2021版新高考地區(qū)高考數(shù)學(xué)(人教版)大一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)的單調(diào)性與最值

第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值

?自③知識(shí)，曰領(lǐng)回顧理教打?夯實(shí)必芻知識(shí).

一、知識(shí)梳理

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)兀0的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩

個(gè)自變量的值玉，々

定義

當(dāng)演時(shí)，都有心卩<八%),那么就說(shuō)當(dāng)玉時(shí)，都有心丿牙區(qū))，那么就說(shuō)

函數(shù)7U)在區(qū)間。上是增函數(shù)函數(shù)式X)在區(qū)間。上是減函數(shù)

'丿伊

圖象描述

oR1~*

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=?x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)y=?x)在這一區(qū)間具有

(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間。叫做函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

[注意]有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開(kāi)寫，不能用符號(hào)“U”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)，只

能用“逗號(hào)”或“和”聯(lián)結(jié).

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

(1)對(duì)于任意xe/,都有?三名；(1)對(duì)于任意xe/,都有用吐拉；

條件

(2)存在使得(2)存在使得口)="

結(jié)論M為最大值M為最小值

常用結(jié)論

1.函數(shù)單調(diào)性的兩個(gè)等價(jià)結(jié)論

設(shè)V玉，々￡。。|中々)，則

(]/(xJ78>0(或(/一4)次/)一%,)]>0)旬U)在D上單調(diào)遞增.

X\X2

(2/(\)1/5)<0(或(d-々)[/(%)一大%)]<0)^>)在D上單調(diào)遞減.

X]X2

2.函數(shù)最值存在的兩條結(jié)論

(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定

在端點(diǎn)取到.

(2)開(kāi)區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值.

二、教材衍化

1.函數(shù)＜x)=x2-Zr的單調(diào)遞增區(qū)間是.

答案：[1,+8)(或(1,4-00))

2.若函數(shù)y=(2k+l)x+6在R上是減函數(shù)，則上的取值范圍是.

解析：因?yàn)楹瘮?shù))，=(2A+l)x+b在R上是減函數(shù)，所以2A+1C0,即kV-g.

答案：(-8,一斗

2

3.已知函數(shù)y(x)=v，%e[2,6],則的最大值為,最小值為.

2

解析：可判斷函數(shù)兀l)=E在⑵6]上為減函數(shù)，所以外)max=A2)=2,7U)mm=/(6)

=2

=5,

2

答案：25

:走出誤區(qū)】

一、思考辨析

判斷正誤(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)若定義在R上的函數(shù)/(X),有人一1)?3),則函數(shù)人外在R上為增函數(shù).()

(2)函數(shù))，=/乏)在[1,+8)上是增函數(shù)，則函數(shù)人外的單調(diào)遞增區(qū)間是“，+8).()

(3)函數(shù)y=:的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0)0(0,+8).()

(4)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.()

(5)如果一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)在定義域上是

增函數(shù).()

(6)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點(diǎn)處取到.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)V

二、易錯(cuò)糾偏

常見(jiàn)誤區(qū)I(1)求單調(diào)區(qū)間忘記定義域?qū)е鲁鲥e(cuò)；

(2)混淆“單調(diào)區(qū)間”與“在區(qū)間上單調(diào)”兩個(gè)概念出錯(cuò).

1.已知函數(shù);(X)=#X2-2X-3,則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(—8,I]B.[3,+°0)

C.(-8,-1]D.[1,+oo)

解析：選B.設(shè)r=x2—2x—3,由120,即工2—21一320,解得xW—l或x23.所以函

2

數(shù)的定義域?yàn)椋ㄒ?,—1]U[3,+°°）.因?yàn)楹瘮?shù)f=x2—2x—3的圖象的對(duì)稱軸為x=l,所

以函數(shù)f在（-8,—1]上單調(diào)遞減，在[3,+8）上單調(diào)遞增.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間

為[3,+8）.

2.若函數(shù)/U）=x2—2〃a+1在[2,+8）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

解析：由題意知，[2,+°°）^[m,+8）,

所以〃?W2.

