電路分析第7章一階電路C

第七章一階電路§7-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用§7-2一階微分方程的求解§7-4零狀態(tài)響應(yīng)§7-3零輸入響應(yīng)§7-5線性動(dòng)態(tài)電路的疊加原理§7-6分解和疊加方法的綜合應(yīng)用—三要素法§7-7階躍響應(yīng)及分段常量信號(hào)響應(yīng)§7-8沖激響應(yīng)（以下4節(jié)教學(xué)大綱不要求）

§7-9卷積積分

§7-10瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)正弦穩(wěn)態(tài)的概念§7-11子區(qū)間分析方波激勵(lì)的過渡過程和穩(wěn)態(tài)動(dòng)態(tài)元件的VCR為微分或積分形式，故線性、時(shí)不變動(dòng)態(tài)電路要用線性常系數(shù)微分方程來描述。分析動(dòng)態(tài)電路即是求解線性、常系數(shù)微分方程。本章內(nèi)容概述含有一個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的電路，要用線性、常系數(shù)一階微分方程來描述，故稱為一階電路。本章重點(diǎn)討論一階電路在直流激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)分析。分別介紹換路定律、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)，并推導(dǎo)出一階電路在直流激勵(lì)下求解任一變量響應(yīng)的一般方法—三要素法。本章還將介紹瞬態(tài)（暫態(tài)）和穩(wěn)態(tài)的概念。分解法的基本步驟：

1.把給定的網(wǎng)絡(luò)N分為兩個(gè)明確的單口網(wǎng)絡(luò)N1和N2。

2.分別求N1，N2的VCR。（§4-2）

3.聯(lián)立兩個(gè)VCR，求單口網(wǎng)絡(luò)端鈕上的電壓u

和電流i。

4.應(yīng)用置換定理，分別求單口網(wǎng)絡(luò)N1，N2中的電壓，電流?！?-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用0uiabu

=

f2(i)u

=

k1i+A1網(wǎng)絡(luò)Nu

=

k1i+A1N1N2i=βu=α+-u

=

f2(i)u

=

k1i+A1bN1u

=

a+-i

=

ba+-N1置換§7-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用用戴維南定理15V14

uc(t)+-+-CiC+–i4

1F2

2i18V0.75A+-uc(t)CiC+-uc(t)1514A14

用諾頓定理§7-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用

ROic+uC=uOC+uC=uOC

ROCduCdt初始值uC(t0)=iC

+iGO

=iSCC+G0uC=iSCduCdt初始值

uC(t0)=isc(t)G0+-CiGOiCuc(t)uoc(t)uc(t)R0+-+-CiCNCuc(t)+-iC

戴維南等效電路

諾頓等效電路

§7-2一階微分方程求解

dYdt-AY=BXY(t0)=Y0

初始條件非齊次常系數(shù)線性微分方程

齊次常系數(shù)線性微分方程dYdt-AY=0Y(t0)=Y0

初始條件求解1.直接積分法

7-2一階微分方程的求解，且應(yīng)滿足初始條件

Y(t0)=Y0，（1）解的結(jié)構(gòu)：Y(t)=Yh(t)+Yp(t)2.猜試法有兩種解法：（2）Yh(t)

：對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解（3）Yp(t)

：非齊次方程的一個(gè)特解

一般與輸入（激勵(lì)）函數(shù)具有相同形式（4）根據(jù)初始條件，確定積分常數(shù)穩(wěn)定狀態(tài)指電路中的電壓和電流在給定的條件下已達(dá)到某一穩(wěn)定值（對(duì)交流量是指它的幅值達(dá)到穩(wěn)定值）。穩(wěn)定狀態(tài)簡(jiǎn)稱穩(wěn)態(tài)。暫態(tài)（瞬態(tài)）電路從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)往往不能躍變，而是需要一定過程（時(shí)間）的，這個(gè)物理過程就稱為過渡過程。電路的過渡過程往往為時(shí)短暫，所以電路在過渡過程中的工作狀態(tài)常稱為暫態(tài)，因而過渡過程又稱為暫態(tài)過程。過渡過程的基本概念換路指電路的接通、切斷、短路、電壓改變或參數(shù)改變等。產(chǎn)生過渡過程的原因：當(dāng)電路中有儲(chǔ)能元件電容或電感，而且換路的結(jié)果將引起電容中的電場(chǎng)能或電感中的磁場(chǎng)能發(fā)生變化時(shí)，因?yàn)殡娐吩心芰康膬?chǔ)存和釋放是需要一定的時(shí)間的，所以電路中就會(huì)出現(xiàn)過渡過程。電感儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能WL=12L

iL2不能躍變

WC=12C

uC2電容儲(chǔ)存的電場(chǎng)能不能躍變本章將要分析RC和RL一階線性電路的過渡過程，著重討論下面兩個(gè)問題：(1)暫態(tài)過程中電壓和電流(響應(yīng))隨時(shí)間的變化規(guī)律;(2)影響暫態(tài)過程快慢的電路的時(shí)間常數(shù)。

設(shè)

t=0為換路瞬間，而以t=0–表示換路前的終了瞬間，t=0+表示換路后的初始瞬間。換路定律由于電容中的電場(chǎng)能和電感中的磁場(chǎng)能不會(huì)突變，所以換路瞬間，電容上的電壓和電感中的電流是不可能突變的。因此，電容電壓和電感電流在換路后的初始值應(yīng)等于換路前的終了值，這一規(guī)律，稱為電路的換路定律。

iL(0–)=iL(0+)

uC(0–)=uC(0+)

iL(0–)=iL(0+)

uC(0–)=uC(0+)從t=0–到t=0+瞬間，電感元件中的電流iL和電容元件上的電壓uC不能躍變。用公式表示為換路定律:換路定律僅適用于換路瞬間，可根據(jù)它來確定t=0+時(shí)電路中電壓和電流之值，即暫態(tài)過程的初始值。確定各個(gè)電壓和電流的初始值時(shí),先由t=0–的電路求出iL(0–)

