核心考點(diǎn)02三角函數(shù)（解析版）

核心考點(diǎn)02三角函數(shù)目錄考點(diǎn)一：正弦函數(shù)的圖象考點(diǎn)二：正弦函數(shù)的定義域和值域考點(diǎn)三：正弦函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)四：正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性考點(diǎn)五：余弦函數(shù)的圖象考點(diǎn)六;余弦函數(shù)的定義域和值域考點(diǎn)七：余弦函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)八：余弦函數(shù)的對稱性考點(diǎn)九：正切函數(shù)的圖象考點(diǎn)十：正切函數(shù)的定義域和值域考點(diǎn)十一：正切函數(shù)的單調(diào)性和周期性考點(diǎn)十二：正切函數(shù)的奇偶性與對稱性考點(diǎn)十三：五點(diǎn)法函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象考點(diǎn)十四：函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換考點(diǎn)十五：由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一．正弦函數(shù)的圖象【知識點(diǎn)的知識】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）遞增區(qū)間：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）遞增區(qū)間：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ+，k∈Z對稱中心：（kπ+，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ，k∈Z對稱中心：（，0）（k∈Z）無對稱軸周期2π2ππ二．正弦函數(shù)的定義域和值域三角函數(shù)的定義域和值域的規(guī)律方法1．求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．2．求解三角函數(shù)的值域（最值）的常見類型及方法．（1）形如y＝asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；（2）形如y＝asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域（最值）；（3）形如y＝asinxcosx+b（sinx±cosx）+c的三角函數(shù)，可設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解．三．正弦函數(shù)的單調(diào)性【知識點(diǎn)的知識】三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．四．正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性【正弦函數(shù)的對稱性】正弦函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，既然是奇函數(shù)，那么其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函數(shù)具有周期性，其對稱軸為x＝kπ+，k∈z．五．余弦函數(shù)的圖象【知識點(diǎn)的知識】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（k∈Z）；遞減區(qū)間：（k∈Z）遞增區(qū)間：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；遞減區(qū)間：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）遞增區(qū)間：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ+，k∈Z對稱中心：（k∈Z）對稱軸：x＝kπ，k∈Z對稱中心：（k∈Z）無對稱軸周期2π2ππ六．余弦函數(shù)的定義域和值域三角函數(shù)的定義域和值域的規(guī)律方法1．求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．2．求解三角函數(shù)的值域（最值）的常見類型及方法．（1）形如y＝asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；（2）形如y＝asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域（最值）；（3）形如y＝asinxcosx+b（sinx±cosx）+c的三角函數(shù)，可設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解．七．余弦函數(shù)的單調(diào)性三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．八．余弦函數(shù)的對稱性【余弦函數(shù)的對稱性】余弦函數(shù)y＝cosx是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，也是周期函數(shù)，其對稱軸為x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函數(shù)在對稱軸上的值為最值，也可以看做是y軸平移kπ個單位后依然還是對稱軸．九．正切函數(shù)的圖象【知識點(diǎn)的知識】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；遞減區(qū)間：[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）遞增區(qū)間：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；遞減區(qū)間：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）遞增區(qū)間：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ+，k∈Z對稱中心：（kπ+，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ，k∈Z對稱中心：（，0）（k∈Z）無對稱軸周期2π2ππ十．正切函數(shù)的定義域和值域【知識點(diǎn)的知識】三角函數(shù)的定義域和值域的規(guī)律方法1．求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．2．求解三角函數(shù)的值域（最值）的常見類型及方法．（1）形如y＝asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；（2）形如y＝asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域（最值）；（3）形如y＝asinxcosx+b（sinx±cosx）+c的三角函數(shù)，可設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解．【正切函數(shù)的值域】正切函數(shù)的值域可以從他的表達(dá)式來求，是正弦函數(shù)也余弦函數(shù)的比值，所以它的值域?yàn)镽．十一．正切函數(shù)的單調(diào)性和周期性【知識點(diǎn)的知識】三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．【正切函數(shù)的周期性】正切函數(shù)y＝tanx的最小正周期為π，即tan（kπ+x）＝tanx．十二．正切函數(shù)的奇偶性與對稱性【知識點(diǎn)的知識】三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性1．判斷三角函數(shù)的奇偶性和周期性時，一般先將三角函數(shù)式化為一個角的一種三角函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念、三角函數(shù)奇偶性規(guī)律、三角函數(shù)的周期公式求解．2．求三角函數(shù)的周期主要有三種方法：（1）周期定義；（2）利用正（余）弦型函數(shù)周期公式；（3）借助函數(shù)的圖象．十三．五點(diǎn)法作函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象【知識點(diǎn)的知識】1．五點(diǎn)法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的簡圖找五個關(guān)鍵點(diǎn)，分別為使y取得最小值、最大值的點(diǎn)和曲線與x軸的交點(diǎn)．其步驟為：（1）先確定周期T＝，在一個周期內(nèi)作出圖象；（2）令X＝ωx+φ，令X分別取0，，π，，2π，求出對應(yīng)的x值，列表如下：x﹣﹣+﹣ωx+φ0π2πy＝Asin（ωx+φ）0A0﹣A0由此可得五個關(guān)鍵點(diǎn)；（3）描點(diǎn)畫圖，再利用函數(shù)的周期性把所得簡圖向左右分別擴(kuò)展，從而得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的簡圖．2．振幅、周期、相位、初相當(dāng)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一個振動量時，則A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做頻率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相．函數(shù)y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期為，y＝Atan（ωx+φ）的最小正周期為．【解題方法點(diǎn)撥】1．一個技巧列表技巧：表中“五點(diǎn)”中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為，利用這一結(jié)論可以較快地寫出“五點(diǎn)”的坐標(biāo)．2．兩個區(qū)別（1）振幅A與函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．（2）由y＝sinx變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由y＝sinx的圖象變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值．3．