答案：（-8,2]

>素養(yǎng)，磁密提升明考向?直擊考例考法?

考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）（基礎(chǔ)型）

復(fù)習(xí)

屮口|通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義.

指導(dǎo)

核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象

角度一判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

例F（一題多解）試討論函數(shù)兀0=含也#0）在（-1,1）上的單調(diào)性.

【解】法一：設(shè)一

x-1+l

段）=同

、X—1

軻)-曲)=5+與-“(1+負(fù))

a(/一/

由于一1<￥]<%產(chǎn)1,

(x1—1)(x2—1)'

所以Xj—1<0,%2~1<0,

故當(dāng)〃>0時(shí)，大外）一/（九2）>6即兀粒/々），函數(shù)7U）在（一1，1）上單調(diào)遞減;

當(dāng)QV0時(shí)，兀￥1）一於2）<0，即人匹）勺口2%函數(shù)/U）在（一1，1）上單調(diào)遞增.

(or)'(x—1)—or(工一1)

法二：/（%）=

(%—1)2

a(式一1)—ox

(%—1)2(%—1)2

當(dāng)〃>0時(shí)，，（x）v0,函數(shù)/U）在（-1,1）上單調(diào)遞減；

當(dāng)〃v0時(shí)，/（冗）>0,函數(shù)於）在（一1,1）上單調(diào)遞增.

価爲(wèi)的

利用定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

3

［注意］判斷函數(shù)的單調(diào)性還有圖象法、導(dǎo)數(shù)法、性質(zhì)法等.

角度二利用函數(shù)圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例2求函數(shù)/u)=-m+2ki+i的單調(diào)區(qū)間.

【解】於尸

［—X2—2x+lfx<0

一(x—1)2+2,尢20,

一(x+1)2+2,x<0.

畫出函數(shù)圖象如圖所示，可知單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,一1］和(0,1］,單調(diào)遞減區(qū)間為(一

1,0］和(1,+8).

【遷移探究】(變條件)若本例函數(shù)變?yōu)?U)=|—牋+2工+11,如何求解？

解：函數(shù)y=|一4+2%+11的圖象如圖所示.由圖象可知，函數(shù)y=|—x2+2x+II的單調(diào)

遞增區(qū)間為(1一也，1］和(1+也，+8)；單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,和(1,1+6］.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法

定義法一注錄支又繭/串*&竇父采1............I

圖歓法〉一：?jiǎn)握{(diào)區(qū)網(wǎng)必須是函敷定義城的子集；二是圖象i

:不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開(kāi)寫,用“和”或

:聯(lián)結(jié)，不能用“U”聯(lián)結(jié):

導(dǎo)數(shù)法一汨.用再爲(wèi)金瓦馮定7'i'4鹿.函'?而&前百荷；

［注意］(1)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，但在整個(gè)定義域上不一定是單調(diào)函數(shù)，如函

4

數(shù)>=:在(-8,0)和(0,+8)上都是減函數(shù)，但在定義域上不具有單調(diào)性.

(2)”函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個(gè)不同的概念，顯然N2

M.

考法全練

1.函數(shù)y=bd(l—x)在區(qū)間4上是增函數(shù)，那么區(qū)間4可能是()

A.(一8,0)B.0,g

C.[0,+8)D.(J,+8)

解析：選B.y=Lxi(l—x)=

(x(1—x),x20—x2+xfx20

l~X(1—X),X<0X2—x,x<0

y*

畫出函數(shù)的草圖，如圖.

由圖易知原函數(shù)在0,1上單調(diào)遞增.

2.下列函數(shù)中，滿足“VX1,X2G(0,+8)且(王一々>[/(/)一兀引]<0"的是()

A.j{x}=2xB.?r)=lx—II

C.fix)=~xD.f(x)=\n(x+\)

解析：選C.由(1一々卜伏篙)一*々)^?？芍?，/U)在(°，+8)上是減函數(shù)，A、D選項(xiàng)

中，/U)為增函數(shù)；B中，犬犬)=|%—1|在(0，+8)上不單調(diào)，對(duì)于於)=；—X,因?yàn)?,=:與y

=-x在(0,+8)上單調(diào)遞減，因此兀r)在(0,+8)上是減函數(shù).