或uC(0–),

而后由t=0+的電路在已求得的iL(0+)

或uC(0+)的條件下求其他電壓和電流的初始值。在直流激勵(lì)下,換路前如果電路已處于穩(wěn)態(tài)，則在t=0–的電路中,電容元件可視為開路,電感元件可視為短路。穩(wěn)態(tài)值電路換路后，經(jīng)過暫態(tài)過程又達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，這時(shí)電路中的電壓、電流值稱為穩(wěn)態(tài)值。用u()、i()表示。求直流激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)值,可畫出t=

的電路，即在換路后的電路中將電容元件開路,電感元件短路。例7.1下圖所示電路中，已知：R1=3，R2=6，R3=3，C1=5

μF，C2=10

μF，E=20V,開關(guān)S斷開前電路已處于穩(wěn)態(tài)。試求：C1、C2

和R1上電壓的初始值和穩(wěn)態(tài)值。C2R2R1+-EC1R320VSt=0C2R2R1+-EC1R320VSt=0解：（1）求初始值，畫出t=0–的電路uC1(0-)=————R1+R2+R3R3?EuC2(0-)=————R1+R2+R3R2?E

=———=5V3+6+33×20=———=10V3+6+36×20i

(0-)=E/(R1+R2+R3)

=1.67AuR1(0-)=i

(0-)R1=5VuC1(0+)=uC1(0-)=5VuC2(0+)=uC2(0-)=10VR2+-R3Et=0–的電路uC1(0-)+-uC2(0-)+-i

(0-)uR1(0-)R1+-20V畫出t=0+的電路，用支路電流法求i1(0+)，再求uR1(0+)

uR1(0+)=

7V可見uR1(0+)

uR1(0–)因此，求初始值時(shí),只需計(jì)算t=0–時(shí)的iL(0–)和uC(0–)，因?yàn)樗鼈儾荒苘S變，即為初始值，而t=0–時(shí)的其余電壓和電流都與初始值無關(guān)，不必去求。R2+–R3EuR1(0+)+–+–uC1(0+)t=0+的電路C2C1abR1+–20VuC2(0+)i1(0+)而uR1(0-)=i

(0-)R1=5V(2)求穩(wěn)態(tài)值，畫出t=

的電路uC1(

)=uC2(

)=E=20VR2+-R3Et=

的電路uC1(

)+-+-R1+–20VuC2(

)uR1(

)uR1(

)=0iL(0+)

=

iL(0-)=2A解：uL(0+)

=

–

iL(0+)(R2+R3)=–

90ViL(0-)

=

2A，(1)畫出t

=

0

的等效電路，L—短路uL(0-)=0(2)畫出t

=

0+的等效電路iL—等效為電流源—電感電壓uL可以躍變KLR2t

=

05A20

15

30

R3R1IS+–iLuLbat

=

0-等效電路5A20

30

R3R1ISiL(0-)uL(0-)+–t

=

0+等效電路2AR215

30

R3+–uL(0+)iL(0+)例7.2下圖所示電路中，S合于a時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。試求：初始值iL(0+),uL(0+)。換路前，如果儲(chǔ)能元件沒有儲(chǔ)能,iL(0+)=iL(0–

)=0,或uC(0+)=uC(0–

)=0，則在

t=0+的電路中，可將電容元件視為短路，將電感元件視為開路。例7.3已知下圖中iL(0–)=0,uC(0–)=0,試求S閉合瞬間,電路中各電壓、電流的初始值。SUCLR2R1+-t=0uC(0+)+-R2R1UiL(0+)uL(0+)iC(0+)+

–u2(0+)u1(0+)i1(0+)+-t=0+的電路解：畫出t=0+的電路uC(0+)=uC(0–)=0，iL(0+)=iL(0–)=0，i1(0+)=iC(0+)=UR1u1(0+)=U，u2(0+)=0，uL(0+)=U元件的等效電路匯總電路元件t=0+

t

RR+U0–iC+–uC(0)

=

0iC+–uC(0)

=

U0iR+u–iL(0)

=

0+uL–LiL(0)

=

I0

+uL–LI0LLLCCC7-3零輸入響應(yīng)以下利用疊加方法求解一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。設(shè)電路中電容電壓在t0時(shí)的值為uC(t0)。將其分解為一個(gè)未充電的電容C和一個(gè)數(shù)值為uC(t0)的電壓源的串聯(lián)。+零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)+uC(t)–i'(t)RCuC(t0)+–u1(t)+–'+uC(t)–i(t)RuOC(t)+–CuC(t0)+–u1(t)+–

t≥t0+uC(t)–i"(t)RuOC(t)+–Cu1(t)+–

t≥t0"7-

3（一）RC電路的零輸入響應(yīng)RCuRt=0ba+-U0iSuC零輸入響應(yīng)是指無電源激勵(lì)，輸入信號(hào)為零，由電容元件的初始狀態(tài)uC(0+)

所產(chǎn)生的響應(yīng)。分析RC電路的零輸入響應(yīng)，實(shí)際上就是分析它的放電過程。上圖中，若原來開關(guān)S合于a，電容上電壓已充電到U0，在t=0時(shí)將S由a合向b，

