備考2024年中考數學專題突破（全國通用）專題3-2 一網打盡14類·二次函數的存在性問題（解析版）

資料整理資料整理資料整理專題3-2一網打盡14類·二次函數存在性問題TOC\o"1-3"\n\p""\h\z\u解題策略梳理題型一等腰直角三角形存在性問題本溪中考遼寧阜新中考2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題2023·四川廣元·中考真題題型二等腰三角存在性問題山東泰安中考甘肅白銀中考江蘇鹽城中考（刪減）貴港中考（刪減）四川眉山中考刪減遼寧葫蘆島中考（刪減）題型三直角三角形存在性問題蘭州中考（刪減）遼寧本溪中考貴州安順中考真題懷化中考真題2023·四川內江·中考真題2023·海口華僑中學考模題型四平行四邊形存在性問題【例4.1】對邊相等【例4.2】兩定兩動：x軸+拋物線【例4.3】兩定兩動：對稱軸+拋物線【例4.4】兩定兩動：斜線+拋物線【例4.5】兩定兩動：拋物線+拋物線【例4.6】三定一動2023·四川南充·中考真題2023·山東聊城·中考真題2023·四川巴中·中考真題2023-2024學年武漢市洪山區(qū)九年級統(tǒng)考題型五正方形存在性問題例5.1：兩動點：構造等腰直角定第3點例5.2：兩定兩動：拋物線+拋物線南充中考真題2023·黑龍江綏化中考真題2023·四川涼山·中考真題2022·四川遂寧·中考真題2023年廣西欽州市一模2020·四川德陽·中考真題題型六菱形存在性問題例6.1例6.2例6.32023·湖南邵陽市·中考真題2023·四川廣安·中考真題題型七矩形存在性問題【例7.1】【例7.2】兩定兩動2023·海南·中考真題2023·內蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市、興安盟中考真題2022·貴州黔西·中考真題2022·貴州黔東南·中考真題2022·湖北隨州·中考真題題型八相似三角形存在性問題【例8.1】【例8.2】【例8.3】【練習1】【練習2】【練習3】2022·湖南張家界·中考真題題型九角的存在性問題之轉化為相似或全等三角形2023廈門一中模擬2023-2024學年福建省福州屏東中學月考2023-2024學年湖北天門市九年級月考2024屆福州市晉安區(qū)統(tǒng)考深圳福田區(qū)模擬題型十角的存在性問題之轉化為等腰三角形問題2023年湖北省武漢市外國語學校模擬武漢·中考真題題型十一角的存在性問題之化為正切值或斜率【例11.1】【例11.2】題型十二角的存在性問題之與特殊角結合【例12.1】【例12.2】2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模題型十三角的存在性問題之2倍角半角2024屆·武漢市武珞路中學期中2022年長沙市雅禮教育集團中考一模錦州中考真題江蘇鹽城中考真題題型十四角的存在性問題之動點是角的頂點——構造圓【例14】內蒙赤峰·中考：一題四法山東日照中考真題甘肅蘭州·中考真題四川資陽·中考真題解題策略梳理一、等腰三角形的存在性問題：幾何法與代數法講解【問題描述】如圖，點A坐標為（1,1），點B坐標為（4,3），在x軸上取點C使得△ABC是等腰三角形．【幾何法】“兩圓一線”得坐標（1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有AB=AC；（2）以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA=CB．【注意】若有三點共線的情況，則需排除．作圖并不難，問題是還需要把各個點坐標算出來，可通過勾股或者三角函數來求．同理可求，下求．顯然垂直平分線這個條件并不太適合這個題目，如果A、B均往下移一個單位，當點A坐標為（1,0），點B坐標為（4,2）時，可構造直角三角形勾股解：而對于本題的，或許代數法更好用一些．二、直角三角形存在性問題：幾何法與代數法講解【問題描述】如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（1,1），點B坐標為（5,3），在x軸上找一點C使得△ABC是直角三角形，求點C坐標．【幾何法】兩線一圓得坐標（1）若∠A為直角，過點A作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（2）若∠B為直角，過點B作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點即為所求點C．（直徑所對的圓周角為直角）重點還是如何求得點坐標，求法相同，以為例：【構造三垂直】求法相同，以為例：構造三垂直步驟：第一步：過直角頂點作一條水平或豎直的直線；第二步：過另外兩端點向該直線作垂線，即可得三垂直相似．【代數法】表示線段構勾股還剩下待求，不妨來求下：（1）表示點：設坐標為（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；（2）表示線段：，，；（3）分類討論：當為直角時，；（4）代入得方程：，解得：．三、等腰直角三角形在性問題方法突破【三垂直構造等腰直角三角形】通過對下面數學模型的研究學習，解決問題．【模型呈現(xiàn)】如圖，在Rt△ABC，∠ACB=90°，將斜邊AB繞點A順時針旋轉得到AD，過點D作DE⊥AC于點，可以推理得到△ABC≌△DAE，進而得到AC=DE，BC=AE．我們把這個數學模型成為“K型”．推理過程如下：【模型遷移】【蘭州中考（刪減）】二次函數的圖像交軸于點A（-1,0），B（4,0）兩點，交軸于點．動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿方向運動，過點作軸交直線于點，交拋物線于點，連接，設運動的時間為秒．（1）求二次函數的表達式；（2）在直線上存在一點，當是以為直角的等腰直角三角形時，求此時點的坐標．【分析】（1）；（2）本題直角頂點P并不確定，以BC為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點即為P點，再過點P作水平線，得三垂直全等．設HP=a，PQ=b，則BQ=a，CH=b，由圖可知：，解得：．故D點坐標為（1,3）．同理可求此時D點坐標為（3,2）．思路2：等腰直角的一半還是等腰直角．如圖，取BC中點M點，以BM為一直角邊作等腰直角三角形，則第三個頂點即為P點．根據B點和M點坐標，此處全等的兩三角形兩直角邊分別為1和2，故P點坐標易求．P點橫坐標同D點，故可求得D點坐標．四、平行四邊形存在性問題方法突破考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質：（1）對應邊平行且相等；（2）對角線互相平分．這是圖形的性質，我們現(xiàn)在需要的是將其性質運用在在坐標系中：（1）對邊平行且相等可轉化為：，可以理解為點B移動到點A，點C移動到點D，移動路徑完全相同．（2）對角線互相平分轉化為：，可以理解為AC的中點也是BD的中點．【小結】雖然由兩個性質推得的式子并不一樣，但其實可以化為統(tǒng)一：，→．當AC和BD為對角線時，結果可簡記為：（各個點對應的橫縱坐標相加）以上是對于平行四邊形性質的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當有一問：若坐標系中的4個點A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因為“四邊形ABCD是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點”并不是完全等價的轉化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運用此結論解題，另外，還需注意對對角線的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對角線．（2）以A、B、C、D四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論．【題型分類】平行四邊形存在性問題通常可分為“三定一動”和“兩定兩動”兩大類問題．三定一動已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐標系內確定點D使得以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．思路1：利用對角線互相平分，分類討論：設D點坐標為（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：（1）BC為對角線時，，可得；（2）AC為對角線時，，解得；（3）AB為對角線時，，解得．當然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此處特指點的橫縱坐標相加減）兩定兩動已知A（1，1）、B（3，2），點C在x軸上，點D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標．【分析】設C點坐標為（m，0），D點坐標為（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．（1）當AB為對角線時，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；（2）當AC為對角線時，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；（3）當AD為對角線時，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．【動點綜述】“三定一動”的動點和“兩定兩動”的動點性質并不完全一樣，“三定一動”中動點是在平面中，橫縱坐標都不確定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐標軸或者直線或者拋物線上，用一個字母即可表示點坐標，稱為“半動點”．從上面例子可以看出，雖然動點數量不同，但本質都是在用兩個字母表示出4個點坐標．若把一個字母稱為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量×2．找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質：（1）對邊平行且相等；（2）對角線互相平分．但此兩個性質統(tǒng)一成一個等式：，兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未知量．由圖形性質可知未知量，由未知量可知動點設計，由動點設計可化解問題．五、矩形的存在性問題方法突破矩形的判定：（1）有一個角是直角的平行四邊形；（2）對角線相等的平行四邊形；（3）有三個角為直角的四邊形．【題型分析】矩形除了具有平行四邊形的性質之外，還有“對角線相等”或“內角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標系中的矩形滿足以下3個等式：（AC為對角線時）因此在矩形存在性問題最多可以有3個未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個．題型如下：（1）2個定點+1個半動點+1個全動點；（2）1個定點+3個半動點．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在構成矩形的4個點中任取3個點，必構成直角三角形，以此為出發(fā)點，可先確定其中3個點構造直角三角形，再確定第4個點．對“2定+1半動+1全動”尤其適用．引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在平面中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標．【分析】點C滿足以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形，構造“兩線一圓”可得滿足條件的點C有、、、在點C的基礎上，借助點的平移思路，可迅速得到點D的坐標．【小結】這種解決矩形存在性問題的方法相當于在直角三角形存在性問題上再加一步求D點坐標，也是因為這兩個圖形之間的密切關系方能如此．思路2：先平行，再矩形當AC為對角線時，A、B、C、D滿足以下3個等式，則為矩形：其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點坐標后，代入點坐標解方程即可．無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在坐標系中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標．【分析】設C點坐標為（a，0），D點坐標為（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考慮平行四邊形存在性：（1）AB為對角線時，，滿足此條件的C、D使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，另外AB=CD，得：，綜合以上可解：或．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．（2）AC為對角線時，，另外AC=BD，得，綜合以上可解得：．故C、D．（3）AD為對角線時，，另外AD=BC，得，綜合以上可解得：．故C、D．【小結】這個方法是在平行四邊形基礎上多加一個等式而已，剩下的都是計算的故事．

