北師大版七年級數(shù)學下冊舉一反三 專題2.1 兩條直線的位置關系-重難點題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題2.1兩條直線的位置關系-重難點題型【北師大版】【知識點1對頂角與鄰補角】1.對頂角①定義一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角.②對頂角的性質(zhì)：對頂角相等.2.鄰補角①定義有公共頂點和一條公共邊，另一邊互為反向延長線，并且互補的兩個角稱為鄰補角.②鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補.【題型1對頂角與鄰補角的性質(zhì)】【例1】(2023春?甘井子區(qū)期末）如圖，兩條直線a，b相交，若2∠3＝3∠1，則以下各角度數(shù)正確的是（）A．∠1＝72° B．∠2＝120° C．∠3＝144° D．∠4＝36°【變式1-1】(2023春?松江區(qū)期中）如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，則∠AOE+∠DOB+∠COF等于（）A．150° B．180° C．210° D．120°【變式1-2】(2023春?雨花區(qū)校級期末）已知∠1與∠2是對頂角，∠1與∠3是鄰補角，則∠2+∠3的度數(shù)為（）A．90° B．180° C．270° D．360°【變式1-3】(2023春?萊陽市期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，∠DOE＝78°，∠DOF：∠AOD＝1：2，射線OE平分∠BOF，則∠BOC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．48°【知識點2垂線】①兩條直線相交所成的四個角內(nèi)有一個角是90°稱這兩條直線互相垂直.②垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線.③它們的交點叫做垂足.④垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.性質(zhì)2：直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短.【題型2垂線的唯一性及畫法】【例2】(2023春?圍場縣期末）P為直線l上的一點，Q為l外一點，下列說法不正確的是（）A．過P可畫直線垂直于l B．過Q可畫直線l的垂線 C．連接PQ使PQ⊥l D．過Q可畫直線與l垂直【變式2-1】(2023春?西城區(qū)校級期末）下列各圖中，過直線l外點P畫l的垂線CD，三角板操作正確的是（）A． B． C． D．【變式2-2】(2023春?訥河市期末）在一張透明的紙上畫一條直線l，在l外任取一點Q，并折出過點Q且與l垂直的直線．這樣的直線能折出（）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【變式2-3】(2023春?沈陽月考）如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合（即O，M，N三點共線），其理由是（）A．兩點確定一條直線 B．在同一平面內(nèi)，過兩點有且只有一條直線與已知直線垂直 C．在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 D．兩點之間，線段最短【題型3垂線段最短】【例3】(2023春?白堿灘區(qū)期末）直線l外有一點P，直線l上有三點A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么點P到直線l的距離（）A．不小于2cm B．大于2cm C．不大于2cm D．小于2cm【變式3-1】(2023春?濟陽區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為直線AB上一動點，連接PC，則線段PC的最小值是（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．2【變式3-2】(2023秋?海淀區(qū)校級期末）如圖是小明同學在體育課上跳遠后留下的腳印，那么體育陳老師測量小明同學的體育成績，應該選取線段的長度，其依據(jù)是．【變式3-3】(2023秋?通州區(qū)期末）如圖，點A在直線m上，點B在直線l上，點A到直線l的距離為a，點B到直線m的距離為b，線段AB的長度為c，通過測量等方法可以判斷在a，b，c三個數(shù)據(jù)中，最大的是c．【知識點3點到直線的距離】點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.【題型4點到直線的距離】【例4】(2023春?錦江區(qū)校級期末）如圖，∠ACD＝90°，CE⊥AB，垂足為E，則下面的結(jié)論中，不正確的是（）A．點C到AB的垂線段是線段CD B．CD與AC互相垂直 C．AB與CE互相垂直 D．線段CD的長度是點D到AC的距離【變式4-1】(2023春?饒平縣校級期末）如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點D，則下面的結(jié)論中，正確的有（）①BC與AC互相垂直；②AC與CD互相垂直；③點A到BC的垂線段是線段BC；④點C到AB的垂線段是線段CD；⑤線段BC是點B到AC的距離；⑥線段AC的長度是點A到BC的距離．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式4-2】(2023春?