三點(diǎn)提醒（1）要弄清楚是平移哪個函數(shù)的圖象，得到哪個函數(shù)的圖象；（2）要注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；（3）由y＝Asinωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象時，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是|φ|．十四．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換【知識點(diǎn)的知識】函數(shù)y＝sinx的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的步驟兩種變換的差異先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個單位．原因是相位變換和周期變換都是針對x而言的．【解題方法點(diǎn)撥】1．一個技巧列表技巧：表中“五點(diǎn)”中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為，利用這一結(jié)論可以較快地寫出“五點(diǎn)”的坐標(biāo)．2．兩個區(qū)別（1）振幅A與函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．（2）由y＝sinx變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由y＝sinx的圖象變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值．3．三點(diǎn)提醒（1）要弄清楚是平移哪個函數(shù)的圖象，得到哪個函數(shù)的圖象；（2）要注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；（3）由y＝Asinωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象時，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是|φ|．十五．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式【知識點(diǎn)的知識】根據(jù)圖象確定解析式的方法：在由圖象求三角函數(shù)解析式時，若最大值為M，最小值為m，則A＝，k＝，ω由周期T確定，即由＝T求出，φ由特殊點(diǎn)確定．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．正弦函數(shù)的圖象（共4小題）1．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）設(shè)函數(shù)f（x）＝sinx，x∈[a，b]，值域?yàn)?，則以下結(jié)論錯誤的是（）A．b﹣a的最小值為 B．a(chǎn)不可能等于，k∈Z C．b﹣a的最大值為 D．b不可能等于，k∈Z【分析】對a，b進(jìn)行賦值，進(jìn)行排除．【解答】解：若a＝，b＝，k∈Z，則b﹣a取最小值為，A對，若a＝，b＝，k∈Z，則b﹣a取最大值為，C對，若a＝，k∈Z，則sina＝﹣，若存在x∈[a，b]，使f（x）＝﹣1，則存在x∈[a，b]，使f（x）＝1，與值域矛盾，則a不可能等于，k∈Z，B對，若a＝，b＝，則值域?yàn)?，則D錯，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的圖像進(jìn)行求值，屬于基礎(chǔ)題．2．（2022春?黃浦區(qū)校級期中）函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸間的距離為．【分析】直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)＝﹣2sin（3x﹣），故T＝，所以函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸間的距離為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022春?嘉定區(qū)校級期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（，6]．【分析】由題意利用正弦函數(shù)的圖象特征，可得關(guān)于ω的不等式，即可求得實(shí)數(shù)ω的取值范圍．【解答】解：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點(diǎn)，即sin（ωx+）＝﹣在區(qū)間上有且僅有兩個根．在區(qū)間上，ωx+∈（，+），∴+∈（，2π+]，求得＜ω≤6，即ω的取值范圍是（，6]．故答案為：（，6]．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．4．（2022春?長寧區(qū)校級期中）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量的“跟隨函數(shù)”為f（x）＝asinx+bcosx（x∈R），向量稱為函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx的“跟隨向量”．（1）寫出函數(shù)f（x）＝2cosx+sinx的“跟隨向量”的單位向量的坐標(biāo)；（2）記的“跟隨函數(shù)”為f（x），若函數(shù)，x∈[0，2π]與直線y＝k有且僅有四個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）已知點(diǎn)M（a，b）滿足a2﹣5ab+6b2+2＝0，（a≠0，b≠0），向量的“跟隨函數(shù)”f（x）在x＝x0處取得最大值，求此時tan2x0的取值范圍．【分析】（1）由題意知＝（1，2），再計(jì)算，即可；（2）將f（x）＝cosx代入g（x）的解析式中化簡可得g（x）＝，再根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（3）結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，推出x0＝﹣φ+2kπ，k∈Z，其中tanφ＝，利用正切的二倍角公式表示出tan2x0＝，令m＝，將a2﹣5ab+6b2+2＝0整理成系數(shù)與m有關(guān)的關(guān)于a的方程，并利用Δ≥0求得m的取值范圍，再根據(jù)tan2x0＝＝在此范圍內(nèi)的單調(diào)性，得解．【解答】解：（1）由f（x）＝2cosx+sinx，知＝（1，2），所以||＝，其對應(yīng)的單位向量為，坐標(biāo)為（，）．（2）由題意知，f（x）＝cosx，所以＝cosx+|sinx|+1＝，所以g（x）在[0，），（π，）上單調(diào)遞增，在（，π），（，2π]上單調(diào)遞減，又g（0）＝2，g（）＝3，g（π）＝0，g（）＝3，g（2π）＝2，故要使函數(shù)g（x）在x∈[0，2π]與直線y＝k有且僅有四個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為[2，3）．（3）f（x）＝asinx+bcosx＝sin（x+φ），其中tanφ＝，因?yàn)閒（x）在x＝x0處取得最大值，所以sin（x0+φ）＝，所以x0+φ＝+2kπ，k∈Z，即x0＝﹣φ+2kπ，k∈Z，所以tanx0＝tan（﹣φ+2kπ）＝cotφ＝，故tan2x0＝＝＝，令m＝，則tan2x0＝，因?yàn)閍2﹣5ab+6b2+2＝0，所以a2（1﹣5?+6?）+2＝0，即（6m2﹣5m+1）a2+2＝0，由Δ＝﹣8（6m2﹣5m+1）≥0，得≤m≤，而函數(shù)h（m）＝在m∈[，]上單調(diào)遞減，所以h（m）max＝h（）＝﹣，h（m）min＝h（）＝﹣，即h（m）∈[﹣，﹣]，所以tan2x0的取值范圍為[﹣，﹣]．【點(diǎn)評】本題考查三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握輔助角公式，二倍角公式，向量的模，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于難題．二．正弦函數(shù)的定義域和值域（共4小題）5．（2022春?閔行區(qū)期中）函數(shù)f（x）＝cos2x+sinx的值域是．【分析】函數(shù)f（x）＝cos2x+sinx變?yōu)殛P(guān)于sinx的二次函數(shù)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求值域【解答】解：f（x）＝cos2x+sinx＝﹣2sin2x+sinx+1＝﹣2（sinx﹣）2+又sinx∈[﹣1，1]∴當(dāng)sinx＝時，函數(shù)f（x）取到最大值為當(dāng)sinx＝﹣1時，函數(shù)f（x）取到最小值為﹣2綜上函數(shù)f（x）＝cos2x+sinx的值域是故答案為：【點(diǎn)評】本題考查正弦函數(shù)的定義域和值域，求解本題關(guān)鍵是將函數(shù)變?yōu)殛P(guān)于sinx的二次函數(shù)，由配方法將本方，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性判斷出函數(shù)的最值，從而得出函數(shù)的值域，本題是三角函數(shù)求值域的題型中一個很重要的題型，其規(guī)律是轉(zhuǎn)化為關(guān)于三角函數(shù)二次函數(shù)，將問題變?yōu)槎魏瘮?shù)在閉區(qū)間上的最值問題6．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）函數(shù)的值域是．【分析】利用二倍角公式及輔助角公式對函數(shù)化簡可得，＝，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，代入函數(shù)可求函數(shù)的值域．【解答】解：∵＝＝＝＝又∵∴故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查了二倍角公式及輔助角公式的綜合運(yùn)用，把不同名的三角函數(shù)化簡為y＝Asin（ωx+φ）的形式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)研究y＝Asin（ωx+φ）的性質(zhì)．7．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝3sin2x+2sinxcosx+5cos2x．（1）若f（α）＝5，求tanα的值；（2）設(shè)△ABC三內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，求f（x）在（0，B]上的值域．【分析】（1）把f（α）＝5代入整理可得，，利用二倍角公式化簡可求tanα（2）由，利用余弦定理可得，，即，再由正弦定理化簡可求B，對函數(shù)化簡可得f（x）＝2sin（2x+）+4，由可求．【解答】解：（1）由f（α）＝5，得．∴．∴，即，∴．（5分）（2）由，即，得，則，又∵B為三角形內(nèi)角，∴，（8分）又＝＝（10分）由，則，故5≤f（x）≤6，即值域是[5，6]．（12分）【點(diǎn)評】本題主要考查了利用正弦及余弦定理解三角形，輔助角公式的應(yīng)用，及正弦函數(shù)性質(zhì)等知識的簡單綜合的運(yùn)用，屬于中檔試題．