新-二次函數(shù)綜合題-第4課時二次函數(shù)與幾何變換

七、二次函數(shù)綜合題第四課時——拋物線與與圖形運動【考點】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合拋物線性質(zhì)，分析幾何圖形運動中的變量與不變量．利用拋物線的頂點、對稱軸等，搞清圖形在運動過程中有幾種關(guān)鍵位置,然后逐個加以解決．【要求】1．能利用拋物線的性質(zhì)，準確抓住運動圖形的關(guān)鍵量與關(guān)鍵位置；2．能利用代數(shù)方法討論幾何問題．【例析】例1〔2015?淄博第24題,10分〕〔1〕拋物線m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函數(shù)y1與自變量x之間的局部對應(yīng)值如表x … ﹣2 ﹣1 1 2 4 5 …y1 … ﹣5 0 4 3 ﹣5 ﹣12 …設(shè)拋物線m1的頂點為P，與y軸的交點為C，那么點P的坐標為〔1，4〕，點C的坐標為〔0，3〕〔1〕將設(shè)拋物線m1沿x軸翻折，得到拋物線m2：y2=a2x2+b2x+c2，那么當(dāng)x=﹣3時，y2=12．〔2〕在〔1〕的條件下，將拋物線m1沿水平方向平移，得到拋物線m3．設(shè)拋物線m1與x軸交于A，B兩點〔點A在點B的左側(cè)〕，拋物線m3與x軸交于M，N兩點〔點M在點N的左側(cè)〕．過點C作平行于x軸的直線，交拋物線m3于點K．問：是否存在以A，C，K，M為頂點的四邊形是菱形的情形？假設(shè)存在，請求出點K的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由.解：〔1〕把〔﹣1，0〕，〔1，4〕，〔2，3〕分別代入y1=a1x2+b1x+c1得，解得．所以拋物線m1的解析式為y1=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4，那么P〔1，4〕，當(dāng)x=0時，y=3，那么C〔0，3〕；〔2〕因為拋物線m1沿x軸翻折，得到拋物線m2，所以y2=〔x﹣1〕2﹣4，當(dāng)x=﹣3時，y2=〔x+1〕2﹣4=〔﹣3﹣1〕2﹣4=12．故答案為〔1，4〕，〔0，3〕，12；〔3〕存在．當(dāng)y1=0時，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，那么A〔﹣1，0〕，B〔0，3〕，∵拋物線m1沿水平方向平移，得到拋物線m3，∴CK∥AM，CK=AM，∴四邊形AMKC為平行四邊形，當(dāng)CA=CK時，四邊形AMKC為菱形，而AC==，那么CK=，當(dāng)拋物線m1沿水平方向向右平移個單位，此時K〔，3〕；當(dāng)拋物線m1沿水平方向向左平移個單位，此時K〔﹣，3〕．點評： 此題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和菱形的判定；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；會運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解決問題．例2如圖1，直線與拋物線交于兩點．〔1〕求線段的垂直平分線的解析式；〔2〕如圖2，取與線段等長的一根橡皮筋，端點分別固定在兩處．用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖在直線上方的拋物線上移動，動點將與構(gòu)成無數(shù)個三角形，這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時點的坐標；如果不存在，請簡要說明理由．PPA圖2圖1解：〔1〕依題意得解之得作的垂直平分線交軸，軸于兩點，交于〔如圖1〕圖1DM圖1DMACBＥ過作軸，為垂足由，得：，同理：設(shè)的解析式為的垂直平分線的解析式為：．〔2〕假設(shè)存在點使的面積最大，那么點在與直線平行且和拋物線只有一個交點的直線上，并設(shè)該直線與軸，軸交于兩點〔如圖2〕．PA圖2PA圖2HGB拋物線與直線只有一個交點，，在直線中，設(shè)到的距離為，到的距離等于到的距離．【練習(xí)】1．拋物線y=x2—4x+1.將此拋物線沿x軸方向向左平移4個單位長度，得到一條新的拋物線.〔1〕求平移后的拋物線解析式;〔2〕假設(shè)直線y=m與這兩條拋物線有且只有四個交點,求實數(shù)m的取值范圍;(3)將的拋物線解析式改為y=ax2+bx+c(a＞0，b＜0)，并將此拋物線沿x軸方向向左平移-個單位長度，試探索問題(2)．1．解：(1)配方，得，向左平移4個單位，得∴平移后得拋物線的解析式為(2)由(1)知，兩拋物線的頂點坐標為(2，3)，(－2，－3)解，得∴兩拋物線的交點為〔0，1〕由圖象知，假設(shè)直線y＝m與兩條拋物線有且只有四個交點時，m＞－3且m≠1〔3〕由配方得，向左平移個單位長度得到拋物線的解析式為∴兩拋物線的頂點坐標分別為，解得，∴兩拋物線的交點為〔0，c〕由圖象知滿足〔2〕中條件的m的取值范圍是：m＞且m≠c2．如圖，△OAB是邊長為的等邊三角形，其中O是坐標原點，頂點B在軸正方向上，將△OAB折疊，使點A落在邊OB上，記為A′，折痕為EF.〔1〕當(dāng)A′E//軸時，求點A′和E的坐標；〔2〕當(dāng)A′E//軸，且拋物線經(jīng)過點A′和E時，求拋物線與軸的交點的坐標；當(dāng)點A′在OB上運動，但不與點O、B重合時，能否使△A′EF成為直角三角形？假設(shè)能，請求出此時點A′的坐標；假設(shè)不能，請你說明理由.3．如圖，在平面直角坐標系中，兩個函數(shù)的圖象交于點A。動點P從點O開始沿OA方向以每秒1個單位的速度運動，作PQ∥x軸交直線BC于點Q，以PQ為一邊向下作正方形PQMN，設(shè)它與△OAB重疊局部的面積為S。