思明區(qū)校級期末）如圖，AC⊥BF，CD⊥AB于點D，點E在線段BF上，則下列說法錯誤的是（）A．線段CD的長度是點C到直線AB的距離 B．線段CF的長度是點C到直線BF的距離 C．線段EF的長度是點E到直線AC的距離 D．線段BE的長度是點B到直線CD的距離【變式4-3】(2023春?潛山市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足為點D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．下列結(jié)論正確的有．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①∠BDC＝90°；②∠C＝∠ABD；③點A到直線BD的距離為線段AB的長度；④點B到直線AC的距離為125【知識點4余角和補角】（1）定義：一般地，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角．類似地，如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角．（2）性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補角相等．【題型5余角與補角的定義】【例5】(2023春?金山區(qū)期末）如果一個角的補角的2倍減去這個角的余角恰好等于這個角的4倍，求這個角的度數(shù)．【變式5-1】(2023?尋烏縣模擬）已知∠A是銳角，∠A與∠B互補，∠A與∠C互余，則∠B﹣∠C的值等于（）A．45° B．60° C．90° D．180°【變式5-2】(2023秋?麥積區(qū)期末）一個角的補角加上10°后，等于這個角的余角的3倍，求這個角以及它的余角和補角的度數(shù)．【變式5-3】(2023秋?沂水縣期末）如圖，已知∠AOB＝130°，畫∠AOB的平分線OC，畫射線OD，使∠COD和∠AOC互余，并求∠BOD的度數(shù)．【題型6相交線中的角度計算】【例6】(2023秋?雙陽區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OC平分∠BOE，OF⊥CD，垂足為點O．（1）寫出∠AOF的一個余角和一個補角．（2）若∠BOE＝60°，求∠AOD的度數(shù)．（3）∠AOF與∠EOF相等嗎？說明理由．【變式6-1】(2023秋?和平區(qū)期末）平面內(nèi)兩條直線AB、CD相交于點O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．（1）如圖1：①若∠AOE＝20°，則∠DOF＝°；②請寫出∠DOF和∠AOE的數(shù)量關系，并說明理由．（2）如圖2，∠DOF與∠AOE的數(shù)量關系是．【變式6-2】(2023秋?南崗區(qū)校級月考）已知，O是直線AB上的一點，OC⊥OE．（1）如圖1，若∠COA＝34°，求∠BOE的度數(shù)．（2）如圖2，當射線OC在直線AB下方時，OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，如圖3，在∠BOE內(nèi)部作射線OM，使∠COM+1710∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，求∠【變式6-3】(2023秋?濱?？h期末）已知：點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠BOC＝110°．（1）如圖1，求∠AOC的度數(shù)；（2）如圖2，過點O在直線AB下方作射線OD，使OD⊥OC，作∠AOC的角平分線OM，求∠MOD的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，作射線OP，若∠BOP與∠AOM互余，求∠COP的度數(shù)．專題2.1兩條直線的位置關系-重難點題型【北師大版】【知識點1對頂角與鄰補角】1.對頂角①定義一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角.②對頂角的性質(zhì)：對頂角相等.2.鄰補角①定義有公共頂點和一條公共邊，另一邊互為反向延長線，并且互補的兩個角稱為鄰補角.②鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補.【題型1對頂角與鄰補角的性質(zhì)】【例1】(2023春?甘井子區(qū)期末）如圖，兩條直線a，b相交，若2∠3＝3∠1，則以下各角度數(shù)正確的是（）A．∠1＝72° B．∠2＝120° C．∠3＝144° D．∠4＝36°分析：先用∠1表示∠3，再根據(jù)平角定義得∠1的度數(shù)，然后根據(jù)對頂角和鄰補角得其它幾個角的度數(shù)可得答案．【解答】解：∵2∠3＝3∠1，∴∠3=3∵∠3+∠1＝180°，∴32∴∠1＝72°，∴∠3＝∠2＝180°﹣72°＝108°，∠1＝∠4＝72°，故選：A．【變式1-1】(2023春?松江區(qū)期中）如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，則∠AOE+∠DOB+∠COF等于（）A．150° B．180° C．210° D．120°分析：根據(jù)對頂角相等和周角的定義求三個角的和．【解答】解：∵∠COF與∠DOE是對頂角，∴∠COF＝∠DOE，∴∠AOE+∠DOB+∠COF＝∠AOE+∠DOB+∠COF=1故選：B．【變式1-2】(2023春?雨花區(qū)校級期末）已知∠1與∠2是對頂角，∠1與∠3是鄰補角，則∠2+∠3的度數(shù)為（）A．