8．（2022春?青浦區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝sin2x，，若f（x）的值域是，則a的取值范圍是[，]．【分析】由x∈[﹣，a]?2x∈[﹣，2a]，由f（x）＝sin2x的值域是[﹣，1]，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得a的取值范圍．【解答】解：∵x∈[﹣，a]，∴2x∈[﹣，2a]，∴f（﹣）＝sin（﹣）＝﹣，f（）＝sin＝﹣，f（）＝sin＝1，又f（x）＝sin2x的值域是[﹣，1]，∴≤2a≤，∴≤a≤，即a的取值范圍是[，]．故答案為：[，]．【點(diǎn)評】本題考查正弦函數(shù)的定義域和值域，著重考查數(shù)形結(jié)合思想與作圖分析的能力，屬于中檔題．三．正弦函數(shù)的單調(diào)性（共6小題）9．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）函數(shù)，x∈R的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+，kπ+]，k∈Z．【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．【解答】解：對于函數(shù)，x∈R，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈Z，故答案為：[kπ+，kπ+]，k∈Z．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．10．（2022春?松江區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝sin（x+）﹣．（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2π]上的所有零點(diǎn)之和．【分析】（1）求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a]上單調(diào)遞增，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）由f（x）＝0，求解x在[0，2π]上的值，即可得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2π]上的所有零點(diǎn)之和．【解答】解：（1）由，得．取k＝0，可得，∵函數(shù)在區(qū)間[0，a]上單調(diào)遞增，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是；（2）由，得，則或．又x∈[0，2π]，∴．即函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2π]上的所有零點(diǎn)是，故零點(diǎn)之和為．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，考查利用三角函數(shù)值求角，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）函數(shù)在下列哪個區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)（）A． B． C．[﹣π，0] D．【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．【解答】解：對于函數(shù)，當(dāng)x∈[﹣，]，x+∈[﹣，]，函數(shù)沒有單調(diào)性，故A不滿足條件；當(dāng)x∈[﹣，]，x+∈[﹣，]，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件，故B滿足條件；當(dāng)x∈[﹣π，0]，x+∈[﹣，]，函數(shù)沒有單調(diào)性，故C不滿足條件；當(dāng)x∈[﹣，]，x+∈[0，π]，函數(shù)沒有單調(diào)性，故D不滿足條件，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．12．（2022春?浦東新區(qū)校級月考）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．[2kπ﹣，2kπ﹣]（k∈Z） B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z） C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z） D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【分析】由題意，利用誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．【解答】解：對于函數(shù)＝﹣sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈Z，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．13．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）定義函數(shù)f（x）＝cos（sinx）為“正余弦”函數(shù)．結(jié)合學(xué)過的知識，可以得到該函數(shù)的一些性質(zhì)：容易證明2π為該函數(shù)的周期，但是否是最小正周期呢？我們繼續(xù)探究：f（x+π）＝cos[sin（x+π）]＝cos（﹣sinx）＝cos（sinx）＝f（x）．可得：π也為函數(shù)f（x）＝cos（sinx）的周期．但是否為該函數(shù)的最小正周期呢？我們可以分區(qū)間研究f（x）＝cos（sinx）的單調(diào)性：函數(shù)f（x）＝cos（sinx）在是嚴(yán)格減函數(shù)，在上嚴(yán)格增函數(shù)，再結(jié)合f（x+π）＝f（x），可以確定：f（x）＝cos（sinx）的最小正周期為π．進(jìn)一步我們可以求出該函數(shù)的值域了．定義函數(shù)f（x）＝sin（cosx）為“余正弦”函數(shù)，根據(jù)閱讀材料的內(nèi)容，解決下列問題：（1）求“余正弦”函數(shù)的定義域；（2）判斷“余正弦”函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（3）探究“余正弦”函數(shù)的單調(diào)性及最小正周期，說明理由，并求其值域．【分析】（1）由y＝cosx的定義域，可得f（x）的定義域；（2）由函數(shù)的奇偶性的定義和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可判斷；（3）結(jié)合題目所給思路，求得f（x）＝sin（cosx）得單調(diào)區(qū)間，最小正周期及值域．【解答】解：（1）因?yàn)閥＝cosx的定義域?yàn)镽，所以f（x）＝sin（cosx）的定義域?yàn)镽；（2）f（x）在R上為偶函數(shù)，理由如下：f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，f（﹣x）＝sin（cos（﹣x））＝sin（cosx）＝f（x），則f（x）為偶函數(shù)；（3）f（x+2π）＝sin[cos（x+2π）]＝sin（cosx）＝f（x），y＝cosx在區(qū)間[0，π]上單調(diào)遞減，y＝sinx在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞增，所以f（x）＝sin（cosx）在[0，π]上單調(diào)遞減；y＝cosx在區(qū)間[π，2π]上單調(diào)遞增，y＝sinx在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞增，所以f（x）＝sin（cosx）在[π，2π]上單調(diào)遞增，所以f（x）的最小正周期為T＝2π；當(dāng)2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z時，y＝cosx遞減，所以y＝sin（cosx）遞減；當(dāng)2kπ+π≤x≤2kπ+2π，k∈Z時，y＝cosx遞增，所以y＝sin（cosx）遞增．所以f（x）在[2kπ，2kπ+π]，k∈Z上是嚴(yán)格減函數(shù)；在[2kπ+π，2kπ+2π]，k∈Z上是嚴(yán)格增函數(shù)，由x∈R，可得cosx∈[﹣1，1]，而[﹣1，1]?[﹣，]，所以sin（cosx）∈[sin（﹣1），sin1]＝[﹣sin1，sin1]，即f（x）的值域?yàn)閇﹣sin1，sin1]．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于中檔題．14．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知f（x）＝﹣sin（2x+）+1．（1）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＜1﹣m對x∈[，]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【分析】通過正弦函數(shù)的單調(diào)性及值域可解決此題．【解答】解：（1）由2kπ+≤2x+≤2kπ+，得：kπ+≤x≤kπ+，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ+，kπ+]，k∈Z；（2）∵x∈[，]，∴≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴0≤f（x）≤+1，∵關(guān)于x的不等式f（x）＜1﹣m對x∈[，]恒成立，∴1﹣m＞+1，解得：m＜﹣．【點(diǎn)評】本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性及值域、恒成立問題、解不等式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及數(shù)學(xué)抽象能力，屬于中檔題．四．正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性（共4小題）15．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）對于函數(shù)f（x）＝sin（2x+），下列命題：①函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝﹣對稱；②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱；③函數(shù)圖象可看作是把y＝sin2x的圖象向左平移個單位而得到；④函數(shù)圖象可看作是把y＝sin（x+）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的．