山西省朔州市懷仁市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

懷仁市2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高二第二次教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試題數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色里水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答親答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本試卷主要命題范圍：選擇性必修第一冊(cè)全冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章.一.單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線的方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則與的位置關(guān)系是（）A.⊥ B.C.與相交但不垂直 D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，所以，進(jìn)而可以得到與的關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?，所以?故選：D.2.已知雙曲線的離心率，則曲線的漸近線的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用離心率找到基本量的關(guān)系，得到漸近線方程即可.【詳解】易知，又，故，解得，顯然漸近線方程為.故選：B3.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，若點(diǎn)A為拋物線任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)A在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義把問題轉(zhuǎn)化為求取得最小值，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)A在準(zhǔn)線上的射影為D，如圖，則根據(jù)拋物線的定義可知，求的最小值，即求的最小值，顯然當(dāng)D，B，A三點(diǎn)共線時(shí)最小，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，代入拋物線方程可知.故選：B.4.已知點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，點(diǎn)S在x軸上，則的最小值為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】本題目是數(shù)形結(jié)合的題目，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的原則，可以將轉(zhuǎn)換為，連接，找到點(diǎn)的位置，從而求出線段和的最小值【詳解】將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，如下圖所示：作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與圓相交于點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)，此時(shí)，的值最小，且，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得：點(diǎn)坐標(biāo)為，半徑，所以，，所以最小值為9故選：C5.如圖，在正方體中，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則平面與底面所成角的余弦值的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面EFB的法向量，由向量的夾角公式求解二面角的余弦值的取值范圍，由此判斷求解即可．【詳解】設(shè)平面與底面所成的二面角的平面角為θ，由圖可得θ不為鈍角.以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，又底面的一個(gè)法向量為，所以，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，則，，則，則當(dāng)時(shí)，分母取到最小值，此時(shí)，當(dāng)，時(shí)，則，此時(shí)，綜上，故選：A.6.直線與曲線有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)曲線的方程確定為以為圓心，2為半徑的下半圓，進(jìn)一步利用經(jīng)過定點(diǎn)的直線系和曲線的交點(diǎn)確定直線的斜率，最后確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．【詳解】,所以直線恒過定點(diǎn)，且斜率為；曲線，整理得，故該曲線是以為圓心，2為半徑的下半圓，如圖所示，令，代入，整理得，解得或；故，，所以直線與曲線有交點(diǎn)，只需或即可，故選：B.7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且、、三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)），則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三點(diǎn)共線結(jié)合共線向量的基本定理可求出的值，再利用等差數(shù)列的求和公式以及等差數(shù)列的基本性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)），設(shè)，即，可得，又因?yàn)?，則，，所以，，因?yàn)榈炔顢?shù)列前項(xiàng)和為，則.故選：C.8.點(diǎn)、為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，、為橢圓短軸的端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，若曲線上兩點(diǎn)、滿足面積的最大值為8，面積的最小值為1，則橢圓的離心率為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,再分析與面積的表達(dá)式求解的關(guān)系進(jìn)而求得離心率即可.【詳解】由題可設(shè),則因?yàn)?故.化簡(jiǎn)得：.故當(dāng)時(shí)面積最大,面積的最小.故.故橢圓的離心率.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的軌跡方程的求解以及離心率的求解問題,需要根據(jù)題意列出滿足的條件,再化簡(jiǎn)求得方程,屬于中等題型.二.多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列命題中正確的是（）A.已知是兩個(gè)互相垂直的單位向量，，且，則實(shí)數(shù)B.已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，則C.已知，則向量在上的投影向量的模是D.已知.