新-二次函數(shù)綜合題-第4課時(shí)二次函數(shù)與幾何變換

七、二次函數(shù)綜合題第四課時(shí)——拋物線與與圖形運(yùn)動【考點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合拋物線性質(zhì)，分析幾何圖形運(yùn)動中的變量與不變量．利用拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸等，搞清圖形在運(yùn)動過程中有幾種關(guān)鍵位置,然后逐個(gè)加以解決．【要求】1．能利用拋物線的性質(zhì)，準(zhǔn)確抓住運(yùn)動圖形的關(guān)鍵量與關(guān)鍵位置；2．能利用代數(shù)方法討論幾何問題．【例析】例1〔2015?淄博第24題,10分〕〔1〕拋物線m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函數(shù)y1與自變量x之間的局部對應(yīng)值如表x … ﹣2 ﹣1 1 2 4 5 …y1 … ﹣5 0 4 3 ﹣5 ﹣12 …設(shè)拋物線m1的頂點(diǎn)為P，與y軸的交點(diǎn)為C，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔1，4〕，點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔0，3〕〔1〕將設(shè)拋物線m1沿x軸翻折，得到拋物線m2：y2=a2x2+b2x+c2，那么當(dāng)x=﹣3時(shí)，y2=12．〔2〕在〔1〕的條件下，將拋物線m1沿水平方向平移，得到拋物線m3．設(shè)拋物線m1與x軸交于A，B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)〕，拋物線m3與x軸交于M，N兩點(diǎn)〔點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)〕．過點(diǎn)C作平行于x軸的直線，交拋物線m3于點(diǎn)K．問：是否存在以A，C，K，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形的情形？假設(shè)存在，請求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.解：〔1〕把〔﹣1，0〕，〔1，4〕，〔2，3〕分別代入y1=a1x2+b1x+c1得，解得．所以拋物線m1的解析式為y1=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4，那么P〔1，4〕，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，那么C〔0，3〕；〔2〕因?yàn)閽佄锞€m1沿x軸翻折，得到拋物線m2，所以y2=〔x﹣1〕2﹣4，當(dāng)x=﹣3時(shí)，y2=〔x+1〕2﹣4=〔﹣3﹣1〕2﹣4=12．故答案為〔1，4〕，〔0，3〕，12；〔3〕存在．當(dāng)y1=0時(shí)，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，那么A〔﹣1，0〕，B〔0，3〕，∵拋物線m1沿水平方向平移，得到拋物線m3，∴CK∥AM，CK=AM，∴四邊形AMKC為平行四邊形，當(dāng)CA=CK時(shí)，四邊形AMKC為菱形，而AC==，那么CK=，當(dāng)拋物線m1沿水平方向向右平移個(gè)單位，此時(shí)K〔，3〕；當(dāng)拋物線m1沿水平方向向左平移個(gè)單位，此時(shí)K〔﹣，3〕．點(diǎn)評： 此題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和菱形的判定；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解決問題．例2如圖1，直線與拋物線交于兩點(diǎn)．〔1〕求線段的垂直平分線的解析式；〔2〕如圖2，取與線段等長的一根橡皮筋，端點(diǎn)分別固定在兩處．用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖在直線上方的拋物線上移動，動點(diǎn)將與構(gòu)成無數(shù)個(gè)三角形，這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請簡要說明理由．PPA圖2圖1解：〔1〕依題意得解之得作的垂直平分線交軸，軸于兩點(diǎn)，交于〔如圖1〕圖1DM圖1DMACBＥ過作軸，為垂足由，得：，同理：設(shè)的解析式為的垂直平分線的解析式為：．〔2〕假設(shè)存在點(diǎn)使的面積最大，那么點(diǎn)在與直線平行且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線上，并設(shè)該直線與軸，軸交于兩點(diǎn)〔如圖2〕．PA圖2PA圖2HGB拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，，在直線中，設(shè)到的距離為，到的距離等于到的距離．【練習(xí)】1．拋物線y=x2—4x+1.將此拋物線沿x軸方向向左平移4個(gè)單位長度，得到一條新的拋物線.〔1〕求平移后的拋物線解析式;〔2〕假設(shè)直線y=m與這兩條拋物線有且只有四個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(3)將的拋物線解析式改為y=ax2+bx+c(a＞0，b＜0)，并將此拋物線沿x軸方向向左平移-個(gè)單位長度，試探索問題(2)．1．解：(1)配方，得，向左平移4個(gè)單位，得∴平移后得拋物線的解析式為(2)由(1)知，兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)，(－2，－3)解，得∴兩拋物線的交點(diǎn)為〔0，1〕由圖象知，假設(shè)直線y＝m與兩條拋物線有且只有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m＞－3且m≠1〔3〕由配方得，向左平移個(gè)單位長度得到拋物線的解析式為∴兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，解得，∴兩拋物線的交點(diǎn)為〔0，c〕由圖象知滿足〔2〕中條件的m的取值范圍是：m＞且m≠c2．如圖，△OAB是邊長為的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在軸正方向上，將△OAB折疊，使點(diǎn)A落在邊OB上，記為A′，折痕為EF.〔1〕當(dāng)A′E//軸時(shí)，求點(diǎn)A′和E的坐標(biāo)；〔2〕當(dāng)A′E//軸，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)A′和E時(shí)，求拋物線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)A′在OB上運(yùn)動，但不與點(diǎn)O、B重合時(shí)，能否使△A′EF成為直角三角形？假設(shè)能，請求出此時(shí)點(diǎn)A′的坐標(biāo)；假設(shè)不能，請你說明理由.3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A。動點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動，作PQ∥x軸交直線BC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊向下作正方形PQMN，設(shè)它與△OAB重疊局部的面積為S?！?〕求點(diǎn)A的坐標(biāo)．〔2〕試求出點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動時(shí)，S與運(yùn)動時(shí)間t〔秒〕的關(guān)系式．