（縱坐標(biāo)不變）而得到；其中正確的命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①把x＝﹣代入函數(shù)的表達(dá)式，函數(shù)是否取得最大值，即可判定正誤；②把x＝，代入函數(shù)，函數(shù)值是否為0，即可判定正誤；③函數(shù)圖象可看作是把y＝sin2x的圖象向左平移個單位，推出函數(shù)的表達(dá)式是否相同，即可判定；④函數(shù)圖象可看作是把y＝sin（x+）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的表達(dá)式是否相同，即可判定正誤．【解答】解：①把x＝﹣代入函數(shù)f（x）＝sin（2x+）＝0，所以，①不正確；②把x＝，代入函數(shù)f（x）＝sin（2x+）＝0，函數(shù)值為0，所以②正確；③函數(shù)圖象可看作是把y＝sin2x的圖象向左平移個單位得到函數(shù)為f（x）＝sin（2x+），所以不正確；④函數(shù)圖象可看作是把y＝sin（x+）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)f（x）＝sin（2x+），正確；故選：C．【點(diǎn)評】本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，?？碱}型．16．（2022春?寶山區(qū)校級期末）已知f（n）＝sin，n∈Z，則f（1）+f（2）+f（3）+???+f（2019）＝1+．【分析】先判斷函數(shù)f（x）的最小正周期為8，求出f（1）+f（2）+f（3）+???+f（8）的值，再根據(jù)f（1）+f（2）+f（3）+???+f（2019）＝252×0+f（1）+f（2）+f（3）求解即可．【解答】解：∵f（n）＝sin，n∈Z，∴函數(shù)f（x）的最小正周期為＝8，∵f（1）＝sin＝，f（2）＝sin＝1，f（3）＝sin＝，f（4）＝sinπ＝0，f（5）＝sin＝﹣，f（2）＝sin＝﹣1，f（7）＝sin＝﹣，f（4）＝sin2π＝0，∴f（1）+f（2）+f（3）+???+f（8）＝0，∴f（1）+f（2）+f（3）+???+f（2019）＝252×0+f（1）+f（2）+f（3）＝0++1+＝1+，故答案為：1+．【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的周期性，利用函數(shù)的周期性求函數(shù)的值，屬于中檔題．17．（2022春?閔行區(qū)校級期中）若函數(shù)y＝sin2x+acos2x關(guān)于直線對稱，則a＝﹣．【分析】先利用輔助角公式對已知函數(shù)進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性可求．【解答】解：因?yàn)閥＝sin2x+acos2x＝sin（2x+θ）（θ為輔助角）關(guān)于直線對稱，則＝﹣，解得a＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）若函數(shù)f（x）＝2sin（x+α）的圖像關(guān)于直線對稱，則α的一個可能的值為（答案不唯一）．【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的圖像的對稱性，得出結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝2sin（x+α）的圖像關(guān)于直線對稱，∴+α＝kπ+，k∈Z，即α＝kπ+，k∈Z，則α的一個可能的值為，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖像的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．五．余弦函數(shù)的圖象（共5小題）19．（2022春?浦東新區(qū)校級月考）函數(shù)y＝cos[（x+φ）]（0＜φ＜π）是奇函數(shù)，那么常數(shù)φ的最大值為3．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)建立方程求出φ的值即可．【解答】解：∵y＝cos[（x+φ）]＝cos（x+φ）是奇函數(shù)，∴φ＝kπ+，k∈Z，則φ＝2k+1，∵0＜φ＜π，∴當(dāng)k＝0時，φ＝1，當(dāng)k＝1時，φ＝3，即φ的最大值為3，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用三角函數(shù)是奇函數(shù)的定義求出φ的值是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．20．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）方程cosx＝log8x的實(shí)數(shù)解的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由題意利用余弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象特征，得出結(jié)論．【解答】解：方程cosx＝log8x的實(shí)數(shù)解的個數(shù)，即函數(shù)y＝cosx的圖象和函數(shù)y＝log8x的圖象交點(diǎn)的個數(shù)．?dāng)?shù)形結(jié)合可得函數(shù)y＝cosx的圖象和函數(shù)y＝log8x的圖象（圖中紅色曲線）交點(diǎn)的個數(shù)為3，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查余弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．21．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）設(shè)A（2，0）為平面上一定點(diǎn)，為動點(diǎn)，則當(dāng)t由0變化到時，線段AP掃過的面積是．【分析】先求出當(dāng)t＝0時，點(diǎn)P位于點(diǎn)C（﹣，），當(dāng)t＝時，點(diǎn)P位于點(diǎn)D（，），再得到線段AP掃過的面積為S△AOD+S扇形OCD﹣S△AOC，求解即可．【解答】解：∵A（2，0）為平面上一定點(diǎn)，點(diǎn)為動點(diǎn)，|OP|＝1，則當(dāng)t由0變化到時，當(dāng)t＝0時，點(diǎn)P位于點(diǎn)C（﹣，），且∠xOC＝，當(dāng)t＝時，點(diǎn)P位于點(diǎn)D（，），且∠xOD＝，∴∠COD＝﹣＝，∴|CD|＝，線段AP掃過的面積就是三角形CAD的面積與弓形的面積，即為S△AOD+S扇形OCD﹣S△AOC＝×2×+﹣×2×＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)值的求解，扇形與三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．22．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝cos（2x+）﹣cos2x，其中x∈R，給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)f（x）是最小正周期為π的奇函數(shù)；②函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸是直線x＝；③函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心為（，0）；④函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈Z．其中正確的結(jié)論序號②③④．【分析】化簡函數(shù)f（x），由定義判斷函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)，判斷①錯誤；由f（）＝1取得最大值，得出直線x＝是f（x）的一條對稱軸，判斷②正確；由f（）＝0，得出點(diǎn)（，0）是f（x）的一個對稱中心，判斷③正確；由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，判斷④正確．【解答】解：函數(shù)f（x）＝cos（2x+）﹣cos2x＝﹣cos2x﹣sin2x＝﹣sin（2x+），其中x∈R：對于①，f（﹣x）＝﹣sin（﹣2x+）＝sin（2x﹣）≠﹣f（x），∴函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)，①錯誤；對于②，當(dāng)x＝時，f（）＝﹣sin（2×+）＝1為最大值，∴函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸是直線x＝，②正確；對于③，當(dāng)x＝時，f（）＝﹣sin（2×+）＝0，∴函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心為（，0），③正確；對于④，令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈Z，④正確．綜上，正確的結(jié)論序號是②③④．故答案為：②③④．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的化簡以及圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．23．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝cos（ωx）（ω＞0）的最小正周期為π．（1）求ω的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在△ABC中，角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，若，，a＝2，求b+c的取值范圍．【分析】（1）首先利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）利用正弦定理的應(yīng)用和三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出函數(shù)的值域．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝cos（ωx）（ω＞0）的最小正周期為π．故ω＝2，．所以g（x）＝cos（2x）﹣＝sin2x﹣＝2sin（2x﹣），令，（k∈Z），整理得：，（k∈Z），故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，k∈Z；（2）由f（A）＝cos（2A）＝﹣，由于0＜A＜π；所以，且a＝2．故，所以＝＝，由于，所以，故；即b+c∈（2，4]．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解三角形問題的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．六．余弦函數(shù)的定義域和值域（共1小題）24．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）函數(shù)y＝sin2x+2cosx在區(qū)間[﹣，α]上的值域?yàn)閇﹣，2]，則α的取值范圍是[0，]．