蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)微專題提分精練專題39根式的性質(zhì)應(yīng)用培優(yōu)(原卷版+解析)

專題39根式的性質(zhì)應(yīng)用培優(yōu)1．化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是（

）A． B．－ C． D．－2．設(shè)為正整數(shù)，，，，，…，….，已知，則(

).A．1806 B．2005 C．3612 D．40113．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖像上，以為一邊作等腰直角三角形，其中∠=90°，，則線段長(zhǎng)的最小值是（

）A．1 B． C． D．44．如果關(guān)于x的不等式組的解集為，且式子的值是整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)m的個(gè)數(shù)是（

）．A．5 B．4 C．3 D．25．設(shè)等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a、x、y是兩兩不同的實(shí)數(shù)，則的值是()A．3 B． C．2 D．6．把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，得________7．已知，則的值是_____________．8．設(shè)，求不超過的最大整數(shù)______．9．已知，則2x﹣18y2＝_____．10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E、F分別是AB和DC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，則DE＋EF＋FM的最小值是_____；若∠EFD＝45°，則DE＋EF＋FM的最小值為____11．設(shè)，其中n為正整數(shù)，則____．12．在等腰三角形ABC中，，，E為BC上一點(diǎn)，，，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為直線DE上一點(diǎn)，則的最小值為______．13．實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最大值為_________．14．如圖，一條河流的段長(zhǎng)為，在點(diǎn)的正北方處有一村莊，在點(diǎn)的正南方處有一村莊，計(jì)劃在上建一座橋，使得橋到村和村的距離和最?。?qǐng)根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)將橋建在何處時(shí)，可以使得橋到村和村的距離和最?。空?qǐng)?jiān)趫D中畫出此時(shí)點(diǎn)的位置；(2)小明發(fā)現(xiàn)：設(shè)，則，則，根據(jù)（1）中的結(jié)論可以求出當(dāng)______時(shí)，的值最小，且最小值為______；(3)結(jié)合（1）（2）問，請(qǐng)直接寫出下列代數(shù)式的最小值：①的最小值______；②的最小值為______．15．（1）初步感知，在④的橫線上直接寫出計(jì)算結(jié)果：①；②；③；④__________；…（2）深入探究，觀察下列等式：①；②；③；…根據(jù)以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容：__________．（3）拓展應(yīng)用，通過以上初步感知與深入探究，計(jì)算：①；②．16．已知由（a﹣b）2≥0，可得a2+b2≥2ab，運(yùn)用上述結(jié)論解決問題：(1)當(dāng)a，b滿足時(shí)，a2+b2＝2ab成立；(2)若x為正數(shù)，，當(dāng)x＝時(shí)，取得最小值；(3)若x為正數(shù)，的最小值為；(4)若x＞3，則最小值為．17．已知滿足．（1）有意義，的取值范圍是；則在這個(gè)條件下將去掉絕對(duì)值符號(hào)可得（2）根據(jù)（1）的分析，求的值．18．閱讀材料，完成下列問題：對(duì)于由n個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的數(shù)組A＝(a1，a2，a3，…，an)，以及任意給定的正整數(shù)s，我們定義：∥A∥s，例如：A＝(1，﹣2)，∥A∥2．(1)求A＝(1，2，3，…，2022)時(shí)，∥A∥1＝_________；(2)若A＝(x，y，z，w)，∥A∥2022＝612，B，求∥B∥2022；(3)若A＝(x1，y1)，B＝(x2，y2)，C＝(x1+x2，y1+y2)，試比較∥A∥2+∥B∥2與∥C∥2的大小關(guān)系．專題39根式的性質(zhì)應(yīng)用培優(yōu)1．化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是（

）A． B．－ C． D．－【答案】B【分析】首先根據(jù)二次根式有意義的條件求得a、b的取值范圍，然后再利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可【詳解】故選B【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式有意義的條件判斷字母的取值范圍．本題需要重點(diǎn)注意字母和式子的符號(hào)．2．設(shè)為正整數(shù)，，，，，…，….，已知，則(

