一講數(shù)學(xué)二高等數(shù)學(xué)模擬題

2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page1of2017考研數(shù)學(xué)二模擬題一、選擇1ln（1）極限limx1（C）e2（D）e21ln1lnsineln2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page1of2017考研數(shù)學(xué)二模擬題一、選擇1ln（1）極限limx1（C）e2（D）e21ln1lnsineln解法1：lim.x1 cos 2x 1x12 ln11ln所以lime.正確選項(xiàng)為x2解法2：設(shè)f(xsinxlnx,則lnf(x .因1 cos 2x 1， ln1x211ln所 lime.正確選項(xiàng)為x2關(guān)于不定型極限的計(jì)算方泰勒公12017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page2of2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page2of22017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page3of32017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page4of1（2）f(x)的間斷點(diǎn)x0與x2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page4of1（2）f(x)的間斷點(diǎn)x0與x1的類型分別1e1第一類間斷點(diǎn)，第二類間斷點(diǎn)．第二類間斷點(diǎn)，第一類間斷點(diǎn)．第一類間斷點(diǎn),第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn),第二類間斷點(diǎn)解：lime1x1，limf(x不存在x0為函數(shù)f(x)的第二類間斷點(diǎn)；為xe1，limf(x)0xe1， f(x)0x1為函數(shù)f(x)的第一類間斷關(guān)于一元函數(shù)間斷點(diǎn)的分類問42017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page5of52017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page6of（3） dx01sin2（A）2（B）1．（C）1（D）22答案233 2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page6of（3） dx01sin2（A）2（B）1．（C）1（D）22答案233 01sin2 解dx.令ttanxdxdxdx221sin221sin21sin200 20dx01sin22t2 關(guān)于定積分與不定積分問1.幾類函數(shù)的不定積分：初等函數(shù)、分段函定積分的性質(zhì)：奇偶對(duì)稱性、周期函數(shù)的定積分，保序性等，值定62017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page7of2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page7of72017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page8of2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page8of82017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page9oftf )dt（4設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x滿足條件f(xf(x)30足的微分方程初值問題2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page9oftf )dt（4設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x滿足條件f(xf(x)30足的微分方程初值問題f(x)f )3（A） (x)3f(x)2（B）．．f(0)f(x)f(x)f(x)3f(x)2e2（C）3（D）f(0)．．答案f(t)dtxf(x)f(t)dt解：因f(x)連續(xù)3300f(x)f(t)dt 可導(dǎo)x兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得3f(x)3f(x)關(guān)于函數(shù)方化成微分方程的初值問化成代數(shù)方取x0，f(0)1.92017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page10of（5）設(shè)zz(x,y是由方程xyzez所確定的隱函數(shù)，z 22017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page10of（5）設(shè)zz(x,y是由方程xyzez所確定的隱函數(shù)，z 2（D）12（B）111．．．．22答案解：記F(x,yz)xyz，zx z ，，11z所 .1關(guān)于隱函數(shù)、反函數(shù)、參數(shù)函數(shù)微分的問2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page11of2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page12of ex（6）設(shè)a0D{(x,x2y2a2，則Ddxdy2 ex（A）42xydxdy，其中D1{(xy)x2y22017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page12of ex（6）設(shè)a0D{(x,x2y2a2，則Ddxdy2 ex（A）42xydxdy，其中D1{(xy)x2y2a2,x0,yD ex（B）22xydxdy，其中D2{(xy)x2y2a2,x0}D ex（C）42xydxdy，其中D3{(xy)x2y2a2,x0,yD答案 ex解：記f(x,y，則f(xyf(xy2記2{(x,y)x2y2a2x0,y0}，3{(x,y)x2y2a2x0,y0} yyyyx則 dxdy dxdy， dxdy 2222D3 ex ex ex ex ex2xydxdy2xydxdy2xydxdy2xydxdy2xydxdyD ex ex ex22xydxdy22xydxdy22xy故正確選項(xiàng)為函數(shù)的奇偶性與二重積分2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page13of例設(shè)D是平面上以(1,1),(1,1),(1,1三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)則積 (xycosxsiny)dxdy DD2 2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page13of例設(shè)D是平面上以(1,1),(1,1),(1,1三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)則積 (xycosxsiny)dxdy DD2 (A) 0x2 2(D 4(xycosxsin解：如圖，將D區(qū)域分割成D1D1D2D2四個(gè)小區(qū)域，(xycosxsiny)dxdy(xycosxsinDDD2DD 2而(xy)dxdyDD (xy)dxdyD2D2(cosxsinD2D2(cosxsiny)dxdy(cosxsin2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page14of(A)正確2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page14of(A)正確所 (xycosxsin2cosxsinydxdy，答D2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page15of二、填空1cos2x1xsin（9）222017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page15of二、填空1cos2x1xsin（9）22 x2(ex答案：131cos2x1xsin解：lim limsinx(sinxxcosx)limsinxxcosx2xx 2limxsinx3不定型求極限問2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page16of（10）方 y23x2y2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page16of（10）方 y23x2y3xy0的通解 答案：ye2yx則yuxu解：令u,uxu ，3u22ye2C這是分離變量方可求解的常微分變量可分離型方程，可化為變量可分離型方一階線性方程，可化為一階線性方程（貝努力方程高階（二階）可降階方高階線性方程：解的結(jié)構(gòu)，求Euler方程2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page17of2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page17of2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page18of1(y解方程2例。2解：令ppydy2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page18of1(y解方程2例。2解：令ppydyd2dpdy p dy p 2代入方程得這是變量可分離型2pdp1y兩端積分得ln(1p2)lnyln即2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page19ofdyC1C12017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page19ofdyC1C1y2解此方程化簡(jiǎn) Cy1x12C1(Cy1)(x)2121例求方程2yy1y)2滿足初始條件y(0)1,y(0)0的特解解：記py ，則原方程2ypdp1可以化為變量可分離方2pdp1 由初始條件p(1)0解ln(1p2)ln1y2還是變量可分離方dydxy1求解，代入初始條y 2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page20of常微分方程的來(lái)本身就是一個(gè)常微分方函數(shù)方程導(dǎo)出常微分方幾何問題導(dǎo)出常微分方2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page20of常微分方程的來(lái)本身就是一個(gè)常微分方函數(shù)方程導(dǎo)出常微分方幾何問題導(dǎo)出常微分方程（與面積、弧長(zhǎng)、切線、法線有關(guān)第二類曲線積分與路徑無(wú)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域I上的導(dǎo)數(shù)大于零。若對(duì)任意的I例曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線與直線xx0及x軸所圍成f(0)2，求f(x)的表達(dá)式面積恒為4解：切線方程yf(x0)f(x0)(xx0f(x0解得零點(diǎn)x。由條件切線與直線xx及x軸所圍成 f(x00面積恒為41(xx)f(x) 02f(xf(x0。f(x)是微分方程初值0即81 y2y8的解。解得通解y 8C2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page21offx) 8 。1代入初始條件，C ，所2x f4f(x)；f(xxysinx)dx例已知積與路徑無(wú)關(guān)為2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page21offx) 8 。1代入初始條件，C ，所2x f4f(x)；f(xxysinx)dx例已知積與路徑無(wú)關(guān)為可L f函數(shù),且,（）f(x)2 對(duì)(1)中求得f ,求函使uu(x,du(xxysinx)dxf(x)dyx(3)對(duì)(1)中求得的f(x),求上述積分,其中積分路徑為從A(,1)B(2,0)f(x)(xxysinx xf(x)f(x)f(x)1f(x)x2sinxsinxx這是一階線性微分方程。通解為f(xx(sinxxcosxC),由初始條件f0,C2 于f(x)x(sinxxcosx(xxysinx)dxf(x)dy(xxysinx)dx(sinxxcosx(2)解法xxxxysinx，u xycosxysinx(2xcosxsinx(y)sinxxcosx(y)1，(y)yCx2u xycosxysinxy2其中C為任意常數(shù)。(x,y(xxysinx)dx(sinxxcosx1)dyuxy (sinxxcosx1)dy00x xycosxysinxy22017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page22of(3)解法積分與路徑無(wú)關(guān),由A到B2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page22of(3)解法積分與路徑無(wú)關(guān),由A到B取平行與坐標(biāo)軸的兩條路30I (cos1)dyxdx(1)21Iu(x,y)Bu(B)u(A)(1)3解法A2f(x)cosxsinx2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page23ofyf（11） 2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page23ofyf（11） y f(t確定，.10答案f(t)f(t.1解：令tuv，則y f(v)dv，tf(t)f(t.1t參數(shù)函數(shù)的求2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page24ofln(cosx1p（12）使得廣義積分收斂的實(shí) 的取值范0是2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page24ofln(cosx1p（12）使得廣義積分收斂的實(shí) 的取值范0是.