2024年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 專題05 二次函數(shù)與相似三角形有關(guān)問題（專項(xiàng)訓(xùn)練）（原卷版+解析）

專題05二次函數(shù)與相似三角形有關(guān)問題（專項(xiàng)訓(xùn)練）1．（2023?黔東南州）如圖，拋物線y＝ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x的垂線交拋物線于點(diǎn)G，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、M、G為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（2023?無錫）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)y＝ax2+2x+c的圖象過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交BC于點(diǎn)F，交二次函數(shù)y＝ax2+2x+c的圖象于點(diǎn)E．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，求線段EF的長度；3．（2023?濟(jì)寧）如圖，直線y＝﹣x+分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)A的拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為C，與y軸交于點(diǎn)D（0，3），拋物線的對(duì)稱軸l交AD于點(diǎn)E，連接OE交AB于點(diǎn)F．（1）求拋物線的解析式；（2）求證：OE⊥AB；（3）P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線PO交AD于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使以A，O，M為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．（2023?懷化）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；5．（2023?遂寧）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，﹣3），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，直線y＝﹣2x+m經(jīng)過點(diǎn)A，且與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線交于點(diǎn)E，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)F．（1）求拋物線的解析式和m的值；（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由；6．（2023?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+x+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點(diǎn)．（1）求證：∠ACB＝90°；（2）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．①求DE+BF的最大值；②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOG相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．7．（2023?江岸區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，已知對(duì)稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；（2）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△MOC與△BCP相似？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)【不必書寫求解過程】．8．（2023?柳州）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣4x+a（a＜0）與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)），頂點(diǎn)為M．直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，與直線AM交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的對(duì)稱軸；（2）在y軸右側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a的值；（3）如圖②，過拋物線頂點(diǎn)M作MN⊥x軸于N，連接ME，點(diǎn)Q為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QG⊥x軸于G，連接QE．當(dāng)a＝﹣5時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得以Q、E、G為頂點(diǎn)的三角形與△MNE相似（不含全等）？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．9．（2023?鄂州）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C．直線y＝x﹣2經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與直線BC及x軸分別交于點(diǎn)D、M．PN⊥BC，垂足為N．設(shè)M（m，0）．①點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，若P、D、M三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外）．請(qǐng)直接寫出符合條件的m的值；②當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在一點(diǎn)P，使△PNC與△AOC相似．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．（2023?濰坊）如圖，拋物線y＝ax2+bx+8（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（8，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接AC，BC，BC與拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)N是對(duì)稱軸l右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在射線ED上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．11．（2023?懷化）如圖所示，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求點(diǎn)C及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．