電路第十二章教材

第12章非正弦周期電流電路2.非正弦周期函數(shù)的有效值和平均功率重點(diǎn)3.非正弦周期電流電路的計(jì)算1.周期函數(shù)分解為付里葉級(jí)數(shù)12.1非正弦周期信號(hào)生產(chǎn)實(shí)際中不完全是正弦電路，經(jīng)常會(huì)遇到非正弦周期電流電路。在電子技術(shù)、自動(dòng)控制、計(jì)算機(jī)和無線電技術(shù)等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。(1)不是正弦波(2)按周期規(guī)律變化例1半波整流電路的輸出信號(hào)一．非正弦周期信號(hào)

例2示波器內(nèi)的水平掃描電壓周期性鋸齒波計(jì)算機(jī)內(nèi)的脈沖信號(hào)Tt例3交直流共存電路

Es

+V例4二．諧波分析法

這種方法稱為諧波分析法。實(shí)質(zhì)上是把非正弦周期電流電路的計(jì)算化為一系列正弦電流電路的計(jì)算。

首先，應(yīng)用數(shù)學(xué)中的傅里葉級(jí)數(shù)展開方法，將非正弦周期激勵(lì)電壓、電流或信號(hào)分解為一系列不同頻率的正弦量之和；

根據(jù)線性電路的疊加定理，分別計(jì)算在各個(gè)正弦量單獨(dú)作用下在電路中產(chǎn)生的同頻正弦電流分量和電壓分量；

最后，把所得分量按時(shí)域形式疊加，得到電路在非正弦周期激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)電流和電壓。

基波（和原函數(shù)同頻）二次諧波（2倍頻）

直流分量高次諧波12.2周期函數(shù)分解為付里葉級(jí)數(shù)1.周期函數(shù)展開成付里葉級(jí)數(shù)：也可表示成：系數(shù)之間的關(guān)系為2.系數(shù)的計(jì)算：求出A0、ak、bk便可得到原函數(shù)f(t)的展開式。3.利用函數(shù)的對(duì)稱性可使系數(shù)的確定簡(jiǎn)化（1）偶函數(shù)

－T/2tT/2f(t)偶函數(shù)關(guān)于縱軸對(duì)稱證明:當(dāng)只有3.利用函數(shù)的對(duì)稱性可使系數(shù)的確定簡(jiǎn)化

－T/2tT/2f(t)（2）奇函數(shù)（3）奇諧波函數(shù)tf(t)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱奇諧波函數(shù)有鏡對(duì)稱性質(zhì)求圖示周期性矩形信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式及其頻譜.f(t)Em-Em0π2πω1ttT/2Tf（t）在第一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為利用公式求系數(shù)為:例1解:當(dāng)k為偶數(shù)時(shí):cos(kπ)=1,bk=0當(dāng)k為奇數(shù)時(shí):cos(kπ)=-1,bk=4Em/kπ由此求得:頻譜圖:0kω1ω15ω13ω1AkmtT/2T周期性方波信號(hào)的分解例2解圖示矩形波電流在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為：直流分量：諧波分量：K為偶數(shù)K為奇數(shù)的展開式為：ttt基波直流分量三次諧波五次諧波七次諧波周期性方波波形分解基波直流分量直流分量+基波三次諧波直流分量+基波+三次諧波tT/2TIS0IS0等效電源給定函數(shù)f(t)的部分波形如圖所示。為使f(t)

的傅立葉級(jí)數(shù)中只包含如下的分量：tT/4Of(t)(1)只包含正弦分量,波形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,；(2)余弦分量；(3)余弦奇次分量。試畫出f(t)

的波形。tT/4Of(t)T/2

T/4

T/2(1)正弦分量；例3解(2)只包含余弦分量，波形關(guān)于縱軸對(duì)稱,tT/4Of(t)T/2

T/4

T/2(3)只包含余弦奇次分量,波形關(guān)于縱軸對(duì)稱并有鏡對(duì)稱性。tT/4Of(t)T/2

T/4

T/212.3有效值、平均值和平均功率1.