【代數法】表示線段構相等（1）表示點：設點坐標為（m，0），又A點坐標（1,1）、B點坐標（4,3），（2）表示線段：，（3）分類討論：根據，可得：，（4）求解得答案：解得：，故坐標為．【小結】幾何法：（1）“兩圓一線”作出點；（2）利用勾股、相似、三角函數等求線段長，由線段長得點坐標．代數法：（1）表示出三個點坐標A、B、C；（2）由點坐標表示出三條線段：AB、AC、BC；（3）根據題意要求?、貯B=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．問題總結：（1）兩定一動：動點可在直線上、拋物線上；（2）一定兩動：兩動點必有關聯(lián)，可表示線段長度列方程求解；（3）三動點：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口．六、菱形的存在性問題方法突破作為一種特殊的平行四邊形，我們已經知道可以從以下幾種方式得到菱形：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊都相等的四邊形是菱形．坐標系中的菱形存在性問題也是依據以上去得到方法．和平行四邊形相比，菱形多一個“對角線互相垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實是等價的，故若四邊形ABCD是菱形，則其4個點坐標需滿足：考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等．即根據菱形的圖形性質，我們可以列出關于點坐標的3個等式，故菱形存在性問題點坐標最多可以有3個未知量，與矩形相同．因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個動點，多則有3個動點，可細分如下兩大類題型：（1）2個定點+1個半動點+1個全動點（2）1個定點+3個半動點解決問題的方法也可有如下兩種：思路1：先平四，再菱形設點坐標，根據平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD為對角線），再結合一組鄰邊相等，得到方程組．思路2：先等腰，再菱形在構成菱形的4個點中任取3個點，必構成等腰三角形，根據等腰存在性方法可先確定第3個點，再確定第4個點．

看個例子：如圖，在坐標系中，A點坐標（1,1），B點坐標為（5,4），點C在x軸上，點D在平面中，求D點坐標，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形．思路1：先平四，再菱形設C點坐標為（m，0），D點坐標為（p，q）．（1）當AB為對角線時，由題意得：（AB和CD互相平分及AC=BC），解得：（2）當AC為對角線時，由題意得：（AC和BD互相平分及BA=BC），解得：或（3）當AD為對角線時，由題意得：，解得：或思路2：先等腰，再菱形先求點C，點C滿足由A、B、C構成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性問題的方法先確定C，再確定D點．（1）當AB=AC時，C點坐標為，對應D點坐標為；C點坐標為，對應D點坐標為．（2）當BA=BC時，C點坐標為（8，0），對應D點坐標為（4，-3）；C點坐標為（2，0），對應D點坐標為（-2，-3）．（3）AC=BC時，C點坐標為，D點坐標為．以上只是兩種簡單的處理方法，對于一些較復雜的題目，還需具體問題具體分析，或許有更為簡便的方法．七、正方形的存在性問題方法突破作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質，因此坐標系中的正方形存在性問題變化更加多樣，從判定的角度來說，可以有如下：（1）有一個角為直角的菱形；（2）有一組鄰邊相等的矩形；（3）對角線互相垂直平分且相等的四邊形．依據題目給定的已知條件選擇恰當的判定方法，即可確定所求的點坐標．從未知量的角度來說，正方形可以有4個“未知量”，因其點坐標滿足4個等量關系，考慮對角線性質，互相平分（2個）垂直（1個）且相等（1個）．比如在平面中若已知兩個定點，可以在平面中確定另外兩個點使得它們構成正方形，而如果要求在某條線上確定點，則可能會出現(xiàn)不存在的情況，即我們所說的未知量小于方程個數，可能無解．從動點角度來說，關于正方形存在性問題可分為：（1）2個定點+2個全動點；（2）1個定點+2個半動點+1個全動點;甚至可以有：（3）4個半動點．不管是哪一種類型，要明確的是一點，我們肯定不會列一個四元一次方程組求點坐標！常用處理方法：思路1：從判定出發(fā)若已知菱形，則加有一個角為直角或對角線相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或對角線互相垂直；若已知對角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件．思路2：構造三垂直全等若條件并未給關于四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構成正方形的4個頂點中任取3個，必是等腰直角三角形，若已知兩定點，則可通過構造三垂直全等來求得第3個點，再求第4個點．總結：構造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點的情形，若題目給了4個動點，則考慮從矩形的判定出發(fā)，觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關系．正方形的存在性問題在中考中出現(xiàn)得并不多，正方形多以小題壓軸為主．例：在平面直角坐標系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是正方形．如圖，一共6個這樣的點C使得以A、B、C為頂點的三角形是等腰直角三角形．至于具體求點坐標，以為例，構造△AMB≌△，即可求得坐標．至于像、這兩個點的坐標，不難發(fā)現(xiàn)，是或的中點，是或的中點．題無定法，具體問題還需具體分析，如上僅僅是大致思路．八、相似三角形存在性問題【模型解讀】在坐標系中確定點，使得由該點及其他點構成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存在性問題”．【相似判定】判定1：三邊對應成比例的兩個三角形是相似三角形；判定2：兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形；判定3：有兩組角對應相等的三角形是相似三角形．以上也是坐標系中相似三角形存在性問題的方法來源，根據題目給的已知條件選擇恰當的判定方法，解決問題．【題型分析】通常相似的兩三角形有一個是已知的，而另一三角形中有1或2個動點，即可分為“單動點”類、“雙動點”兩類問題．【思路總結】根據相似三角形的做題經驗，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會用的，這里也一樣不怎么用，對比判定2、3可以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！所以，要證相似的兩個三角形必然有相等角，關鍵點也是先找到一組相等角．然后再找：思路1：兩相等角的兩邊對應成比例；思路2：還存在另一組角相等．事實上，坐標系中在已知點的情況下，線段長度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮思路1．一、如何得到相等角？二、如何構造兩邊成比例或者得到第二組角？搞定這兩個問題就可以了．九、角的存在性問題方法突破除了特殊幾何圖形存在性問題外，相等角存在性也是二次函數壓軸題中常見的題型，根據題目給的不同的條件，選擇恰當的方式去構造相等角，是此類問題的關鍵．回顧一下在幾何圖形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：兩直線平行，同位角、內錯角相等；（2）角平分線：角平分線分的兩個角相等；（3）等腰三角形：等邊對等角；（4）全等（相似）三角形：對應角相等；（5）三角函數：若兩個角的三角函數值相等，則兩角相等；（6）圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．也許還有，但大部分應該都在此了，同樣，在拋物線背景下亦可用如下思路構造相等角．想得到相等角，先考慮如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函數值，因此在以上6種方案當中，若無明顯條件，可考慮求出角的三角函數值來構造相等角．

