2023年北京延慶區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京延慶高三一模

數(shù)學(xué)

023.03

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，

選出符合題目要求的一項(xiàng)。

(1)已知集合4={0』},B={-1,0,0+3},且B,則。等于

(A)1(B)0(C)-1(D)-2

(2)已知/(X)=1+C：X+C：X2+C*3+C：X4,則/⑵等于

(A)16(B)80(C)81(D)243

(3)若直線x—y+l=0與圓f+y2—2x+l—a=0相切，則。等于

(A)2(B)1(C)V2(D)4

(4)若施€R,則“加=1”是“復(fù)數(shù)z=〃，(l+i)+加(i—l)是純虛數(shù)，，的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

111-1

(5)設(shè)a=log21，b=log,-,c=(-)5,貝ija,b,c的大小關(guān)系是

(A)c>h>a(B)c>a>b(C)b>a>c(D)a>b>c

(6)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為(2,—1),(-1,3),則tan/A03等于

(A)1(B)-1(C)—(D)--

55

(7)ISO216是國際標(biāo)準(zhǔn)化組織所定義的紙張尺寸國際標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)定義了A,B系列的紙張尺寸.設(shè)型號

為A,.(i=0,1,2,3,4,5,6)的紙張面積分別是q(i=0,1,2,3,4,5,6),它們組成一個(gè)公比為；的等比數(shù)

列，設(shè)型號為B,"=l,2,3,4,5,6)的紙張的面積分別是40=1,2,3,4,5,6),已知

b：=a-ag=1,2,3,4,5,6),則答的值為

b$

(A)-(B)——■(C)5/2(D)2

22

1

TT

(8)將/(x)的圖象向左平移;個(gè)單位，所得圖象與y=sin2x的圖象關(guān)于y軸對稱，則/(x)=

(A)-sin2x(B)sin2x(C)-cos2x(D)cos2x

(9)△ABC的外接圓半徑為1,圓心為。，且204+AB+AC=0,|OA|=|AB\,則C4-CB等于

(A)-(B)6(C)3(D)2yli

2

(10)數(shù)列｛%｝中，an=log?+l(n+2)(neN,),定義：使為整數(shù)的數(shù)

k(%eN*)叫做期盼數(shù)，則區(qū)間口,2023］內(nèi)的所有期吩數(shù)的和等于

(A)2023(B)2024(C)2025(D)2026

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)已知函數(shù)y=，以+1的定義域?yàn)锳,且—3eA,則a的取值范圍是.

(12)若雙曲線自2+V=1的焦距是6,則實(shí)數(shù)％=

(13)如圖，某地一天從6時(shí)至14時(shí)的溫度變化曲

線近似滿足函數(shù)y=4sin(@x+0)+6,其中

A>0,且函數(shù)在x=6與x=14時(shí)分別取得

最小值和最大值.這段時(shí)間的最大溫差為_；

(P的一個(gè)取值為.

(14)曲線2x|)|+2-1=0的一條對稱軸是_.)，的取值范圍是—.

(15)四面體0ABe的三條棱04,08,0。兩兩垂直，。4=。8=2,。。=4,。為四面體0ABe外

一點(diǎn)，給出下列命題：

①不存在點(diǎn)。，使四面體ABCO三個(gè)面是直角三角形；

②存在點(diǎn)。，使四面體ABC。是正三棱錐；

③存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)。，使點(diǎn)。在四面體A8CO的外接球面上；

④存在點(diǎn)。，使CO與A3垂直且相等，S.BD=M.

其中真命題的序號是.

2

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

(16)(本小題14分)

如圖，四棱錐P-A5C。中，底面A3CO是梯形，AD//BC,40,面PAB,

△PA8是等腰三角形，PA=PB,AB=BC=2AD=2,E是A5的中點(diǎn).

(I)求證：PELCD；

(II)設(shè)PA與C3所成的角為耳，直線尸。與平面

A8CO所成的角為4,二面角P-BC—A為4，

從以下所給的三個(gè)條件中選出其中一個(gè)作為已知

條件，求四棱錐P-A8C。的體積.

