2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用

23鉛筆將試卷類型(4)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角

“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答

案信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試

卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指

定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不

準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合4=國一2<%<4},B={2,3,4,5},則4B=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.

{2,3,4}

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定義可求4B.

【詳解】由題設(shè)有Ac3={2,3},

故選：B.

2.已知Z=2—i，則z(5+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共期復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.

【詳解】因為z=2-，，故)=2+i，故z("i)=(2-i)(2+2i)=4+4i—2i-2『=6+2i

故選：C.

3.已知圓錐的底面半徑為近,其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為()

A.2B.2及C.4D.472

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)圓錐的母線長為/,根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得/的值，即為

所求.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則力/=2兀*&，

解得/=2萬

故選：B.

4.下列區(qū)間中，函數(shù)/(x)=7sin[x-單調(diào)遞增的區(qū)間是()

D.

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式2版r—]<x—2<2版■+'(ZGZ),利用賦值法可得出結(jié)論.

/7171\

【詳解】因為函數(shù)丫=$皿*的單調(diào)遞增區(qū)間為2人7一彳,2人乃+,(AeZ),

對于函數(shù)/(x)=7sin[xq由2攵萬一]<%一?<2Zzr+](攵GZ),

B不滿足條件;

滿足條件.

故選：A.

【點睛】方法點睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成y=Asin（3x+w）形

式，再求y=Asin（5+s）的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個整體代入y=sinx的相應(yīng)

單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把?；癁檎龜?shù).

22

5.已知耳，鳥是橢圓c：]+亍=1的兩個焦點，點”在c上，貝川嗎卜|咋|的最大

值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】

【分析】本題通過利用橢圓定義得至!I|叫|+慳閭=2。=6,借助基本不等式

\MF{\-\MF2\<㈤岫|即可得到答案.

I2,

【詳解】由題，a2=9,b2=4,則4|+|M8|=2a=6,

所以附/訃附圖/的史也?]=9（當且僅當四國=|叫|=3時，等號成立）.

I2,

故選：C.

【點睛】橢圓上的點與橢圓的兩焦點的距離問題，常常從橢圓的定義入手，注意基本不等式

得靈活運用，或者記住定理：兩正數(shù)，和一定相等時及最大，積一定，相等時和最小，也可

快速求解.

則sin9(l+sin29)(

6.若tan。)

sin6+cos。

6226

A.--B.--C.—D.-

5555

【答案】c

【解析】

【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母（1=sin20+cos2e），

進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入tan。=-2即可得到結(jié)果.

【詳解】將式子進行齊次化處理得：

_sin/sinO+cos。)_tai？e+tan。_4-2_2

sin2+cos231+tan201+45

故選：c.

【點睛】易錯點睛：本題如果利用tan。=—2,求出sinacos。的值，可能還需要分象限

討論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論.

7.若過點(a,》)可以作曲線y=e*的兩條切線，則()

A.e”<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0</?<ea

【答案】D

【解析】

【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，

結(jié)合圖形確定結(jié)果；

解法二：畫出曲線丁="的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(a,。)在曲線下方和x軸上方時才可

以作出兩條切線.

【詳解】在曲線y=/上任取一點對函數(shù)>=/求導(dǎo)得y'=e',

所以，曲線y=e?'在點P處的切線方程為y—d=e'(x—7),即y=e'x+(l—t)d,

由題意可知，點(a,〃)在直線>=dx+(l—。e’上，可得匕=〃+(lT)e'=(a+l—7)e',

令/⑺=(a+l-f)e,則/?)=(aT)e'

當r<a時，/'(/)>0,此時函數(shù)單調(diào)遞增，

當/>a時，/'?)<(),此時函數(shù)/")單調(diào)遞減，

所以，/⑺四="。)=巴

由題意可知，直線y=b與曲線y=/(r)的圖象有兩個交點，則匕</("心=e",

當r<a+l時，/?)>(),當r>a+l時，/(。<0,作出函數(shù)/?)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當o<b<e"時，直線丁=匕與曲線y=/Q)的圖象有兩個交點.

故選：D.

解法二：畫出函數(shù)曲線y=，的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(a,。)在曲線下方和x

軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知0<A<e".

故選：D.

【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函

數(shù)的增長特性進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認識的基礎(chǔ)

上，直觀解決問題的有效方法.