3.判斷函數(shù)>=生合的單調(diào)性.

2x2—33

解：因?yàn)樨?=--—=2%一:，且函數(shù)的定義域?yàn)?一8,0)U(0,+°°),而函數(shù)y=2x

33

和,，=一；在區(qū)間(一8,0)上均為增函數(shù)，根據(jù)單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得以)=21一"在區(qū)

間(一8,0)上為增函數(shù).

3

同理，可得/U)=2x一二在區(qū)間(0,+8)上也是增函數(shù).

5

故函數(shù)y（x）=—:—在區(qū)間（一8,0）和（0,+8）上均為增函數(shù).

考點(diǎn)二函數(shù)的最值（值域）（基礎(chǔ)型）

+匕口I理解函數(shù)的最大（?。┲?，并能利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.

指導(dǎo)

核心素養(yǎng)：邏輯推理

湖13〕（1）（一題多解）函數(shù)丫=%+，不刁的最小值為.

2r+〃，xWO,

（2）（2020?福建漳州質(zhì)檢）已知函數(shù)兀v）={4有最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

x+一，x>0

Ix

是.

【解析】（1）法一（換元法）：令且120,則4=厶+1,

所以原函數(shù)變?yōu)閥=Z2+l+r,120.

配方得■〉=1+'~+*

13

又因?yàn)?20,所以丁2彳+4=1，

故函數(shù)y=x+］尢-1的最小值為1.

法二：因?yàn)楹瘮?shù)y=x和y=1x—1在定義域內(nèi)均為增函數(shù),故函數(shù)yf+5一1在［1,

+8）內(nèi)為增函數(shù)，所以為巾=1.

（2）（基本不等式法）由題意知，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)/U）=x+f22'/xq=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2

時(shí)取等號(hào)；當(dāng)x<0時(shí)，40=2r+a￡（a,1+a］,因此要使人犬）有最小值，則必須有〃24.

【答案】（1）1（2）［4,+oo）

施］窟窗

求函數(shù)最值的五種常用方法

單調(diào)性法一：,先確定函數(shù)的単洞性，再由單調(diào)性求最值

:先作出曲敎的圖象，再觀察其戢高點(diǎn)、最低

出求出最值

先対解析式變形，使之具備“一正二定三

相等”的條件后用金本不等式求出是債

?先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最

:后結(jié)合堵點(diǎn)值,求出最值

；對(duì)比較復(fù)雜的曲融可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉

:的函敷，再用相應(yīng)的方法求及值

考法全練

1.函數(shù)加）=『y在區(qū)間［〃，切上的最大值是1,最小值是:，則。+6=

解析：易知/（x）在［。，上為減函數(shù),

6

(ci=2?

所以《所以。+力=6.

[b=4.

答案：6

a,aWb,

2.(一題多解)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,定義min{a,b}={設(shè)函數(shù)式x)=—x+3,

b,a>b.

g(x)=log2x,則函數(shù)/?(x)=min伏x),g(x)}的最大值是.

解析：法一：在同一直角坐標(biāo)系中，

作出函數(shù);(x),g(x)的圖象，

依題意，Mx)的圖象如圖所示.

易知點(diǎn)A(2,1)為圖象的最高點(diǎn),

因此力(x)的最大值為A(2)=l.

log/,0VxW2,

法二：依題意，h(x)=<

—x+3,x>2.

當(dāng)0cxW2時(shí)，/?(x)=log7x是增函數(shù)，

當(dāng)x>2時(shí)，/?(x)=3—x是減函數(shù)，

所以/i(x)在x=2處取得最大值/?(2)=1.

答案：1

考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(綜合型)

復(fù)習(xí)?二亠

亠「I利用函數(shù)單調(diào)性求解，要明確函數(shù)的所給區(qū)間，不同區(qū)間有不同的單調(diào)性.