答案：p22x0是廣義積分的瑕點(diǎn).當(dāng)x0ln(cosx)ln(1xo(x2))~x22所ln(cos~1，x0p21時(shí)廣義積1ln(cosdxx0關(guān)于廣義積分（反常積分反常積分求積分值（見下面的計(jì)算題2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page25of2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page25of2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page26of2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page27ofx|y|x2y2（13）設(shè)f(xyf(t2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page27ofx|y|x2y2（13）設(shè)f(xyf(t,t)，則 x2zx2y2答案 22解：討論zf(t,t在t0點(diǎn)的導(dǎo)t|tf(t,t)f(0,0)t222 2dt2所以zf(t,t在t0點(diǎn)的可導(dǎo)，其微分t2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page28of2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page28of2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page29of2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page30of三、解答exex.（15）計(jì)算反常積分 ex2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page30of三、解答exex.（15）計(jì)算反常積分 exe解arctan4e2xe202017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page31off(x)2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page31off(x)(上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿xf(x)f(x)g(x)f(x)其中g(shù)(x為一個(gè)固定函數(shù).證明：若f(x在兩點(diǎn)等于零時(shí)，則f(x此兩點(diǎn)間的區(qū)間上恒等于證明：設(shè)f(a)f(b) ab，若f(x)在(a,b)區(qū)間內(nèi)不恒等于零，cf(c0，不妨設(shè)f(c)0，則在[a,b]內(nèi)f(x有最大值，不妨假設(shè)就在點(diǎn)取到，則f(c)0f(cf(c0，c點(diǎn)為最小值點(diǎn)，矛盾。故假設(shè)不成立，即f(x)在(a,b)區(qū)間內(nèi)恒等于零.關(guān)于極值與最值一元函數(shù)的極值判一元函數(shù)的最值判多元函數(shù)的無(wú)條件極值判4.Lagrange2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page32ofdyd2y dx（17）求解二階微分方程的定解問題2y(0)1,y(0)d2解2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page32ofdyd2y dx（17）求解二階微分方程的定解問題2y(0)1,y(0)d2解：令uy，uy)uy，原方程化yuu2u(u1)若yu0，則yC，不符合初值條件，舍當(dāng)u0yu2(u1)，方程通解.uCy21由初始條件可知，u(1)3，因此u4y24y21，得到通解為2y1Ce4x，代入初始條件再解方程2y22y11e43，從，所以定解問題之解為y(0)1可得C22y 12y 32017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page33off(x在[0可導(dǎo)，f(01，其反函數(shù)g(x（18若xf2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page33off(x在[0可導(dǎo)，f(01，其反函數(shù)g(x（18若xf(g(tx)dt(2x1)f.1（I）；0（II）解（If(x)x0，則由已知條(2x1)f(x)，g(t)dtf(0)xf(1g(tx0（II）令tu g(u)du，所xf(f(g(tx0g(u)du(2x1)f(x)f(0求導(dǎo)可g(f(x))f(x)(2x1)f(x)2f(x)xf(x)(2x1)f(x)2f(x)f(x)2f(x)xf(x) .(x由條件f(0)1，f(x) .(x2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page34of|xy|dxdyx2y2解：記D(,) 3,02017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page34of|xy|dxdyx2y2解：記D(,) 3,04，D(,)47,0，12444|xy|dxdy(xy)dxdy(xx2y24311 4 )d )d224230044分段定義函數(shù)的2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page35of2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page35of2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page36of（20）在曲線yx1)2上的點(diǎn)(2,1)處作該曲線的法線，由法線，x以及該曲線圍成的區(qū)域記作D求2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page36of（20）在曲線yx1)2上的點(diǎn)(2,1)處作該曲線的法線，由法線，x以及該曲線圍成的區(qū)域記作D求區(qū)域D的面積求區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的體解（I）法線方程為y2x，法線與x軸的交點(diǎn)為(4,0)2積區(qū)域Dx4324S (x1)dx )dx2212（II）區(qū)域Dx軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的體積x24V (x1)dx (2)dx 42212積分的應(yīng)平面區(qū)域的面設(shè)D(x,yaxb,0yf(x)，則D?2的面積yf(x)，則D2的面積更一般地，若D(x,y)axbg(x)在極坐標(biāo)系下，若D(,),0()，則D?2的面積例1.1設(shè)D?2由曲線yx2和xy2圍成，求其面積解：曲線yx2xy2的交點(diǎn)為(0,0),(1,1)，面積S (xx2)dx130S 2(bSa[f(x)bSaf2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page37of例1.2求心臟線=a(1cos)(a0)的面積解：因?yàn)樾呐K線關(guān)于x13 2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page37of例1.2求心臟線=a(1cos)(a0)的面積解：因?yàn)樾呐K線關(guān)于x13 S a(1222d220曲線的弧設(shè)平面曲線的參數(shù)方程x，ty則其弧長(zhǎng)設(shè)平面曲線的極坐標(biāo)方程()，[,則其參數(shù)方程x()cos，[,y()則其弧長(zhǎng)設(shè)空間曲線的參數(shù)方程xyy(t)，t則其弧長(zhǎng)b L [x(t)]2[y(t)]2[z(t)]2a L 2()[()]2b L [x(t)]2[y(t)]2a2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page38of例1.3求旋輪線的一xa(tsint),ya(1t[0,2的弧長(zhǎng)解 222017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page38of例1.3求旋輪線的一xa(tsint),ya(1t[0,2的弧長(zhǎng)解 22L[x(t)]2[y(t)]2dt 1costdt sindt2000例解求心臟線=a(1(a0)的弧長(zhǎng)cos)[)]Ldt222001.3旋轉(zhuǎn)體體設(shè)平面區(qū)D是由直線xaxb,x軸及續(xù)曲線yf(x一個(gè)旋轉(zhuǎn)體將Dx軸旋轉(zhuǎn)一周，得設(shè)f(x在[0a上連續(xù)，由區(qū)域Dxy0xa,0yf(x)}繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到旋轉(zhuǎn)體體積例1.5求曲線ysinx,0x,繞x軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積解aV02xfxbVfx2a2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page39of2V0sinxdx2例1.6求旋輪xa(tsint),ya(1cost)(0t22017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page39of2V0sinxdx2例1.6求旋輪xa(tsint),ya(1cost)(0t2。x軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)體體V dx y(t)x2200 a(1cost)dt33201.4旋轉(zhuǎn)曲面的面Lxx(t),yy(t),atb是一條光滑的參數(shù)曲線,將曲x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面S，則S的面積Lbb |y(t)|dl |y(t) x(t)2y(t)2Saa例1.7求心臟線ra(1cos)(a0,02繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到旋轉(zhuǎn)面面積解：由心臟線的對(duì)稱性,只需考慮0yrsina(1cos旋轉(zhuǎn)面面積 ydl4a S220016a sind3224 50二重積分的應(yīng)2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page40of空間曲面面設(shè)空間曲面的方程 zf(x, (x,y)Dxy,設(shè)空間曲面zz(x,y),(x,yDxy由隱函數(shù)F(xy,z)0確定，S設(shè)空間曲面的 程為x2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page40of空間曲面面設(shè)空間曲面的方程 zf(x, (x,y)Dxy,設(shè)空間曲面zz(x,y),(x,yDxy由隱函數(shù)F(xy,z)0確定，S設(shè)空間曲面的 程為xx(u,v),yy(u,v),zz(u,v)(u,v)Duv則曲面的面積其，C例2.1求球面的面積解：解法 上半球面的方程zx2y ,R2x2y y R2x2yxy dxdyz x2y2S1dxdy22xyRx x2y2 d4 200R解法球面的參數(shù)方程xRsinyRsinsin (02,0zRB2C2R2球面的面積 S 00例2.2求曲面z x2y2在柱面(x2y2)2a2(x2y2)內(nèi)部分的面積SA2B2C2yu yv，Bzuzv F2F2F2 z zS1 2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page41of解：該曲面在Oxy平面上的投影區(qū)域Dxyx,y(x2y2)2a2(x2y2在平面極坐標(biāo)系下，Dxy變 (,)0acos2,,2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page41of解：該曲面在Oxy平面上的投影區(qū)域Dxyx,y(x2y2)2a2(x2y2在平面極坐標(biāo)系下，Dxy變 (,)0acos2,, 354 4zz1xyx2 由對(duì)稱性可知，所求曲面面積2 ddSdxdyx2cos2sin2Dacos2 d4cos2sin204cos2 a d4cos 00cos22 402412sin2d(sin)2a20空間區(qū)域的體例2.3求心臟線ra(1cos（其中0）與極軸（z軸）圍成圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積 0解：這里心臟線方程中的r與也是球坐標(biāo)系中的兩個(gè)坐標(biāo)，且方ra(1cos標(biāo)系下可表示2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page42of所以旋轉(zhuǎn)體的體積VV1dxdydzr2sina(1cos2 2r0001 a(1)d3330a3(1cos)48a6 2例2.4設(shè)為曲面x2y2ax,x2y2a2017數(shù)一高等數(shù)學(xué)模擬題分析Page42of所以旋轉(zhuǎn)體的體積VV1dxdydzr2sina(1cos2 2r0001 a(1)d3330a3(1cos)48a6 2例2.4設(shè)為曲面x2y2ax