為空間向量的一個(gè)基底，則向量不可能共面【答案】ABC【解析】【分析】A中，根據(jù)平面向量的數(shù)量積列方程求出k的值；B中，根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算空間向量的數(shù)量積即可；C中，根據(jù)投影向量的定義計(jì)算模長(zhǎng)即可；D中，假設(shè)向量共面，由此列方程組求解即可．【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，且是兩個(gè)互相垂直的單位向量，所以，，故A正確；對(duì)于B：如圖，正四面體對(duì)棱互相垂直，所以，，故B正確；對(duì)于C：，向量在上的投影向量的模長(zhǎng)，故C正確；對(duì)于D：假設(shè)向量共面，則存在實(shí)數(shù)使，所以，所以，所以，故向量共面，D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.圓和圓的交點(diǎn)為，，則有（）A.公共弦所在直線方程為B.線段中垂線方程為C.公共弦的長(zhǎng)為D.為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則到直線距離的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】?jī)蓤A方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A；求出垂直平分線的方程判斷B；利用垂徑定理計(jì)算弦長(zhǎng)判斷C；求出圓到直線的距離的最大值判斷D．【詳解】圓的圓心，半徑，圓心，半徑，顯然，即圓與圓相交，對(duì)于A，將方程與相減，得公共弦AB所在直線的方程為，即，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，直線的斜率，則線段AB中垂線的斜率為，而線段中垂線過點(diǎn)，于是線段AB中垂線方程為，即，B正確；對(duì)于C，點(diǎn)到直線的距離為，因此，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心到直線距離為，因此點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為，D正確．故選：ABD11.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.使得成立的最大的值為4045C. D.當(dāng)時(shí)，取得最小值【答案】ACD【解析】【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)結(jié)合已知可得，，，結(jié)合表達(dá)式性質(zhì)，由此即可判斷AC；結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系即可判斷B；結(jié)合等差數(shù)列項(xiàng)的符號(hào)即可判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，A正確；同理，，，則，所以，即，所以，C正確；因?yàn)?，所以，故使得成立的最大的值?044，B錯(cuò)誤；又，故當(dāng)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，故，而，故，故當(dāng)時(shí)取得最小值，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問題的關(guān)鍵是要靈活應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式、以及數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消法.12.已知為橢圓右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，則（）A.的最小值為B.周長(zhǎng)的最小值為16C.的最大值為9D.直線與的斜率之積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的定義和橢圓的幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由橢圓的方程，可得，則，對(duì)于A中，因?yàn)榻?jīng)過橢圓的交點(diǎn)，由橢圓的性質(zhì)，可得通徑最短，其中通徑長(zhǎng)為，所以的最小值為，所以A正確；對(duì)于B中，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，可得，由橢圓的定義可得，又由過原點(diǎn)的直線交得橢圓的弦長(zhǎng)中，短軸長(zhǎng)最短，其中短軸長(zhǎng)為，所以周長(zhǎng)的最小值為，所以B正確；設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，由橢圓根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可得，此時(shí)直線的斜率為，因?yàn)橹本€斜率不為，所以，所以C不正確；設(shè)，則，則在的斜率都存時(shí)，可得，則，所以D正確.故選：ABD.三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓，，過點(diǎn)向圓引兩條切線、，、為切點(diǎn)，則______.【答案】【解析】【分析】由圓的幾何性質(zhì)可知，，利用勾股定理可求得的值.【詳解】圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為，由已知可得，由圓的幾何性質(zhì)可得，由勾股定理可得.故答案為：.14.在如圖所示的平行六面體中，已知，，，N為上一點(diǎn)，且.若，則的值為______.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，，，以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，根據(jù)，可得，將分別用表示，再根據(jù)數(shù)量積得運(yùn)算律即可得解.【詳解】設(shè)，，，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底，設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，即，即，解?故答案為：.15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則______【答案】【解析】【分析】在時(shí)，利用得出數(shù)列的遞推關(guān)系式，這樣我們?cè)谇髷?shù)列和時(shí)只要從第一項(xiàng)開始兩項(xiàng)并一組，變可以求得偶數(shù)項(xiàng)和．而題中求正好可求；【詳解】解：當(dāng)時(shí)有得，當(dāng)時(shí)，①，又②，②－①得整理得；于是得，得，得，…，，，；所以．故答案為：．16.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，直線與雙曲線在第一、三象限分別交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).有下列結(jié)論：①四邊形是平行四邊形；②若軸，垂足為，則直線的斜率為；③若，則四邊形的面積為；④若△為正三角形，則雙曲線的離心率為.其中正確命題的序號(hào)是_________.