（2）直線CM交x軸于點(diǎn)E，若點(diǎn)P是線段EM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)P、E、O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．12．（2023?連云港）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：y＝x2﹣x﹣2的頂點(diǎn)為D，交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．拋物線L2與L1是“共根拋物線”，其頂點(diǎn)為P．（1）若拋物線L2經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣12），求L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)BP﹣CP的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)Q是拋物線L1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于其對(duì)稱軸的右側(cè)．若△DPQ與△ABC相似，求其“共根拋物線”L2的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．13．（2023?銅仁市）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過兩點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C是拋物線與y軸的交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)M、點(diǎn)N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)．專題05二次函數(shù)與相似三角形有關(guān)問題（專項(xiàng)訓(xùn)練）1．（2023?黔東南州）如圖，拋物線y＝ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x的垂線交拋物線于點(diǎn)G，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、M、G為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）將點(diǎn)B（3，0），C（0，﹣3）分別代入y＝ax2﹣2x+c中，得：，解得，∴拋物線的函數(shù)關(guān)系為y＝x2﹣2x﹣3；（2）由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為x＝﹣＝1，故設(shè)點(diǎn)P（1，m），點(diǎn)Q（x，0），B（3，0），C（0，﹣3），①以PB為對(duì)角線時(shí)，，解得：，∴P（1，﹣3），Q（4，0）；（2）當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），又y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），∵C（0，﹣3）、B（3，0）、D（1，﹣4），∴BD2＝22+42＝20，CD2＝12+12，BC2＝32+32，∴BD2＝CD2+BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝90°，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)（m，0），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），根據(jù)題意知：∠AMG＝∠BCD＝90°，∴要使以A、M、G為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，需要滿足條件：，①當(dāng)m＜﹣1時(shí)，此時(shí)有：，解得：，m2＝﹣1或m1＝0，m2＝﹣1，都不符合m＜﹣1，所以m＜﹣1時(shí)無解；②當(dāng)﹣1＜m≤3時(shí)，此時(shí)有：，解得：，m2＝﹣1（不符合要求，舍去）或m1＝0，m2＝﹣1（不符合要求，舍去），∴M（）或M（0，0），③當(dāng)m＞3時(shí)，此時(shí)有：或，解得：（不符合要求，舍去）或m1＝6，m2＝﹣1（不符要求，舍去），∴點(diǎn)M（6，0）或M（，0），答：存在點(diǎn)M，使得A、M、G為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）．2．（2023?無錫）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)y＝ax2+2x+c的圖象過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交BC于點(diǎn)F，交二次函數(shù)y＝ax2+2x+c的圖象于點(diǎn)E．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，求線段EF的長度；【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，∴B（3，0），C（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖：在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3，∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，∴以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，B和F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)E（m，﹣m2+2m+3），則F（m，﹣m+3），∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，①△ABC∽△CFE時(shí)，＝，∴＝，解得m＝或m＝0（舍去），∴EF＝，②△ABC∽△EFC時(shí)，＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴EF＝，綜上所述，EF＝或．3．（2023?濟(jì)寧）如圖，直線y＝﹣x+分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)A的拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為C，與y軸交于點(diǎn)D（0，3），拋物線的對(duì)稱軸l交AD于點(diǎn)E，連接OE交AB于點(diǎn)F．（1）求拋物線的解析式；（2）求證：OE⊥AB；（3）P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線PO交AD于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使以A，O，M為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，∴A（3，0），B（0，），∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（3，0），D（0，3），∴，解得：，∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+a，將A（3，0），D（0，3）代入，得：，解得：，∴直線AD的解析式為y＝﹣x+3，∴E（1，2），∵G（1，0），∠EGO＝90°，∴tan∠OEG＝＝，∵OA＝3，OB＝，∠AOB＝90°，∴tan∠OAB＝＝＝，∴tan∠OAB＝tan∠OEG，∴∠OAB＝∠OEG，∵∠OEG+∠EOG＝90°，∴∠OAB+∠EOG＝90°，∴∠AFO＝90°，∴OE⊥AB；（3）存在．