①cos<91='|；②sinq=^；③cos,=弓.

(17)(本小題14分)

4,

在△A3C中，cosB=—,b-6.

5

(I)當(dāng)a=5時(shí)，求A和c；

(II)求△ABC面積的最大值.

(18)(本小題13分)

某服裝銷售公司進(jìn)行關(guān)于消費(fèi)檔次的調(diào)查，根據(jù)每人月均服裝消費(fèi)額將消費(fèi)檔次分為。?500元；

500?1000元；1000?1500元；1500~2000元四個(gè)檔次，針對A,8兩類人群各抽取100人的樣本進(jìn)行統(tǒng)

計(jì)分析，各檔次人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：

0?50()?1000?1500?

500元1000元1500元2000元

人群

A類20502010

B類50301010

月均服裝消費(fèi)額低于1000元的人群視為中低消費(fèi)人群，不低于1000元的人群視為中高消費(fèi)人群.

(I)從A類樣本中任選一人，求此人屬于中低消費(fèi)人群的概率；

(H)從A,B兩類人群中各任選一人，分別記為甲、乙，估計(jì)甲的消費(fèi)檔次不低于乙的消費(fèi)檔次的概率;

(III)以各消費(fèi)檔次的區(qū)間中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)值為該檔次的人均消費(fèi)額，估計(jì)A,8兩類人群哪類月均服裝消

費(fèi)額的方差較大(直接寫出結(jié)果，不必說明理由).

3

(19)(本小題15分)

22萬

己知橢圓“：=+與=1(?！等耍?)經(jīng)過點(diǎn)C(O,1),離心率為y_,M與x軸交于兩點(diǎn)A(a,O),

ab~2

B(-?,0),過點(diǎn)C的直線/與M交于另一點(diǎn)。，并與x軸交于點(diǎn)P,直

線AC與直線8。交于點(diǎn)Q.

(I)求橢圓M的方程；

(H)設(shè)。為原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：。尸?。。為定值.

(20)(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=lnx-ex.

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

(II)求證：/(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；

(III)求證：方程xlnx=e"+x無解.

(21)(本小題14分)

已知“為正整數(shù)，集合A={a[a=(M，i，…,％2")，mG{T,1}"=1,2,…,2〃}具有性質(zhì)p：“對

于集合A中的任意元素a=(M，W，…,當(dāng)”)，川+%+—?+尤2"=。，且%+%+…+%2。，其中

i=1,2,…,2〃一1集合A中的元素個(gè)數(shù)記為IP(A)|.

(I)當(dāng)〃=2時(shí)，求|P(A)|；

(II)當(dāng)〃=9時(shí)，求%+%+…+/的所有可能的取值;

(III)給定正整數(shù)〃，求|P(A)].

4

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

(1)D(2)C(3)A(4)C(5)A

(6)B(7)C(8)B(9)C(10)D

二、填空題(共5個(gè)小題，每小題5分，共25分)

11Q

(11)(-00,-].(12)——.(13)20°,—(答案不唯一).

384

(14)x軸，[一1,1].(15)②③④.

說明：①兩個(gè)空的題目，前3后2,

②15題填對I個(gè)給2分，填對2個(gè)給3分，填對3個(gè)給5分，錯(cuò)選①不給分。

三、解答題(共6小題，共85分)

(16)(本小題14分)

如圖，四棱錐中，底面ABC。是直角梯形，ZDAB=90°,AD//BC,AOJ.面PA3,

A/%8是等腰三角形，PA=PB,AB^BC=2AD=2,￡是AB的中點(diǎn).