90° B．180° C．270° D．360°分析：根據(jù)對頂角、鄰補角的概念和性質(zhì)進行判斷即可．【解答】解：∵∠1與∠2是對頂角，∴∠1＝∠2，∵∠1與∠3是鄰補角，∴∠1+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°．故選：B．【變式1-3】(2023春?萊陽市期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，∠DOE＝78°，∠DOF：∠AOD＝1：2，射線OE平分∠BOF，則∠BOC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．48°分析：設∠DOF＝x，根據(jù)鄰補角的概念用x表示出∠BOF，根據(jù)角平分線的定義求出∠FOE，根據(jù)題意列式求出x，根據(jù)對頂角相等解答即可．【解答】解：設∠DOF＝x，則∠AOD＝2x，∴∠AOF＝3x，∴∠BOF＝180°﹣3x，∵OE平分∠BOF，∴∠FOE=12∠BOF＝90°?∵∠DOE＝78°，∴∠DOF+∠FOE＝78°，即x+90°?32解得：x＝24°，則∠AOD＝2x＝48°，∴∠BOC＝∠AOD＝48°，故選：D．【知識點2垂線】①兩條直線相交所成的四個角內(nèi)有一個角是90°稱這兩條直線互相垂直.②垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線.③它們的交點叫做垂足.④垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.性質(zhì)2：直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短.【題型2垂線的唯一性及畫法】【例2】(2023春?圍場縣期末）P為直線l上的一點，Q為l外一點，下列說法不正確的是（）A．過P可畫直線垂直于l B．過Q可畫直線l的垂線 C．連接PQ使PQ⊥l D．過Q可畫直線與l垂直分析：直接利用垂線的定義結(jié)合垂線作法得出答案．【解答】解：A、∵P為直線l上的一點，Q為l外一點，∴過P可畫直線垂直于l，正確，不合題意；B、∵P為直線l上的一點，Q為l外一點，∴過Q可畫直線l的垂線，正確，不合題意；C、連接PQ不能保證PQ⊥l，故錯誤，符合題意；D、∵Q為l外一點，∴可以過Q可畫直線與l垂直，正確，不合題意；故選：C．【變式2-1】(2023春?西城區(qū)校級期末）下列各圖中，過直線l外點P畫l的垂線CD，三角板操作正確的是（）A． B． C． D．分析：根據(jù)垂線的作法，用直角三角板的一條直角邊與l重合，另一條直角邊過點P后沿直角邊畫直線即可．【解答】解：根據(jù)分析可得D的畫法正確，故選：D．【變式2-2】(2023春?訥河市期末）在一張透明的紙上畫一條直線l，在l外任取一點Q，并折出過點Q且與l垂直的直線．這樣的直線能折出（）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條分析：根據(jù)垂線的基本性質(zhì)：過直線上或直線外的一點，有且只有一條直線和已知直線垂直，容易判斷．【解答】解：根據(jù)垂線的性質(zhì)，這樣的直線只能作一條，故選：B．【變式2-3】(2023春?沈陽月考）如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合（即O，M，N三點共線），其理由是（）A．兩點確定一條直線 B．在同一平面內(nèi)，過兩點有且只有一條直線與已知直線垂直 C．在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 D．兩點之間，線段最短分析：利用垂線的性質(zhì)解答．【解答】解：如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合（即O，M，N三點共線），其理由是在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故選：C．【題型3垂線段最短】【例3】(2023春?白堿灘區(qū)期末）直線l外有一點P，直線l上有三點A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么點P到直線l的距離（）A．不小于2cm B．大于2cm C．不大于2cm D．小于2cm分析：由點到直線的距離的定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫點到直線的距離，由垂線段最短可知點P到直線l的距離不大于2cm，進而求解．【解答】解：∵PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，∴PB最短，∵直線外一點與直線上點的連線中，垂線段最短，∴P到直線l的距離不大于2cm，故選：C．【變式3-1】(2023春?濟陽區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為直線AB上一動點，連接PC，則線段PC的最小值是（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．2分析：當PC⊥AB時，PC的值最小，利用面積法求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵當PC⊥AB時，PC的值最小，此時：△ABC的面積=12?AB?PC=12?∴5PC＝3×4，∴PC＝2.4，故選：C．【變式3-2】(2023秋?