【答案】①②④【解析】【分析】對(duì)于①，利用雙曲線的性質(zhì)判斷四邊形的形狀，對(duì)于②，利用斜率公式判斷，對(duì)于③，由題意可判斷四邊形為矩形，從而可求出其面積，對(duì)于④，由△為正三角形，可表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入雙曲線方程化簡(jiǎn)可求出離心率.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)殡p曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，直線與雙曲線在第一、三象限分別交于點(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以①正確；對(duì)于②，設(shè)，則,因?yàn)檩S，垂足為，所以,所以，，所以②正確；對(duì)于③，因?yàn)?，所以，所以△是直角三角形，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，因?yàn)椋?，所以，所以四邊形的面積為，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)椤鳛檎切危?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，化簡(jiǎn)得，所以，，所以，所以，所以，所以④正確，故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：考查雙曲線的定義和幾何性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)和題意找出等量關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計(jì)算能力，屬于較難題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線與直線交于點(diǎn).（1）直線經(jīng)過點(diǎn)，且平行于直線，求直線的方程；（2）直線經(jīng)過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，求直線的方程.（注：結(jié)果都寫成直線方程的一般式）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）聯(lián)立兩直線方程求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，求出的值，即可得解；（2）依題意設(shè)或，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，求出、的值，即可得解；【小問1詳解】解：由聯(lián)立得，，設(shè)，將代入得，解得，為.【小問2詳解】解：由題意直線的斜率存在且不為，設(shè)或，將代入得或解得無解或，所以，即，為.18.已知數(shù)列滿足a1＝3，a2＝5，且，n∈N*．（1）設(shè)bn＝an＋1－an，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{an}滿足（n∈N*），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）構(gòu)造證明即可；（2）根據(jù)是等比數(shù)列，利用累加法與等比數(shù)列的求和公式可得，再根據(jù)的最大值分析即可【小問1詳解】因?yàn)?，所以．即，又因?yàn)?，所以，則，所以，數(shù)列是等比數(shù)列【小問2詳解】由（1）數(shù)列是首項(xiàng)為2公比為的等比數(shù)列，則．所以，則．經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)也符合，則．又因?yàn)?，所以?9.如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面二面角的大小為，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析；（2）2【解析】【分析】（1）連接，取的中點(diǎn)，連接可證平面故而論成立；（2）設(shè)建立坐標(biāo)系，利用向量求出到平面的距離，解方程得出的值，得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，取的中點(diǎn)，連接分別是的中點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，又平面，分別是的中點(diǎn)，又平面平面，平面（2）解：平面平面又平面為二面角的平面角，即以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間坐標(biāo)系如圖所示：設(shè)則，，．設(shè)平面的法向量為，則，，令可得，到平面的距離，解得．，線段上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)A到平面EFM的距離為．且．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．20.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)n，有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求出的通項(xiàng)公式；（2）求出，利用錯(cuò)位相減法求和.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，故，①，當(dāng)時(shí)，②，兩式相減得，故，又當(dāng)時(shí)，，滿足要求，綜上，；【小問2詳解】，，，兩式相減得，，故21.直三棱柱中，，，分別是、的中點(diǎn)，，為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，說明點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見詳解；（2）為的中點(diǎn)，理由見詳解.【解析】【詳解】試題分析：對(duì)于問題（1）可以先證明兩兩垂直，然后再建立空間直角坐標(biāo)系用向量法進(jìn)行證明；對(duì)于問題（2）可在（1）中建立的坐標(biāo)系下，分別求出平面與平面的法向量，再根據(jù)二面角的余弦公式，即可確定是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為.試題解析：（1）證明：因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋悦?，又因?yàn)槊?，所以，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有設(shè)且，即，則，所以，因?yàn)?，所以，所以?）結(jié)論：存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為理由如下：由題可知面的法向量設(shè)面的法向量為，則因?yàn)椋?，即，令，則因?yàn)槠矫媾c平面所成銳二面角的余弦值為，所以，即，解得或（舍），所以當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)滿足要求考點(diǎn)：1、線線垂直，線面垂直；2、二面角.22.已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且焦距為，動(dòng)弦平行于軸，且.直線，設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；