即uC(0–)=U0，根據(jù)KVL

uR

+

uC=0RCd

uC

dt+uC

=0——

§7-3零輸入響應(yīng)最終得代入初始條件uC(0)=

U0，

t≥

0uC(t)的零輸入響應(yīng)為一隨時(shí)間衰減的指數(shù)函數(shù)。利用直接積分法故有積分得解的形式：uC(t)=KestRCsKest

+Kest

=0RCs

+1=0特征方程的根（固有頻率）代入原方程—特征方程一階線性常系數(shù)齊次微分方程RCt=0ba+-UiSucuRuC

=

Ae

pt上式的通解為指數(shù)函數(shù)，即由特征方程RCp

+1=0得特征根（固有頻率）

p=–1/RC

通解uC

=

Ae

–t/RC

確定積分常數(shù)A，由換路定律uC(0+)=uC(0–)=U0

，得A=U0所以u(píng)C

=

U0e–t/RC

uR

=–uC

=–U0e–t/RC

e

–t/RCU0Ri=––—otU0–U0U0RuCuRi變化曲線RCd

uC

dt+uC

=0——在零輸入響應(yīng)電路中，各部分電壓和電流都是由初始值按同一指數(shù)規(guī)律衰減到零。時(shí)間常數(shù)

=RC

稱為RC電路的時(shí)間常數(shù)

FS單位時(shí)間常數(shù)

等于電壓uC衰減到初始值U0的36.8%所需的時(shí)間。t

U0e

-t/

uC

2

3

4

5

6

e

–1

e

–2

e

–3

e

–4

e

–5

e

–60.3680.1350.050.0180.0070.002當(dāng)t=

時(shí)uC(

)=0.368U0=

U0

e–t/

uCucotU00.368U0

1

2

3

3>

2>

1

從理論上講,電路只有經(jīng)過t=

的時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)定。由上表可以看出t=5

時(shí)，uC已衰減到

0.7%U0，所以，工程上通常在t≥5

以后，即可認(rèn)為電路已趨穩(wěn)定。

電壓uC衰減的快慢決定于電路的時(shí)間常數(shù)

,時(shí)間常數(shù)越大，uC衰減(電容器放電)越慢。uC隨時(shí)間變化曲線0uU0t0.368U0

時(shí)間常數(shù)

=RC當(dāng)t=

時(shí)，uC=36.8%U0零輸入響應(yīng)RCt=0ba+-iSucuRU0uR

=–uC

=–U0e–t/RC

e

–t/RCU0Ri=––—例7.4電路如圖，已知uc(0)=15V,求uc(t),ic(t)和i(t),t≥0。iC(t)=C——=–3e-20tAduCdtt≥0解：uC(0)=15VRO=———+3=5?3×63+6

=ROC=5×0.01=0.05S

i(t)=–——(–3e-20t)=2e-20tA63+6t≥0=15e-20tVt≥03Ω3Ω6Ω0.01Fi(t)icuc+_uC(t)=uC(0)e-—

t15VuC–3AiCot

解法1：例7.4電路如圖，已知uc(0)=15V,求uc(t),ic(t)和i(t),t≥0。解法2：應(yīng)用置換定理

i(t)=–——(–3e-20t)=2e-20tA63+6t≥03Ω3Ω6Ωi(t)uC(t)+_iciC(t)=——=–3e-20tA-uCt≥0RO用電壓源uC(t)置換電容CRO=———+3=5?3×63+6=15e-20tVt≥0uC(t)=uC(0)e-—

t解：3Ω3Ω6Ω0.01Fi(t)icuc+_例7.5求圖示電路中i(t),t≥0,已知uC(0)=6V。解:提出電容，用外加電壓法求ROi1

=———+————u2000u–2000i160008000i1=4uRO=—=2000Ωui1

=ROC=2×103s6K2K1Fuc(t)2000i(t)i(t)6K2K1Fu2000i1(t)i1(t)2K1Fuc(t)i(t)ROVuC(t)=6e-12×10-3tt≥0i(t)=–

CduCdtmA=3e-12×10-3tuC(0)=6V或：i(t)=——uC(t)ROt≥0例7.6下圖所示電路中,開關(guān)S合在a點(diǎn)時(shí),電路已處于穩(wěn)態(tài)，

t=0時(shí)開關(guān)S由a點(diǎn)合向b點(diǎn)，試求:t≥0時(shí)uc、i1、

i2和

i3

隨時(shí)間的變化規(guī)律,畫出變化曲線。Ct=0ba+-SuC

4

2

4

8

10μF+-10Vi1i2i3解:uC(0+)=uC(0-)=10

4/(2+4+4)=4V,U0=4V換路后放電電路等效電阻R0=(8+4//4)=10

=R0

C=10

10

10–6F

=10–4s=

U0

e–t/

uC=4e–10000tVCducdti2=i1=

i3

=i2/2=–0.4e

–10000tA=–0.2e

–10000tAotuc4Viui2–0.4Ai1

i3–0.2AuC=4e–10000tVCba+-SuC

4

2

4

8

10μF+-10Vi1i2i3（二）

RL電路的零輸入響應(yīng)Rt=0baUiLSuLuR

S合在位置a時(shí),電感中通有電流,t=0時(shí),開關(guān)S由位置a合向位置b,RL電路被短路。若iL(0-)=I0，則iL(0+)=I0(若換路前電路已處于穩(wěn)態(tài),則I0=U/R)根據(jù)KVL

uL

+

uR=0+RiL=0

diL

dtL—+-

齊次常系數(shù)線性微分方程通解為iL=

Ae

pt

+-

+-特征方程是Lp

+R=0特征根(固有頻率):p=–R/L

微分方程的通解為

iL(0+)=I0,故A=I0在t=0+時(shí),所以iL

=

I0

e–—t

RL

=

I0

e–—

t

時(shí)間常數(shù)