【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，函數(shù)可以化為關(guān)于cosx的解析式，令t＝cosx，則原函數(shù)可化為y＝﹣（t﹣1）2+2，即轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，含參數(shù)的問題的求解．【解答】解：由已知得，y＝1﹣cos2x+2cosx＝﹣（cosx﹣1）2+2，令t＝cosx，得到：y＝﹣（t﹣1）2+2，顯然當(dāng)t＝cos（﹣）＝﹣時，y＝﹣，當(dāng)t＝1時，y＝2，又由x∈[﹣，α]可知cosx∈[﹣，1]，可使函數(shù)的值域?yàn)閇﹣，2]，所以有a≥0，且a≤，從而可得a的取值范圍是：0≤a≤．故答案為：[0，]．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的值域問題，換元法與轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，含參數(shù)的求解策略問題．七．余弦函數(shù)的單調(diào)性（共2小題）25．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間為（），（k∈Z）．【分析】直接利用余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：：令，（k∈Z），整理得：，（k∈Z），所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：（），（k∈Z）．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：余弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．26．（2022春?黃浦區(qū)校級期中）函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）的部分圖像如圖所示，f（x）的減區(qū)間為（）A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出ω和φ的值，利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【解答】解：由圖像知＝﹣＝1，則T＝2，即＝2，得ω＝π，則f（x）＝cos（πx+φ），由五點(diǎn)對應(yīng)法得+φ＝，得φ＝，則f（x）＝cos（πx+），由2kπ≤πx+≤2kπ+π，k∈Z，得2k﹣≤x≤2k+，k∈Z，即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[2k﹣，2k+]，k∈Z，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．八．余弦函數(shù)的對稱性（共2小題）27．（2022春?長寧區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝cos（2x+φ）（|φ|≤）的一個對稱中心是（，0），則φ的值為﹣．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性，建立方程進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵f（x）的一個對稱中心是，∴2×+φ＝kπ+，k∈Z，得φ＝kπ﹣，k∈Z，∵|φ|，∴當(dāng)k＝0時，φ＝﹣，故答案為：﹣【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用對稱性建立方程是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．（多選）28．（2022春?寶山區(qū)校級月考）對于函數(shù)有（）A．y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱 B．y＝f（x）的圖像過點(diǎn)（1，﹣） C．y＝f（x）的圖像是由f（x）＝cos（πx）的圖像向右平移個單位長度得到 D．y＝f（x）的圖像關(guān)于直線對稱【分析】利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：對于函數(shù)，當(dāng)x＝時，f（x）＝0，故y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱，故A正確；當(dāng)x＝1時，f（x）＝﹣，故y＝f（x）的圖象不過點(diǎn)（1，﹣），故B錯誤；由f（x）＝cosπx的圖象向右平移個長度單位，可得y＝cos（πx﹣）的圖象，故C錯誤；當(dāng)x＝﹣時，f（x）＝﹣1，為最小值，故y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝﹣對稱，故D正確，故選：AD．【點(diǎn)評】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．九．正切函數(shù)的圖象（共4小題）29．（2022?閔行區(qū)校級開學(xué)）方程，在[0，2π]內(nèi)的解集是{，}．【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的值，結(jié)合x的取值集合，即可求出方程在[0，2π]內(nèi)的解集．【解答】解：方程，所以x+＝2kπ±，k∈Z解得x＝2kπ±﹣，k∈Z；又因?yàn)閤∈[0，2π]，所以x＝或，所以方程在[0，2π]內(nèi)的解集是{，}．故答案為：{，}．【點(diǎn)評】本題考查了由三角函數(shù)值求角的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．30．（2022春?浦東新區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．函數(shù)y＝sinx在第一象限內(nèi)是嚴(yán)格增函數(shù) B．函數(shù)y＝cosx的圖像是中心對稱圖形 C．函數(shù)y＝tanx在其定義域中是嚴(yán)格增函數(shù) D．函數(shù)是周期函數(shù)【分析】由題意，利用三角函數(shù)的周期性，得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)函數(shù)y＝sinx的圖象，可得函數(shù)y＝sinx在第一象限內(nèi)沒有單調(diào)性，故排除A；根據(jù)函數(shù)y＝sinx的圖象，可得函數(shù)y＝cosx的圖像是中心對稱圖形，故B正確；根據(jù)函數(shù)y＝tanx的圖象，可得函數(shù)y＝tanx在其定義域中，不是單調(diào)函數(shù)，故排除C，函數(shù)＝f（x），不存在非零常數(shù)T，使得f（x+T）＝f（x）成立，故不是周期函數(shù)，故排除D，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．31．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）直線y＝a與函數(shù)f（x）＝tanωx（ω＞0，ω為常數(shù)）的兩個相鄰交點(diǎn)的距離是．【分析】由題意，利用正切函數(shù)的周期性，正切函數(shù)的圖象，得出結(jié)論．【解答】解：直線y＝a與函數(shù)f（x）＝tanωx（ω＞0，ω為常數(shù)）的兩個相鄰交點(diǎn)的距離是一個周期，即，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查正切函數(shù)的周期性，正切函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．32．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）若函數(shù)y＝tan（ωx）在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是（﹣2，0）．【分析】直接利用正切函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：令：ωx（k∈Z）；且y＝tan（ωx）在上為嚴(yán)格減函數(shù)；故，解得ω∈（﹣2，0）；故答案為（﹣2，0）．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：正切函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．一十．正切函數(shù)的定義域和值域（共3小題）33．（2022春?普陀區(qū)校級期中）函數(shù)y＝tan2x的定義域是{x|x≠+，k∈Z}．【分析】根據(jù)正切函數(shù)y＝tanα有意義的條件是α不等于kπ+，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范圍，即為所求函數(shù)的定義域．【解答】解：由2x≠kπ+，解得x≠+，則函數(shù)y＝tan2x的定義域是{x|x≠+，k∈Z}．故答案為：{x|x≠+，k∈Z}【點(diǎn)評】此題考查了正切函數(shù)的定義域，要求學(xué)生掌握正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及正切函數(shù)有意義的條件．34．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）函數(shù)的定義域?yàn)椋痉治觥坷谜泻瘮?shù)的定義域，直接求出函數(shù)的定義域即可．【解答】解|：函數(shù)的有意義，必有，所以函數(shù)的定義域．故答案為：．【點(diǎn)評】本題是基礎(chǔ)題，考查正切函數(shù)的定義域的求法，結(jié)果必須寫成集合的形式，考查計(jì)算能力．35．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）我們把正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)的圖象看作一組“平行曲線”，而“平行曲線”具有性質(zhì)：任意兩條平行于橫軸的直線與兩條相鄰的“平行曲線”相交，被截得的線段長度相等，已知函數(shù)圖象中的兩條相鄰“平行曲線”與直線y＝2020相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，則＝（）A． B． C． D．﹣【分析】根據(jù)平行于橫軸的直線與平行曲線截得的線段長度相等，得到|AB|＝2是周期，利用周期公式求得ω的值，再求f（）的值．【解答】解：由題意知，T＝|AB|＝2，所以＝2，解得ω＝；所以f（x）＝tan（x+），所以f（）＝tan（+）＝tan＝．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了正切函數(shù)的周期性與三角函數(shù)值計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解給定的信息，得出該函數(shù)的周期．一十一．正切函數(shù)的單調(diào)性和周期性（共2小題）36．