指導(dǎo)

角度一比較兩個(gè)函數(shù)值

例4.已知函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，當(dāng)才2>%>1時(shí)，[/(x2))](X2—x,)<0

恒成立，設(shè)a=(一鄉(xiāng)，6=犬2),c=/(e),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

【解析】因?yàn)殪?的圖象關(guān)于直線戈=1對(duì)稱.由此可得(一?當(dāng)天2>%>1時(shí)，

欣々)—A/)】(九2_/)<0恒成立，

知“X)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

7

因?yàn)閘<2<|<e,所以/（2）??次6）,

所以b>a>c.

【答案】D

価同成

比較函數(shù)值大小的思路：比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，

要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較，對(duì)于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的

盡量用圖象法求解.

角度二解函數(shù)不等式

蒯5；已知函數(shù)於）=—xlxl,x￡（—1,1）,則不等式/（I一相）勺5?2—1）的解集為.

［x2,—1<XW0,

【解析】由已知得加）=八

LX2,O<X<1,

則一）在（一1,1）上單調(diào)遞減，

—Ivl-〃?vl,

所以］解得00n<1,

1機(jī)2-1<1—m,

所以所求解集為（0,1）.

【答案】（0,1）

圓窟圖

在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)

化為具體的不等式求解，此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.

角度三求參數(shù)的值或取值范圍

例（1）（2020?南京調(diào)研）已知函數(shù)y（x）=x—在（1，+8）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是.

—V"）"Kz|>

''若函數(shù)y=/U）在區(qū)間伍，〃+1）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃

log2x,x>4.

的取值范圍是.

【解析】⑴設(shè)I。：］』，所以玉

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）在（1,+8）上是增函數(shù)，

所以婀）一曲）=/_/+尹（々技+亠（/一々）（1+京）<0.

因?yàn)閤—%2<0,所以1+丄>0,即a>-x}x2.

X\X2

因?yàn)椴徽?gt;匕所以一外々<一L所以。2—L

所以4的取值范圍是［―1,+°°）.

8

(2)作出函數(shù)式x)的圖象如圖所示，由圖象可知/(x)在(a,a+1)上單調(diào)遞增，需滿足aN4

或a+lW2,即aWl或a24.

【答案】(1)［-L+8)

(2)(—8,1］U［4,+°°)

血開(kāi)窗

利用單調(diào)性求參數(shù)的策略

(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單

調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；

(2)若函數(shù)在區(qū)間［a,加上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.

考法全練

1.已知函數(shù)/(x)是定義在區(qū)間［0,+8)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足沢然

一i)g(§的x的取值范圍是()

解析：選D.因?yàn)楹瘮?shù)貝x)是定義在區(qū)間［0,+8)上的增函數(shù)，滿足貝2A—1)勺Q)所以

112

0W2x—解得故選D.

2.函數(shù)y=%)在［0,2］上單調(diào)遞增，且函數(shù)/U)的圖象關(guān)于直線冗=2對(duì)稱，則下列結(jié)

論成立的是()

A.AD<^@</@

B.獄/0)龍

c題噂如)

D.姆府列)

解析：選B.因?yàn)?(X)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以/(x)=/(4—x),所以處

/I)=C?又0<!<1<1<2,

9

y（x）在［o,2］上單調(diào)遞增，所以?shī)厣譛）勺?，即啟）勺“）/（）.

3.若函數(shù)/W=l2x+H的單調(diào)增區(qū)間是［3,+8）,則。的值為.

解析：由圖象（圖略）易知函數(shù)/）=l2x+al的單調(diào)增區(qū)間是［一會(huì)+8）,令一戶3,得

a=—6.

答案：一6

》◎磅演練，g）便突破練好題?突破咅分瓶頸.

［基礎(chǔ)題組練］

1.下列四個(gè)函數(shù)中，在xe（o,+8）上為增函數(shù)的是（）

A.J[x)=3—xB.f^x)=x2—3x

C.兀》0=一干D./)=一Lrl

解析：選C.當(dāng)A＞0時(shí)，段）=3—x為減函數(shù);

當(dāng)xC（0,5時(shí)

，危）=X2—3x為減函數(shù),

當(dāng)工￡伎，+8）時(shí)，於）=X2—3x為增函數(shù);

當(dāng)xd（0,+8）時(shí)，犬》）=一+■為增函數(shù);

當(dāng)x￡（o,+8）時(shí)，犬x）=-kl為減函數(shù).