=L

/R=GL單位秒亨歐姆=

Ae

–—t

RLiL=

Ae

pt

變化曲線iLI0t0iL0.368I0

+RiL=0

diL

dtL—通解為iL=

Ae

pt

Rt=0baUiLSuLuR+-+-+-

iL

=

I0

e–—t

RL

=

I0

e–—

t

uR=R

iL

=

R

I0

e–—

t

diL

dtuL=L—=–R

I0

e–—

t

RI0uR–RI0uLotuRt=0baUiLSuLuR+-+-+-

iLiLI0t00.368I0

根據(jù)KVL

uL

+

uR=00.368RI0

t=0SRLuViLV+–2

4V例7.7已知電壓表的內(nèi)阻RV=1000,求uV(0+)。解:iL(0+)=iL(0-)=4/2=2AuV(0+)=iL(0+)RV=2

1000=2000V因電壓表的內(nèi)阻很大，在S斷開之前，應(yīng)先將電壓表取下!以免引起過電壓而損壞電壓表。一階電路的零輸入響應(yīng)代表了電路的固有性質(zhì)，又稱為固有響應(yīng)，特征根s=－1/

又稱為固有頻率。

一階電路的零輸入響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律衰減的，衰減的快慢由時(shí)間常數(shù)τ決定，τ越小，衰減越快。求出uC(t)或iL(t)再根據(jù)置換定理，用電壓為uC(t)的電壓源置換電容，用電流值為iL(t)的電流源置換電感，在置換后的電路中求其他電壓電流。線性一階電路的零輸入響應(yīng)是初始狀態(tài)的線性函數(shù)，即初始狀態(tài)增大

k倍，零輸入響應(yīng)也增大k

倍。零輸入響應(yīng)小結(jié)

1.一階電路的零輸入響應(yīng)RC電路：t≥0

=RCuC(t)=uC(0)e-—

tRL電路：t≥0

=—=GLLRiL(t)=iL(0)e-—

t（一）RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)是指換路前電容元件未儲(chǔ)有能量,uC(0–)=0,由電源激勵(lì)在電路中所產(chǎn)生的響應(yīng)。分析RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)，實(shí)際上就是分析它的充電過程。下圖中，t=0時(shí)開關(guān)S由b點(diǎn)合向a點(diǎn)，相當(dāng)于輸入一個(gè)階躍電壓u，其表示式為u(t)=0t<0Ut>0oUut階躍電壓

§7-4零狀態(tài)響應(yīng)

RCuRt=0ba+-UiSuC+-

+-根據(jù)KVL，列出t≥

0時(shí)電路的一階線性非齊次常微分方程Ri+uC

=URCduC

dt+uC

=U設(shè)特解uC′=K代入上式

RCdKdt+K

=U得K=U，

即uC′=U

uC″=Ae

pt=

Ae

–t/RC

補(bǔ)函數(shù)uC″是齊次微分方程RCduC

dt+uC

=0的解式(7.1)的通解為uC

=uC′+uC″=U+Ae

–t/RC

上式的通解有兩個(gè)部分：一個(gè)是特解uC′，一個(gè)是補(bǔ)函數(shù)uC″(7.1)RCuRt≥

0ba+-UiSuC+-+-uC

=uC′+uC″=U+Ae

–t/RC

根據(jù)uC(0+)=uC(0–)=0，可確定積分常數(shù)A=–UuC

=U–Ue

–t/RC

=U(1–e–t/

)時(shí)間常數(shù)

=RC當(dāng)t=

時(shí)，uC

=63.2%UtuCuOUuC′–UuC″暫態(tài)過程中uC可視為由兩個(gè)分量相加而得:

uC′是到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的電壓,稱為穩(wěn)態(tài)分量;uC″僅存于暫態(tài)過程中,稱為暫態(tài)分量,它總是按指數(shù)規(guī)律衰減。63.2%U

uC的變化曲線e

-t/RCUR=

uR

=Ri

=Ue

-t/RCotUuCuRui

iURi

=CduC

dtuC

=U(1–e–t/

)uC

、

uR及i的變化曲線RCuRt≥

0ba+-UiSuC+-+-uC

=U(1–e–t/

)t

U

1–

e–t/

uC

2

3

4

5

1–e–1

1–e–2

1–e–3

1–e–4

1–e–5

0.6320.8650.950.9820.993

同樣可認(rèn)為t≥(4~5)

以后暫態(tài)過程已經(jīng)結(jié)束。tuCu0U63.2%U

RCuRt≥

0ba+-UiSuC+-+-上述暫態(tài)過程的分析方法稱為經(jīng)典法。當(dāng)電路比較復(fù)雜時(shí)，可以用戴維寧定理將換路后的電路化簡(jiǎn)為一個(gè)單回路電路，（將電路中除儲(chǔ)能元件以外的部分化簡(jiǎn)為戴維寧等效電源，再將儲(chǔ)能元件接上），然后利用經(jīng)典法所得出的公式。例7.8下圖所示電路中，已知：R1=3k，R2=6k，

C1=40

μF，C2=C3=20

μF，U=12V,開關(guān)S閉合前,電路已處于穩(wěn)態(tài)，試求:

t≥

0時(shí)的電壓uC

。t=0+-USR1R2C1C2C3+uC–解：C2和C3并聯(lián)后再與C1串聯(lián)，其等效電容為C=——————=20μF

C1(C2+C3)C1+(C2+C3)將t≥

0的電路除C以外的部分化為戴維寧等效電源,E=———=8VUR2(R1+R2)等效電源的內(nèi)阻為R0=———=2k

R1R2(R1+R2)R0C+uC–+-Et≥

0+-USR2C+uC–R1等效電源的電動(dòng)勢(shì)為R0C+uC–+-E由等效電路可得出電路的時(shí)間常數(shù)