（2022春?奉賢區(qū)校級期中）已知函數(shù)y＝tanΩx在上是減函數(shù)，則（）A．0＜Ω≤1 B．﹣1≤Ω＜0 C．Ω≥1 D．Ω≤﹣1【分析】先根據(jù)函數(shù)f（x）在上是減函數(shù)可得Ω＜0且T≥π，可得答案．【解答】解：由題知Ω＜0，且周期，∴|Ω|≤1，即﹣Ω≤1，∴﹣1≤Ω＜0．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查正切函數(shù)的單調(diào)性問題．屬基礎(chǔ)題．37．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．【分析】通過tanx的單調(diào)增區(qū)間，進(jìn)而求出的單調(diào)增區(qū)間．【解答】解：∵tanx的單調(diào)增區(qū)間為（kπ﹣，kπ+）∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為kπ﹣＜x+＜kπ+，即kπ＜x＜kπ（k∈Z）故答案為（kπ，kπ）【點(diǎn)評】本題主要考查了正切函數(shù)的單調(diào)性．屬基礎(chǔ)題．一十二．正切函數(shù)的奇偶性與對稱性（共1小題）38．（2021春?金山區(qū)校級期中）函數(shù)y＝tanx+1的對稱中心為（，1），k∈Z．【分析】由題意利用正切函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．【解答】解：對于函數(shù)y＝tanx+1，令x＝，可得它的對稱中心為（，1），k∈Z，故答案為：（，1），k∈Z．【點(diǎn)評】本題主要考查正切函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．一十三．五點(diǎn)法作函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象（共2小題）39．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）將函數(shù)y＝sinx的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象向左平移個單位，得到的函數(shù)解析式為（）A．y＝sin（2x+） B．y＝sin（2x+） C．y＝sin（+） D．y＝sin（+）【分析】按照左加右減以及伸縮變換，逐步求出變換后的函數(shù)的解析式即可．【解答】解：由題意，將函數(shù)y＝sinx的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），可得y＝sin2x再把所得圖象向左平移個單位，可得y＝sin[2（x+）]＝sin（2x+）故選：B．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的圖象的平移與伸縮變換，注意先伸縮后平移時x的系數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．40．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知函數(shù)．（Ⅰ）請用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象；（Ⅱ）若方程f（x）＝a在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）若f（x）圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位得到函數(shù)g（x），求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【分析】（Ⅰ）利用列表、描點(diǎn)、連線法畫出f（x）在一個周期上的圖象；（Ⅱ）利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出a的取值范圍；（Ⅲ）求出函數(shù)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍得函數(shù)的解析式，再把所得函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，寫出解析式，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：（Ⅰ）列表：x﹣2x+0π2πf（x）010﹣10描點(diǎn)連線畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象如圖所示：…（5分）說明：其它周期上的圖象同等給分；個別關(guān)鍵點(diǎn)錯誤酌情給分．（Ⅱ）∵，可得：2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∵方程f（x）＝a在上有解，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[﹣，1]；…（8分）（Ⅲ）若f（x）圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位得到函數(shù)g（x），求．將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)y＝sin（x+）的圖象，再將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)g（x）＝sin（x﹣+）＝sin（x﹣）的圖象，令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，可得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．…（12分）【點(diǎn)評】本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查三角函數(shù)的化簡，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換，熟練掌握y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換法則及方法是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．一十四．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換（共7小題）41．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）將函數(shù)y＝3sin（2x﹣）的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)（）A．在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間[，]上單調(diào)遞增 C．在區(qū)間[﹣，]上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間[﹣，]上單調(diào)遞增【分析】由條件根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)論．【解答】解：將函數(shù)y＝3sin（2x﹣）的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為y＝3sin[2（x﹣）﹣]＝3sin（2x﹣﹣）＝﹣sin（2x+），在區(qū)間[，]上，2x+∈區(qū)間[，]，y＝﹣sin（2x+）是增函數(shù)；在區(qū)間[﹣，]上，2x+∈區(qū)間[0，π]，y＝﹣sin（2x+）不是增函數(shù)，也不是減函數(shù)，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．42．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）把函數(shù)y＝sin2x的圖象沿著x軸向左平移個單位，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）后得到函數(shù)y＝f（x）的圖象，對于函數(shù)y＝f（x）有以下四個判斷：（1）該函數(shù)的解析式為；（2）該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；（3）該函數(shù)在上是增函數(shù)；（4）若函數(shù)y＝f（x）+a在上的最小值為，則其中正確的判斷有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】利用y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，的得出結(jié)論．【解答】解：把函數(shù)y＝sin2x的圖象沿著x軸向左平移個單位，可得y＝sin（2x+）的圖象；再把縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）后得到函數(shù)y＝f（x）＝2sin（2x+）的圖象，對于函數(shù)y＝f（x）＝2sin（2x+），故選項(xiàng)A不正確，故（1）錯誤；由于當(dāng)x＝時，f（x）＝0，故該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故（2）正確；在上，2x+∈[，]，故f（x）該函數(shù)在[0，]上不是增函數(shù)，故（3）錯誤；在上，2x+∈[，]，故當(dāng)2x+＝時，f（x）+a該函數(shù)在上取得最小值為﹣+a＝，∴a＝2，故（4）正確，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．43．（2022春?普陀區(qū)校級期末）設(shè)f（x）＝3sin（2x﹣φ），φ∈[0，π），將函數(shù)f（x）的圖像左移個單位得到g（x）的圖像，若對任意x∈R，都有g(shù)（﹣x）＝g（x），則φ＝．【分析】由題意，利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)奇偶性，求得φ的值．【解答】解：∵f（x）＝3sin（2x﹣φ），φ∈[0，π），∴將函數(shù)f（x）的圖像左移個單位得到g（x）＝3sin（2x+﹣φ）的圖像，若對任意x∈R，都有g(shù)（﹣x）＝g（x），即g（x）為偶函數(shù)，則﹣φ＝kπ+，k∈Z．令k＝0，可得φ＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)奇偶性，屬于中檔題．44．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）已知函數(shù)，（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）若求f（x）的值域；（3）將函數(shù)f（x）圖像向右平移個單位后，得到函數(shù)y＝g（x）的圖像，求函數(shù)y＝g（x）﹣1的零點(diǎn)．【分析】（1）利用二倍角公式，兩角和的正弦公式化簡函數(shù)解析式可得f（x）＝2sin（2x+），利用正弦函數(shù)的周期公式即可求解．