題型一等腰直角三角形存在性問題本溪中考如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于A、B兩點，點B（3,0），經過點A的直線AC與拋物線的另一交點為，與y軸交點為D，點P是直線AC下方的拋物線上的一個動點（不與點A、C重合）．（1）求該拋物線的解析式．（2）點在拋物線的對稱軸上運動，當是以為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出符合條件的點的坐標．【分析】（1）；（2）①當∠POQ為直角時，考慮Q點在對稱軸上，故過點Q向y軸作垂線，垂線段長為1，可知過點P向x軸作垂線，長度必為1，故P的縱坐標為±1．如下圖，不難求出P點坐標．設P點坐標為，可得：．解得：，，，（舍）．如下圖，對應P點坐標分別為、、．②當∠OPQ為直角時，如圖構造△OMP≌△PNQ，可得：PM=QN．設P點坐標為，則，QN=，∴，若，解得：，（舍）．若，解得：，（舍）．如下圖，對應P點坐標分別為、．對于構造三垂直來說，直角頂點已知的和直角頂點的未知的完全就是兩個題目！也許能畫出大概位置，但如何能畫出所有情況，才是問題的關鍵．其實只要再明確一點，構造出三垂直后，表示出一組對應邊，根據相等關系列方程求解即可．遼寧阜新中考如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點．（1）求這個拋物線的函數表達式．（2）點的坐標為，點為第二象限內拋物線上的一個動點，求四邊形面積的最大值．（3）點為拋物線對稱軸上的點，問：在拋物線上是否存在點，使為等腰直角三角形，且為直角？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）；（2）連接AC，將四邊形面積拆為△APC和△ADC面積，考慮△ADC面積為定值，故只需△APC面積最大即可，鉛垂法可解；（3）過點N作NE⊥x軸交x軸于E點，如圖1，過點M向NE作垂線交EN延長線于F點，易證△OEN≌△NFM，可得：NE=FM．設N點坐標為，則，，∴，解得：（圖1），（圖4）對應N點坐標分別為、；，解得：（圖2）、（圖3）對應N點坐標分別為、．當直角頂點不確定時，問題的一大難點是找出所有情況，而事實上，所有的情況都可以歸結為同一個方程：NE=FM．故只需在用點坐標表示線段時加上絕對值，便可計算出可能存在的其他情況．2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．

(1)求b，c的值．(2)點是拋物線上的動點，過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)當點的坐標為或時，為等腰直角三角形【分析】（1）將將、代入拋物線即可求解；（2）由題意可知拋物線的對稱軸為，則，分兩種情況：當點在對稱軸左側時，即時，當點在對稱軸右側時，即時，分別進行討論求解即可．【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，可得：，解得：，即：，；（2）存在，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．理由如下：由①可知，由題意可知拋物線的對稱軸為直線，∵軸，∴，，則，當點在對稱軸左側時，即時，

，當時，為等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合題意，舍去）此時，即點；當點在對稱軸右側時，即時，

，當時，為等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合題意，舍去）此時：，即點；綜上所述，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形2023·四川廣元·中考真題如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標；【答案】(1)，(2)或或【分析】（1）待定系數法求解析式即可；（2）先求得拋物線的對稱軸為直線，設與交于點，過點作于點，證明，設，則，，進而得出點的坐標，代入拋物線解析式，求得的值，同理可求得當點F在x軸下方時的坐標；當點與點重合時，求得另一個解，進而即可求解；【詳解】（1）解：將點，，代入得，解得：，∴拋物線解析式為；（2）∵點，，∴拋物線的對稱軸為直線：，如圖所示，設與交于點，過點作于點

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，∵點在拋物線上∴解得：（舍去）或,∴，如圖所示，設與交于點，過點作于點

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，∵點在拋物線上∴解得：（舍去）或，∴，當點與點重合時，如圖所示，

∵，是等腰直角三角形，且，∴此時，綜上所述，或或題型二等腰三角存在性問題山東泰安中考如圖，在平面直角坐標系中，二次函數交軸于點、，交軸于點，在軸上有一點，連接．（1）求二次函數的表達式；（2）若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點的坐標，若不存在請說明理由．【分析】（1）；（2）可用鉛垂法，當點D坐標為時，△ADE面積最大，最大值為14；（3）這個問題只涉及到A、E兩點及直線x=-1（對稱軸）①當AE=AP時，以A為圓心，AE為半徑畫圓，與對稱軸交點即為所求P點．∵AE=，∴，又AH=3，∴，故、．②當EA=EP時，以E點為圓心，EA為半徑畫圓，與對稱軸交點即為所求P點．過點E作EM垂直對稱軸于M點，則EM=1，，故、．③當PA=PE時，作AE的垂直平分線，與對稱軸交點即為所求P點．設，，∴，解得：m=1．故．綜上所述，P點坐標為、、、、．【補充】“代數法”用點坐標表示出線段，列方程求解亦可以解決．甘肅白銀中考如圖，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點，連接，．點是第一象限內拋物線上的一個動點，點的橫坐標為．（1）求此拋物線的表達式；（2）過點作軸，垂足為點，交于點．試探究點在運動過程中，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點的坐標，若不存在，請說明理由；【分析】（1）；（2）①當CA=CQ時，∵CA=5，∴CQ=5，考慮到CB與y軸夾角為45°，故過點Q作y軸的垂線，垂足記為H，則，故Q點坐標為．②當AC=AQ時，考慮直線BC解析式為y=-x+4，可設Q點坐標為（m，-m+4），，即，解得：m=1或0（舍），故Q點坐標為（1，3）．③當QA=QC時，作AC的垂直平分線，顯然與線段BC無交點，故不存在．綜上所述，Q點坐標為或（1，3）．江蘇鹽城中考（刪減）如圖所示，二次函數的圖像與一次函數的圖像交于、兩點，點在點的右側，直線分別與、軸交于、兩點，其中．（1）求、兩點的橫坐標；（2）若是以為腰的等腰三角形，求的值．【分析】（1）A、B兩點橫坐標分別為1、2；（2）求k的值等價于求B點坐標，B點橫坐標始終為2，故點B可以看成是直線x=2上的一個動點，滿足△OAB是以OA為腰的等腰三角形，又A點坐標為（1，2），故①當OA=OB時，即，記直線x=2與x軸交點為H點，∵OH=2，∴BH=1，故B點坐標為（2，1）或（2，-1），k=-1或-3．②當AO=AB時，易知B點坐標為（2，0），k=-2．綜上所述，k的值為-1或-2或-3．貴港中考（刪減）如圖，已知二次函數的圖像與軸相交于，兩點，與軸相交于點．（1）求這個二次函數的表達式；（2）若是第四象限內這個二次函數的圖像上任意一點，軸于點，與線段交于點，連接．當是以為一腰的等腰三角形時，求點的坐標．