2.函數(shù)?x）=-x+：在［-2,—|上的最大值是（）

C.-2D.2

解析:選A.函數(shù)八#=一犬+：的導(dǎo)數(shù)為廣（尢）=—1—&則/（/）＜0,可得於）在［—2,—1

13

上單調(diào)遞減，即/（—2）為最大值，且為2—

3.己知函數(shù)於）為R上的減函數(shù)，則滿足［|m）＜?八1）的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）

A.（一1,1）

C.（-1,0）U（0,1）+0°)

W<1,

解析：選C.由7U）為R上的減函數(shù)且即所以一1

#0.

VxVO或OVxVl.故選C.

4.（多選）（2021?預(yù)測(cè)）已知/U）是定義在［0,+8）上的函數(shù)，根據(jù)下列條件，可以斷定段）

10

是增函數(shù)的是()

A.對(duì)任意x20,都有於+1)」外

B.對(duì)任意外，修￡[0,+°°),且玉2々，都有加])河>2)

+°0),

C.對(duì)任意外，x2e[0,且玉一々<0，都有段|)一/2)<0

D.對(duì)任意玉，々￡[0,+°0),且々工々，都好5)―/5)>o

12/一々

解析：選CD.根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于選項(xiàng)A,對(duì)任意龍20,都有人x+l)?(x),

不滿足函數(shù)單調(diào)性的定義，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)式x)為常數(shù)函數(shù)時(shí)，對(duì)任意演，x2

G[0,+8),都有1巧)=/(々)，不是增函數(shù)，不符合題意：對(duì)于選項(xiàng)C,對(duì)任意為，X2E[0,

+°°),且玉一才2<0,都有/(X])—貝*2)<0,符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D,對(duì)任意X],x,W[0,+°°),

設(shè)%才2，/('[>0’必有共匹)一穴々)>0,則函數(shù)在[0,+8)上為增函數(shù)，符合

題意.

5.(創(chuàng)新型淀義新運(yùn)算十：當(dāng)a'b時(shí)，a?h=a；當(dāng)a<匕時(shí)，a?h=hi,則函數(shù)頁(yè)x)=

(l?x)x-(2?x),xef-2,2]的最大值等于()

A.-1B.1

C.6D.12

解析：選C.由題意知當(dāng)一2WxWl時(shí)，/(x)=x-2,當(dāng)loW2時(shí)，?r)=x3—2,又於:)

=X—2,y(x)=x3—2在相應(yīng)的定義域內(nèi)都為增函數(shù)，且7(1)=-1,貝2)=6,所以y(x)的最大

值為6.

6.函數(shù)兀r)=lr-2lx的單調(diào)減區(qū)間是.

jv，2JVx2

解析：由于於)=■—2改=、結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是[1,2].

—X2+2X,X<2.

答案：[1,2]

7.函數(shù)y=2+>J—X2+。的最大值是,單調(diào)遞增區(qū)間是.

解析：函數(shù)y=2+{-%2+4X=2+、一(x—2)2+4,可得當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y取得最

大值2+2=4;由4元一齡20,可得0WxW4,令1=一12+4心則[在[0,2]上為增函數(shù)，y

—2+3在[0，+8)上為增函數(shù)，可得函數(shù)y=2+,—%2+4X的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,2].

答案：4[0,2]

8.已知函數(shù)/U)是R上的增函數(shù)，4(0,-3),8(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn)，那么不等式

—3</(x+1)<1的解集為.

解析：由函數(shù)?r)是R上的增函數(shù)，A(0,-3),3(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn)，知不等式

-3</(x+l)<I,即為犬0)勺(x+l)J3),所以0<r+l<3,所以一I<xv2.

答案：(-1,2)

11

9.已知函數(shù)J（x）=5-；（a>0,x>0）.