海淀區(qū)校級期末）如圖是小明同學在體育課上跳遠后留下的腳印，那么體育陳老師測量小明同學的體育成績，應該選取線段CD的長度，其依據(jù)是垂線段最短．分析：利用垂線段最短及跳遠比賽的規(guī)則即可求解．【解答】解：小明同學的體育成績，應該選取線段CD的長度．依據(jù)為：垂線段最短．故答案為：CD，垂線段最短．【變式3-3】(2023秋?通州區(qū)期末）如圖，點A在直線m上，點B在直線l上，點A到直線l的距離為a，點B到直線m的距離為b，線段AB的長度為c，通過測量等方法可以判斷在a，b，c三個數(shù)據(jù)中，最大的是c．分析：根據(jù)垂線段的性質(zhì)，即可得到AC＜AB，BD＜AB，進而得出a＜c，b＜c．【解答】解：如圖所示，∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴AC＜AB，BD＜AB，即a＜c，b＜c，∴在a，b，c三個數(shù)據(jù)中，最大的是c，故答案為：c．【知識點3點到直線的距離】點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.【題型4點到直線的距離】【例4】(2023春?錦江區(qū)校級期末）如圖，∠ACD＝90°，CE⊥AB，垂足為E，則下面的結(jié)論中，不正確的是（）A．點C到AB的垂線段是線段CD B．CD與AC互相垂直 C．AB與CE互相垂直 D．線段CD的長度是點D到AC的距離分析：根據(jù)點到直線距離的定義對各選項進行逐一分析即可．【解答】解：A、∵CE⊥AB，∴點C到AB的垂線段是線段CE，原說法錯誤，故本選項符合題意；B、∵∠ACD＝90°，∴CD⊥AC，即CD與AC互相垂直，原說法正確，故本選項不符合題意；C、∵CE⊥AB，垂足為E，∴AB與CE互相垂直，原說法正確，故本選項不符合題意；D、∵∠ACD＝90°，∴CD⊥AC，∴線段CD的長度是點D到AC的距離，原說法正確，故本選項不符合題意．故選：A．【變式4-1】(2023春?饒平縣校級期末）如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點D，則下面的結(jié)論中，正確的有（）①BC與AC互相垂直；②AC與CD互相垂直；③點A到BC的垂線段是線段BC；④點C到AB的垂線段是線段CD；⑤線段BC是點B到AC的距離；⑥線段AC的長度是點A到BC的距離．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個分析：根據(jù)點到直線距離的定義對各選項進行逐一分析即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，故①正確；AC與DC相交不垂直，故②錯誤；點A到BC的垂線段是線段AC，故③錯誤；點C到AB的垂線段是線段CD，故④正確；線段BC的長度是點B到AC的距離，故⑤錯誤；線段AC的長度是點A到BC的距離，故⑥正確．故選：B．【變式4-2】(2023春?思明區(qū)校級期末）如圖，AC⊥BF，CD⊥AB于點D，點E在線段BF上，則下列說法錯誤的是（）A．線段CD的長度是點C到直線AB的距離 B．線段CF的長度是點C到直線BF的距離 C．線段EF的長度是點E到直線AC的距離 D．線段BE的長度是點B到直線CD的距離分析：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．【解答】解：A．線段CD的長度是點C到直線AB的距離，故本選項正確；B．線段CF的長度是點C到直線BF的距離，故本選項正確；C．線段EF的長度是點E到直線AC的距離，故本選項正確；D．線段BD的長度是點B到直線CD的距離，故本選項錯誤；故選：D．【變式4-3】(2023春?潛山市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足為點D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．下列結(jié)論正確的有．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①∠BDC＝90°；②∠C＝∠ABD；③點A到直線BD的距離為線段AB的長度；④點B到直線AC的距離為125分析：①根據(jù)垂直的定義即可求解；②根據(jù)余角的性質(zhì)即可求解；③根據(jù)點到直線的距離的定義即可求解；④根據(jù)三角形面積公式即可求解．【解答】解：①∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，故①正確；②∵∠ABD+∠A＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠C＝∠ABD，故②正確；③點A到直線BD的距離為線段AD的長度，故③錯誤；④點B到直線AC的距離為12×3×4×2÷5=12故答案為：①②④．【知識點4余角和補角】（1）定義：一般地，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角．類似地，如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角．（2）性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補角相等．【題型5余角與補角的定義】【例5】(2023春?金山區(qū)期末）如果一個角的補角的2倍減去這個角的余角恰好等于這個角的4倍，求這個角的度數(shù)．【解題思路】利用題中的關系“一個角的補角的2倍減去這個角的余角恰好等于這個角的4倍”，作為相等關系列方程求解即可．