【分析】（1）；（2）①當PM=PC時，（特殊角分析）考慮∠PMC=45°，∴∠PCM=45°，即△PCM是等腰直角三角形，P點坐標為（2，-3）；②當MP=MC時，（表示線段列方程）設P點坐標為，則M點坐標為，故線段故點M作y軸的垂線，垂足記為N，則MN=m，考慮△MCN是等腰直角三角形，故，∴，解得或0（舍），故P點坐標為．綜上所述，P點坐標為（2，-3）或．

四川眉山中考刪減如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點和點．（1）求拋物線的解析式及頂點的坐標；（2）如圖，連接、，點在線段上（不與、重合），作，交線段于點，是否存在這樣點，使得為等腰三角形？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．【分析】（1），頂點D坐標為；（2）考慮到∠DAB=∠DBA=∠DMN，即有△BMD∽△ANM（一線三等角）．①當MD=MN時，有△BMD≌△ANM，可得AM=BD=5，故AN=BM=1；②當NM=ND時，則∠NDM=∠NMD=∠DAB，△MAD∽△DAB，可得AM=，∴，即，解得：．③當DM=DN時，∠DNM=∠DMN=∠DAB，顯然不成立，故不存在這樣的點M．綜上，AN的值為1或．遼寧葫蘆島中考（刪減）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過，兩點，與軸另一交點為．點以每秒個單位長度的速度在線段上由點向點運動（點不與點和點重合），設運動時間為秒，過點作軸垂線交軸于點，交拋物線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，連接交于點，當是等腰三角形時，直接寫出的值．【分析】（1）；（2）①考慮到∠DPM=45°，當DP=DM時，即∠DMP=45°，直線AM：y=x+1，聯(lián)立方程：，解得：，（舍）．此時t=1．②當PD=PM時，∠PMD=∠PDM=67.5°，∠MAB=22.5°，考慮tan∠22.5°=，直線AM：，聯(lián)立方程：解得：，（舍）．此時t=．綜上所述，t的值為1或．附：tan22.5°=．題型三直角三角形存在性問題蘭州中考（刪減）通過對下面數學模型的研究學習，解決問題．【模型呈現(xiàn)】如圖，在Rt△ABC，∠ACB=90°，將斜邊AB繞點A順時針旋轉得到AD，過點D作DE⊥AC于點，可以推理得到△ABC≌△DAE，進而得到AC=DE，BC=AE．我們把這個數學模型成為“K型”．推理過程如下：【模型遷移】二次函數的圖像交軸于點A（-1,0），B（4,0）兩點，交軸于點．動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿方向運動，過點作軸交直線于點，交拋物線于點，連接，設運動的時間為秒．（1）求二次函數的表達式；（2）在直線上存在一點，當是以為直角的等腰直角三角形時，求此時點的坐標．

【分析】（1）；（2）本題直角頂點P并不確定，以BC為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點即為P點，再過點P作水平線，得三垂直全等．設HP=a，PQ=b，則BQ=a，CH=b，由圖可知：，解得：．故D點坐標為（1,3）．同理可求此時D點坐標為（3,2）．思路2：等腰直角的一半還是等腰直角．如圖，取BC中點M點，以BM為一直角邊作等腰直角三角形，則第三個頂點即為P點．根據B點和M點坐標，此處全等的兩三角形兩直角邊分別為1和2，故P點坐標易求．P點橫坐標同D點，故可求得D點坐標．遼寧本溪中考如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于A、B兩點，點B（3,0），經過點A的直線AC與拋物線的另一交點為，與y軸交點為D，點P是直線AC下方的拋物線上的一個動點（不與點A、C重合）．（1）求該拋物線的解析式．（2）點在拋物線的對稱軸上運動，當是以為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出符合條件的點的坐標．【分析】（1）；（2）①當∠POQ為直角時，考慮Q點在對稱軸上，故過點Q向y軸作垂線，垂線段長為1，可知過點P向x軸作垂線，長度必為1，故P的縱坐標為±1．如下圖，不難求出P點坐標．設P點坐標為，可得：．解得：，，，（舍）．如下圖，對應P點坐標分別為、、．②當∠OPQ為直角時，如圖構造△OMP≌△PNQ，可得：PM=QN．設P點坐標為，則，QN=，∴，若，解得：，（舍）．若，解得：，（舍）．如下圖，對應P點坐標分別為、．對于構造三垂直來說，直角頂點已知的和直角頂點的未知的完全就是兩個題目！也許能畫出大概位置，但如何能畫出所有情況，才是問題的關鍵．其實只要再明確一點，構造出三垂直后，表示出一組對應邊，根據相等關系列方程求解即可．

【對稱軸上尋找點】貴州安順中考真題如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中，．（1）若直線經過、兩點，求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點，使點到點的距離與到點的距離之和最小，求出點的坐標；（3）設點為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點坐標．【分析】（1）直線BC：拋物線：；（2）將軍飲馬問題，考慮到M點在對稱軸上，且點A關于對稱軸的對稱點為點B，故MA+MC=MB+MC，∴當B、M、C三點共線時，M到A和C的距離之后最小，此時M點坐標為（-1，2）；（3）兩圓一線作點P：以為例，構造△PNB∽△BMC，考慮到BM=MC=3，∴BN=PN=2，故點坐標為（-1，-2）．易求坐標為（1,4）．、求法類似，下求：已知PN=1，PM=2，設CN=a，BM=b，由相似得：，即ab=2，由圖可知：b-a=3，故可解：，（舍），對應坐標為．類似可求坐標為．【拋物線上尋找點】懷化中考真題如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是該拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；（2）請在軸上找一點，使的周長最小，求出點的坐標；（3）試探究：在拋物線上是否存在點，使以點，，為頂點，為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：，直線AC：y=3x+3；（2）看圖，M點坐標為（0,3）與C點重合了．（3）考慮到AC為直角邊，故分別過A、C作AC的垂線，與拋物線交點即為所求P點，有如下兩種情況，先求過A點所作垂線得到的點P：設P點坐標為，則PM=m+1，AM=，易證△PMA∽△ANC，且AN=3，CN=1，∴，解得：，（舍），故第1個P點坐標為；再求過點C所作垂線得到的點P：，CN=m，，解得：，（舍），故第2個P點坐標為．綜上所述，P點坐標為或．2023·四川內江·中考真題如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數表達式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1),(2)或【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；（2）過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，設，可求，，由，可求，進而求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，拋物線的解析式為．（2）解：存在，如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，∵拋物線的對稱軸為直線，設，，，，，，解得：，；設直線的解析式為，則有，解得，直線解析式為，，且經過，直線解析式為，當時，，