=R0

C=2

103

2010–6=40

10–3suC=E(1–e-t/

)=8(1–e

–25t)V輸出電壓為tuC

/V8O（二）RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)Rt=0UiLSuLuR在換路前電感元件未儲(chǔ)有能量，即電路處于零穩(wěn)態(tài)。+–在t=0時(shí)，將開關(guān)S合上，電路即與一恒定電壓為U的電壓源接通。根據(jù)KVL

uL

+

uR=U+RiL=U

diL

dtL—特解iL′就是穩(wěn)態(tài)分量

(7.2)iL′=—UR補(bǔ)函數(shù)iL″=

Ae

–—t

RL式(7.2)的通解為iL

=iL′+

iL″=—UR+

Ae

–—t

RL在t=0時(shí)，iL(0+)=iL(0-)=0—+

A=0

UR

A=–

—URiL

=—(1–UR

e–—)

t

uRuLU

diL

dtuL=L—=

Ue

–—

t

uR=R

iL

=

U(1–

e–—)

t

iLotuiL″–

—URiL′—URotiL變化曲線4.一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)是輸入的線性函數(shù)。輸入擴(kuò)大k倍，零狀態(tài)響應(yīng)也擴(kuò)大k倍，如有多個(gè)電壓源作用，也可用疊加定理來求零狀態(tài)響應(yīng)。

2.uC(t)、iC(t)的零狀態(tài)響應(yīng)由零向穩(wěn)態(tài)值按指數(shù)規(guī)律上升，τ越小，上升越快。3.求出uC(t)、iL(t)，根據(jù)置換定理，電容用電壓值為uC(t)的電壓源置換，電感用電流值為iL(t)的電流源置換，在置換后的電路中求其它電壓和電流。5.如果是非直流激勵(lì)電路，則需列微分方程求解。

1.恒定輸入（直流激勵(lì)）下一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)RC電路

=RCuC(t)=uC(∞)

(1-e)t≥0

-—tRL電路iL(t)=iL(∞)

(1-e)t≥0t-—

=—=GLLR零狀態(tài)響應(yīng)小結(jié)

例7.9下圖所示電路中,已知：R1=R2=1k，L1=15mH，

L2=L3=10mH，(設(shè)線圈間無互感,)電流源I=10mA,開關(guān)S閉合前,各電感均未儲(chǔ)有能量,試求:

t≥

0時(shí)的電流

i。t=0SiIR1R2L1L2L3解:等效電感L=

L1+———L2L3L2+L3=10mH將電流源與R1并聯(lián)的電路進(jìn)行等效變換E=R1I=10VR0=R1=1k

t=0SiR0R2L+–E由等效電路可得出電路的時(shí)間常數(shù)

=

———LR0+R2=10

si

=———(1–

e–—)

t

ER0+R2=5(1–

e

-10t

)

mA5ti5oi/mA等效電路（一）RC電路的全響應(yīng)

全響應(yīng)是指電源激勵(lì)和電容元件的初始狀態(tài)uC(0+)均不為零時(shí)電路的響應(yīng)，也就是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。下圖中，若開關(guān)S合于b時(shí)，電路已處于穩(wěn)態(tài),則uC(0–)=U0，t=0時(shí)將S由b合向a，t≥

0時(shí)電路的微分方程為RCuRt=0ba+-UiSuC+-U0t≥

0RCduC

dt+uC

=U其通解有兩個(gè)部分:一個(gè)是特解uC′，

一個(gè)是補(bǔ)函數(shù)uC″通解uC

=uC′+uC″

§7-5線性動(dòng)態(tài)電路的疊加定理RCuRt=0ba+-UiSuC+-U0t≥

0RCduC

dt+uC

=U通解uC

=uC′+uC″

=U+Ae

–t/RC

uC(0+)=uC(0–)=U0積分常數(shù)A=U0–Ut=0+時(shí),

U0=U+A

e0

uC

=

U+

(U0–U)

e

-t/

全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量uC

=

U0

e

-t/

+U(1–e

-t/

)

或者寫成全響應(yīng)

=

零輸入響應(yīng)+

零狀態(tài)響應(yīng)一階線性非齊次常微分方程(三要素法)全響應(yīng)曲線otUuU0穩(wěn)態(tài)分量UuC(全響應(yīng))uC

=

U+

(U0–U)

e

-t/

設(shè)U>U0U0–U暫態(tài)分量(U0–U)

e

-t/

otUuU0uC

=

U0

e

-t/

+U(1–e

-t/

)

uC(全響應(yīng))零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)或全響應(yīng)曲線otUuiU–U0RU0穩(wěn)態(tài)分量UuC(全響應(yīng))uC

=

U+

(U0–U)

e

-t/

設(shè)U>U0U0–U暫態(tài)分量(U0–U)

e

-t/

求出uC后,可用和uR=Ri得i

=CduC

dtU–

U0R

i=e

-t/

uR=(U–

U0)e

-t/

uR+-URCt=0baiSuC+-U0t=

0uCuC隨時(shí)間變化曲線0uU0tU（2）當(dāng)U0＞U時(shí)，tuCU0uuC隨時(shí)間變化曲線U0（1）當(dāng)U0＜U時(shí)，SCRt=0–

+U21–

+uR–

+uCi–

+U0這種由外加激勵(lì)和初始儲(chǔ)能共同作用引起的響應(yīng),稱為RC電路的全響應(yīng)。放電過程充電過程若U=0，在t=0時(shí)將開關(guān)S由1合到2的位置，如右圖。這時(shí)電路中外加激勵(lì)為零，電路的響應(yīng)是由電容的初始儲(chǔ)能引起的，故稱為RC電路的零輸入響應(yīng)。電容兩端的電壓uc由初始值U0向穩(wěn)態(tài)值零衰減，這是電容的放電過程，其隨時(shí)間變化表達(dá)式為SCRt=0–