三角函數(shù)的性質(zhì)

（1）正弦、余弦信號(hào)一個(gè)周期內(nèi)的積分為0。k整數(shù)

（2）sin2、cos2

在一個(gè)周期內(nèi)的積分為

。（3）

三角函數(shù)的正交性2.非正弦周期函數(shù)的有效值若則有效值:上式中i的展開式平方后將含有下列各項(xiàng)：

這樣可求得

i

的有效值為：

非正弦周期電流的有效值等于恒定分量的平方與各次諧波有效值的平方之和的平方根。此結(jié)論適用于所有的非正弦周期量。

則其平均值為：正弦量的平均值為0若(1).平均值3.非正弦周期函數(shù)的平均值按上式可求得正弦電流的平均值為：

它相當(dāng)于正弦電流經(jīng)全波整流后的平均值，因?yàn)槿‰娏鞯慕^對(duì)值相當(dāng)于把負(fù)半周的值變?yōu)閷?duì)應(yīng)的正值。

(2).整流平均值

對(duì)于同一非正弦周期電流，當(dāng)用不同類型的儀表進(jìn)行測(cè)量時(shí)，會(huì)得到不同的結(jié)果。例如：

用磁電系儀表（直流儀表）測(cè)量，所得結(jié)果將是電流的恒定分量；

因此，在測(cè)量非正弦周期電流和電壓時(shí)，要選擇合適的儀表，并注意不同類型儀表讀數(shù)表示的含義。

用全波整流儀表測(cè)量時(shí)，所得結(jié)果為電流的平均值，因?yàn)檫@種儀表的偏轉(zhuǎn)角與電流的平均值成正比。

用電磁系儀表測(cè)得的結(jié)果為電流的有效值；4.非正弦周期交流電路的平均功率利用三角函數(shù)的正交性，得：平均功率＝直流分量的功率＋各次諧波的平均功率

結(jié)論

不同頻率的正弦電壓和電流乘積的積分為零，不產(chǎn)生平均功率；同頻的正弦電壓、電流乘積的積分不為零，產(chǎn)生平均功率。

§12.4非正弦電流電路的計(jì)算

一.計(jì)算步驟

非正弦周期電流電路的計(jì)算采用諧波分析法，具體步驟如下：（1）把給定的非正弦周期電壓或電流分解為傅里葉級(jí)數(shù)，高次諧波取到哪一項(xiàng)為止，要根據(jù)所需準(zhǔn)確度的高低而定。（2）分別求出電源電壓或電流的恒定分量及各次諧波分量單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)。

對(duì)恒定分量（ω=0），求解時(shí)把電容（C）看作開路，即：1/ωC=∞；電感（L）看作短路，即：ωL=0。(3)并把計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換為時(shí)域形式;(4)應(yīng)用疊加定理，把步驟（3）計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行疊加，求得所需響應(yīng)。

對(duì)各次諧波分量可以用相量法求解，但要注意感抗、容抗與頻率的關(guān)系，即：將表示不同頻率正弦電流相量或電壓相量直接相加是沒有意義的。注意：圖示電路中,二．舉例

求電流i和電阻吸收的平均功率P

。解：電路中的非正弦周期電壓已分解為傅立葉級(jí)數(shù)形式。電流相量一般表達(dá)式為：根據(jù)迭加定理，按k=0，1，2，…的順序，依次求解如下：RC+-usi例1最后按時(shí)域形式迭加為：同理求得：圖示電路中L=5H，C=10μF，負(fù)載電阻R=2KΩ，電源us為正弦全波整流波形，設(shè)ω1=314rad/s，Um=157V。求負(fù)載兩端電壓的各諧波分量。Lus+-CRusUm0π2πω1t將給定的us

分解為傅立葉級(jí)數(shù)（查表288頁）,得例2解:令k=0,2,4,???,并代入數(shù)據(jù),可分別求得:負(fù)載兩端電壓的有效值Lus+-CR三．濾波器