（2）由已知可求范圍2x+∈[，]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．（3）利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換可求函數(shù)g（x）的解析式，令y＝g（x）﹣1＝0，可得sin（2x﹣）＝，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），可得函數(shù)f（x）的最小正周期T＝＝π．（2）若，則2x+∈[，]，可得sin（2x+）∈[﹣，1]，可得f（x）＝2sin（2x+）∈[﹣1，2]．（3）將函數(shù)f（x）圖像向右平移個單位后，得到函數(shù)y＝g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣）的圖像，令y＝g（x）﹣1＝2sin（2x﹣）﹣1＝0，可得sin（2x﹣）＝，可得2x﹣＝2kπ+，k∈Z，或2x﹣＝2kπ+，k∈Z，解得x＝kπ+，k∈Z，或x＝kπ+，k∈Z，所以函數(shù)y＝g（x）﹣1的零點(diǎn)為：（kπ+，0）或（kπ+，0），k∈Z．【點(diǎn)評】本題考查了二倍角公式，兩角和的正弦公式，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題．45．（2022春?閔行區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為π，且直線是其圖像的一條對稱軸．將函數(shù)y＝f（x）的圖像向右平移個單位，再將所得的圖像上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍所得的圖像對應(yīng)函數(shù)記作y＝g（x），令函數(shù)F（x）＝f（x）+λg（x）．（1）求函數(shù)y＝g（x）的函數(shù)解析式；（2）求函數(shù)y＝F（x）的最大值及相對應(yīng)的x的值；（3）若函數(shù)F（x）＝f（x）+λg（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2021個零點(diǎn)，其中常數(shù)λ∈R，n∈N，n≥1，求常數(shù)λ與n的值．【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式和對稱軸方程，結(jié)合正弦型函數(shù)圖象的變換性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)二倍角余弦公式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可求出函數(shù)y＝F（x）的最大值及相對應(yīng)的x的值；（3）利用換元法，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)和一元二次方程根的分布分類討論進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為π，∴，解得ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+φ），∵直線x＝﹣是f（x）＝sin（2x+φ）圖象的一條對稱軸，∴2×（﹣）+φ＝k（k∈Z），∴φ＝kπ+（k∈Z），∵0＜φ＜π，∴令k＝﹣1，則φ＝，即f（x）＝sin（2x+）＝cos2x，∵函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移個單位，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，所得到圖象對應(yīng)函數(shù)記作y＝g（x），∴y＝g（x）＝sinx．（2）F（x）＝f（x）+λg（x）＝cos2x+λsinx＝1﹣2sin2x+λsinx，∴F（x）＝﹣2（sinx﹣）2++1，當(dāng)﹣1≤時，即﹣4≤λ≤4時，F(xiàn)（x）max＝，此時，sinx＝，即x＝2kπ+arcsin（k∈Z）或x＝2k（k∈Z），當(dāng)＞1時，即λ＞4時，F(xiàn)（x）max＝1﹣2+λ＝λ﹣1，此時sinx＝1，即x＝2kπ+（k∈Z），當(dāng)時，即λ＜﹣4時，F(xiàn)（x）max＝1﹣2﹣λ＝﹣λ﹣1，此時，sinx＝1，即x＝2k（k∈Z），綜上所述：當(dāng)﹣4≤λ≤4時，F(xiàn)（x）max＝，x＝2kπ+arcsin（k∈Z）或x＝2k（k∈Z）；當(dāng)λ＞4時，F(xiàn)（x）max＝λ﹣1，x＝2kπ+（k∈Z）；當(dāng)λ＜﹣4時，F(xiàn)（x）max＝﹣λ﹣1，x＝2k（k∈Z）．（3）F（x）＝f（x）+λg（x）＝cos2x+λsinx＝1﹣2sin2x+λsinx＝0，設(shè)sinx＝t，t∈[﹣1，1]，則1﹣2t2+λt＝0，∴2t2﹣λt﹣1＝0，該方程的判別式Δ＝λ2+8＞0，∴該方程有實(shí)根，設(shè)為t1，t2，則t1t2＝﹣＜0，∴兩根為異號，若0＜|t1|＜1，0＜|t2|＜1時，則方程sinx＝t1，sinx＝t2在（0，nπ）內(nèi)都有偶數(shù)個根，∴方程1﹣2sin2x+λsinx＝0有偶數(shù)個根，不符合題意，若t1＝1，則t2＝﹣，此時λ＝1，當(dāng)x∈（0，2π）時，sinx＝t1只有一個根，sinx＝t2有兩個根，∴1﹣2sin2x+λsinx＝0有三個根，由于2021＝3×673+2，∴1﹣2sin2x+λsinx＝0在x∈（1346π，1347π）內(nèi)只有1個根，sinx＝t2沒有實(shí)根，∴方程1﹣2sin2x+λsinx＝0在x∈（0，1347π）時有2020個實(shí)根，不符合題意，若t1＝﹣1，則t2＝，此時λ＝﹣1，當(dāng)x∈（0，2π）時，sinx＝t1只有一個根，sinx＝t2有兩個根，∴1﹣2sin2x+λsinx＝0有3個根，由于2021＝3×673+2，由于方程sinx＝t1在x∈（1346π，1347π）內(nèi)沒有實(shí)根，sinx＝t2有兩個實(shí)根，∴方程1﹣2sin2x+λsinx＝0在x∈（0，1347π）時，有2021個實(shí)根，符合題意，若兩個根有一個絕對值大于1，則另一個根絕對值大于零且小于1，有偶數(shù)個根，不符合題意，綜上所述：λ＝﹣1，n＝1347．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的運(yùn)算，考查換元法、一元二次方程實(shí)數(shù)根的分布結(jié)合正弦函數(shù)的分類討論等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．46．（2022春?閔行區(qū)期中）已知函數(shù)f（x）＝sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0）．（1）化簡y＝f（x）的表達(dá)式；（2）若y＝f（x）的最小正周期為π，求y＝f（x），x∈（0，）的單調(diào)區(qū)間與值域；（3）將（2）中的函數(shù)f（x）圖像上所有的點(diǎn)向右平移φ（φ∈[0，]）個單位長度，得到函數(shù)y＝g（x），且y＝g（x）圖像關(guān)于x＝0對稱．若對于任意的實(shí)數(shù)a，函數(shù)y＝g（λx），x∈[a，a+]與y＝1的公共點(diǎn)個數(shù)不少于6個且不多于10個，求正實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【分析】（1）由二倍角正余弦公式，以及輔助角公式可得f（x）＝2sin（2ωx﹣）；（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，）上單調(diào)遞減，可求值域；（3）由平移法則可得g（x）＝2sin[2x﹣2φ﹣]，又g（x）圖像關(guān)于x＝0對稱．可得g（x）＝﹣cos2λx，y＝1的公共點(diǎn)個數(shù)不少于6個且不多于10個，可得3?≤，且5?＞，求解即可．【解答】解：（1）由題意可得：f（x）＝sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx＝﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx＝sin2ωx﹣cos2ωx＝2sin（2ωx﹣）；（2）y＝f（x）的最小正周期為π，∴＝π，∴ω＝1，f（x）＝2sin（2x﹣），∵x∈（0，），∴2x﹣∈（﹣，），∴﹣＜sin（2x﹣）≤1，∴﹣1＜2sin（2x﹣）≤2，由2x﹣＝，可得x＝，∴y＝f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，）上單調(diào)遞減，值域?yàn)椋ī?，2]；（3）將（2）中的函數(shù)f（x）圖像上所有的點(diǎn)向右平移φ得y＝2sin[2（x﹣φ）﹣]，∴g（x）＝2sin[2x﹣2φ﹣]，∵y＝g（x）圖像關(guān)于x＝0對稱，∴﹣2φ﹣＝+kπ，k∈Z，∴φ＝﹣+，k∈Z，又φ∈[0，]，∴φ＝，∴g（x）＝﹣2cos2x．∴g（λx）＝﹣2cos2λx，又對于任意的實(shí)數(shù)a，函數(shù)y＝g（λx），x∈[a，a+]與y＝1的公共點(diǎn)個數(shù)不少于6個且不多于10個，∴3?≤且5?＞，解得9≤|λ|＜15，∴正實(shí)數(shù)λ的取值范圍[9，15）．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．47．（2022春?青浦區(qū)校級月考）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一周期內(nèi)的圖像時，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：xωx+φ0π2πsin（ωx+φ）010﹣10f（x）000（1）請?zhí)顚懮媳淼目崭裉?，并畫出函?shù)f（x）圖像；（2）寫出函數(shù)f（x）的解析式，將函數(shù)f（x）的圖像向右平移個單位，再所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖像，求g（x）的解析式；（3）在（2）的條件下，若在x∈（0，2021π）上恰有奇數(shù)個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a與零點(diǎn)個數(shù)n的值．【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得關(guān)于ω，φ的方程組，解出ω，φ的值后再計(jì)算補(bǔ)全表中數(shù)據(jù)，再由表中數(shù)據(jù)可得A＝，由此能求出函數(shù)的解析式和圖像；（2）由（1）得函數(shù)的解析式，y＝Asin（ωx+φ）伸縮和平移變換能求出g（x）的解析式；（3）令t＝sinx，設(shè)方程3t2+at﹣1＝0的根為t＝t1，t＝t2（t1＜t2），根據(jù)t1，t2的取值范圍分類討論，能求出實(shí)數(shù)a與零點(diǎn)個數(shù)n的值．