2022年新高考天津數(shù)學高考真題（解析版）

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（天津卷）2022.06.

一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,設(shè)全集。=卜2，-L°，2},集合A={0,l,2},B={-1,2},則“（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】先求出為B,再根據(jù)交集的定義可求An（dB）.

【詳解】Q/={-2,0,1},故A&B）={0,1},

故選：A.

2.“X為整數(shù)”是“2x+l為整數(shù)''的（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

［分析】依據(jù)充分不必要條件的定義去判定“x為整數(shù)”與“2x+1為整數(shù)”的邏輯關(guān)系即可.

【詳解】由題意，若X為整數(shù)，則2x+l為整數(shù)，故充分性成立；

當尤=!時，2x+l整數(shù)，但x不為整數(shù)，故必要性不成立；

2

所以"x為整數(shù)''是"2x+l為整數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

3.函數(shù)/（X）=的圖像為（)

X

【答案】D

【解析】

【分析】分析函數(shù)/（x）的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在（—,（））上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出

合適的選項.

【詳解】函數(shù)/（力=忙習的定義域為卜忖。0},

日（-x）~~llx2-11

艮f（-x）=--------------=--------=-/（尤）'

-XX

函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，A選項錯誤；

又當x<（）時，=E——^40，C選項錯誤；

當x>l時，〃》）」,一"=二二1=%_工函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項錯誤；

XXX

故選：D.

4.為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分

組區(qū)間為[12,13）,口3/4）,[14,15）,[15,16）,[16,17],將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二

組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組

中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（）

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合已知條件和頻率分布直方圖求出志愿者的總?cè)藬?shù)，進而求出第三組的總?cè)藬?shù)，從而可以求得

結(jié)果.

20

【詳解】志愿者的總?cè)藬?shù)為=50,

(0.24+0.16)x1

所以第三組人數(shù)為50x0.36=18,

有療效的人數(shù)為18-6=12.

故選：B.

5.已知a=207，匕=[()，c=l°g2；，則()

A.a>c>hB.h>c>aC.a>b>cD.c>a>h

【答案】C

【解析】

【分析】利用基函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出〃、b、c的大小關(guān)系.

【詳解】因為2°'>(g)>0=log21>log,>故a>b>c.

故答案為：C.

6.化簡(21og43+Iog83)0og32+Iog92)的值為()

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.

詳解】原式=（2xglog23+|log23）（log32+|log32）

43

=-log23x-log32=2,

故選：B

22

7.已知拋物線小右乂耳，工分別是雙曲線｝=的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲

7T

線的左焦點匕，與雙曲線的漸近線交于點A,若/耳層A=i,則雙曲線的標準方程為（）

y22

CV-1X2

D.—y=1

44

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得出c的值，求出點A的坐標，分析可得|A4|=|4月|,由此可得出關(guān)于。、b、c的

方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標準方程.

【詳解】拋物線V=4底:的準線方程為》=一不，則c=5則4-底0）、鳥（百,0）,

bx=-c

y=—x(bc\

不妨設(shè)點A為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立《a，可得＜be，即點A[-c,—I,

y=—

x=-ca

rr

因為_L6鳥且N1后A=w，則△KKA為等腰直角三角形,

beb

且|M|=|耳國,即二=2c,可得Z=2,

a

噎

aa=1

所以，C-5/5，解得《b=2,因此，雙曲線的標準方程為爐―E=i.

222r-4

c=a+bC=yJ5

故選：c.

8.如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為

120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）

得

十字歌山0

A.23B.24C.26D.27

【答案】D

【解析】

【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.

【詳解】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱。GC—AE5組成，作于M,如圖,

因為C〃=B〃=3,NC”B=12O，所以CM=8/=更,4M=3

22

因為重疊后的底面為正方形，所以AB=BC=3百，

在直棱柱AED-B//C中，ABL平面3HC,則

由ASC3C=3可得_L平面ADCB,

設(shè)重疊后的EG與FH交點為/,

則匕一皿=93辰3辰巧=4,匕如麗=93昌，36=？

?J乙乙乙4I

QI27

則該幾何體的體積為V=2匕e-BHC—匕-88A=2X1—彳=27.

故選：D.

9.已知/(x)=；sin2x,關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：

①/(X)最小正周期為2兀；

②f(x)在［-：,；］上單調(diào)遞增；

44

71兀6A/3

③當XW時，/(X)的取值范圍為

63_不彳

④fM的圖象可由g(x)=gsin(2x+：)的圖象向左平移1個單位長度得到.

以上四個說法中，正確的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說法的真假.

