高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（人教A版2019必修一）專題5.11函數(shù)y=Asin(ωxφ)（重難點題型精講）（學生版）

專題5.11函數(shù)（重難點題型精講）1．勻速圓周運動的數(shù)學模型筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(圖5.62).明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖5.62).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.2．,A對函數(shù)的圖象的影響(1)對的圖象的影響函數(shù)（其中）的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點向左(當>0時)或向右(當<0時)平移||個單位長度而得到(可簡記為“左加右減”).(2)對的圖象的影響

函數(shù)的圖象，可以看作是把的圖象上所有點的橫坐標縮短(當>1時)或伸長(當0<<1時)到原來的倍(縱坐標不變)而得到.(3)對的圖象的影響

函數(shù)的圖象，可以看作是把圖象上所有點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標不變)而得到.(4)由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象以上兩種方法的圖示如下：3．函數(shù)的圖象類似于正弦型函數(shù)，余弦型函數(shù)的圖象的畫法有以下兩種.

(1)“五點法”，令，求出相應(yīng)的x值及y值，利用這五個點，可以得到在一個周期內(nèi)的圖象，然后再把這一段上的圖象向左向右延伸，即得的圖象.

(2)“變換作圖法”的途徑有兩種.

一是類似于正弦型函數(shù)的變換作圖法，可由的圖象通過變換作圖法得到(>0,A>0)的圖象，即：二是由誘導公式將余弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，即，再由的圖象通過變換作圖法得到的圖象即可.【題型1“五點法”作函數(shù)的圖象】【方法點撥】用“五點法”畫函數(shù)(x∈R)的簡圖，先作變量代換，令X=，再用方程思想由X取來確定對應(yīng)的x值，最后根據(jù)x,y的值描點、連線、擴展，畫出函數(shù)的圖象.【例1】（2022·全國·高一課時練習）用五點法作函數(shù)y=Asinxπ2πωx+φ0ππ3π2πy04040則A，ω，φ的值分別為（

）A．4，2，?π3 B．4，12，π3 C．4，2，π6【變式11】（2022·全國·高一課時練習）用“五點法”作y=2cosx?1在[0,2π]的圖象時，應(yīng)取的五點為（A．(0,1),π2,0C．(0,1),(π,?3),(2π,1),(3π,?3),(4π,1) D．(0,1),【變式12】（2023·全國·高三專題練習）某同學用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asinωx+φ0ππ3π2πxππ5π7π3πy020?20則f(x)的解析式為（

）A．f(x)=2sin(x?πC．f(x)=sin(2x?π【變式13】（2021·浙江臺州·高一期中）小明用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asinωx+φ0ππ2πxπ7πy=A020?20請你根據(jù)已有信息推算A，ω,φ的值依次為（