(I)求證：PE1CD；

(II)設(shè)Q4與所成的角為耳，直線與平面p

A8CO所成的角為斗,二面角尸-BC-A為。3，/7：\\

從以下所給的三個(gè)條件中選出其中一個(gè)作為已知/\

條件，求四棱錐P-A8CD的體積./E\\\

所以.........1分

因?yàn)槠矫鍼A8,PEu平面P43,

所以.........2分

因?yàn)?0048=A,

所以PE，平面ABCO..........4分

因?yàn)?u平面A8CO,

所以PELCO..........5分

(ID選①cosa=：；

法一：設(shè)尸是的中點(diǎn)，連接ARPF,.........6分

因?yàn)锳O&C/7,

所以Ab2co..........7分

所以NPA尸就是PA與CO所成的角，NPAF=6「.........8分

設(shè)PE=x,則PA=PB=J/+1,PF=y/x2+2,AF=6

因?yàn)镻E?=PA2+AF2-2PAXAFCOS4，

5

所以廠+2=%?+1+5—2Jx?+1xy/sx—.

解得元=2..........12分

所以％A6CD=1S/2=1[」(1+2)X2]X2=2..........14分

//loczy33*"2、

法二：設(shè)PE=r,設(shè)CO的中點(diǎn)為G,連EG,

則EGLAB,PE,AB,EG兩兩垂直.

分別以EG,E8,E尸為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系E-孫z……7分

則P((W),A(0,-l,0),0(1,—1,0),C(2,l,0).

所以FA=(0,-1,-r),C0=(-1,-2,0)..........9分

所以cos0.=|cos<PA,CD>|=’———=—.

V1+7XV55

解得f=2..........12分

所以％AB8=1S〃=』d(l+2)x2]x2=2-.........14分

/~/1DCL/33^2、

選②sin。?=~；

法一：連OE..........6分

因?yàn)槭?，平?8。。，

所以O(shè)E是PO在平面A8CO內(nèi)的投影...........7分

所以NPDE就是尸。與平面ABC。所成的角，ZPDE=02,且。6(。?！?。。)……8分

因?yàn)锳E=AO=1,

所以DE=6.

因?yàn)閟ing=等，

所以cos02=.

所以tan%=逝.

所以隹=J5.

DE

所以PE=2..........12分

所以丫…=興斗如2)x2]x2".........14分

法二：設(shè)C。的中點(diǎn)為G,連EG,

則EGLAB,PE,AB,EG兩兩垂直，

分別以EG,EB,EP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.……7分

6

設(shè)平面ABCD的法向量為m=(0,0/).

設(shè)P(0,0j),0(1,-1,0),

所以尸0=(1,—.........9分

所以sin仇=|cos<m,PD>|=—〔.

ixVi773

解得f=2..........12分

所以％Ase=1S/z=1d(l+2)x2]x2=2..........14分

*—/lot-zy33廠2、

選③cosg=手.

因?yàn)锳D//3C,ADJ.面

所以BCJ.平面PAB,

所以BCJ.P8,BC1AB.

所以NPBA就是二面角P-BC-A的平面角，ZPBA=03.........8分

所以尸8=J5.

所以PE=dPlf-PE?=2..........12分

所以％.ABa>=；S〃=；[g(l+2)x2]x2=2..........14分

(17)(本小題14分)

4,一

在AABC中，cosB=—,6=6.

5

(I)當(dāng)a=5時(shí)，求A和c；

(II)求&48c面積的最大值.

4

解：解：(I)因?yàn)镃OSB=M，且3e(0,萬),

3

所以sinB=—..........1分

5

□、，ba65

因?yàn)?----=-----,所以彳=-----.

sinBsinA￡sinA

5

所以sinA='.

3分

2

7

所以A=%或A=....................4分

66

371

因?yàn)閟in8=—，，B>—,

56

所以A〈色.

6

7T

所以A=2.....................5分

6

c=acosB+bcosA

=5x3+6x且=4+36.....................7分

52

(II)因?yàn)槿?="+C?-2〃ccos8="+C?-2acx—=36,....................8分

5

因?yàn)閍2+c2>2ac,

82

所以362lac——ac--ac.

55

所以acK90,當(dāng)且僅當(dāng)為a=c時(shí)，等號成立...........10分

。1?n3

S.=—acsinB=——ac.