+U21–

+uR–

+uCi–

+U0全響應(yīng)uC

=

U0

e

-t/

+U(1–e

-t/

)

或若換路前電容元件沒有儲(chǔ)能，即uC(0+)=U0=0，則上式變?yōu)檫@種初始儲(chǔ)能為零，由外加電源激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)，常稱為RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)，這是電容的充電過程。SCRt=0–

+U21–

+uR–

+uCi–

+U0全響應(yīng)uC

=

U0

e

-t/

+U(1–e

-t/

)

或uC隨時(shí)間變化曲線0uU0t0.368U0

時(shí)間常數(shù)

=RC當(dāng)t=

時(shí)，uC=36.8%U0零輸入響應(yīng)tuCU0u時(shí)間常數(shù)

=RC當(dāng)t=

時(shí)，uC=63.2%U0.632U

隨時(shí)間變化曲線零狀態(tài)響應(yīng)（二）RL電路的全響應(yīng)Rt=0UiLSuLuR+–R0如圖所示電路中，iL(0-)=I0在t=0時(shí)，將開關(guān)S合上，則t≥

0時(shí)電路的微分方程為+RiL=U

diL

dtL—通解也為iL

=iL′+

iL″=—UR+

Ae

–—t

RL但積分常數(shù)A與零狀態(tài)時(shí)不同,在t=0時(shí)，iL(0+)=iL(0-)=I0，

A=I0–

—UR所以全響應(yīng)為iL

=—+(I0–—)UR

e–—

t

UR(6.5.3)iL

=—+(I0–—)UR

e–—

t

UR全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量全響應(yīng)

=

零輸入響應(yīng)+

零狀態(tài)響應(yīng)上式可改寫為

+—(1–UR

e–—)

t

iL

=

I0

e–—

t

otU/RI0iL(全響應(yīng))零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)式(6.5.3)中,將電感電流的穩(wěn)態(tài)分量U/R用iL(

)表示得iL(t)=

iL

(

)+[iL(0+)–

iL(

)]

e

-t/

穩(wěn)態(tài)值初始值

時(shí)間常數(shù)(三要素法)§7-6三要素法全響應(yīng)=瞬態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)—數(shù)學(xué)方法分解y

(t)

=

y'

(t)+y"(t)

=y(0+)e-t/

+y(

)(1–e-t/

)y

(t)

=y(

)+[y(0+)-y(

)]e-t/

穩(wěn)態(tài)瞬態(tài)由三個(gè)參數(shù)(三要素)：初始值

y(0+)、穩(wěn)態(tài)值y(

)和時(shí)間常數(shù)

來決定一階電路、直流激勵(lì)下的全響應(yīng)y(t)

。三要素法：對(duì)于恒定輸入下的一階電路，只要求出這三個(gè)要素，即可寫出全響應(yīng)的表示式，并可畫出其波形。整理，得全響應(yīng)的一般表示式利用三要素法求得的全響應(yīng)表示式，適應(yīng)于狀態(tài)變量和非狀態(tài)變量。7-

6三要素法直流激勵(lì)下一階電路的響應(yīng)都是按指數(shù)規(guī)律變化的，它們的變化無非四種情況。0tf(t)f(∞)0tf(t)f(0+)f(t)=f(∞)

(1-

e)t≥0

-—tf(t)=f(0+)

et≥0

-—t0tf(t)f(∞

)f(0+)f(0+)0tf(t)f(∞)對(duì)于一階電路，若求恒定輸入下的響應(yīng)，只需求出這三個(gè)要素，就可畫出它的波形并寫出表示式，這就是三要素法。三個(gè)參數(shù)（三要素）f(0+)、f(∞)、

f(t)=f(0+)

+

[f(∞)

-

f(0+)]

(1-e)t≥0

-—tf(t)=f(∞)

+

[f(0+)-

f(∞)]

et≥0

-—t

只含有一個(gè)儲(chǔ)能元件或可等效為一個(gè)儲(chǔ)能元件的線性電路,稱為一階線性電路，其微分方程都是一階常系數(shù)線性微分方程。

上述的RC電路是一階線性電路，電路的響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)分量(包括零值)和暫態(tài)分量?jī)刹糠窒嗉佣?寫成一般式子,則為f(t)=f′(t)+f″(t)

=

f

(

)

+Ae

–t/

式中f(t)是電壓或電流，f

(

)是穩(wěn)態(tài)分量(即穩(wěn)態(tài)值),Ae

–t/

是暫態(tài)分量,若

f(0+)為初始值,則得A=f(0+)–f

(

)

于是f

(t)=

f

(

)+[f(0+)–

f(

)]

e

-t/

穩(wěn)態(tài)值初始值

時(shí)間常數(shù)§7-6分解方法和疊加方法的綜合運(yùn)用——三要素法全響應(yīng)波形直流激勵(lì)下一階電路的響應(yīng)均按指數(shù)規(guī)律變化，它們的波形有以下四種情況。零輸入響應(yīng)y(t)=y(0+)

e

-t/

t≥

0

零狀態(tài)響應(yīng)y(t)

=

y(

)(1–e

-t/

)t≥

0全響應(yīng)y(

)

>

y(0+)

y(t)

=

y(0+)

+[y(

)

y(0+)

]

(1–e

-t/

)t≥

0全響應(yīng)y(

)

<

y(0+)

y(t)

=

y(

)

+[y(0+)

y(

)]

e

-t/

t≥

00ty(t)y(

)y(0+)0ty(t)y(

)y(0+)0ty(t)y(

)y(0+)0ty(t)[例7.10]在下圖中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k

R2=2k，C=3F，t<0時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t≥0時(shí)的uC(t),并畫出變化曲線。

