&,求△A8C的面積.

18.【本題滿分12分，6+61

已知函數(shù)"X）=a^-x+b^a#0）,若函數(shù)”力在點(diǎn)（1,/。））處的切線方程是2x—y+3=0.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求“X）的單調(diào)區(qū)間.

19.【本題滿12分，6+6J

在《我是演說家》第四季這檔節(jié)目中，英國華威大學(xué)留學(xué)生游斯彬的“數(shù)學(xué)之美”的演講視頻在微信朋友圈

不斷被轉(zhuǎn)發(fā)，他的視角獨(dú)特，語言幽默，給觀眾留下了深刻的印象.某機(jī)構(gòu)為了了解觀眾對(duì)該演講的喜愛程

度，隨機(jī)調(diào)查了觀看該演講的140名觀眾，得到如下的列聯(lián)表：（單位：名）

男女總計(jì)

喜愛4060100

不喜愛202040

總計(jì)6080140

（1）根據(jù)以上列聯(lián)表，判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為觀眾性別與喜愛該演講有關(guān)；（精

確至U0.001）

（2）從這60名男觀眾中按對(duì)該演講是否喜愛采取分層抽樣，抽取一個(gè)容量為6的樣本，然后隨機(jī)選取兩

名作跟蹤調(diào)查，求選到的兩名觀眾都喜愛該演講的概率.

附表:

P(K2>k)

00.100.050.250.0100.005

k。2.7063.8415.0246.6357.879

n(ad-bc)~

其中〃=〃+/?+c+d.

(a+8)(c+d)(a+c)(b+d)

20.【本題滿分12分，6+6】

如圖，在四棱錐P—A8CD中，底面ABC。，BCAD,AB1BC,PA=AB=O，

AD=2BC=2,M是PO的中點(diǎn).

（1）求證：CM平面PAB；

（2）求二面角M—AC—。的余弦值.

21.【本題滿分12分，3+6+3]

某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每批產(chǎn)品的非原料總成本了（元）與

生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：

X1234567

y611213466101196

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制如圖所示的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用對(duì)數(shù)函數(shù)模

型y=a+blnx和指數(shù)函數(shù)模型y=c-d\c,d>0）分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，哪一個(gè)函數(shù)模型適宜作為V關(guān)于x的回歸方程；（給出判斷即可，不必說明理由）

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù)，建立〉關(guān)于x的回歸方程；

(3)已知每件產(chǎn)品的原料成本為10元，若該產(chǎn)品的總成本不得高于123470元，請(qǐng)估計(jì)最多能生產(chǎn)多少千

件產(chǎn)品.

參考數(shù)據(jù)：V,.=1gX,v=匕.

IO0-54

i=]i=]

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(%,w),(〃2，嶺)，…，(4，匕,)，其回歸直線v=a+例的斜率和截距的最小二

__

zuivi_nuv

乘估計(jì)公式分別為￡=弓-------,a=v-j3u.

-nu

22.【本題滿分12分，6+61

已知函數(shù)/(x)=Xs+k\nx{kGR),fr(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(I)當(dāng)左=6時(shí)，

(i)求曲線y=F(x)在點(diǎn)(1,7。))處的切線方程；

o

(ii)求函數(shù)g(x)=/(x)-/'(x)+,的單調(diào)區(qū)間和極值；

(II)當(dāng)42—3時(shí)，

求證：對(duì)任意司，馬?1,+8),且%＞々，有/'(%)+/'(/)〉"七)二八々).

2x,-X.

2022屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷6

參考答案

1-8：BBCACCCB9-12：ABCABDACDACD

13,-26:14.-2:15.:

.38.

re21

16.---,+8

L4）

解：函數(shù)定義域（0,+8）,/（同=>一：,2疣*_竺+7=卜+依Jx—2）,

XXX

由題意可得，x=2是/'（尤）=0唯一的根，故"+西2=0在（0,+oc）上沒有變號(hào)零點(diǎn)

即—攵=￡?在x>0時(shí)沒有變號(hào)零點(diǎn)，令g（x）=S，尤>0,則g，（x）',（22）,

XXX

當(dāng)x>2時(shí)，g'（x）>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<2時(shí)，g'（x）<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

222

故當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取得最小值g（2）=］，故一攵4亍即左之一］.

17.解：若選擇①/??+血&:=/+/，

則由余弦定理得cosB=o"=交絲=—,

2ac2ac2

因?yàn)?e（0,兀），所以8=色.

4

若選擇②acosB=/?sinA，

則sinAcosB=sinBsinA，

因?yàn)閟inAwO,所以sin3=cos5,

因?yàn)锽￡（0,兀），所以3=1.