【解答過程】解：設這個角的度數(shù)為x°，2（180﹣x）﹣（90﹣x）＝4x．解得x＝54．所以這個角的度數(shù)是54°．【變式5-1】(2023?尋烏縣模擬）已知∠A是銳角，∠A與∠B互補，∠A與∠C互余，則∠B﹣∠C的值等于（）A．45° B．60° C．90° D．180°【解題思路】根據(jù)互余兩角之和為90°，互補兩角之和為180°，結(jié)合題意即可得出答案．【解答過程】解：由題意得：∠A+∠B＝180°，∠A+∠C＝90°，兩式相減可得：∠B﹣∠C＝90°．故選：C．【變式5-2】(2023秋?麥積區(qū)期末）一個角的補角加上10°后，等于這個角的余角的3倍，求這個角以及它的余角和補角的度數(shù)．【解題思路】設這個角為x°，則得出方程180﹣x+10＝3（90﹣x），求出即可．【解答過程】解：設這個角為x°，則180﹣x+10＝3（90﹣x），解得：x＝40，即這個角的度數(shù)是40°，即這個角的余角是90°﹣40°＝50°，補角是180°﹣40°＝140°．【變式5-3】(2023秋?沂水縣期末）如圖，已知∠AOB＝130°，畫∠AOB的平分線OC，畫射線OD，使∠COD和∠AOC互余，并求∠BOD的度數(shù)．【解題思路】先畫∠AOB的平分線OC，及滿足條件的射線OD，而射線OD有兩個位置，如圖1，圖2，由角平分線的定義及余角的定義可求解∠COD的度數(shù)，圖1可由∠BOD＝∠BOC﹣∠COD，圖2可由∠BOD＝∠BOC+∠COD計算求解．【解答過程】解：如圖：因為∠AOB＝130°，OC平分∠AOB，所以∠BOC＝∠AOC=12∠因為∠COD和∠AOC互余，所以∠COD＝90°﹣∠AOC＝25°，所以∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝65°﹣25°＝40°（圖1），或∠BOD＝∠BOC+∠COD＝65°+25°＝90°（圖2）．【題型6相交線中的角度計算】【例6】(2023秋?雙陽區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OC平分∠BOE，OF⊥CD，垂足為點O．（1）寫出∠AOF的一個余角和一個補角．（2）若∠BOE＝60°，求∠AOD的度數(shù)．（3）∠AOF與∠EOF相等嗎？說明理由．分析：（1）由垂直定義的∠FOC＝∠FOD＝90°，再根據(jù)平角定義推得，余角的定義得結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義，對頂角相等求出∠AOD的度數(shù)；（3）根據(jù)等角的余角相等得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵OF⊥CD，∴∠FOC＝∠FOD＝90°，∵∠AOF+∠FOC+COB＝180°，∴∠AOF+∠COB＝90°，∴∠COB是∠AOF的余角；∴∠BOF是∠AOF的補角；（2）∵OC平分∠BOE，∠BOE＝60°，∴∠BOC＝∠EOC=12∠∴∠AOD＝∠BOC＝30°，（3）相等，∵∠AOD+∠AOF＝∠EOF+∠EOC＝90°，∠BOC＝∠EOC，∠AOD＝∠BOC，∴∠∠AOF＝∠EOF．【變式6-1】(2023秋?和平區(qū)期末）平面內(nèi)兩條直線AB、CD相交于點O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．（1）如圖1：①若∠AOE＝20°，則∠DOF＝40°°；②請寫出∠DOF和∠AOE的數(shù)量關系，并說明理由．（2）如圖2，∠DOF與∠AOE的數(shù)量關系是∠DOF＝2∠AOE．分析：（1）①先利用平角求出∠BOF，再利用角平分線的定義求出∠FOC即可，②設∠AOE＝x，然后按照①的思路表示∠DOF即可；（2）設∠AOE＝y(tǒng)，然后按照上題的思路表示∠DOF即可．【解答】解：（1）①∵∠EOF＝90°，∠AOE＝20°，∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝70°，∵OB平分∠COF，∴∠COF＝2∠BOF＝140°，∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝40°，故答案為：40°，②∠DOF＝2∠AOE，理由是：設∠AOE＝x，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣x，∵OB平分∠COF，∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2x，∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2x，∴∠DOF＝2∠AOE；（2）∠DOF＝2∠AOE，理由是：設∠AOE＝y(tǒng)，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣y，∵OB平分∠COF，∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2y，∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2y，∴∠DOF＝2∠AOE．【變式6-2】(2023秋?南崗區(qū)校級月考）已知，O是直線AB上的一點，OC⊥OE．（1）如圖1，若∠COA＝34°，求∠BOE的度數(shù)．（2）如圖2，當射線OC在直線AB下方時，OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，如圖3，在∠BOE內(nèi)部作射線OM，使∠COM