⑴求證:《X）在（0,+8）上是增函數(shù)；

（2）若於）在；，2上的值域是2,求a的值.

解：⑴證明：任取X]X）>0,

則八匹）一犬々）=:_"_1+上

X—r

=n-----2,因?yàn)閄]>x,>0,

X產(chǎn)2'2

所以X]一入2>0,X]X>>0，

所以犬人）一加2）>0，

即加1）次引，

所以y（x）在（0,+8）上是增函數(shù).

（2）由（1）可知，ZU）在2上為增函數(shù)，

所以4）=5-2=/

Q）=H=2,

2

解得〃=亍

Y

10.己知/（x）=工二（xWa）.

（1）若。=一2,試證明在（一8,—2）上單調(diào)遞增；

（2）若。>0且兀0在（1,+8）上單調(diào)遞減，求。的取值范圍.

解：⑴證明:設(shè)刀尸，〈一2,

則犬?。┮蝗?金一壺

2（占一占）

（4+2）（招+2）.

因?yàn)椋ó?dāng)+2）（々+2）>0,X]—x2<0,

所以犬王）?々），

所以/U）在（―8,—2）上單調(diào)遞增.

⑵設(shè)

則犬眞）—犬々）=出一七

a（工廠再）

（七一。）（々一〃）?

12

因?yàn)椤?gt;0,/>0,

所以要使/U]）—zuj>o,

只需（七—a）區(qū)一〃）>0恒成立，

所以aWL

綜上所述，〃的取值范圍為（0,1].

[綜合題組練]

[3（a—3）x+2f

1.已知函數(shù)40=_4〃-inxx>\對(duì)任意的玉W々都有。[一々）伏>2）一%i）]>°

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（—8,3]B.（—8,3）

C.（3,+8）D.[1,3）

解析：選D.由（X[—々）伏>2）—得（七一X2>[/U1）—/（X2）k°，

所以函數(shù);U）在R上單調(diào)遞減，

。一3v0,

所以《，、

3Q—3）+22—4a,

解得1W〃V3.故選D.

2.（多選）若函數(shù)兀0滿足條件：

①對(duì)于定義域內(nèi)任意不相等的實(shí)數(shù)a,b恒幫"）―[上）>o；

a-b

②對(duì)于定義域內(nèi)任意X,,X2都有心先），為）”5）成立.

則稱其為G函數(shù).下列函數(shù)為G函數(shù)的是（）

A.fix）=3x+\

B.fix）=-2x-l

C./U）=x2-2x+3

D.f[x）=-x2+4x—3,x￡（—8，1）

解析：選AD.①對(duì)于定義域內(nèi)任意不相等的實(shí)數(shù)a,b恒有~｛（/?）->0,則函數(shù)

a—b

兀0在定義域?yàn)樵龊瘮?shù)；②對(duì)于定義域內(nèi)任意演，馬都有a丿成立，

則函數(shù)於）為“凸函數(shù)”.

其中A.yu）=3x+1在R上為增函數(shù)，且戶要）=/您）9-,故滿足條件①②；

B.危）=一2元-1在R上為減函數(shù)，不滿足條件①；

C.犬戈）=12—2%+3在（-8,1）上為減函數(shù)，在（1,+8）為增函數(shù)，不滿足條件①；

D.?r）=—x2+4x—3的對(duì)稱軸為x=2,故函數(shù)/（x）=—足+4工一3在（一8，1）上為增函

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數(shù)，且為“凸函數(shù)”，故滿足條件①②.

綜上，為G函數(shù)的是AD.

(%—a)2,xWO,

3.設(shè)沢x)={,1,若共0)是沢x)的最小值，則a的取值范圍為.

xH----\-a,x>0.

Ix

解析：因?yàn)楫?dāng)xWO時(shí)，j{x)=(x-d)2,10)是/(x)的最小值，所以a20.當(dāng)x>0時(shí)，兀0

=x+；+a22+a,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取“=”.要滿足犬0)是於)的最小值，需2+。電0)

="2,即”2—a—2W0,解得一1W“W2,

所以a的取值范圍是0<aW2.

答案：［0,2］

f(x)