8.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次，每次取

1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件”第二次取出的球的數(shù)字是2”,

丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，

則（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)獨立事件概率關(guān)系逐一判斷

【詳解】P（甲）=,，P（乙）=,，P（丙）=二，/?。?二=:，，

6636366

故選：B

【點睛】判斷事件是否獨立，先計算對應(yīng)概率，再判斷P（A）P（B）=P（AB）是否成立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.有一組樣本數(shù)據(jù)再，々，…，天，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)以，為，…，得，其中

%=玉+。（，=1,2,…,”）,c為非零常數(shù)，則（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B,兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

【解析】

【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有E（y）=E（x）+c、D（y）=￡）（%）,即可判斷正

誤：根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤.

【詳解】A：￡（?。?鳳%+。）=鳳幻+。且。#0,故平均數(shù)不相同，錯誤；

B：若第一組中位數(shù)為巷，則第二組的中位數(shù)為X=x,+c,顯然不相同，錯誤；

c：r＞（y）=r）（x）+o（c）=r）（x）,故方差相同，正確；

D:由極差的定義知：若第一組的極差為彳”.一王山，則第二組的極差為

Nmax-Win=（/ax+0）-（/in+。）=/ax一/in，故極差相同，正確；

故選：CD

10.已知0為坐標原點，點［(cosa,sina),g(cos4,-sin/),

《(cos(a+4),sin(a+尸))，A(l,0),則()

A.|。月|=|。胃B.同|=|阿

C.0Aop3=07ORD.OAOP^OP2OPy

【答案】AC

【解析】

uuuuuu

【分析】A、B寫出0［,0P-APrA鳥的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；

C、D根據(jù)向量的坐標，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.

22

［詳解】A：OPX=(cosa,sina),OP2=(cos尸,—sin尸)，所以|OP{|=Vcos+sina=1，

10P21=J(cos0)?+(—sin/?)2=1，故1|=|OP2\,正確；

B：時=(8sa-l,sina),AF^=(cos/?-1,-sin/3},所以

IA[|=J(cosa-if+sin2a=Jcos2a-2cosa+l+sin2a=^2(1-cosa)=21sin—|

2

，同理理g1=4cos6-1)2+sin?4=21sin芻,故|Ag|不一定相等，錯誤;

C：由題意得：OA-OF^=1xcos(?+yff)+0xsin(a+/?)=cos(?+p)，

OP}-OP2=cosa-cos/?+sincr?(-sin/?)=cos(cz+J3),正確；

D：由題意得：OA-OF\=Ixcoscr+Oxsinor=coscr,

OP,OP?=cosftx8s(a+尸)+(-sin尸)xsin(a+/?)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p),故一般來說。故錯誤；

故選：AC

11.已知點P在圓(x—5y+(y—5)2=16上，點A(4,0)、B(0,2),則()

A.點p到直線AB的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

C.當NP8A最小時，歸邳=3夜

D.當/尸84最大時，|尸卻=30

【答案】ACD

【解析】

【分析】計算出圓心到直線AB的距離，可得出點P到直線A3的距離的取值范圍，可判斷

AB選項的正誤；分析可知，當/PBA最大或最小時，P8與圓M相切，利用勾股定理可判

斷CD選項的正誤.

【詳解】圓（x—5）?+（y—5）2=16的圓心為M（5,5）,半徑為4,

直線A3的方程為[+5=1，即x+2y-4=0,

42

圓心M到直線AB的距離為B：2X5—4|=U=巫>4,

712+22V55

所以，點P到直線AB的距離的最小值為L幽—4<2,最大值為小叵+4<10,A選項

55

正確，B選項錯誤；

如下圖所示：

當NPA4最大或最小時，P5與圓M相切，連接MP、BM，可知PA/LPB，

\BM\=,J（0-5）2+（2-5）2=A/34，\MP\=4,由勾股定理可得

|BP|=yl\BMf-\MPf=372.CD選項正確.

故選：ACD.

【點睛】結(jié)論點睛：若直線/與半徑為「的圓C相離，圓心C到直線/的距離為d,則圓C

上一點P到直線/的距離的取值范圍是[d-r,d+r].

12.在正三棱柱ABC-44G中，AB=AA=1,點P滿足=+其中

/le[O,l],/de[0,1],則（）

A.當4=1時，△AB/的周長為定值

B.當洶=1時，三棱錐P—AB。的體積為定值

C.當2=1時，有且僅有一個點尸，使得A/LBP

D.當〃=；時，有且僅有一個點P,使得48,平面A37

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A,由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進而確定點的坐標；

對于B,將P點的運動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進而考慮體積是否為定值；

對于C,考慮借助向量的平移將P點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解P點

的個數(shù)；

對于D,考慮借助向量的平移將P點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解尸點

的個數(shù).

易知，點尸在矩形BCGg內(nèi)部(含邊界).