【解答】解：（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得，解得，∴，∴，∵A＝，∴，∴完善表如下：xωx+φ0π2πsin（ωx+φ）010﹣10f（x）00﹣0f（x）＝，畫出函數(shù)f（x）圖像如圖（2）由（1）知f（x）＝，將函數(shù)f（x）的圖像向右平移個單位，所得圖像的解析式為y＝，再把所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖像，∴g（x）＝sinx．（3）F（x）＝3sin2x+asinx﹣1，F(xiàn)（x）的周期為T＝2π，當(dāng)x∈（0，2π]時，令t＝sinx，考慮方程3t2+at﹣1＝0的根的情況，∵Δ＝a2+12＞0，∴3t2+at﹣1＝0在R上必有兩個不同的實(shí)數(shù)根t＝t1，t＝t2，t1＜t2，∵F（x）在（0，2021π）有奇數(shù)個零點(diǎn)，∴t1∈[﹣1，1]，或t2∈[﹣1，1]，若﹣1＜t1＜t2＜1，則方程t1＝sinx，t2＝sinx在（0，2π]共有4個不同的實(shí)數(shù)根，在（0，π）有0個或2個實(shí)數(shù)根，∴F（x）＝0在（0，2021π）有個根或個根，與F（x）有奇數(shù)個零點(diǎn)矛盾，舍去；若t1∈（﹣1，1），t2?[﹣1，1]，則t1＝sinx在（0，2π]共有2個不同的實(shí)數(shù)根，在（0，π）有0個實(shí)數(shù)根或2個實(shí)數(shù)根，故F（x）＝0在（0，2021π）有個根或＝2020+2＝2022，與F（x）有奇數(shù)個零點(diǎn)矛盾，舍去；同理，t1?[﹣1，1]，t2∈（﹣1，1）也不成立，∴t1＝﹣1或t2＝1，若t1＝﹣1，則a＝2，此時3t2+at﹣1＝0的根為，方程在（0，2π]共有3個不同的實(shí)數(shù)根，而在（0，π）上，有兩個不同的根，﹣1＝sinx無解，∴F（x）＝0在（0，2021π）在個根，與F（x）有奇數(shù)個零點(diǎn)矛盾，舍去；若t2＝1，則a＝﹣2，方程3t2+at﹣1＝0的根，方程﹣＝sinx，1＝sinx在[0，2π]共有3個不同的實(shí)數(shù)根，而在（0，π）上，﹣無解，1＝sinx有一個根，∴F（x）在（0，2021π）有個根，符合題意．綜上，a＝﹣2，F(xiàn)（x）在（0，2021π）共有3031個不同的零點(diǎn)．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)畫三角函數(shù)的圖像的基本步驟畫出圖形，考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是難題．一十五．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式（共7小題）48．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）已知函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）圖像如圖，則函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的解析式為y＝4sin（x+）．【分析】根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖像與性質(zhì)，求出A、T和ω、φ的值．【解答】解：由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖像知，A＝4，T＝2×（﹣）＝4π，所以ω＝＝＝，又×+φ＝+2kπ，k∈Z，解得φ＝+2kπ，k∈Z，又因?yàn)閨φ|＜π，所以φ＝，所以函數(shù)y＝4sin（x+）．故答案為：y＝4sin（x+）．【點(diǎn)評】本題考查了正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．49．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）阻尼器是一種以提供運(yùn)動的阻力，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置．深圳第一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”．由物理學(xué)知識可知，某阻尼器模型的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移s（cm）和時間t（s）的函數(shù)關(guān)系式為s＝2sin（ωt+φ），其中ω＞0，若該阻尼器模型在擺動過程中連續(xù)三次位移為s0（﹣2＜s0＜2）的時間分別為t1，t2，t3，且t3﹣t1＝2，則ω＝（）A． B．π C． D．2π【分析】利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，并確定連續(xù)三次位移為s0的時間t1，t2，t3，即可得T＝t3﹣t1，可求參數(shù)ω的值．【解答】解：由正弦型函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)示意圖如下：所以T＝t3﹣t1＝2，則＝2，可得ω＝π．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題．50．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，A，φ∈R）的部分圖象如圖所示，那么f（）＝（）A． B． C． D．【分析】由函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求出A、T和ω、φ的值，寫出f（x）的解析式，再求f（）的值，即可得解．【解答】解：由函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象知，A＝1，且＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，又（，0）是f（x）的五點(diǎn)法畫圖中的第一個點(diǎn)，所以2×+φ＝0，解得φ＝﹣，所以f（x）＝sin（2x﹣），所以f（）＝sin（2×﹣）＝sin＝．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．51．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的周期為，且圖像上一個最低點(diǎn)為．（1）求f（x）的解析式；（2）當(dāng)時，求函數(shù)f（x）的最值以及取得最值時x的值．【分析】（1）由ω＝，可得ω的值，由圖像上一個最低點(diǎn)為，知A＝，且f（）＝﹣，然后代入運(yùn)算，求得φ的值即可；（2）根據(jù)，可得x+的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．【解答】解：（1）由周期為，知ω＝＝，由圖像上一個最低點(diǎn)為，知A＝，且f（）＝﹣，所以f（）＝sin（?+φ）＝﹣，所以sin（+φ）＝﹣1，所以+φ＝﹣+2kπ，k∈Z，則φ＝﹣+2kπ，k∈Z，因?yàn)?＜φ＜π，所以φ＝，所以f（x）＝sin（x+）．（2）因?yàn)?，所以x+∈[，]，當(dāng)x+＝，即x＝時，f（x）max＝f（）＝1；當(dāng)x+＝，即x＝時，f（x）min＝f（）＝﹣，故函數(shù)f（x）的最大值為1，此時x的值為；函數(shù)f（x）的最小值為﹣，此時x的值為．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．52．（2022春?嘉定區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖像如圖所示．（1）求f（x）的解析式及對稱中心；（2）先將f（x）的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向右平移個單位后得到g（x）的圖像，求函數(shù)y＝g（x）在上的單調(diào)減區(qū)間和最值．【分析】（1）根據(jù)零點(diǎn)、最高點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合圖像求出A、最小正周期、ω的值，再令f（x）＝0求出對稱中心的坐標(biāo)；（2）根據(jù)圖像變換的規(guī)律，即可求出g（x）的解析式，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間、最值．【解答】解：（1）易知A＝2，，解得T＝π，所以，故，k∈Z，即，k∈Z，又|φ|＜π，故k＝0時，即為所求，故f（x）＝2sin（2x﹣），f（x）的對稱中心為（+，0），k∈Z．（2）易知g（x）＝＝＝sin（2x）＝﹣cos2x，要求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，只需﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得，k∈Z，令k＝1可得函數(shù)g（x）的一個單調(diào)遞減區(qū)間為[]，顯然g（x）在[]單調(diào)遞增，故y＝g（x）在上的單調(diào)減區(qū)間為[]，而＝，g（）＝1，g（）＝0，故g（x）在上的最小值為，最大值為1．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式、以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于中檔題．53．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）已知函數(shù)，A＞0，的部分圖像如圖所示，P，Q分別是該圖像相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，A），點(diǎn)R的坐標(biāo)是（1，0），．（1）求y＝f（x）的最小正周期與φ的值；（2）求A的值，并寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)，請研究函數(shù)y＝g（x）的奇偶性、最小正周期、單調(diào)區(qū)間、最大最小值．【分析】（1）由P是最高點(diǎn)結(jié)合“五點(diǎn)法”可求得φ，由正弦函數(shù)周期可得f（x）的最小正周期；（2）由，得∠QRx＝，結(jié)合周期可求得A，得函數(shù)解析式，變形為一個角的一個三角函數(shù)，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得結(jié)論；（3）根據(jù)奇偶性定義判斷奇偶性，由周期的定義判斷并說明最小正周期是，求出函數(shù)在一個周期區(qū)間[0，]上單調(diào)區(qū)間，結(jié)合周期性寫出單調(diào)區(qū)間，并求得最大值和最小值．【解答】解：（1）由題意+φ＝2kπ+，k∈Z，又0＜φ＜，所以φ＝，T＝＝6．（2）因?yàn)?，所以∠QRx＝，|yQ|＝A＝×＝，f（x）＝sin（x+），2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，得6k﹣2≤x≤6k+1，k∈Z，所以單調(diào)遞增區(qū)間是[6k﹣2，6k+1]，k∈Z；（3）由題意g（x）＝|sin[（x﹣