∵A（3，0），拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴C（﹣1，0），∴AC＝3﹣（﹣1）＝4，∵OA＝OD＝3，∠AOD＝90°，∴AD＝OA＝3，設(shè)直線CD解析式為y＝mx+n，∵C（﹣1，0），D（0，3），∴，解得：，∴直線CD解析式為y＝3x+3，①當(dāng)△AOM∽△ACD時(shí)，∠AOM＝∠ACD，如圖2，∴OM∥CD，∴直線OM的解析式為y＝3x，結(jié)合拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，得：3x＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝，x2＝，②當(dāng)△AMO∽△ACD時(shí)，如圖3，∴＝，∴AM＝＝＝2，過點(diǎn)M作MG⊥x軸于點(diǎn)G，則∠AGM＝90°，∵∠OAD＝45°，∴AG＝MG＝AM?sin45°＝2×＝2，∴OG＝OA﹣AG＝3﹣2＝1，∴M（1，2），設(shè)直線OM解析式為y＝m1x，將M（1，2）代入，得：m1＝2，∴直線OM解析式為y＝2x，結(jié)合拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，得：2x＝﹣x2+2x+3，解得：x＝±，綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為±或．4．（2023?懷化）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；【解答】解：（1）由題意得，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（4，0）、（0，8），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+bx+c，則，解得，故拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+8；（2）存在，理由：當(dāng)∠CP′M為直角時(shí)，則以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似時(shí)，則P′C∥x軸，則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（1，8）；當(dāng)∠PCM為直角時(shí)，在Rt△OBC中，設(shè)∠CBO＝α，則tan∠CBO＝＝2＝tanα，則sinα＝，cosα＝，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，則BM＝＝3，同理可得，MN＝6，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，BC＝＝4，則CM＝BC﹣MB＝，在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，則PM＝＝＝，則PN＝MN+PM＝6+＝，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，8）或（1，）；5．（2023?遂寧）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，﹣3），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，直線y＝﹣2x+m經(jīng)過點(diǎn)A，且與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線交于點(diǎn)E，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)F．（1）求拋物線的解析式和m的值；（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由；【解答】解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸x＝﹣1，與x軸的交點(diǎn)為A，B（﹣3，0），∴A（1，0），∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，﹣3）代入得到，a＝1，∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3．∵直線y＝﹣2x+m經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），∴0＝﹣2+m，∴m＝2．（2）如圖1中，∵直線AF的解析式為y＝﹣2x+2，直線交y軸于D，與拋物線交于點(diǎn)E，∴D（0，2），由，解得即點(diǎn)A，或，∴E（﹣5，12），過點(diǎn)E作EP⊥y軸于P．∵∠EPD＝∠AOD＝90°，∠EDP＝∠ODA，∴△EDP∽△ADO，∴P（0，12）．過點(diǎn)E作EP′⊥DE交y軸于P′，同法可證，△P′DE∽△ADO，∴∠P′＝∠DAO，∴tan∠P′＝tan∠DAO，∴＝，∴＝，∴PP′＝2.5，∴P′（0，14.5），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，12）或（0，14.5）．6．（2023?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+x+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點(diǎn)．（1）求證：∠ACB＝90°；（2）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．①求DE+BF的最大值；②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOG相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x1＝﹣2，x2＝8，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，AB＝10，∴AC2＝OA2+OC2＝20，BC2＝OB2+OC2＝80，∴AC2+BC2＝100，而AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°；（2）①設(shè)直線BC解析式為y＝kx+b，將B（8，0），C（0，4）代入可得：，解得，∴直線BC解析式為y＝﹣x+4，設(shè)第一象限D(zhuǎn)（m，+m+4），則E（m，﹣m+4），∴DE＝（+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，BF＝8﹣m，∴DE+BF＝（﹣m2+2m）+（8﹣m）＝﹣m2+m+8＝﹣（m﹣2）2+9，∴當(dāng)m＝2時(shí)，DE+BF的最大值是9；②由（1）知∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵DF⊥x軸于F，∴∠FEB+∠CBA＝90°，∴∠CAB＝∠FEB＝∠DEC，（一）當(dāng)A與E對(duì)應(yīng)時(shí)，以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOG相似，只需＝或＝，而G為AC中點(diǎn)，A（﹣2，0），C（0，4），∴G（﹣1，2），OA＝2，AG＝，由①知：DE＝﹣m2+2m，E（m，﹣m+4），∴CE＝＝，當(dāng)＝時(shí)，＝，解得m＝4或m＝0（此時(shí)D與C重合，舍去）∴D（4，6），當(dāng)＝時(shí)，＝，解得m＝3或m＝0（舍去），∴D（3，），∵在Rt△AOC中，G是AC中點(diǎn)，∴OG＝AG，∴∠GAO＝∠GOA，即∠CAB＝∠GOA，∴∠DEC＝∠GOA，（二）當(dāng)O與E對(duì)應(yīng)時(shí)，以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOG相似，只需＝或＝，∵OG＝AG，∴＝與＝答案相同，同理＝與或＝答案相同，綜上所述，以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOG相似，則D的坐標(biāo)為（4，6）或（3，）．