對于A,當2=1時，BP=BC+RBB[=BC+/JCC\,即此時Pw線段CG，Z\A4P周長

不定值，故A錯誤；

對于B,當〃=1時，BP=ABC+BB=BBt+,故此時P點軌跡為線段Bg,而

B\C\//BC,30〃平面A|BC,則有p到平面ABC的距離為定值，所以其體積為定值，

故B正確.

11

對于C,當4=]時，BP^-BC+piBB,,取6C,4G中點分別為。，H，貝I

BP=BQ+jLiQH,所以尸點軌跡為線段Q”，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖,

Ay,O,l,尸(O,O,〃)，則4P=,BP=

\/v7\/°'4'4

AP-8P=〃(〃-1)=O,所以〃=0或〃=1.故“，。均滿足，故C錯誤；

對于D,當〃=；時，BP=ABC+-BBiCC,中點為M,N.BP=BM+入MN，

22

所以尸點軌跡為線段MN.設(shè)P（0,%,；）,因為Ap機,0,0；所以AP=-y,y0,1,

']'3]]\

A[B=--,所以一+—%--=0=>y=一一,此時尸與N重合，故D正確.

2242220

7

故選：BD.

【點睛】本題主要考查向量等價替換，關(guān)鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內(nèi).

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知函數(shù)/(6二%3,2’一？-')是偶函數(shù)，則"=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)”的值.

【詳解】因為/(力=932*-2-*),故y(—x)=—*3(82一，一2)

因為/(x)為偶函數(shù)，故f(-x)=f(x)，

時丁.2)-2-v)=-x3(a-2-v-2A),整理得到(a-l)(2A+2-x)=0,

故a=l,

故答案為：1

14.已知。為坐標原點，拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為尸，P為C上一點,PF與

x軸垂直，。為x軸上一點，且PQ_LOP,若|同=6,則C的準線方程為.

【答案】x=-3

2

【解析】

【分析】先用坐標表示P，Q,再根據(jù)向量垂直坐標表示列方程，解得P,即得結(jié)果.

【詳解】拋物線C：y2=2px(〃>0)的焦點

為C上一點，P/與x軸垂直，

所以P的橫坐標為“，代入拋物線方程求得P的縱坐標為土〃，

2

不妨設(shè)P(§P),

因為。為x軸上一點，且PQLOP,所以。在F的右側(cè)，

又|FQI=6,

因為PQLOP,所以PQOP=5x6—“2=0,

Qp>09.\p=3f

3

所以。的準線方程為工=--

2

3

故答案為：x——.

2

【點睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.

15.函數(shù)/(x)=|2x-l|-21nx的最小值為.

【答案】1

【解析】

【分析】由解析式知/(X)定義域為(0,+8),討論0<x4，、-<x<\,x>l,并結(jié)合

22

導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求f(x)最小值.

【詳解】由題設(shè)知：/(幻=|2工一1|一2111無定義域為(0,+8),

.?.當0<x?g時，f(x)=l-2x-2]nx,此時/(幻單調(diào)遞減；

19

當一<xWl時，f(x)=2x—l-21nx,有/'(x)=2——<0,此時/(x)單調(diào)遞減；

2x

2

當x>l時，f(x)=2x-l-2\nx,有/7x)=2-->0,此時f(x)單調(diào)遞增；

x

又/(X)在各分段的界點處連續(xù)，

.?.綜上有：0(尤<1時，/(幻單調(diào)遞減，X>1時，/(X)單調(diào)遞增；

A/(x)>/(1)=1

故答案為：1.

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙某條對稱軸把紙對折，規(guī)格

為2()dmxl2dm的長方形紙，對折1次共可以得到l()dmxl2dm,2()dmx6dm兩種規(guī)格

的圖形，它們的面積之和$=240dm2,對折2次共可以得到5dmxl2dm,lOdmx6dm,

20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S?=ISOdn?,以此類推，則對折4次共可

以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折”次，那么dm2.

k=\

【答案】①.5②.720-15；：：")

【解析】

【分析】(1)按對折列舉即可；(2)根據(jù)規(guī)律可得S“，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.