；綜上所述：存在，的坐標為或．2023·?？谌A僑中學考模如圖1，拋物線交x軸于點和點，交于y軸點C，F(xiàn)為拋拋物線頂點，點在拋物線上．

(1)求該拋物線所對應的函數解析式(2)如圖2，直線EF垂直于x軸于點E，點P是線段BE上的動點（除B、E外）過點P作x軸的垂線交拋物線于點D，連接DA、DQ，當是直角三角形時，求出所有滿足條件的D點的橫坐標．【答案】(1)(2)Q點坐標為【分析】分或兩種情況結合一次函數圖象的性質分析求解；【詳解】（1）∵拋物線經過點，，∴，解得∴該拋物線的函數表達式為：；（2）∵點P在線段EB上，∴不可能為直角，∴當為直角三角形時，有或，?。敃r，則，∵，，∴直線AQ解析式為，∴設直線DA解析式為，把代入可求得，∴直線DQ解析式為，聯(lián)立直線DQ和拋物線解析式可得，解得或∴（舍）或（舍）∴此種情況不存在ⅱ．當時，設，設直線AD的解析式為，把A、D坐標代入可得，解得，設直線DQ解析式為，同理可求得，∵，∴，即，解得當時，∵，∴（舍）當時，∵，D點橫坐標為綜上可知：D點橫坐標題型四平行四邊形存在性問題【例4.1】對邊相等如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線與直線都經過、兩點，該拋物線的頂點為C．（1）求此拋物線和直線AB的解析式；（2）設直線AB與該拋物線的對稱軸交于點E，在射線EB上是否存在一點M，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，使點M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由；【分析】（1）拋物線：，直線AB：；（2）考慮EC∥MN，故若使點M、N、C、E是平行四邊形，則EC=MN即可，∵E（1，-2）、C（1，-4），∴EC=2，設M點坐標為（m，m-3）（m>1），則N點坐標為，則MN=由題意得：，，解得：，（舍），對應P點坐標為；，解得：，（舍）．對應P點坐標為（2，-1）．綜上，P點坐標為或（2，-1）．【例4.2】兩定兩動：x軸+拋物線如圖，已知拋物線經過點，，．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點在軸上，點在拋物線上，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）列方程組求：設P、Q，又B（-1，0）、C（0，-3），若BC為對角線，由題意得：，解得：或（舍），故對應的P（2，-3）；若BP為對角線，由題意得：，解得：或（舍），故對應的P（2，-3）；若BQ為對角線，由題意得：，解得：或，故對應的P、．綜上所述，P點坐標為（2，-3）、、．

【例4.3】兩定兩動：對稱軸+拋物線如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，連接．（1）求該拋物線的解析式，并寫出它的對稱軸；（2）若點為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：，對稱軸：直線x=1；（2）設M點坐標為，N點坐標為，又B（3，0）、C（0，2）若BC為對角線，由題意得：，解得：，故M點坐標為（2，2）；若BN為對角線，由題意得：，解得：，故M點坐標為；若BM為對角線，由題意得：，解得：，故M點坐標為．綜上所述，M點坐標為（2，2）、、．【例4.4】兩定兩動：斜線+拋物線如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過，兩點且與軸的負半軸交于點．（1）求該拋物線的解析式；（2）已知，分別是直線和拋物線上的動點，當，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出所有符合條件的點的坐標．【分析】（1）拋物線：；（2）設E點坐標為，F(xiàn)點坐標為，又B（0，2）、O（0，0），①若OB為對角線，由題意得：，解得：或，故E點坐標為或；②若OE為對角線，由題意得：，解得：或，故E點坐標為或；③若OF為對角線，由題意得：，解得：，故E點坐標為（2，1）．【例4.5】兩定兩動：拋物線+拋物線如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，與拋物線的一個交點為，且點的橫坐標為2，點、分別是拋物線、上的動點．（1）求拋物線對應的函數表達式；（2）若以點、、、為頂點的四邊形恰為平行四邊形，求出點的坐標．

【分析】（1）解析式：；（2）雖然兩個動點均在拋物線上，仍可用設點坐標的方法求解．設P點坐標為，Q點坐標為，又C（0，-3）、A（2，-3），①若CA為對角線，由題意得;，解得：或（舍），故P點坐標為（-3，12）；②若CP為對角線，由題意得：，解得：或，故P點坐標為（3，0）或；③若CQ為對角線，由題意得：，解得：或（舍），故P點坐標為（-1，0）．綜上所述，P點坐標為（-3，12）、（3，0）、、（-1，0）．【例4.6】三定一動如圖，已知拋物線交軸于、兩點，交軸于點，點坐標為，，，點為拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）為坐標平面內一點，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求點坐標．【分析】（1）拋物線：；（2）設P點坐標為（m，n），又B（3，0）、C（0，2）、D①若BC為對角線，由題意得：，解得：，故的坐標為；②若BD為對角線，由題意得：，解得：，故坐標為；③若BP為對角線，由題意得：，解得：，故坐標為．綜上所述，P點坐標為、、．2023·四川南充·中考真題如圖，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；【答案】(1)(2)或或【分析】（1）將兩點代入拋物線的解析式即可求解；（2）根據P，Q的不確定性，進行分類討論：①過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，可得，由，可求解；②在軸的負半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于，，即可求解；③當為平行四邊形的對角線時，在①中，只要點Q在點B的左邊，且滿足，也滿足條件，只是點P的坐標仍是①中的坐標【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于兩點，，解得，故拋物線的解析式為．（2）解：①如圖，過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，四邊形是平行四邊形，，，解得：，，；②如圖，在軸的負半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于，四邊形是平行四邊形，，在和中，，()，，，，解得：，，；如上圖，根據對稱性：，③當為平行四邊形的對角線時，由①知，點Q在點B的左邊，且時，也滿足條件，此時點P的坐標仍為；綜上所述：的坐標為或或．2023·山東聊城·中考真題如圖①，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接AC，BC.點P是x軸上任意一點．(1)求拋物線的表達式；(2)點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標.【答案】(1)(2)點Q坐標，或或．【分析】（1）將，代入，待定系數法確定函數解析式；（2）由二次函數，求得點，設點，點，分類討論：當為邊，為對角線時，當為邊，為對角線時，運用平行四邊形對角線互相平分性質，構建方程求解．【詳解】（1）將，代入，得，解得∴拋物線解析式為：（2）二次函數，當時，∴點設點，點，當為邊，為對角線時，∵四邊形為平行四邊形，∴，互相平分∴解得，（舍去）或點Q坐標；當為邊，為對角線時，同理得，解得，或，∴∴點Q坐標或綜上，點Q坐標，或或2023·四川巴中·中考真題在平面直角坐標系中，拋物線經過點和，其頂點的橫坐標為．

