6.1平面向量的概念（5大題型）（原卷版）

6.1平面向量的概念1、通過對(duì)力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際北京，理解平面向量的概念；2、理解平面向量的幾何表示和基本要素；3、掌握向量的模、零向量、單位向量、相等向量、共線向量等概念。一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2、數(shù)量：只有大小，沒有方向的量(如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積和質(zhì)量等)，稱為數(shù)量．【注意】（1）本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移；（2）看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素；（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大?。?、向量的表示法1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等.（2）幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線段（注意始點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量.【注意】（1）用字母表示向量便于向量運(yùn)算；（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無關(guān)，即同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量．三、向量的有關(guān)概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長(zhǎng)度).【注意】（1）向量的模．（2）向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大?。?、零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．3、單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.【注意】（1）在畫單位向量時(shí)，長(zhǎng)度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；（2）將一個(gè)向量除以它的模，得到的向量就是一個(gè)單位向量，并且它的方向與該向量相同．4、相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.【注意】在平面內(nèi)，相等的向量有無數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長(zhǎng)度相等．四、向量的共線或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規(guī)定：與任一向量共線.【注意】1、零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區(qū)別.2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.3、共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．題型一平面向量的基本概念理解【例1】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列量中是向量的為（）A．頻率B．拉力C．體積D．距離【變式11】（2022·湖北鄂州·高一校聯(lián)考期中）下列關(guān)于零向量的說法正確的是（）A．零向量沒有大小B．零向量沒有方向C．兩個(gè)反方向向量之和為零向量D．零向量與任何向量都共線【變式12】（2023·遼寧沈陽(yáng)·高一東北育才學(xué)校?？计谀ǘ噙x）下列命題中正確的是（）A．單位向量的模都相等B．長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量C．方向相同的兩個(gè)向量，向量的模越大，則向量越大D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同【變式13】（2023·陜西咸陽(yáng)·高一?？计谥校ǘ噙x）下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A．若，則與方向相同或相反B．若，，則C．若，，則D．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等【變式15】（2023·寧夏銀川·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論為（）A．且是的必要不充分條件B．且是的既不充分也不必要條件C．與方向相同且是的充要條件D．與方向相反或是的充分不必要條件題型二平面向量的幾何表示方法【例2】（2023·山東菏澤·高一東明縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)下面圖形的表示恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ瓵．B．C．D．【變式21】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量如圖所示，下列說法不正確的是（）A．也可以用表示B．方向是由M指向NC．起點(diǎn)是MD．終點(diǎn)是M【變式22】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）畫圖表示小船的下列位移（用的比例尺）：（1）由A地向東北方向航行15km到達(dá)B地；（2）由A地向北偏西30°方向航行20km到達(dá)C地；（3）由C地向正南方向航行20km到達(dá)D地．【變式23】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，以方格紙中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有非零向量中，有多少種大小不同的模？有多少種不同的方向？題型三相等向量與共線向量判斷【例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)是正方形ABCD的中心，則（）A．向量，，，是相等的向量B．向量，，，是平行的向量C．向量，，，是模不全相等的向量D．，【變式31】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在如圖所示的向量中（小正方形的邊長(zhǎng)為1），找出存在下列關(guān)系的向量：①共線向量：；②方向相反的向量：；③模相等的向量：.【變式32】（2022·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）如圖，EF，CH將正方形ABCD分成四個(gè)單位正方形(邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度).在以圖中各點(diǎn)為端點(diǎn)的所有向量中，除向量外，與平行的向量有哪些?與平行且是單位向量的有哪些?【變式33】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，是正六邊形的中心，且，，．在以這七個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，問：（1）與相等的向量有哪些？（2）的相反向量有哪些？（3）與的模相等的向量有哪些？題型四平面向量在幾何中的應(yīng)用【例4】（2023·河北邯鄲·高一?？茧A段練習(xí)）已知平面四邊形ABCD滿足，則四邊形ABCD是（）A．正方形B．平行四邊形C．菱形D．梯形【變式41】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知四邊形，下列說法正確的是（）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為矩形C．若，且，則四邊形為矩形D．若，且，則四邊形為梯形【變式42】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，且，求證：.【變式43】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在平行四邊形中，，分別為邊、的中點(diǎn)，如圖．（1）寫出與向量共線的向量；（2）求證：．題型五平面向量在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例5】（2023·山東菏澤·高一東明縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果一架飛機(jī)向西飛行，再向南飛行，記飛機(jī)飛行的路程為，位移為，則（）．A．B．C．D．與不能比較大小【變式51】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）某人從點(diǎn)A出發(fā)向西走4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，然后改變方向朝西北方走6個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)C，最后又向東走4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)D．試分別作出向量，和．【變式52】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某人從點(diǎn)A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東