【詳解】(1)由對折2次共可以得到5dmxl2dm,K)dmx6dm,2()dmx3dm三種規(guī)格

53

的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：-xl2,5x6,10x3；20x-,共4種不同規(guī)格(單位dn?)；

22

5533

故對折4次可得到如下規(guī)格：-xl2,—x6,5x3,10x-20x-,共5種不同規(guī)格;

422（4

（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格

如何，其面積成公比為:的等比數(shù)列，首項為120（dm，,第八次對折后的圖形面積為

（\丫1

120x-，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想

為〃+1種（證明從略），故得猜想S,J2。』：。,

J120x2120x3120x4,120（/1+1）

設(shè)S[S*=-^~+-^+-^+L+3』，

120x2120x3120〃120（〃+1）

則一S=—：—+——++―7+―-——-,

221222"~'2"

兩式作差得：

120120（〃+1）120（〃+3）

；------------，

—JOU---2-八--12〃-JOU-------2-〃-----

240（/7+3）15（〃+3）

因此，5=720----——^=720——

2"2~4

~15（〃+3）

故答案為：5；720——2"-4

【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：

（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；

（2）對于｛。，e｝結(jié)構(gòu)，其中｛a,,｝是等差數(shù)列，｛〃｝是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；

（3）對于｛4+包｝結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；

（4）對于,結(jié)構(gòu)，其中｛4｝是等差數(shù)列，公差為4（4。。），則

A*d[anan+]）

四.解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛,叫>滿足*1,2《++1,2”,〃為為奇偶數(shù)數(shù)，.

⑴記b?=a2n,寫出白，b2,并求數(shù)列出｝的通項公式;

（2）求｛凡｝的前20項和.

【答案】（1）4=2也=5；（2）300.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得be=?+3,從而可求｛〃｝的通項.

（2）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得｛??｝的前20項和為S20可化為

50=2佃+4++仇+九）一1（）,利用⑴的結(jié)果可求S20.

【詳解】（1）由題設(shè)可得乙=。2=q+1=2,〃2=“4=。3+1=。2+2+1=5

又a2k+2=”2?+1+1，”2?+1=。2k+2，（A€N）

故4*+2=/&+3，即2M=%+3,即4+1一2=3

所以｛4｝為等差數(shù)列，故〃=2+（〃—1）x3=3"—1.

（2）設(shè)｛?！埃那?0項和為$20,貝ljS20=4+。2+。3++。20，

因為q=_1，43=04—L,4|9=420_］，

所以$20=2（4+g+-+^8+6（20）—10

（9x10、

伍+打+

=2+^9+/?,O）-1O=2X10x2+—^—x3-10=300.

【點睛】方法點睛：對于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系，我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項的遞推

關(guān)系或偶數(shù)項的遞推關(guān)系，再結(jié)合已知數(shù)列的通項公式、求和公式等來求解問題.

18.某學(xué)校組織“一帶一路''知識競賽，有A,B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問

題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則

從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題

中的每個問題回答正確得20分，否則得。分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否

則得。分，己知小明能正確回答A類問題的概率為，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為，且能

正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）B類.

【解析】

【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即

可.（2）與（1）類似，找出先回答B(yǎng)類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個期望的大小即可.

【詳解】（1）由題可知，X的所有可能取值為0，20,100.

p(x=0)=1-0.8=0.2；

P（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列為

(2)由(1)知，E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答8問題，記y為小明的累計得分，則y的所有可能取值為0,80,100.

p(y=0)=1-0.6=0.4；

P{Y=80)=0.6(1-0.8)=0.12；

P(X=l(X))=0.8x0.6=0.48.

所以￡(丫)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因為54.4<57.6,所以小明應(yīng)選擇先回答8類問題.

19.記A8C是內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,U已知〃=ac，點。在邊AC上,

BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=h；

(2)若AD=2DC,求cosZABC.

7

【答案】(1)證明見解析；(2)cosZ4BC=—.

12

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有8。=竺，結(jié)合已知即可證結(jié)論.

b

(2)由題設(shè)==—,應(yīng)用余弦定理求cosNAO3、cosNCDB,又

33

么DB=TT-4DB,可得2/+4=W二，結(jié)合已知及余弦定理即可求cosNABC.

CT3

B

【詳解】

sinCc

(1)由題設(shè)，BD='"me,由正弦定理知：，—=一2一即url---------=—

sinZABCsinCsinZABCsinZABCb

BD——,又b2=ac,

b

:?BD=b,得證.

/-AJ1

(2)由題意知：BD=b,AD=—,DC=~,

33

,,4〃2\3b22,2b210b2

b~+----c-----cbH----C2l-----

：.cosZADB=--------—---—,同理cosNCOB=----、一=—^―

2b.2b4/725b2b

2b-———

33---------------------------33

ZADB=7i-ZCDB,

13〃2210"

-o—ca———[],2

-^777—-—-，整理得2a2+c2---->又b，=ac，

4b~2b~3

~T

c2b4業(yè),整理得6/-11/匕2+3/=0,解得衛(wèi)=1或[=?