(1)求拋物線的表達式．(2)若點為拋物線的對稱軸上一動點，將拋物線向左平移個單位長度后，為平移后拋物線上一動點．在（）的條件下求得的點，是否能與、、構成平行四邊形？若能構成，求出點坐標；若不能構成，請說明理由．【答案】(1)(2)能，【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；（2）由（1）知，向左平移后的拋物線為，由（2）知，設，假設存在以、、、為頂點的平行四邊形．根據中點坐標公式，分類討論即可求解，①當以為對角線時，②當以為對角線時，③當以為對角線時．【詳解】（1）解：拋物線的頂點橫坐標為對稱軸為與x軸另一交點為

∴設拋物線為∴拋物線的表達式為（2）由（1）知，向左平移后的拋物線為設，假設存在以、、、為頂點的平行四邊形．

①當以為對角線時，平行四邊形對角線互相平分，即在拋物線上的坐標為

②當以為對角線時同理可得，即則的坐標為

③當以為對角線時，即則的坐標為綜上所述：存在以、、、為頂點的平行四邊形．的坐標為2023-2024學年武漢市洪山區(qū)九年級統(tǒng)考如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)直接寫出A，B，C點的坐標；(2)點D是拋物線上一點，點E位于第四象限．若由B，C，D，E四點組成的平行四邊形面積為30，求E點坐標；【答案】(1)點、、的坐標分別為：、、(2)點的坐標為：【分析】（1）對于，當時，，當時，或3，即可求解；（2）①當是邊時，用數形結合的方法求出點，即可求解；當在上方時，同理可解；②當是對角線時，由，即可求解．【詳解】（1）對于，當時，，當時，或3，即點、、的坐標分別為：、、；（2）由點、的坐標得，直線的表達式為：，，①當是邊時，如下圖，當在下方時，設交軸于點，過點作于點，則由，，，四點組成的平行四邊形面積，則，由知，，則，則點，則直線的表達式為：，聯(lián)立和并解得：（舍去）或，即點；點向右平移3個單位向下平移3個單位得到點，則點向右平移3個單位向下平移3個單位得到點，故點；當在上方時，同理可得：直線的表達式為：，經驗證，該方程和拋物線無交點，即無解；②當是對角線時，如下圖：

則，設點，則點，則，則，該方程無解；綜上，點的坐標為：題型五正方形存在性問題例5.1：兩動點：構造等腰直角定第3點如圖，拋物線與軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在過A、B兩點的拋物線，其頂點P關于x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）已知A（-1，0）、B（3，0），故構造以AB為斜邊的等腰直角△APB，如下：若四邊形APBQ是正方形，易得P點坐標為（1，2）或（1，-2），當P點坐標為（1，2）時，易得拋物線解析式為；當P點坐標為（1，-2）時，易得拋物線解析式為．綜上所述，拋物線解析式為或．【小結】看到兩個定點，不管題目如何描述第3個點的位置，均可通過構造等腰直角三角形確定第3個點，再求得第4個點．例5.2：兩定兩動：拋物線+拋物線如圖，在平面直角坐標系中，將一個正方形ABCD放在第一象限斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2）、點B（1，0），拋物線經過點C．（1）求點C的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否存在點P與點Q（點C、D除外）使四邊形ABPQ為正方形？若存在求出點P、Q兩點坐標，若不存在說明理由．【分析】（1）C（3，1）；（2）拋物線：；（3）考慮A、B、P構成等腰直角三角形且∠B為直角，故可作出點P如下：構造三垂直全等：△AMB≌△BNP，即可求得P點坐標為（-1，-1），將點P代入拋物線解析式，成立，即點P在拋物線上．根據點P構造點Q，通過點的平移易得點Q坐標為（-2，1），代入拋物線解析式，成立，即點Q也在拋物線上，故存在，點P坐標為（-1，-1），點Q坐標為（-2，1）．【小結】本題數據設計得巧妙，由A、B確定的點P恰好在拋物線上，由A、B、P確定的點D恰好也在拋物線上，故存在這樣的一組P、Q，當然若適當調整數據，則答案完全可以變成不存在．南充中考真題如圖，拋物線頂點P（1，4），與y軸交于點C（0，3），與軸交于點A，B．（1）求拋物線的解析式．（2）若M、N為拋物線上兩個動點，分別過點M、N作直線BC的垂線段，垂足分別為D、E．是否存在點M、N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）由題意可得：MN∥BC，四邊形MNED是矩形，若要變?yōu)檎叫?，可考慮①對角線互相垂直；②有一組鄰邊相等．思路1：考慮對角線連接ME，則△MDN為等腰直角三角形，∠MED=45°，即ME⊥x軸，設M點坐標為，則E點坐標為，①當M點在E點上方時，可推得N點坐標為，將點N坐標代入拋物線：，得：，化簡得：，解得：，（舍）此時ME=2，正方形邊長為；②當M點在E點下方時，同理可解：m=6．此時ME=18，正方形邊長為．綜上，正方形邊長為或．思路2：考慮鄰邊相等考慮M、N兩點均未知，但MN∥BC，故可設直線MN解析式為y=-x+b，聯(lián)立方程：，化簡為：，MN=∵MN=MD，∴解得：，代入得邊長為或．【小結】其實只要能將計算進行下去，在已知矩形的前提下，無論選邊還是選對角線，都能解決問題．2023·黑龍江綏化中考真題如圖，拋物線的圖象經過，，三點，且一次函數的圖象經過點．

(1)求拋物線和一次函數的解析式．(2)點，為平面內兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標：如果不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)滿足條件的E、F兩點存在，，，【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；（2）①當為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、，證明，得出，，則同理可得，；②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過點作軸于點，過點作于點，證明，得出，在中，，解得或4，進而即可求解；【詳解】（1）解：把，，代入得

，解得

∴

，把代入得，∴（2）滿足條件的、兩點存在，，，

解：①當為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、.

過點作軸于.∵，又，∴，∴，∴同理可得，②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過點作軸于點，過點作于點

∵，又∴∴，∵∴∴在中，∴解得或4當時，，此時點在點右側故舍去；當時，.綜上所述：，，2023·四川涼山·中考真題如圖，已知拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．直線過拋物線的頂點．(1)求拋物線的函數解析式；(2)若直線與拋物線交于點，與直線交于點,當是等腰三角形時，求點的坐標．【答案】(1)，(2)或或【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）設直線與x軸交于H，先證明是等腰直角三角形，得到；再分如圖3-1所示，當時，如圖3-2所示，當時，如圖3-3所示，當時，三種情況利用等腰三角形的定義進行求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于和兩點，∴拋物線對稱軸為直線，在中，當時，，∴拋物線頂點P的坐標為，設拋物線解析式為，∴，∴，∴拋物線解析式為（2）設直線與x軸交于H，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；如圖3-1所示，當時，過點C作于G，則∴點G為的中點，由（2）得，∴，∴，解得或（舍去），∴；如圖3-2所示，當時，則是等腰直角三角形，∴，即，∴點E的縱坐標為5，∴，解得或（舍去），∴如圖3-3所示，當時，過點C作于G，同理可證是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，，∴，∴綜上所述，點E的坐標為或或2022·四川遂寧·中考真題如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為，點C的坐標為．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，N為射線CB上的一點，M是拋物線上的一點，M、N均在第一象限內，B、N位于直線AM的同側，若M到x軸的距離為d，面積為，當為等腰三角形時，求點N的坐標．【答案】(1)(2)N的坐標為或或【分析】（1）直接利用待定系數法求解即可；（2）連接BM，表示出，可證，再求出直線BC的解析式為，直線AM的解析式為，可得M的坐標，設N的坐標為，過點M作x軸的平行線l，過點N作y軸的平行線交x軸于點P，交直線l于點Q，則得，，，根據等腰三角形的性質，分類討論①時，②時，③時，分別計算即可．【詳解】（1）∵，在上，∴，∴，∴拋物線的解析式為．（2）∵M到x軸的距離為d，，連接BM，∴．又∵，∴，∴B、N到AM的距離相等．