I2冗

【詳解】因為/(x)=3sin2x,所以，(x)的最小正周期為7=彳=兀，①不正確；

令t=,而y=；sinf在一gg上遞增，所以/⑶在上單調(diào)遞增，②正確；因為

-兀2兀1「百】」君「

"2xe4三一sinf-7，l,所以/(x)一彳受，③不正確;

由于g(x)=gsin(2x+；)=gsin，所以/(x)的圖象可由g(x)=；sin(2x+：)的圖象向右平

移弓個單位長度得到，④不正確.

O

故選：A.

第II卷

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給

3分，全部答對的給5分.

1l-3i

10.已知i是虛數(shù)單位，化簡一土的結(jié)果為

l+2i

【答案】l-5i##-5i+l

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則即可解出.

11-3i_(11-3i)(l-2i)_11—6-25i_1_5.

【詳解】

l+2i-(l+2i)(l-2i)―1'

故答案為：1—5i.

11.的展開式中的常數(shù)項為

【答案】15

【解析】

5-5r-5-5r

【分析】由題意結(jié)合二項式定理可得的展開式的通項為W.3,.X2,令---=0,代

入即可得解.

【詳解】由題意［五+烏）的展開式的通項為（+1=??（?）"'=c；-3r-x^，

令己于-=0即r=l，則C>3'=C；?3=15,

所以（五+之）的展開式中的常數(shù)項為15.

故答案為：15.

【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.若直線%—y+加=0（加>0）與圓（％-1）2+（丁-1）2=3相交所得的弦長為機，則團=

【答案】2

【解析】

【分析】計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于"的等式，即可解得“2的值.

【詳解】圓（x—1）2+（y—1）2=3的圓心坐標為（1,1）,半徑為右,

八/、1-1+/77

圓心到直線X—y-^m=>°)的距離為----y=—

就'

2m2

由勾股定理可得+=3,因為加>0,解得加=2.

5)

故答案為：2.

13.52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到4的概率為；已知第一次

抽到的是4,則第二次抽取A的概率為

【答案】①.」一②.

22117

【解析】

【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽

到A的條件下，第二次抽到A的概率.

【詳解】由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為民第二次抽到A的事件為C,

則尸⑻)<4=言")/$個閭=囑=彗=》

13

11

故答案為:

22117

14.在A8C中，CA=a,CB=b,。是4c中點，CB=2B3試用表示￡)E為若

AB±DE'則NAC8的最大值為

3-1-TL

【答案】①.—b—a②.—

226

【解析】

【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出￡>E，以｛。力｝為基底，表示出施，由

鉆_1?！昕傻?/+/=4'〃，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點E為原點建立平面直角坐標系，設(shè)￡(0,0),8(l,0),C(3,0),A(x,y),由可得點A的

軌跡為以M(-1,0)為圓心，以r=2為半徑的圓，方程為(x+l)2+/=4,即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當且

僅當。4與(，M相切時，NC最大，叩求出.

【詳解】方法一：

A

D

31-

DE^CE-CD=-b——aAB^CB-CA-b-a,AB±DE=>(3b-a)(b-a)=0,

22

三，當且僅當同=百網(wǎng)時取等號，而

\a\\b\4耶|4耶2

7T

0<ZACB<7i,所以NAC8E(0,—].

6

317t

故答案為：一力—a；—.

226

方法二：如圖所示，建立坐標系：

￡(0,0),B(l,0),C(3,0),A(x,y)fDE=(-^,-j),AB=(1-x-y),

ia2

DE±AB=>(——r)(x-l)+^v-=0=>(x+l)2+y2=4,所以點A的軌跡是以M(T,0)為圓心，以

22

廠=2為半徑的圓，當且僅當C4與(似相切時，NC最大，止匕時sinC=--=-=-,NC=X.

CM426

317c

故答案為：—b—a；—.

226

15.設(shè)aeR,對任意實數(shù)x,記/(x)=min{W_2,x2一公+3。-5}.若/(x)至少有3個零點，則實

數(shù)。取值范圍為.

【答案】a>10

【解析】

【分析】設(shè)g(x)=d-辦+3。-5,〃(力=兇—2,分析可知函數(shù)g(x)至少有一個零點，可得出

A>0,求出。的取值范圍，然后對實數(shù)。的取值范圍進行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)。的不等

式，綜合可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】設(shè)g(x)=f-依+3a-5,〃(x)=W—2,由兇一2=0可得x=±2.

要使得函數(shù)/(x)至少有3個零點，則函數(shù)g(x)至少有一個零點，則△="—i2a+2020，

解得。<2或10.