).A．1806 B．2005 C．3612 D．4011【答案】A【分析】利用多項(xiàng)式的乘法把各數(shù)開方進(jìn)行計(jì)算，然后求出A1，A2，A3的值，從而找出規(guī)律并寫出規(guī)律表達(dá)式，再把k=100代入進(jìn)行計(jì)算即可求解.【詳解】∵(n+3)(n-1)+4=n2+2n-3+4=n2+2n+1=(n+1)2，∴A1=∵(n+5)A1+4=(n+5)(n+1)+4=n2+6n+5+4=n2+6n+9=(n+3)2，∴A2=∵(n+7)A2+4=(n+7)(n+3)+4=n2+10n+21+4=n2+10n+25=(n+5)2，∴A3=??依此類推，Ak=n+(2k-1)∴A100=n+(2×100-1)=2005解得，n=1806.故選A.【點(diǎn)睛】本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，對(duì)被開方數(shù)整理，求出A1，A2，A3，從而找出規(guī)律寫出規(guī)律的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵.3．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖像上，以為一邊作等腰直角三角形，其中∠=90°，，則線段長(zhǎng)的最小值是（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】如圖，過作軸，交y軸于M，過作軸，垂足為D，交MA于H，則證明可得設(shè)則可得再利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合完全平方公式的變形可得答案．【詳解】解：如圖，過作軸，交y軸于M，過作軸，垂足為D，交MA于H，則設(shè)則而當(dāng)時(shí)，則∴的最小值是8，∴的最小值是故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式的變形應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握“的變形公式”是解本題的關(guān)鍵．4．如果關(guān)于x的不等式組的解集為，且式子的值是整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)m的個(gè)數(shù)是（

）．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】先求出兩個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組的解集為可得出m≤2，再由式子的值是整數(shù)，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．【詳解】解：解不等式得x＞m，解不等式得x＞2，∵不等式組解集為x＞2，∴m≤2，∵式子的值是整數(shù)，則|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，由m≤2得，m=-3，-2或2．即符合條件的所有整數(shù)m的個(gè)數(shù)是3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組以及二次根式的性質(zhì)，熟練運(yùn)用一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．5．設(shè)等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a、x、y是兩兩不同的實(shí)數(shù)，則的值是()A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)根號(hào)下的數(shù)要是非負(fù)數(shù)，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案．【詳解】由于根號(hào)下的數(shù)要是非負(fù)數(shù)，∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，所以a只能等于0，代入等式得=0，所以有x=-y，即：y=-x，由于x，y，a是兩兩不同的實(shí)數(shù)，∴x＞0，y＜0．將x=-y代入原式得：原式=．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)二次根式的化簡(jiǎn)，算術(shù)平方根的非負(fù)性，分式的加減、乘除等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此題的關(guān)鍵．6．把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，得________【答案】【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于零，可得出，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握二次根式的基本性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．7．已知，則的值是_____________．【答案】9【分析】先將原等式變形為，再根據(jù)平方的非負(fù)性可得，，，由此可求得a、b、c的值，進(jìn)而可求得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，，，∴，，，∴，，，∴，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和靈活應(yīng)用完全平方公式是解決此題的關(guān)鍵．8．設(shè)，求不超過的最大整數(shù)______．【答案】【分析】首先將化簡(jiǎn)，可得，然后再代入原式求出，即可得出答案．【詳解】解：，，不超過的最大整數(shù)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式、二次根式的化簡(jiǎn)，能正確化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．9．已知，則2x﹣18y2＝_____．【答案】【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)將已知化簡(jiǎn)，再將原式變形求出答案．【詳解】解：∵一定有意義，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣11＝9y2，則2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的應(yīng)用，以及二次根式的性質(zhì)應(yīng)用，屬于提高題．10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E、F分別是AB和DC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，則DE＋EF＋FM的最小值是_____；若∠EFD＝45°，則DE＋EF＋FM的最小值為____【答案】