7．（2023?江岸區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，已知對(duì)稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；（2）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△MOC與△BCP相似？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)【不必書寫求解過程】．【解答】解：（1）由題意，，解得，∴拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，則﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝1或﹣3，∴B（﹣3，0）．（2）存在．如圖2中，連接PB，PC．∵B（﹣3，0），P（﹣1，4），C（0，3），∴BC＝3，PC＝，PB＝2，∴PB2＝PC2+CB2，∴∠PCB＝90°，PC：BC＝：3＝1：3，當(dāng)MO：OC＝1：3或OC：MO＝1：3時(shí)，△COM與△BCP相似，∴OM＝1或9，∴滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣1，0）或（9，0）或（﹣9，0）．8．（2023?柳州）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣4x+a（a＜0）與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)），頂點(diǎn)為M．直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，與直線AM交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的對(duì)稱軸；（2）在y軸右側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a的值；（3）如圖②，過拋物線頂點(diǎn)M作MN⊥x軸于N，連接ME，點(diǎn)Q為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QG⊥x軸于G，連接QE．當(dāng)a＝﹣5時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得以Q、E、G為頂點(diǎn)的三角形與△MNE相似（不含全等）？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2；（2）由y＝（x﹣2）2+a﹣4得：A（0，a），M（2，a﹣4），由y＝x﹣a得C（0，﹣a），設(shè)直線AM的解析式為y＝kx+a，將M（2，a﹣4）代入y＝kx+a中，得2k+a＝a﹣4，解得k＝﹣2，直線AM的解析式為y＝﹣2x+a，聯(lián)立方程組得，解得，∴D（a，a），∵a＜0，∴點(diǎn)D在第二象限，又點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴AC是以P、A、C、D為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線，則點(diǎn)P與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即P（a，a），將點(diǎn)P（﹣a，a）代入拋物線y＝x2﹣4x+a，解得a＝或a＝0（舍去），∴a＝；（3）存在，理由如下：當(dāng)a＝﹣5時(shí)，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，此時(shí)M（2，﹣9），令y＝0，即（x﹣2）2﹣9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，∴點(diǎn)F（﹣1，0）E（5，0），∴EN＝FN＝3MN＝9，設(shè)點(diǎn)Q（m，m2﹣4m﹣5），則G（m，0），∴EG＝|m﹣5|，QG＝|m2﹣4m﹣5|，又△QEG與△MNE都是直角三角形，且∠MNE＝∠QGE＝90°，如圖所示，需分兩種情況進(jìn)行討論：i）當(dāng)＝＝3時(shí)，即＝3，當(dāng)m＝2時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合，不符合題意，舍去，當(dāng)m＝﹣4時(shí)，此時(shí)Q坐標(biāo)為點(diǎn)Q1（﹣4，27）；ii）當(dāng)＝＝＝時(shí)，即＝，解得m＝或m＝或m＝5（舍去），當(dāng)m＝時(shí)，Q坐標(biāo)為點(diǎn)Q2（，），當(dāng)m＝，Q坐標(biāo)為點(diǎn)Q3（，），綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣4，27）或（，）或（，）．9．（2023?鄂州）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C．直線y＝x﹣2經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與直線BC及x軸分別交于點(diǎn)D、M．PN⊥BC，垂足為N．設(shè)M（m，0）．①點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，若P、D、M三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外）．請(qǐng)直接寫出符合條件的m的值；②當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在一點(diǎn)P，使△PNC與△AOC相似．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）針對(duì)于直線y＝x﹣2，令x＝0，則y＝﹣2，∴C（0，﹣2），令y＝0，則0＝x﹣2，∴x＝4，∴B（4，0），將點(diǎn)B，C坐標(biāo)代入拋物線y＝x2+bx+c中，得，∴，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；（2）①∵PM⊥x軸，M（m，0），∴P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵P、D、M三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，∴Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)D是PM的中點(diǎn)時(shí)，（0+m2﹣m﹣2）＝m﹣2，∴m＝1或m＝4（此時(shí)點(diǎn)D，M，P三點(diǎn)重合，舍去），Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)P是DM的中點(diǎn)時(shí)，（0+m﹣2）＝m2﹣m﹣2，∴m＝﹣或m＝4（此時(shí)點(diǎn)D，M，P三點(diǎn)重合，舍去），Ⅲ、當(dāng)點(diǎn)M是DP的中點(diǎn)時(shí)，（m2﹣m﹣2+m﹣2）＝0，∴m＝﹣2或m＝4（此時(shí)點(diǎn)D，M，P三點(diǎn)重合，舍去），即滿足條件的m的值為﹣或1或﹣2；②存在，由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，則0＝x2﹣x﹣2，∴x＝﹣1或x＝4，∴點(diǎn)A（﹣1，0），∴OA＝1，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴OB＝4，OC＝2，∴，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，∵△PNC與△AOC相似，∴Ⅰ、當(dāng)△PNC∽△AOC，∴∠PCN＝∠ACO，∴∠PCN＝∠OBC，∴CP∥OB，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣2，∴m2﹣m﹣2＝﹣2，∴m＝0（舍）或m＝3，∴P（3，﹣2）；Ⅱ、當(dāng)△PNC∽△COA時(shí)，∴∠PCN＝∠CAO，∴∠OCB＝∠PCD，∵PD∥OC，∴∠OCB＝∠CDP，∴∠PCD＝∠PDC，∴PC＝PD，由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵C（0，﹣2），∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝，∴2m﹣m2＝，∴m＝或m＝0（舍），∴P（，﹣）．即滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，﹣2）或（，﹣）．10．（2023?濰坊）如圖，拋物線y＝ax2+bx+8（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（8，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接AC，BC，BC與拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)N是對(duì)稱軸l右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在射線ED上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+8（a≠0）過點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（8，0），∴，解得．∴拋物線解析式為：；（2）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（3，8），或（3，11）．∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，∴△OBC為等腰直角三角形，拋物線的對(duì)稱軸為，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3，又∵點(diǎn)E在直線BC上，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5，∴E（3，5），設(shè)，①當(dāng)MN＝EM，∠EMN＝90°，△NME∽△COB，則，解得或（舍去），∴此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，8），②當(dāng)ME＝EN，當(dāng)∠MEN＝90°時(shí)，則，解得：或（舍去），∴此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為；③當(dāng)MN＝EN，∠MNE＝90°時(shí)，此時(shí)△MNE與△COB相似，此時(shí)的點(diǎn)M與點(diǎn)E關(guān)于①的結(jié)果（3，8）對(duì)稱，設(shè)M（3，m），則m﹣8＝8﹣5，解得m＝11，∴M（3，11）；此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，11）；故在射線ED上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（3，8）或或（3，11）．11．（2023?懷化）如圖所示，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求點(diǎn)C及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．（2）直線CM交x軸于點(diǎn)E，若點(diǎn)P是線段EM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)P、E、O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此時(shí)y＝﹣3，故C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣4）；（2）存在，理由如下：連接AC，OP，如圖2所示：設(shè)MC的解析式為：y＝kx+m，將C（0，﹣3），M（1，﹣4）代入MC的解析式得：，解得：∴MC的解析式為：y＝﹣x﹣3，令y＝0，則x＝﹣3，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，∴CE＝CB，∴∠CBE＝∠E，設(shè)P（x，﹣x﹣3），又∵P點(diǎn)在線段EC上，∴﹣3＜x＜0，則，，由題意知：△PEO相似于△ABC，分情況討論：①△PEO∽△CBA，∴，∴，解得，滿足﹣3＜x＜0，此時(shí)P的坐標(biāo)為；②△PEO∽△ABC，∴，∴，解得x＝﹣1，滿足﹣3＜x＜0，此時(shí)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．綜上所述，存在以點(diǎn)P、E、O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，P點(diǎn)的坐標(biāo)為或（﹣1，﹣2）．12．（2023?連云港）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：y＝x2﹣x﹣2的頂點(diǎn)為D，交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．拋物線L2與L1是“共根拋物線”，其頂點(diǎn)為P．（1）若拋物線L2經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣12），求L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)BP﹣CP的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)Q是拋物線L1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于其對(duì)稱軸的右側(cè)．若△DPQ與△ABC相似，求其“共根拋物線”L2的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），由題意設(shè)拋物線L2的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），﹣12＝﹣6a，解得a＝2，∴拋物線的解析式為y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．（2）∵拋物線L2與L1是“共根拋物線”，A（﹣1，0），B（4，0），∴拋物線L1，L2的對(duì)稱軸是直線x＝，∴點(diǎn)P在直線x＝上，∴BP＝AP，如圖1中，當(dāng)A，C，P共線時(shí)，BP﹣PC的值最大，此時(shí)點(diǎn)P為直線