〔1〕求點A的坐標．〔2〕試求出點P在線段OA上運動時，S與運動時間t〔秒〕的關(guān)系式．〔3〕在〔2〕的條件下，S是否有最大值？假設(shè)有，求出t為何值時，S有最大值，并求出最大值；假設(shè)沒有，請說明理由．〔4〕假設(shè)點P經(jīng)過點A后繼續(xù)按原方向、原速度運動，當(dāng)正方形PQMN與△OAB重疊局部面積最大時，運動時間t滿足的條件是____________．3．〔1〕由可得∴A〔4，4〕。〔2〕點P在y=x上，OP=t，那么點P坐標為點Q的縱坐標為，并且點Q在上。∴，即點Q坐標為。。當(dāng)時，。當(dāng)， 當(dāng)點P到達A點時，，當(dāng)時， 。〔3〕有最大值，最大值應(yīng)在中，當(dāng)時，S的最大值為12?！?〕。 4．如下圖，在直角坐標系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點A在原點，AB＝3，AD＝5．假設(shè)矩形以每秒2個單位長度沿x軸正方向作勻速運動．同時點P從A點出發(fā)以每秒1個單位長度沿A－B－C－D的路線作勻速運動．當(dāng)P點運動到D點時停止運動，矩形ABCD也隨之停止運動．〔1〕求P點從A點運動到D點所需的時間；〔2〕設(shè)P點運動時間為t〔秒〕。=1\*GB3①當(dāng)t＝5時，求出點P的坐標；=2\*GB3②假設(shè)△OAP的面積為s，試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式〔并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍〕．4．解:〔1〕P點從A點運動到D點所需的時間＝〔3+5+3〕÷1＝11〔秒〕----(3分)〔2〕=1\*GB3①當(dāng)t＝5時，P點從A點運動到BC上，此時OA=10,AB+BP=5，∴BP=2過點P作PE⊥AD于點E，那么PE=AB=3,AE=BP=2∴OD=OA+AE=10+2=12∴點P的坐標為〔12，3〕．=2\*GB3②分三種情況：=1\*romani．當(dāng)0＜t≤3時，點P在AB上運動，此時OA=2t,AP=t∴s=×2t×t=t=2\*romanii．當(dāng)3＜t≤8時，點P在AB上運動，此時OA=2t∴s=×2t×3=3t=3\*romaniii．當(dāng)8＜t＜11時，點P在CD上運動，此時OA=2t,AB+BC+CP=t∴DP=(AB+BC+CD)-(AB+BC+CP)=11-t∴s=×2t×(11-t)=-t+11t綜上所述，s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：當(dāng)0＜t≤3時，s=t；當(dāng)3＜t≤8時，s=3t；當(dāng)8＜t＜11時，s=-t+11t5．二次函數(shù)圖象的頂點在原點，對稱軸為軸．一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于兩點〔在的左側(cè)〕，且點坐標為．平行于軸的直線過點．〔1〕求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；〔2〕判斷以線段為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并給出證明；〔3〕把二次函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向下平移個單位，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，一次函數(shù)圖象交軸于點．當(dāng)為何值時，過三點的圓的面積最??？最小面積是多少？5．〔1〕把代入得，一次函數(shù)的解析式為；二次函數(shù)圖象的頂點在原點，對稱軸為軸，設(shè)二次函數(shù)解析式為，把代入得，二次函數(shù)解析式為．〔2〕由解得或，，過點分別作直線的垂線，垂足為，那么，直角梯形的中位線長為，過作垂直于直線于點，那么，，，的長等于中點到直線的距離的2倍，以為直徑的圓與直線相切．〔3〕平移后二次函數(shù)解析式為，令，得，，，過三點的圓的圓心一定在直線上，點為定點，要使圓面積最小，圓半徑應(yīng)等于點到直線的距離，此時，半徑為2，面積為，設(shè)圓心為中點為，連，那么，在三角形中，，，而，，當(dāng)時，過三點的圓面積最小，最小面積為．6.(2015山東青島，第24題,12分)：如圖①，在□ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm．AC⊥AB?！鰽CD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s；同時，點Q從點C出發(fā)，沿CB方向勻速運動，速度為1cm/s，當(dāng)△PNM停止平移時，點Q也停止運動．如圖②，設(shè)運動時間為t(〔1〕當(dāng)t為何值時，PQ∥MN？〔2〕設(shè)△QMC的面積為y(cm2)，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕是否存在某一時刻t，使S△QMC∶S四邊形ABQP＝1∶4？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，請說明理由．〔4〕是否存在某一時刻t，使PQ⊥MQ？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，請說明理由． 【答案】t=；y=－；1:4；t= 【解析】 解析：(1)、在Rt△ABC中，由勾股定理得：由平移性質(zhì)可得MN∥AB因為PQ∥MN，所以PQ∥AB，所以，即，解得(2)、作PD⊥BC于點D，AE⊥BC于點E由可得那么由勾股