利用電感和電容元件的感抗和容抗對(duì)各次諧波的反應(yīng)不同，組成含有電感和電容的各種不同電路，將其接在輸入和輸出之間，讓某些所需頻率分量順利通過而抑制某些不需要的頻率分量，這種電路為濾波器。低通濾波器：使低頻電流分量順利通過，抑制高頻電流分量。

低通高通濾波器：使高頻電流分量順利通過，抑制低頻電流分量。高通圖示電路中，激勵(lì)u1(t)=u11(

1)+u12(

2)，包含

1、

2兩個(gè)頻率分量，且

1<

2

，要求響應(yīng)u2(t)

只含有

1頻率電壓，如何實(shí)現(xiàn)？+_u1(t)u2(t)可由下列濾波電路實(shí)現(xiàn)：CRC2C3L1+_u1(t)+_u2(t)L1,C2并聯(lián)諧振，對(duì)u12(

2)開路L1,C2,C3串聯(lián)諧振，對(duì)u11(

1)短路例3解:

電路如圖所示，已知ω=1000rad/s，C=1μF，R=1Ω，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，uR(t)中不含基波，而二次諧波與電源二次諧波電壓相同，求：（1）us(t)的有效值；（2）電感L1和L2；（3）電源發(fā)出的平均功率。+-us(t)L1L2CRuR(t)+-

（1）（2）例4解:

若使uR(t)中二次諧波與電源二次諧波電壓相同，則電路對(duì)2ω信號(hào)發(fā)生串聯(lián)諧振，即（3）其它形式的濾波電路：L2L1C2L3C1C3L2L1C2C1L3C3帶通濾波器帶阻濾波器例1方波信號(hào)激勵(lì)的電路。求u,已知：tT/2TRLC解（1）已知方波信號(hào)的展開式為：代入已知數(shù)據(jù)：直流分量基波最大值五次諧波最大值角頻率三次諧波最大值電流源各頻率的諧波分量為：（2）對(duì)各種頻率的諧波分量單獨(dú)計(jì)算：（a)直流分量

IS0

作用RIS0u0電容斷路，電感短路:（b)基波作用RLCXL>>R(c)三次諧波作用(d)五次諧波作用

(3)各諧波分量計(jì)算結(jié)果瞬時(shí)值迭加：

求圖示電路中各表讀數(shù)(有效值)及電路吸收的功率。例2V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30

abcdA3A2V2V1A1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30

abcdiiC1iL2解(1)u0=30V作用于電路，L1、L2

短路，C1

、C2開路。L1C1C2L2u0+_30

abcdi0iC10iL20i0=iL20=u0/R=30/30=1A,iC10=0,uad0=ucb0=u0=30V(2)u1=120cos1000tV作用L1、C1

發(fā)生并聯(lián)諧振。+_30

abcdj40

j40

j40

j10

(3)u2=60cos(2000t+

/4)V作用L2、C2

發(fā)生并聯(lián)諧振。+_30

abcdj80

j20

j20

j20

V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30

abcdA3A2V2V1A1i=i0+i1+i2=1A

所求的電壓、電流的瞬時(shí)值為：iC1=iC10+iC11+iC12=3cos(1000t+90

)AiL2=iL20+iL21+iL22=1+3cos(2000t

45)Auad=uad0+uad1+uad2=30+120cos1000t

Vucb=ucb0+ucb1+ucb2=30+60cos(2000t+45

)V電流表A1的讀數(shù)：電流表A2的讀數(shù)：電流表A3的讀數(shù)：電壓表V1的讀數(shù)：電壓表V2的讀數(shù)：

例3已知u(t)是周期函數(shù)，波形如圖，L=1/2

mH，C=125/

F，求理想變壓器原邊電流i1(t)及輸出電壓u2的有效值。**C+–+–2:18Lu2410.5u/Vt/ms12解當(dāng)u=12V作用時(shí)，電容開路、電感短路，有：**-j4+–+–2:18j

+–8j4-j4+–例