①當a=2時,^(X)=X2-2X+1,作出函數(shù)g(x)、/z(x)的圖象如下圖所示：

此時函數(shù)/(X)只有兩個零點，不合乎題意；

②當a<2時，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個零點分別為與、々(芭<%2)，

要使得函數(shù)/(x)至少有3個零點，則尤2?-2，

fc<-2

所以,2解得。€0;

g(-2)=4+5a—5N0

③當a=10時，g(x)=f_10x+25,作出函數(shù)g(x)、/z(x)的圖象如下圖所示:

由圖可知，函數(shù)/（X）的零點個數(shù)為3,合乎題意；

④當。＞1（）時，設(shè)函數(shù)g（x）的兩個零點分別為芻、七（毛＜七），

要使得函數(shù)“X）至少有3個零點，則天之2,

—＞2

可得＜2,解得a＞4,此時Q＞10.

g⑵=4+a-520

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是口（）,”）.

故答案為：［10,”）.

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖

象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.在_43。中，角4、B、C的對邊分別為.，6,c.已知a=J^,b=2c,cosA=-1.

4

（1）求c的值；

（2）求sinB的值；

（3）求sin（2A-B）的值.

【答案】（1）c=l

（2）sinB=---

4

(3)sin(2A-S)=

【解析】

【分析】（1）根據(jù)余弦定理02=》2+02-2》0＜：054以及人=2。解方程組即可求出；

（2）由（1）可求出人=2,再根據(jù)正弦定理即可解出；

（3）先根據(jù)二倍角公式求出sin2A,cos2A,再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出.

【小問1詳解】

因為。2="2+。2一2反cosA，即6=〃+c2+J?秘，而8=2c,代入得6=4。2+。2+。2,解得:

2

c=l.

【小問2詳解】

由(1)可求出。=2,而0<4<兀，所以sinA=Jl—cos2A=姮,又‘一=」一,所以

4sinAsinB

9立

._OsinA*4叵.

sinB=------=——尸一

aV6~1~

【小問3詳解】

因為cosA=-1,所以工<4<兀，故0<8</，又sinA=Jl—COS2A=M5,所以

4224

A/15A/15c4c241c117丁

sin2A=2sinAcosA=2xx---=-----,cos2A=2cosA—1—2x----18'而

74816

sinB->所以cosB=Jl—sin?B

44

V67VioVio

故sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB-------1——X-------=--------

4848

17.直三棱柱48。一44&中，AA]=AB=AC=2,AA]1AB,AC1AB,。為44的中點，E為

AR的中點，尸為CD的中點.

(1)求證：防〃平面ABC；

(2)求直線BE與平面CG。所成角的正弦值；

(3)求平面與平面CG。所成二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

10

【解析】

【分析】（1）以點A1為坐標原點，AA、4片、A6所在直線分別為X、了、z軸建立空間直角坐標

系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；

（2）利用空間向量法可求得直線座與平面CG。夾角的正弦值；

（3）利用空間向量法可求得平面ACO與平面CG。夾角的余弦值.

【小問1詳解】

證明：在直三棱柱ABC—A4G中，A&_L平面AgG，且AC_LAB,則

以點4為坐標原點，4A、4片、4G所在直線分別為x、＞、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標

則4（2,0,0）、3（2,2,0）、C（2,0,2）、4（。，。，。）、4（（），（），2）、C,（0,0,2）,￡＞（0,1,0）,

￡（1,0,0）,小川，則E升=

易知平面ABC的一個法向量為加=（1,0,0）,則￡1/./"=（），故EF_!_〃？，

"U平面ABC,故瓦7/平面ABC.

【小問2詳解】

解：C,C=(2,0,0),q0=(0,1,-2),EB=(1,2,0),

___/、u-CyC—2x,=0

設(shè)平面CG。的法向量為〃=則〈'二八，

〃?G。=y—2Z]=0

EBu4

取y=2,可得"=（0,2,1）,3<眼〃>=網(wǎng)|「丁

4

因此，直線的與平面CG。夾角的正弦值為§.

【小問3詳解】

解：4。=（2，。，2）,4。=（。’1,0）’

設(shè)平面A。。的法向量為u=（%,%，z2），貝"?？，

/、??u-v1V10

取9=1,可得y=（l,0,T）,則cos<〃,…麗=-反正=-元,

因此，平面4co與平面CG。夾角的余弦值為巫.