又∵B、N在AM的同側，∴．設直線BC的解析式為，則，∴∴直線BC的解析式為，∴設直線AM的解析式為．∵，∴設直線AM的解析式為，，解得，，∴M的坐標．∵點N在射線BC上，∴設N的坐標為．∵，，，過點M作x軸的平行線l，過點N作y軸的平行線交x軸于點P，交直線l于點Q，則易得，，，∵為等腰三角形①時，，解得，．

②時，，解得，．③時，，解得．∵N在第一象限，∴，∴t的取值為，，，∴N的坐標為或或．2023年廣西欽州市一模定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖①，拋物線與拋物線組成一個開口向下的“月牙線”，拋物線與拋物線與x軸有相同的交點M，N（點M在點N左側），與y軸的交點分別為點，．

(1)求出點M，N的坐標和拋物線的解析式；(2)如圖②，點D是點B關于拋物線對稱軸的對稱點，連接，在x軸上是否存在點F，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)在x軸上存在點F，使得是以為腰的等腰三角形，點F的坐標為或【分析】（1）先由求得，，可得點M，N的坐標，將點，代入拋物線，利用待定系數法即可求拋物線的解析式；（2）由拋物線：可得點，兩條拋物線的對稱軸均為直線，進而求得，連接，由于等腰直角三角形可知，分兩種情況討論：當時，，當時，，分別進行討論即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點M、N，且當時，解得，，∴，；將點，代入拋物線，得，解得∴拋物線的解析式為；

3分（2）存在．由拋物線：可得點，兩條拋物線的對稱軸均為直線，∵點D是點B關于拋物線對稱軸的對稱點，，∴，如解圖，連接，∵，∴為等腰直角三角形，∴，假設存在，設點，分兩種情況討論：①當時，，如解圖①，過點D作軸于點C，連接，，則，，由勾股定理可知，∴，解得：，，∴，；

②當時，，如解圖②，由勾股定理可得，∴，此方程無解，∴此種情況不存在．綜上所述，在x軸上存在點F，使得是以為腰的等腰三角形，點F的坐標為或．2020·四川德陽·中考真題如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點A，B．與y軸交于點C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．（1）求拋物線的解析式；（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點．過P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長；【答案】（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF為定值4【分析】（1）先將拋物線解析式變形，可得A和B的坐標，從而得AB=1+3=4，根據三角形ABC的面積為2可得OC的長，確定點C的坐標，根據點C的坐標，利用待定系數法即可求出二次函數的解析式；（2）設點P的縱坐標為m，當y=m時，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q兩點的坐標，從而得G和H的坐標，再利用正方形的性質可得出關于m的方程，解之即可得出結論；【詳解】（1）如圖1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∵△ABC的面積為2，即，∴OC=1，∴C（0，1），將C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，∴a=﹣，∴該二次函數的解析式為y=﹣x2+x+1；（2）如圖2，設點P的縱坐標為m，當y=m時，﹣x2+x+1=m，解得：x1=1+，x2=1﹣，∴點P的坐標為（1﹣，m），點Q的坐標為（1+，m），∴點G的坐標為（1﹣，0），點H的坐標為（1+，0），∵矩形PGHQ為正方形，∴PQ=PG，∴1+﹣（1﹣）=m，解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，∴當四邊形PGHQ為正方形時，邊長為6+2或2﹣6題型六菱形存在性問題例6.1綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，OA=2，OC=6，連接AC和BC．（1）求拋物線的解析式；（2）若點M是y軸上的動點，在坐標平面內是否存在點N，使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）先考慮M點位置，即由A、C、M三點構成的三角形是等腰三角形：①當CA=CM時，即CM=CA=，M點坐標為、，對應N點坐標為、．②當AC=AM時，即AM=AC=，M點坐標為（0，6），對應N點坐標為（2，0）．③當MA=MC時，勾股定理可求得M點坐標為，對應N點坐標為．綜上，N點坐標為、、（2，0）、．如下圖依次從左到右．例6.2綜合與探究如圖1所示，直線y=x+c與x軸交于點A（-4,0），與y軸交于點C，拋物線經過點A，C．（1）求拋物線的解析式（2）如圖2所示，M是線段OA的上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點P、N．若點P恰好是線段MN的中點，點F是直線AC上一個動點，在坐標平面內是否存在點D，使以點D，F(xiàn)，P，M為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線解析式：；（2）設M點坐標為（m，0）（-4<m<0），則N點坐標為，P點坐標為（m，m+4），若P是MN中點，則，解得：，（舍）故P（-1，3）、M（-1，0）考慮到F點在直線AC上，故可先確定F點位置，再求得D點坐標．當PM=PF時，PF=3，可得、，對應D點坐標分別為、．當MP=MF時，MP=MF，可得，對應D點坐標為．當FP=FM時，F(xiàn)P=FM，F(xiàn)點在PM垂直平分線上，可得，對應D點坐標為．綜上所述，D點坐標有、、、．例6.3如圖，已知直線分別交x軸、y軸于點A、B，拋物線過A、B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D．（1）若拋物線的解析式為，設其頂點為M，其對稱軸交AB于點N．①求點M、N的坐標；②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由．【分析】（1）①M點坐標為，N點坐標為．②由題意可知MN∥PD，故四邊形MNPD若是菱形，首先MN=PD考慮到M、N是定點，可先求得，設，則，，令，即，解得：，．故P點坐標為，D點坐標為．但此時僅僅滿足四邊形MNPD是平行四邊形，本題要求的是菱形，故還需加鄰邊相等．但此時P、D已定，因此接下來要做的只是驗證鄰邊是否相等．由兩點間距離公式得：，PN≠MN，故不存在點P使四邊形MNPD是菱形．【小結】為什么此題會不存在，表面上看是不滿足鄰邊相等，究其原因，是因為M、N是定點，P、D雖為動點但僅僅是半動點，且P、D橫坐標相同，故本題只需一個字母便可表示出4個點的坐標，對于菱形四個點滿足：若只有1個未知數或2個未知數，便出現(xiàn)方程個數＞未知量個數的情況，就有可能會無解．方程個數<未知數個量，可能無法確定有限組解；方程個數>未知數個量，可能會無解．特殊圖形的存在性，其動點是在線上還是在平面上，是有1個動點還是有2個動點，都是由其圖形本身決定，矩形和菱形相比起平行四邊形，均多一個等式，故對動點位置的要求可以有3個半動點或者1個全動點+1個半動點，若減少未知量的個數，反而可能會產生無解的情況．不難想象，對于正方形來說，可以有4個未知量，比如在坐標系中已知兩定點，若要作正方形，只能在平面中再取另外兩動點，即2個全動點，當然，也有可能是1全動+2半動，甚至是4個半動點．2023·湖南邵陽市·中考真題如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點和點，且與直線交于兩點（點在點的右側），點為直線上的一動點，設點的橫坐標為．