謝Alir210

所以S427,當(dāng)且僅當(dāng)為a=c時(shí)，等號成立...........12分

即a=c=3質(zhì)時(shí)，5=27.

所以A48C面積的最大值為27.....................14分

(18)(本小題13分)

某服裝銷售公司進(jìn)行關(guān)于消費(fèi)檔次的調(diào)查，根據(jù)每人月均服裝消費(fèi)額將消費(fèi)檔次分為0-500元；500-

1000元；1000T500元；1500-2000元四個(gè)檔次，針對兩類人群各抽取100人的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，

各檔次人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：

0?500?1000?1500?

500元1000元1500元2000元

人群

A類20502010

B類50301010

月均服裝消費(fèi)額不超過1000元的人群視為中低消費(fèi)人群，超過1000元的視為中高收入人群.

(I)從A類樣本中任選一人，求此人屬于中低消費(fèi)人群的概率；

(H)從A,B兩類人群中各任選一人，分別記為甲、乙，估計(jì)甲的消費(fèi)檔次不低于乙的消費(fèi)檔次的概率；

(III)以各消費(fèi)檔次的區(qū)間中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)值為該檔次的人均消費(fèi)額，估計(jì)AB兩類人群哪類月均服裝消費(fèi)

8

額的方差較大(直接寫出結(jié)果，不必說明理由).

解(I)設(shè)此人屬于中低消費(fèi)人群為事件M,1分

20+50

則P(M)=

100

=0.7....................3分

(II)設(shè)甲的消費(fèi)檔次不低于乙的消費(fèi)檔次為事件N,....................4分

…、5,381311

貝nlijP(N)=—x1+——x——+——x--1---x一8分

10101010101010

502431

--------1---------1---------1-------

100100100100

0.7810分

(III)答：B13分

(19)(本小題15分)

22

已知橢圓M：二+二=1(。＞人＞0)經(jīng)過點(diǎn)C(0,l),離心率為M與x軸交于兩點(diǎn)

a-b~2

A(?,0),B(-?,0),過點(diǎn)C的直線/與M交于另一點(diǎn)O,并與x軸交于點(diǎn)P,直線AC與直線8。交于點(diǎn)

Q-

(I)求橢圓M的方程;

(II)設(shè)。為原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：OP-OQ為定值.

解：([)由題意得

b=\

,C....................1分

a2

又因?yàn)?/p>

解得/=2,6=1,....................3分

2

所以M的方程為二+V=1....................4分

2-

(II)法一

若/的斜率不存在，則。(0,-1),

此時(shí)心c=Zp°=_3，AC//BD,不符合題意.........................5分

設(shè)/的斜率為左，則/的方程為＞=去+1.....................6分

2

VX+2/-2=0,

y=Ax+l.

9

消去y整理得（1+2/）/+4"=0.7分

解得石=0,x2=------..............................................................................8分

1I乙K

\-2k2

=kx>+1=-----+1=9分

-1+2公1+2左2

-4k1-2公

所以。（1+2二）

1+2攵2

1-2公

17壽_1_2公_（"癡（1+亞k）

一4攵萬―2血二-4攵+及-加（1-夜%）2

1Z2F“

1+垃k

10分

00-6k）

BD：片總'

11分

怎。=一擊=一等'AC:y=—*x+l.....................12分

聯(lián)立4cB。的方程，解得：x=-2k,y=y/2k+l.