[解]先確定uC(0+)uC(

)和時(shí)間常數(shù)

R2R1–

U1C–

+1+uCU2–

+

t<0時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)，意味著電容相當(dāng)于開路。2t=0S[例7.10]在下圖中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k

R2=2k，C=3F，t<0時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t≥0時(shí)的uC(t),并畫出變化曲線。

[解]先確定uC(0+)

uC(

)和時(shí)間常數(shù)

R2–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1

uc=4+(2–4)

e-t/(2×10-3)(t≥0)=4–2e-500t

VuC(t)的變化曲線t(s)uC

/V402[例7.11]圖中，如在穩(wěn)定狀態(tài)下R1被短路，試問短路后經(jīng)過多少時(shí)間電流才達(dá)到15A？（1）確定i(0+)

[解]先應(yīng)用三要素法求電流i（3）確定時(shí)間常數(shù)

（2）確定i(

)t=0–

+UiLR1R212

8

220V0.6H[解]根據(jù)三要素法公式當(dāng)電流到達(dá)15A時(shí)所經(jīng)過的時(shí)間為t=0.039St=0–

+UiLR1R212

8

220V0.6H[例7.11]圖中，如在穩(wěn)定狀態(tài)下R1被短路，試問短路后經(jīng)過多少時(shí)間電流才達(dá)到15A？1.求初始值y(0+)（1）畫出t=0–時(shí)的等效電路：求uC(0–)、iL(0–)；（2）畫出t=0+時(shí)的等效電路：

C—用電壓值等于uC(0+)的電壓源置換

L—用電流值等于iL(0+)

的電流源置換2.求穩(wěn)態(tài)值y(∞)（3）在t=0+

的等效電路中求各初始值

y(0+)；（1）畫出t

∞

時(shí)的等效電路：C

—

開路、L

—

短路（2）求穩(wěn)態(tài)值y(∞)；3.求時(shí)間常數(shù)

(注意：一定要在換路后的電路中求

）（1）求動(dòng)態(tài)元件兩端看進(jìn)去戴維南等效電阻R0；（2）RC電路：

=R0C；RL電路：

=L/R0。利用三要素法求解一階動(dòng)態(tài)電路的步驟元件的等效電路匯總電路元件t=0+

t

RR+U0–iC+–uC(0)

=

0iC+–uC(0)

=

U0iR+u–iL(0)

=

0+uL–LiL(0)

=

I0

+uL–LI0LLLCCC

解：(1)求

i(0+)例7.13圖示電路中t=0時(shí)開關(guān)S1閉合，S2打開。已知開關(guān)動(dòng)作前電路處于穩(wěn)態(tài)，求i(t),t≥0及開關(guān)動(dòng)作后瞬間4

電阻上吸收的功率。（15分）10V4

t=0i1(t)0.1FuC(t)10V2

6

2

i(t)S1S2uC

(0+)=uC(0-)=———×10V=5V2+42+4+6i(0+)t=0+時(shí)的電路10Vi1(0+)i2(0+)2

2

4

uc(0+)i(0+)+i2(0+)=i1(0+)2i(0+)+4i1(0+)=102i2(0+)+4i1(0+)=uc(0+)

解方程得i(0+)=2A,i1(0+)=1.5A開關(guān)動(dòng)作后瞬間4

電阻上吸收的功率p=4i12(0+)=4×1.52=9W例7.13圖示電路中t=0時(shí)開關(guān)S1閉合，S2打開。已知開關(guān)動(dòng)作前電路處于穩(wěn)態(tài)，求i(t),t≥0及開關(guān)動(dòng)作后瞬間4

電阻上吸收的功率。（15分）10V4

t=0i1(t)0.1FuC(t)10V2

6

2

i(t)S1S2（2）求i(∞)（3）求

i(t)=i(∞)

+

[i(0+)-

i(∞)]

e

-—t

解：(1)

i(0+)=2Ai(∞)=————=—A10V2+4

53R0=

2+2//4=—310

=R0C=—S

31i(t)=—

+(2–—)e–3t=—+—e–3tAt

≥0

33335551

解：(1)求iL(0+)、i

(0+)iL(0+)

=

iL(0–)

=

10/2

=5mA例1

求圖示電路中t≥0時(shí)1k電阻的電流。10V–+10mA0.5k1HiL(t)0.5k1kt

=

0i

(t)t=

0+10V–+10mA0.5k0.5k1ki

(0+)5mA根據(jù)換路定律用

5mA

電流源置換電感，得

t=

0+時(shí)的等效電路如圖。利用疊加原理，得10mA0.5kiL(0?)0.5kt=

0?(2)求i(

)(3)求

i

(

)=10/103=10mAR0

=1//1=

0.5kΩt

10V–+10mA0.5k0.5k1ki

(

)1k0.5k0.5kR0i

(t)=i

(

)

+

[

i

(0+)

i(

)

]e

–t

/

t≥0(4)求全響應(yīng)0t/msi/mA10510V–+10mA0.5k1HiL(t)0.5k1kt

=

0i

(t)

(1)求i

(0+)解：iL(0+)=5mA，R0=0.5kΩ=5

e

–500t+15

(1–e

–500t)mA=15–10

e

–500tmAt≥0(5)用疊加定理求iL(t)t

≥010V–+10mA0.5k0.5k1ki

(t)iL(t)iL(t)=5

e

?500t

mAt≥0'

iL(t)