）A．2，2，?π3 B．2，2，π6 C．2，π，?【題型2三角函數(shù)間圖象的變換】【方法點撥】可以使用“先伸縮后平移”或“先平移后伸縮”兩種方法來進行變換.【例2】（2022·寧夏·高三階段練習（理））為了得到函數(shù)y=cosx的圖象，只需將函數(shù)y=sinA．橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，再向左平移π6B．橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，再向左平移π3C．橫坐標縮短為原來的12，縱坐標不變，再向左平移πD．橫坐標縮短為原來的12，縱坐標不變，再向左平移π【變式21】（2022·天津·高三階段練習）將函數(shù)fx=sin2x的圖象先向右平移π3個單位長度，再把所得函數(shù)圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數(shù)gA．12 B．?32 C．?【變式22】（2022·山東青島·高三期中）把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移π6個長度單位，得到函數(shù)y=sin2x?A．f(x)=sin4x+πC．f(x)=sinx2【變式23】（2022·安徽·高二開學考試）已知函數(shù)fx=cos2x?3π4，先將fx的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移πA．gx=sinC．gx=?cos【題型3與三角恒等變換有關(guān)的圖象變換問題】【方法點撥】根據(jù)三角恒等變換的相關(guān)知識對所給解析式進行化簡，利用圖象變換規(guī)律進行變換即可.【例3】（2022·廣東廣州·高三階段練習）已知函數(shù)fx=sin2ωx-cos2ωx+1(0<ω<1)，將fx的圖像先向右平移π4個單位長度，然后再向下平移1個單位長度，得到函數(shù)A．14 B．12 C．23【變式31】（2022·江西·高三階段練習（文））已知函數(shù)f(x)=sin2x+πA．函數(shù)f(x)的最小正周期為2B．函數(shù)f(x)在?πC．將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π6個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為D．將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π12個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為【變式32】（2022·全國·高三專題練習）將函數(shù)f(x)=3sinxcosx+cos2x?1的圖象向右平移π6A．?π12+C．?π3+2k【變式33】（2022·天津·高三期中）已知函數(shù)fx=cosA．函數(shù)fx的最小正周期為B．函數(shù)fxC．函數(shù)fx在?D．將函數(shù)fx的圖象向右平移π12【題型4由部分圖象求函數(shù)的解析式】【方法點撥】根據(jù)部分圖象求出解析式中的A，，即可得解.【例4】（2022·黑龍江·高三階段練習）函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2A．f(x)=2sinx?C．f(x)=2sinx?【變式41】（2022·廣東佛山·高三期中）已知函數(shù)fx=Asinωx+φ的圖象如圖所示，則A．fx=2cosC．fx=sin【變式42】（2022·四川·高三期中（理））已知函數(shù)fx=AsinA．直線x=π是函數(shù)fxB．函數(shù)fx的圖象的對稱中心為?πC．函數(shù)fx在3πD．將函數(shù)fx的圖象向左平移π【變式43】（2022·寧夏·高三階段練習（理））函數(shù)fx=AsinA．函數(shù)fx的解析式為B．函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為C．為了得到函數(shù)fx的圖象，只需將函數(shù)gx=2D．函數(shù)fx的圖象關(guān)于點k【題型5三角函數(shù)模型在勻速圓周運動中的應(yīng)用】【方法點撥】利用三角函數(shù)模型解決實際問題時，首先尋找與角有關(guān)的信息，確定選用正弦、余弦還是正切型函數(shù)模型；其次是尋找數(shù)據(jù)，建立函數(shù)解析式并解題；最后將所得結(jié)果“翻譯”成實際答案，要注意根據(jù)實際作答.【例5】（2022·全國·高一課時練習）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min.（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；（2）求游客甲在開始轉(zhuǎn)動5min后距離地面的高度；（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：m）關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.【變式51】（2022·陜西漢中·高一期中）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用，明朝科學家徐光啟所著《農(nóng)政全書》中描繪了筒車的工作原理．如圖，一個半徑為3m的筒車，按逆時針方向轉(zhuǎn)一周的時長為2min，筒車的軸心O距離水面的高度為1.5m，筒車上均勻分布了12個盛水筒，設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為y（單位：m）（在水面下則y為負數(shù)），若以盛水筒P裝剛浮出水面時開始計算時間，則y與時間t（單位：min）之間的關(guān)系為y=Asin(1)求A，m，φ，b的值；(2)盛水簡出水后至少經(jīng)過多長時間就可以到達最高點？【變式52】（2022·全國·高一課時練習）已知電流隨時間t變化的關(guān)系式是i=5sin(1)求電流i的周期?頻率?振幅和初相;(2)分別求t=0,1【變式53】（2022·吉林·高一期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為4m，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離為2m，筒車每分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動4圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點P從水中浮現(xiàn)（即P0時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心O為坐標原點，過點O的水平直線為x軸建立平面直角坐標系xOy.設(shè)盛水筒M從點P0運動到點P時所經(jīng)過的時間為t（單位：s），且此時點P距離水面的高度為h（單位：m）（在水面下則h為負數(shù)）.(1)求點P距離水面的高度為h關(guān)于時間為t的函數(shù)解析式；(2)求點P第一次到達最高點需要的時間（單位：s）.【題型6函數(shù)與三角恒等變換的綜合應(yīng)用】【方法點撥】對于給角求值問題，需觀察題中角之同的關(guān)系，并能根據(jù)式子的特點構(gòu)造出二倍角的形式，正用、逆用、變形用二倍角公式求值，注意利用誘導公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對已知式進行轉(zhuǎn)化.【例6】（2022·福建·高三期中）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)將函數(shù)fx的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移π6個單位，得到函數(shù)gx的圖象，當x∈【變式61】（2022·湖北·高一階段練習）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx在區(qū)間?(2)將函數(shù)fx圖像向右移動π6個單位，再將所得圖像上各點的橫坐標縮短到原來的a0<a<1倍得到y(tǒng)=gx的圖像，若y=gx【變式62】（2022·寧夏高三階段練習（文