Q點(diǎn)坐標(biāo)為（一2%,后人+1）.....................13分

所以令y=O,解得：x=-1,

所以P（—2,0）,....................14分

k

所以0尸-0。=（一▲,0）《一2%,>/^1+1）=2為定值.........................15分

k

法二、

若。在），軸上，則。（0,-1）,

此時(shí)原C=%BD=—g，AC//BD,不符合題意

5分

設(shè)。（當(dāng)，凹），則［-+城=1,且X尸0,y尸一1,

B（-V2,0）,%=一"L，6D：y=—'5L（x+&），...............6分

%1+5/2X,+5/2

==~

^AC772~^"'AC：y=2~x+^'.....................................7分

10

5

消去y得3L（x+0）=_在x+1,

%,+V22

yx+5/2^1=—（%|+>/2）x+%+y/o,,

解得X=X|一血"+血=2元］-2立凹+2忘

8分

,V2,2y,+V2x+2

,+/-玉+1'1

x+1,

令y=0,解得巧9分

i-y

OPOQ=_A_

26rx10分

2y+J2%j+2］—y

特別地，當(dāng)/過點(diǎn)A時(shí)，P(g,0),Q(&,0),此時(shí)OROQ=/x0=2,…11分

要證OPOQ=2恒成立，即.2勺二20+2拒*_ZL_=2恒成立,

2）［+>/2玉+21-y,

只需證（2王一2夜y+2夜）M=2（1-弘）（2%+&玉+2）,

即2xj—2^2%|_y|+2^2%|—4y+2>/^玉+4—4yj—2>/^^］弘—4y,

即232+4短=4,.........14分

吟+城=1

上式顯然成立

所以O(shè)PO0=2.................15分

法三、

若。在y軸上，則0(0,—1),

此時(shí)須°=冊。=_2—，AC//BD,不符合題意........................5分

/IVDL7

設(shè)O(X，y),則當(dāng)+y；=],且x#0,y尸—1,

8（—&,0）,原。=-A=，BO：y=—^（X+收）.................6分

Xj+v2%+\/2

kAC==,AC:y=-^-x+\,.........................................7分

ACO22

11

5

消去y得L（x+0）=_在x+1,

%,+V22

yx+\[iyy=—（%|+>/2）x+玉+>/2,

2^1-Zyfiy、+2y

解得玉=M當(dāng)L+&8分

V22y+6x、+2

y+2-芭+i

%=兌」，。。:>=息二1+1,

王X|

令y=o,解得/=工，........................9分

i-y

OPOQ=2x「2*+2號*_...........10分

2y+J2%j+21-y

2

2%j-2^/2%,y+2y/2xl

-2（必+1）（1-弘）+以（1-必）

2xj-2y[lxxyx+2垃x、

2（l-yJ）+V^X]-④西%）

_2x,2-2A/2X,y+2夜不

%j2+V2x）-Ox、y

=2......................15分

所以。尸?00為定值.

（20）（本小題15分）

已知函數(shù)/(x)=lnx-e".

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1]⑴)處的切線方程；

(II)求證：f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；

(III)求證：方程xlnx=e"+x無解.

解：(1)f'(x)=--ex,/'⑴=1—e...........1分

X

/⑴=-e,...........2分

/.加的方程為y+e=(l-e)(x-l).

即：m：y=(l-e)x-l............4分

(ID/(X)的定義域是((),+8)

f\x)=--ex...........5分

X

12

???L在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，一e'在區(qū)間(0,+00)上也是減函數(shù)，

X

，/'(x)=L-e*&e(0,+8))是減函數(shù)，............6分

x

Vr(l)=l-e<0,嗎=2_正>0

.?.訓(xùn)egl),-=0,......................7分

當(dāng)元￡(0,/)時(shí)，ff(x)>0,當(dāng)X￡(Xo，+8)時(shí)，f\x)<0,

所以/(X)在(0,玉))上是增函數(shù)，在(%,+8)上是減函數(shù)，............8分

所以/(X)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x0.......................9分

(III)設(shè)/?(%)=xlnx-e"-工，

貝ijhr(x)=Inx-,......................10分

當(dāng)JC￡(0,1)時(shí)，lnx<0,<0,A/?r(x)<0,......................11分

當(dāng)x=l時(shí)，//(I)=-e<0,

由(II)知，l(x)在口,+8)上是減函數(shù)，

/.當(dāng)X￡(1,4-00)時(shí)，//(X)<0,

:.當(dāng)兀w