2aH——

a3/3〃2

a1+c2—b~4a2

由余弦定理知：cosZ4BC=-一~-——=

2ac32b°

當[=J_時，cos/48C=Z>l不合題意；當q=3時，cosZ4BC=—；

h236b-212

7

綜上，cos/4BC=—.

12

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，根據(jù)余弦定理及4LD3=〃-4D3得到。，仇c的數(shù)量關(guān)系,

結(jié)合已知條件及余弦定理求cosNABC.

20.如圖，在三棱錐中，平面A3D_L平面BCO，AB=AD，。為30的中點.

（1）證明：OAVCD-,

（2）若,..OCD是邊長為1的等邊三角形，點￡在棱AO上，DE=2EA，且二面角

E—8。一。的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.

【答案】（1）詳見解析（2）瓜

6

【解析】

【分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得AOL平面BCD,即可證得結(jié)果；

（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根據(jù)體積公式得結(jié)果.

【詳解】（1）因為AB=ADQ為BD中點，所以AOJ_BD

因為平面ABD平面BCD=8D,平面ABD,平面BCD,AOu平面ABD,

因此AO_L平面BCD,

因為COU平面BCD,所以AOCD

（2）作EF_LBD于F,作FM_LBC于M,連EM

因為AOJ_平面BCD,所以AO_LBD,AOJ_CD

所以EF_LBD,EF，CD,B￡>cC￡）=O,因此EFJ_平面BCD,即EF_LBC

因為FM_LBC,FMlEF=F，所以BC_L平面EFM,即BCJ_ME

TC

則ZEMF為二面角E-BC-D的平面角，NEMF=一

4

因為=，OCE>為正三角形，所以?BCD為直角三角形

因為DE=2￡A,FM=-6F"=耳（1+1）=大

,,2

從而EF=FM=—AO=1

3

QAO，平面BCD,

所以V=—AO-S.BCD=—xlx—xlx5/3=

39326

【點睛】二面角的求法：一是定義法，二是三垂線定理法，三是垂面法，四是投影法.

21.在平面直角坐標系xOy中，已知點￡（-J萬,0）、鳥（J萬,0川嗎|一網(wǎng)瑪=2,點加

的軌跡為C.

（1）求。的方程；

（2）設(shè)點T在直線光=，上，過T的兩條直線分別交C于A、B兩點利P,。兩點，且

2

|7X|-|7B|=|7P|-|T2|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

【答案】（1）x2-^-=l（x>l）;（2）0.

161）

【解析】

【分析】（1）利用雙曲線的定義可知軌跡C是以點耳、居為左、右焦點雙曲線的右支，求

出。、匕的值，即可得出軌跡C的方程；

（2）設(shè)點設(shè)直線AB的方程為y—r=設(shè)點A（%,y）、3（毛,%），

聯(lián)立直線A8與曲線。的方程，列出韋達定理，求出|力4|?|竊|的表達式，設(shè)直線PQ的斜

率為&2,同理可得出|74|丁。|的表達式，由|7/?|用=|研-|丁。|化簡可得匕+&2的值.

【詳解】因為阿耳|崢|=2<|耳用=2后,

所以，軌跡C是以點耳、鳥為左、右焦點的雙曲線的右支，

22_________

設(shè)軌跡C的方程為三一齊=1（?！?,。>0）,則2a=2,可得a=l,b=yln-a2=4>

2

所以，軌跡C的方程為一一二=1（x21）；

161）

（2）設(shè)點若過點T的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線。無公共點，

不妨直線A8的方程為=，即y=占，

,1.

y=k,x~\~t—k,

聯(lián)立《12、消去y并整理可得

16X2-/=16

（k；—16）/+&（2/—4）x+（/—萬&）+16=0>

11

設(shè)點4（%，乂）、5（%2，%），則為>?:一且Q>—.

2-2

m+16,

k2-2kt

由韋達定理可得X]+々='1,

.—16%”6―16

所以，

二（百）卷「山+斗d+f；）,

科陽=0+#）.”撲=

\1H1-24J將_16

(r+12)(1+砌

設(shè)直線PQ的斜率為網(wǎng),同理可得|7尸卜|丁。|=

抬—16

(?+12)(1+^)

因為|以卜|用=|7?|17。|,即」+："『')整理可得片=片,

后一16

即色一占)(匕+H)=0,顯然2H0，故(+%2=0.

因此，直線A3與直線P。的斜率之和為0.

【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

22.已知函數(shù)/(x)=x(l—lnx).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(