##【分析】（1）作點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D'，作點(diǎn)M關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接D'M'，D'E，F(xiàn)M'，則所求的最小值即為D’M'，利用勾股定理求解即可；（2）過點(diǎn)E作EP⊥CD于P，根據(jù)∠EFD=45°，可得，從而得到要求DE+FM+FM的最小值，即求DE+FM的最小值，然后過點(diǎn)E作EM'=FM，且，DE+FM=DE+EM'，可得當(dāng)D，E，M'三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EM'最小，此時(shí)，再過點(diǎn)M'作M'G⊥CD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H，可證得△HEM'≌△CFM，從而得到HM'=CM=1，EH=CF，然后設(shè)CF=x，則EH=PG=x，可得PD=6-x-2=4-x，從而得到DG=PD+PG=4，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：（1）作點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D'，作點(diǎn)M關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接D'M'，D'E，F(xiàn)M'，則DE+EF+FM=D'E+EF+FM'，∴當(dāng)D'，E，F(xiàn)，M'在同一條直線上時(shí)，所求的DE+EF+FM最小，最小值即為D'M'的長(zhǎng)，過點(diǎn)M'作AD的垂線，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，在矩形ABCD中，，AD⊥AB，AD⊥CD，∴HM'=AB=6，CM'=DH，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，AD=BC=2，∴MC=CM'=DH=1，AD'=AD=2，∴HD'=5，∴；故答案為：（2）過點(diǎn)E作EP⊥CD于P，∵∠EFD=45°，∴EP=PF=BC=2，∴，∴，∴要求DE+FM+FM的最小值，即求DE+FM的最小值．過點(diǎn)E作EM'=FM，且，DE+FM=DE+EM'，∴當(dāng)D，E，M'三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EM'最小，此時(shí)，過點(diǎn)M'作M'G⊥CD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H，∴∠EDP=∠MFC，∠EHM'=∠C=90°，∵，∴∠HEM'=∠EDP=∠MFC，PG=EH，HG=2，∴△HEM'≌△CFM，∴HM'=CM=1，EH=CF，∴M'G=3，CF=EH，設(shè)CF=x，則EH=PG=x，∵PF=2，CD=6，∴PD=6-x-2=4-x，∴DG=PD+PG=4，∴，∴DE＋EF＋FM的最小值為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱一最短路線問題、矩形的性質(zhì)，根據(jù)題意找到使所求線段的和最小時(shí)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．11．設(shè)，其中n為正整數(shù)，則____．【答案】【分析】計(jì)算通項(xiàng)公式，將n=1，2，3，…，2022代入可得結(jié)論．【詳解】∵n為正整數(shù)，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是用裂項(xiàng)法將分式裂項(xiàng)，再尋找抵消規(guī)律求和．12．在等腰三角形ABC中，，，E為BC上一點(diǎn)，，，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為直線DE上一點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【分析】延長(zhǎng)DE至G，使得BG⊥AB于點(diǎn)B，延長(zhǎng)BG至點(diǎn)B′，使得BG＝B'G，當(dāng)點(diǎn)A、F、B'三點(diǎn)共線時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，F(xiàn)A+FB＝AB'最短．由△ABC為等腰三角形、∠ABC＝∠C＝30°，可推出BC＝cm，從而知BE＝cm．連接B'E，可證△EBB'為等邊三角形，BB'＝BE＝cm，在Rt△ABB'中用勾股定理計(jì)算AB'即可．【詳解】解：延長(zhǎng)DE至G，使得BG⊥AB于點(diǎn)B，延長(zhǎng)BG至點(diǎn)B′，使得BG＝B'G，如圖所示．∵，∴DG⊥BB'．即點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于直線DG對(duì)稱，則FB＝FB'．∴FA+FB＝FA+FB'，即當(dāng)點(diǎn)A、F、B'三點(diǎn)共線時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，F(xiàn)A+FB最短，且最小值為AB'．∵AB＝AC＝8cm，∠BAC＝120°．∴∠ABC＝∠C＝30°．過于則∴BC＝cm．又∵BE：BC＝1：4，∴BE＝cm．連接B'E，則∠EBB'＝∠ABB'﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，又∵EB＝EB'，∴△EBB'為等邊三角形．