(1)求拋物線的解析式．(2)拋物線與軸交于點，點為平面直角坐標系上一點，若以為頂點的四邊形是菱形，請求出所有滿足條件的點的坐標．【答案】(1)(2)點為或或或或【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；（2）根據題意，分別求得，①當為對角線時，，②當為邊時，分，，根據勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經過點和點，∴，解得：，∴拋物線解析式為：；（2）∵拋物線與軸交于點，∴，當時，，即，∵，∴,，，①當為對角線時，，

∴，解得：，∴，∵的中點重合，∴，解得：，∴，②當為邊時，當四邊形為菱形，

∴，解得：或，∴或，∴或，由的中點重合，∴或，解得：或，∴或，當時；如圖所示，即四邊形是菱形，

點的坐標即為四邊形為菱形時，的坐標，∴點為或，綜上所述，點為或或或或．2023·四川廣安·中考真題如圖，二次函數的圖象交軸于點，交軸于點，點的坐標為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點，交拋物線于點．

(1)求這個二次函數的解析式．(2)若點在軸上運動，則在軸上是否存在點，使以、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1),(2)或或【分析】（1）先根據二次函數對稱軸公式求出，再把代入二次函數解析式中進行求解即可；（2）分如圖3-1，圖3-2，圖3-3，圖3-4，圖3-5，圖3-6所示，為對角線和邊，利用菱形的性質進行列式求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數的對稱軸為直線，∴，∴，∵二次函數經過點，∴，即，∴，∴二次函數解析式為；（2）解：設，則，，∵軸，∴軸，即，∴是以、為頂點的菱形的邊；如圖3-1所示，當為對角線時，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴軸，∴軸，即軸，∴點C與點N關于拋物線對稱軸對稱，∴點N的坐標為，∴，∴；如圖3-2所示，當為邊時，則，

∵，，∴，∴，解得或（舍去），∴，∴；如圖3-3所示，當為邊時，則，

同理可得，∴，解得或（舍去），∴，∴；如圖3-4所示，當為邊時，則，

同理可得，解得（舍去）或（舍去）；如圖3-5所示，當為對角線時，

∴，∵，∴，∴，∴軸，∴軸，這與題意相矛盾，∴此種情形不存在如圖3-6所示，當為對角線時，設交于S，

∵軸，∴，∵，∴，這與三角形內角和為180度矛盾，∴此種情況不存在；綜上所述，或或．題型七矩形存在性問題【例7.1】如圖，拋物線與軸交于點A（-1，0），點B（-3，0），且OB=OC．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上兩點M，N，點M的橫坐標為m，點N的橫坐標為m+4．點D是拋物線上M、N之間的動點，過點D作y軸的平行線交MN于點E．①求DE的最大值；②點D關于點E的對稱點為F，當m為何值時，四邊形MDNF為矩形．【分析】（1）拋物線：；（2）①像DE這樣的線段的最大值，就是當D點在MN水平位置的中點處時最大，假如我們知道這個結論的話．如果不知道，就只能一步步算了，由題意可知：M、N，點斜式求直線MN：直線MN：，整理得：設D點坐標為，則E點坐標為，故當d=m+2時，DE取到最大值為4．②若四邊形MDNF是矩形，根據對角線互相平分，則E點必為MN中點，故E點橫坐標為m+2，則D點橫坐標也為m+2，且由①可知，此時DE=4，又矩形對角線相等，因此只要滿足MN=8，則有矩形MDNF．解得：，．故當m的值為或時，四邊形MDNF是矩形．考慮到第①問中已經得到了DE=4，故本題優(yōu)先考慮利用對角線相等求解，事實上，構造三垂直使△MDN是直角三角形，也可以解決問題．構造△MED∽△DFN，，即，同樣可解得：，．【例7.2】兩定兩動如圖，直線y=x-3與坐標軸交于A、B兩點，拋物線經過點B，與直線y=x-3交于點E（8，5），且與x軸交于C，D兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線上，在坐標平面內是否存在點Q，使得以點P，Q，B，C為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）B、C為定點，P在拋物線上，Q在平面中，即為“2定+1半動+1全動”類型．先確定P點使得由P、B、C構成的三角形為直角三角形，設P點坐標為，①當∠PBC=90°時，構造三垂直相似：△PEB∽△BFC，，，，由相似可知：，即，解得：，（舍），代入得P點坐標為（-4，5），根據點的平移可知對應的Q點坐標為（2，8）．②當∠PCB=90°時，同理可構造相似：，解得：，（舍）代入得P點坐標為（-10，32），根據點的平移可知對應的Q點坐標為（-16，29）．另外以BC為直徑作圓，與拋物線并無交點，故不存在以P點為直角頂點的情況．綜上所述，Q點坐標為（2，8）或（-16，29）．2023·海南·中考真題如圖1，拋物線交x軸于A，兩點，交y軸于點．點P是拋物線上一動點．

(1)求該拋物線的函數表達式；(2)當動點P在直線上方時，在平面直角坐標系是否存在點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由【答案】(1)(2)在平面直角坐標系內存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，此時點Q的坐標為或【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）當為矩形的邊時，畫出符合題意的矩形，交y軸于點E，交x軸于點F，連接，過點P作軸于點M，過點Q作軸于點N，利用等腰直角三角形的判定與性質及矩形的判定與性質得到，利用待定系數法求得直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求得點P的坐標，則，進而得到、的長度，即可得出結果；當為對角線時，畫出相應的圖形，求出結果即可；【詳解】（1）解：由題意可得，，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：在平面直角坐標系內存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，理由如下：如圖，當為邊時，四邊形為符合條件的矩形，交y軸于點E，交x軸于點F，連接，過點P作軸于點M，過點Q作軸于點N，∵，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴和為等腰直角三角形，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴和為全等的等腰直角三角形，∴，∵，∴，設直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立方程組得，解得或，∴，∴，∴，∴，∴；如圖，當為對角線時，四邊形為矩形，過點Q作軸于點D，軸于點E，則，，∵，∴，∴，∴，設點P的坐標為：，，∵，，∴，，∴，∴，，，，∴，整理得：，分解因式得：，解得：（舍去），（舍去），，∴此時點Q的坐標為：．綜上所述，在平面直角坐標系內存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，此時點Q的坐標為或2023·內蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市、興安盟中考真題如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點分別為和（點在點的左側），與軸交于點，點是直線上方拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，設點為拋物線對稱軸上一動點，當點，點運動時，在坐標軸上確定點，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點的坐標．【答案】(1)(2)符合條件的點坐標為：或【分析】（1）利用待定系數法即可求解；（2）先求得拋物線的頂點，對稱軸為，分當點在軸上和點在軸負半軸上時，兩種情況討論，當點在軸負半軸上時，證明，求得，再證明，求得點的坐標為，由點在拋物線上，列式計算求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，與軸交于點解得拋物線的解析式為：；（2）解：，則拋物線的頂點，對稱軸為，情況一：當點在軸上時，為拋物線的頂點，∵四邊形為矩形，∴與縱坐標相同，∴；情況二：當點在軸負半軸上時，四邊形為矩形，過作軸的垂線，垂足為，過作軸的垂線，垂足為，設，則，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵拋物線對稱軸為，點在對稱軸上，，∴，，∴，即，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴點的坐標為