若選擇③sinB+cosB=V2，

則血sin（8+：）=&,所以sin（8+（1=l,

因?yàn)?￡（0,7C）,所以B+/W（w）'

7E7T7E

所以3+—二一，所以8=一.

424

ab

由正弦定理----二-----，

sinAsinB

OsinA2、彳r-

得"一^=-f=3

sinBy/2

~T

因?yàn)?='，B=-f所以C二兀一工一四二2,

343412

rr-Kl-.5兀..兀71兀.兀V6+V2

所以smC二sm二二sm7+吃=sin-cos—+cos—sin—=----------

12V46；46464

所以S4ABc='absin='義6xO義顯逑=三叵

2244

18.解：(1)由/(x)=al-x+力，

得/'(x)=3以2一］,

所以/'(l)=3a—1=2,所以a=l.

把x=l代入2x—y+3=0,得切點(diǎn)為(1,5),

所以/。)=1—1+8=5,得力=5,

所以/(X)=X3-X+5.

(2)由⑴知，/,(x)=3x2-1,

令尸(力=3%2一1>0,

解得x〉@或彳<_且；

33

令/'(尤)=3——1<0,

解得_￡1<走.

33

所以/(%))的增區(qū)間為—00,—,減區(qū)間為

3’3,

…D由…黑端蒜…,

所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為觀眾性別與喜愛該演講有關(guān).

(2)抽樣比為二=4,樣本中喜愛該演講的觀眾有40乂々=4名，不喜愛該演講的觀眾有6—4=2名.記

601010

喜愛該測(cè)講的4名男性觀眾為。，b,C,d,不喜愛該演講的2名男性觀眾為1,2,則基本事件分別為：

[a,b),(a,c),(a,d),(a,l),(a,2),(伍c),也d),(b,l),(b,2),(c,J),(c,l),(c,2),(d,l),

(d,2),(1,2),共15個(gè).其中選到的兩名觀眾都喜愛該演講的事件有6個(gè)，故所求概率為2=0.4.

20.解：(1)如圖，取AP的中點(diǎn)E,連接BE,EM.

又3c4)且AO=2BC,.?.EM&C，.?.四邊形3cME為平行四邊形,

：.BECM,又CMz平面PA8,BEu平面PAB,二川。平面

(2)由題意知：PA,AB,AO兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、

丁軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

則A（0,0,0）,￡＞（0,2,0）,C（V2,l,0）,M\0,1,—LP（0,0,V2）

AC=（V2,l,0）,AM=0,1,—,AP=（0,0,&）,

設(shè)平面M4c的法向量”=(x,y,z),

AC-n=y/2x+y=0

則〈,令y=6,,則x=—1,z=—2>n=(—l,y/2,—2\.

AMn=y+—z=0''

I2

,/PAJ_平面ABCD,???AP為平面ACD的一個(gè)法向量,

APn-2V22幣

,COS(AP,/?)=ij~~;r—■-

、/研WV2xV7~^T

V二面角M-aC-D為銳二面角，，二面角M-AC-D的余弦值為宜彳.

7

21.解：(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=c-d'適宣作為非原料總成本關(guān)于生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x的回歸方程類型.

(2)由y=兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得lgy=lg(c-d')=lgc+xlgd.

設(shè)lgy=v,，u=lgc+xlgd,

7

；x=4，v-1.54，=140,

<=1

7__

^x,.v,,-7xv

50.12-7x4x1.547…

二號(hào)-----------------------：——=——=0.25.

??Jgd2

Ex.2-7%2140-7x428

/=1

把(4,1.54)代入丫=尼。+了坨4,得lgc=0.54,

v=0.54+0.25%>?>-1gy=0.54+0.25x，

...y=10054+025x=347x1Q025A,

即丁關(guān)于x的回歸方程為y=3.47x10°-25A'.

(3)設(shè)生產(chǎn)了x千件該產(chǎn)品則生產(chǎn)總成本為g(x)=3.47x10025x+xx10x1000.

又g(x)=3.47xl0025*+i0000r在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，Jig(12)=3.47xlO3+120000=123470,故最

多能生產(chǎn)12千件產(chǎn)品.

22.【詳解】(I)⑴當(dāng)％=6H寸，/(x)=x3+61nx,/(X)=3X2+-.可得〃1)=1,/⑴=9,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J(1))處的切線方程為y—l=9(x—l),即y=9x-8.

3

(ii)依題意，^(x)=x3-3x2+61nx+—,xe(O,+oo).

x

從而可得g'(x)=3x2—6x+9V，整理可得：g,(x)=3(xT),(/+l),

xxxz

令g[x)=O,解得x=l.

當(dāng)X變化時(shí)，g'(x),g(x)的變化情況如下表:

X(o/)x=i(l,+oo)

g'(x)—0+

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