BB'＝BE＝cm．在Rt△ABB'中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段最值，平行線的性質(zhì)，等腰三角形、等邊三角形判定與性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，勾股定理，二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)，正確作出輔助線是解決線段最值問題的關(guān)鍵．13．實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最大值為_________．【答案】52．【分析】首先化簡(jiǎn)，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根據(jù)|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判斷出a，b的取值范圍，即可求出的最大值．【詳解】解：∵，即，∴，∴，∵，，∴，，∴2≤a≤6，-4≤b≤2，∴的最大值為，故答案為52．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，絕對(duì)值的意義，算術(shù)平方根的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是要明確化簡(jiǎn)二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來(lái)；③化簡(jiǎn)后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．14．如圖，一條河流的段長(zhǎng)為，在點(diǎn)的正北方處有一村莊，在點(diǎn)的正南方處有一村莊，計(jì)劃在上建一座橋，使得橋到村和村的距離和最?。?qǐng)根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)將橋建在何處時(shí)，可以使得橋到村和村的距離和最小？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出此時(shí)點(diǎn)的位置；(2)小明發(fā)現(xiàn)：設(shè)，則，則，根據(jù)（1）中的結(jié)論可以求出當(dāng)______時(shí)，的值最小，且最小值為______；(3)結(jié)合（1）（2）問，請(qǐng)直接寫出下列代數(shù)式的最小值：①的最小值______；②的最小值為______．【答案】(1)見解析(2)；(3)①；②【分析】（1）直接根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接，交于點(diǎn)即可；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得出的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求出即為最小值；（3）①根據(jù)題意可知的最小值，計(jì)算即可；②將轉(zhuǎn)換為，然后根據(jù)上述規(guī)律求最小值即可．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所作：；（2）過點(diǎn)作，交與點(diǎn),則，，，設(shè)為，則，則，即，解得，，當(dāng)時(shí)，最小值為，故答案為：；；（3）①的最小值，故答案為：；②的最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，讀懂題意，將已知式子轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的圖形進(jìn)行解答是本題的關(guān)鍵．15．（1）初步感知，在④的橫線上直接寫出計(jì)算結(jié)果：①；②；③；④__________；…（2）深入探究，觀察下列等式：①；②；③；…根據(jù)以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容：__________．（3）拓展應(yīng)用，通過以上初步感知與深入探究，計(jì)算：①；②．【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075【分析】(1)觀察可得，每個(gè)式子的結(jié)果都等于被開放數(shù)中所有加數(shù)的底數(shù)之和；(2)所有自然數(shù)相加的和等于首項(xiàng)＋尾項(xiàng)的和再乘以自然數(shù)的個(gè)數(shù)，最后除以2即可；(3)利用（1）（2）中的規(guī)律綜合運(yùn)用即可求解．【詳解】解：（1）10；（2）；（3）①原式；②原式．【點(diǎn)睛】主要考查了二次根式的基本性質(zhì)與化簡(jiǎn)、探尋數(shù)列規(guī)律、整式的加減，掌握這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，其中探求規(guī)律是解題關(guān)鍵16．已知由（a﹣b）2≥0，可得a2+b2≥2ab，運(yùn)用上述結(jié)論解決問題：(1)當(dāng)a，b滿足時(shí)，a2+b2＝2ab成立；(2)若x為正數(shù)，，當(dāng)x＝時(shí)，取得最小值；(3)若x為正數(shù)，的最小值為；(4)若x＞3，則最小值為．【答案】(1)a＝b(2)2，1(3)(4)2【分析】先根據(jù)所給結(jié)論，把已知式子轉(zhuǎn)化為類似的形式，再套用結(jié)論作答．（1）解：由a2+b2＝2ab，得（a﹣b）2＝0，∴a＝b．故答案為：a＝b．（2），當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，取得最小值成立．故答案為：2，1．（3）由a2+b2≥2ab，可知當(dāng)x、y為正數(shù)時(shí)，x+y=．∴若x為正數(shù)，則．故答案為：．（4）原式＝（x﹣3）+．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的應(yīng)用，根據(jù)所給結(jié)