〔3〕在〔2〕的條件下，S是否有最大值？假設(shè)有，求出t為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值；假設(shè)沒有，請說明理由．〔4〕假設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)A后繼續(xù)按原方向、原速度運(yùn)動，當(dāng)正方形PQMN與△OAB重疊局部面積最大時(shí)，運(yùn)動時(shí)間t滿足的條件是____________．3．〔1〕由可得∴A〔4，4〕?！?〕點(diǎn)P在y=x上，OP=t，那么點(diǎn)P坐標(biāo)為點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，并且點(diǎn)Q在上。∴，即點(diǎn)Q坐標(biāo)為。。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)， 當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 。〔3〕有最大值，最大值應(yīng)在中，當(dāng)時(shí)，S的最大值為12。〔4〕。 4．如下圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點(diǎn)A在原點(diǎn)，AB＝3，AD＝5．假設(shè)矩形以每秒2個(gè)單位長度沿x軸正方向作勻速運(yùn)動．同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度沿A－B－C－D的路線作勻速運(yùn)動．當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動，矩形ABCD也隨之停止運(yùn)動．〔1〕求P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)所需的時(shí)間；〔2〕設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t〔秒〕。=1\*GB3①當(dāng)t＝5時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；=2\*GB3②假設(shè)△OAP的面積為s，試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式〔并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍〕．4．解:〔1〕P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)所需的時(shí)間＝〔3+5+3〕÷1＝11〔秒〕----(3分)〔2〕=1\*GB3①當(dāng)t＝5時(shí)，P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動到BC上，此時(shí)OA=10,AB+BP=5，∴BP=2過點(diǎn)P作PE⊥AD于點(diǎn)E，那么PE=AB=3,AE=BP=2∴OD=OA+AE=10+2=12∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔12，3〕．=2\*GB3②分三種情況：=1\*romani．當(dāng)0＜t≤3時(shí)，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動，此時(shí)OA=2t,AP=t∴s=×2t×t=t=2\*romanii．當(dāng)3＜t≤8時(shí)，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動，此時(shí)OA=2t∴s=×2t×3=3t=3\*romaniii．當(dāng)8＜t＜11時(shí)，點(diǎn)P在CD上運(yùn)動，此時(shí)OA=2t,AB+BC+CP=t∴DP=(AB+BC+CD)-(AB+BC+CP)=11-t∴s=×2t×(11-t)=-t+11t綜上所述，s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：當(dāng)0＜t≤3時(shí)，s=t；當(dāng)3＜t≤8時(shí)，s=3t；當(dāng)8＜t＜11時(shí)，s=-t+11t5．二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為軸．一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)〔在的左側(cè)〕，且點(diǎn)坐標(biāo)為．平行于軸的直線過點(diǎn)．〔1〕求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；〔2〕判斷以線段為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并給出證明；〔3〕把二次函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，一次函數(shù)圖象交軸于點(diǎn)．當(dāng)為何值時(shí)，過三點(diǎn)的圓的面積最?。孔钚∶娣e是多少？5．〔1〕把代入得，一次函數(shù)的解析式為；二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為軸，設(shè)二次函數(shù)解析式為，把代入得，二次函數(shù)解析式為．〔2〕由解得或，，過點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足為，那么，直角梯形的中位線長為，過作垂直于直線于點(diǎn)，那么，，，的長等于中點(diǎn)到直線的距離的2倍，以為直徑的圓與直線相切．〔3〕平移后二次函數(shù)解析式為，令，得，，，過三點(diǎn)的圓的圓心一定在直線上，點(diǎn)為定點(diǎn)，要使圓面積最小，圓半徑應(yīng)等于點(diǎn)到直線的距離，此時(shí)，半徑為2，面積為，設(shè)圓心為中點(diǎn)為，連，那么，在三角形中，，，而，，當(dāng)時(shí)，過三點(diǎn)的圓面積最小，最小面積為．6.(2015山東青島，第24題,12分)：如圖①，在□ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm．AC⊥AB。△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s，當(dāng)△PNM停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動．如圖②，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(〔1〕當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥MN？〔2〕設(shè)△QMC的面積為y(cm2)，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕是否存在某一時(shí)刻t，使S△QMC∶S四邊形ABQP＝1∶4？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，請說明理由．〔4〕是否存在某一時(shí)刻t，使PQ⊥MQ？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，請說明理由． 【答案】t=；y=－；1:4；t= 【解析】 解析：(1)、在Rt△ABC中，由勾股定理得：由平移性質(zhì)可得MN∥AB因?yàn)镻Q∥MN，所以PQ∥AB，所以，即，解得(2)、作PD⊥BC于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E由可得那么由勾股