10

18.設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，｛4｝是等比數(shù)列，且4=仇=4一4=。3一%=1-

（1）求｛4｝與也｝的通項公式；

⑵設(shè)｛4｝的前n項和為S“，求證：（S,*I+%）2=S“+I%-S“2；

⑶求￡[%+i-（T）"%]4.

k=l

【答案】（1）an=2n-l,bn=2"-'

（2）證明見解析（3）（6"2）4=+8

9

【解析】

【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項公式進行基本量運算即可得解：

（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項與前n項和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證;

（3）先求得[如一㈠）21a+[他舊一（一1產(chǎn)%，進而由并項求和可得<=￡%4+

k=\

再結(jié)合錯位相減法可得解.

【小問1詳解】

設(shè)｛4｝公差為4,他,｝公比為4,則。,,=1+(〃-1)乩2=，1，

\+d-q=\

由&2-匕2=。3一偽=1可得＜,nd=</=2（4=q=0舍去）,

\+2d-q-=\

所以4=2〃-1也=2"，

【小問2詳解】

證明：因為或+i=2b產(chǎn)0,所以要證（S?+1+an+i）bn=Sn+{bn+i-Snbn,

即證即“+i+an+l）bn=Sn+i-2bn-Snbn,即證Sn+l+a?+1=2Sn+t-Sn,

即證a“+i=S,用一S?,

而%+i=S“+i-S”顯然成立,所以（S“+|+an+l）bn=Sn+i-bn+i-Snbn；

【小問3詳解】

因為［%一（一1）"+［知+|一（一1）’。2J%

=（4左一1+4左一3）x22"2+［4k+l-（4?一l）］x22"i=2A>4",

所以之［見+1-（-1）%］仄=￡［（4左一（-1）21%1）砥-1+（。2*+1一（一1）"%?）%」

k=lk=\

這2h4”,

k=\

設(shè)7；=￡2h4?

2=1

所以7；=2x4+4x42+6x4,+…+2〃x4",

則47；=2X42+4X43+6X44+-.+2〃X4"+I,

+|

作差得—37；=2（4+42+甲+44+…+4"）—2〃?4e=2.：：4）_2/?x4?

_（2-6n）4,,+1-8

--------------,

3

（6〃-2）49+8

所以7；=

9

所以?"十版小=（6y4%8

k=\9

19.橢圓，+，=1（?！地埃?）的右焦點為尸、右頂點為A,上頂點為B,且滿足需=等.

（1）求橢圓的離心率e；

（2）直線/與橢圓有唯一公共點M,與y軸相交于N（N異于M）.記。為坐標原點，若|OM|=|CW|,

且.OMN的面積為6,求橢圓的標準方程.

【答案】⑴e="

3

22

⑵匕+二=1

62

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于〃、。的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值；

（2）由（1）可知橢圓的方程為f+3y2=a2,設(shè)直線/的方程為丫=丘+相，將直線/的方程與橢圓方程

聯(lián)立，由△=（）可得出3加2=片0+3抬），求出點M的坐標，利用三角形的面積公式以及已知條件可求

得”的值，即可得出橢圓的方程.

【小問1詳解】

【小問2詳解】

解：由（1）可知橢圓的方程為爐+3；/=。2,

易知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為、=奴+機，

y=kx+m

聯(lián)立《得(1+3攵2卜2+6Amx+(3>-*=0,

x2+3y2=a2

由△=36〃加2—4(1+342)(3〃，一〃)=o=3m2=0+342),①

3km,m

Xm

一一3r+1，yM=——

1十3K

由OON可得加2②

|M=||（3父+1）2

由=6可得+卜魯方=技③

乙1?3K

、1y22

聯(lián)立①②③可得公==，根2=4，〃=6,故橢圓的標準方程為土+v匕=1.

362

20.已知a,2eR,函數(shù)/(x)=e'-asinx,g(x)=8?

(1)求函數(shù)y=/(x)在(0,/(0))處的切線方程；

(2)若y=/(x)和y=g(x)有公共點，

(i)當a=0時，求匕的取值范圍；

(ii)求證：cr+b2>e-

【答案】(1)y=(1—d)x+1

(2)(i)be［伍,+e)；(ii)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求出了'(0)可求切線方程；

(2)(i)當a=0時，曲線y=/。)和y=g(x)有公共點即為s(r)=-—初,/20在［0,+8)上有零點,

求導后分類討論結(jié)合零點存在定理可求人eh應,+oo).

(ii)曲線y=/(x)和y=g(x)有公共點即asin/+久用一/>=(),利用點到直線的距離得到

yla2+b2>,利用導數(shù)可證一?——>e，從而可得不等式成立.

{sirTXo+Xosin-x+x

【小問1詳解】

/'(x)