=

15

(

1

–e–500

t)mAt≥0"t≥0由KVL10V–+10mA0.5k1HiL(t)0.5k1kt

=

0i

(t)零輸入零狀態(tài)例7.14圖示電路中,開關(guān)S合在a點(diǎn)時(shí),電路已處于穩(wěn)態(tài)，

t=0時(shí)開關(guān)S由a點(diǎn)合向b點(diǎn)，試用三要素法求:t≥0

時(shí)uc、i1、i2和

i3

的變化規(guī)律,畫出變化曲線。Ct=0ba+-SuC

4

2

4

8

10μF+-10Vi1i2i3解:uC(0+)=uC(0-)=10

4/(2+4+4)=4V,uC(

)=0換路后放電電路等效電阻R0=(8+4//4)=10

=R0

C=10

10

10–6F

=10–4s=4e–10000tVuC(t)=uC(

)+[uC(0+)

–

uC(

)]

e

-t/

Cducdti2=i1=

i3

=i2/2=–0.4e

–10000tA=–0.2e

–10000tAotuc4Viui2–0.4Ai1

i3–0.2AuC=4e–10000tVCba+-SuC

4

2

4

8

10μF+-10Vi1i2i3f

(t)=

f

(

)+[f(0+)–

f(

)]

e

-t/

§7-7階躍響應(yīng)及分段常量信號(hào)響應(yīng)一.階躍函數(shù)１.單位階躍函數(shù)2.延時(shí)單位階躍函數(shù)0tt0

(t–t0)1

0t1

(t)

0t<0

1t>0

(t)=

0t<t0

(t–t0)=

1t>t0二、用單位階躍函數(shù)表示電源接入若電源在t=t0時(shí)接入電路，可表示為：uS(t)

=

US

(t

-

t0)iS(t)

=

IS

(t

-

t0)若任一變化的信號(hào)f

(t)在t=0時(shí)接入電路，可表示為：uS(t)=f

(t)

(t)若在

t=0

時(shí)，開關(guān)K由位置b

a，可表示為階躍函數(shù)與電源的乘積

uS(t)=

US

(t)

uS(t)=

US

(t)abUSN+–

t

=

0KN+–uS(t)三、階躍信號(hào)和階躍響應(yīng)1.階躍信號(hào)

2.階躍響應(yīng)單位階躍信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)稱為階躍響應(yīng)S(t)，依據(jù)時(shí)不變性質(zhì)，延時(shí)單位階躍信號(hào)作用下的階躍響應(yīng)為S(t-t0)。uS(t)=US

(t)階躍信號(hào)uS(t)=US

(

t–t0

)延時(shí)階躍信號(hào)US0tuS(t)t00tUSuS(t)f

(t)

=

f1(t)

f3(t)

=

(t)

(t

1

)=–01

tf

(t)1

0t1f1

(t)10t1f3

(t)10t

1f2

(t)0t1f1

(t)+f

(t)

=

f1(t)

+

f2(t)

=

(t)

(t

1

)或表示為四、分段常量信號(hào)作用下一階電路的求解

可將分段常量信號(hào)表示為一系列階躍信號(hào)之和，例如：=f(t)=f1(t)+f2(t)+f3(t)+f4(t)

f(t)=

(t)

2

(t

1

)

+

3

(

t

2)

2

(t

3)=0t1f1

(t)0tf(t)1

2

3

1

1

2

可將分段常量信號(hào)表示為一系列階躍信號(hào)之和，再例如：10t

2f2

(t)+203f3

(t)t30

2f4

(t)t++方法1.

把分段常量信號(hào)分解為若干個(gè)階躍信號(hào)之和，各階躍信號(hào)分量單獨(dú)作用于電路，由疊加定理求出電路的零狀態(tài)響應(yīng)。如果初始狀態(tài)不為零，再加上零輸入響應(yīng)。方法2.

把分段常量信號(hào)作用于電路的時(shí)間分為若干個(gè)子區(qū)間，每一區(qū)間內(nèi)輸入信號(hào)為一常量。用三要素法求每一子區(qū)間的響應(yīng)，即按時(shí)間分段求解。在求解過程中，注意每一子區(qū)間初始值的計(jì)算。四、分段常量信號(hào)作用下一階電路的求解

例7.16已知：iS(t)作用于電路，uC(0)=0,求：uC(t),

t≥0解法1：把iS(t)分解成兩項(xiàng)，分別求零狀態(tài)響應(yīng)iS(t)

=i'S(t)+i''S(t)=IS

(t)

–

IS

(t–t0)IS0tiS(t)t0CRis(t)uC(t)+–i'S(t)作用：u'C(t)

=

RIS(1–e

)

(t)RC-—ti''S(t)作用：u''C(t)

=

–

RIS[1–e

]

(t

-

t0)RC-—1(t-t0)iS(t)作用，應(yīng)用疊加原理，得到uC(t)

=

u'C(t)

+u''C(t)

–

RIS[1–e

]

(t

-

t0)RC-—1(t-t0)

=

RIS(1–e

)

(t)RC-—t0ti'S(t)IS階躍信號(hào)0tt0i''S(t)–IS延時(shí)階躍信號(hào)例7.16已知：iS(t)作用于電路，uC(0)=0,求：uC(t),

t≥0IS0tiS(t)t00ti'S(t)IS階躍信號(hào)0tt0i''S(t)–IS延時(shí)階躍信號(hào)CRis(t)uC(t)+–0tt0RISu'C(t)0tt0–RISu''C(t)0tt0RISuC(t)IS0tiS(t)t0解法2：應(yīng)用三要素法分段求解0

≤

t

≤

t0

零狀態(tài)響應(yīng)t

>

t0

時(shí)

零輸入響應(yīng)例7.16已知：iS(t)作用于電路，uC(0)=0,求：uC(t),

t≥0IS0tiS(t)t0CRis(t)uC(t)+–0tt0RISuC(t)0

≤

t

≤

t0

uC

(t)

=

RIS(1–e

)RC-—t0tt0RISuC(t)

uC

(t0)

=

RIS(1–e

)RC-—t0

uC

(t)

=