湖南省衡陽市祁東縣育賢中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2023年下期育賢中學(xué)九年級期中考試數(shù)學(xué)試題

考試時間：100分鐘總分：120分

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、單選題（共36分）

1.（本題3分）下列方程屬于一元二次方程的是（）

A.（x2-2）x=^B.ax2+Z>x+c=0C.3x+^-=5D.^=3x

X

2.（本題3分）下列根式中與6是同類二次根式的是（）

A.JiB.V32C.V12D.V18

3.（本題3分）J（3—％尸=久一3成立的條件是（）

A.x>3B.x>3C.爛3D.x<3

4.（本題3分）一元二次方程/一2久+4=0的根的情況是（）

A.有一個實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

直線/8IIC0IIER若403,CE=4,則鬟的值是（)

6.（本題3分）下列方程中，兩根之和為2的是（）

A./+2%—3=0B.X2+2%4-3=0

C.x2—2,x—3=0D.4%2—2x—3=0

7.（本題3分）實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則J（a-4）2-—

化簡后為（）??一

05。10

A.2a-15B.-7C.7D.無法確定

8.（本題3分）若關(guān)于x的一元二次方程（1-m）x2+2x-7=0有兩個不相

等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）

試卷第1頁，共4頁

A.m<-B.mW2且mH1C.m>-D.m<勺且?n羊1

7777

9.(本題3分)已知a,夕分別是方程％2-4x-1=0的兩個根，則代數(shù)式小+

外的值為()

A.16B.18C.20D.22

10.（本題3分）如圖，已知，△/BC中，P為上一點，在下列四個條件

中：⑴zACP=zB；（2）zAPC=ZACB；（3）/1C2=AP-AB；（4）715?CP=

AP?CB,能滿足△力PC與△ACB相似的條件是（）.

A.(1)(2)(4)B.(1)(3)(4)

C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)

11.（本題3分）三角形的一邊長為10,另兩邊長是方程/一14%+48=0的

兩個實數(shù)根，則這個三角形是（）

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

12.（本題3分）某電影上映的第一天票房約為3億元，第二、三天單日票

房持續(xù)增長，三天累計票房10.82億元，若第二、三天單日票房增長率相同，

設(shè)平均每天票房的增長率為x,則根據(jù)題意，下列方程正確的是（）

A.3（1+%）=10.82

B.3（1+%）2=10.82

C.3（1+%）+3（1+%）2=10.82

D.3+3（1+x）+3（1+x）2=10.82

第II卷（非選擇題）

二、填空題（共18分）

13.（本題3分）如果±則二的值為

y2x+y

14.若7^不工在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

15.（本題3分）若％=1是一元二次方程（m+3）/—mx+m2-12=0的

其中一個解，則機的值為—.

16.（本題3分）如圖，在A4BC中，點0、E分別在邊/B、4c上，DE\\BC,

如果告=：,BC=10,那么DE的長是.

EC2

試卷第2頁，共4頁

A.V

BCB

17.（本題3分）若關(guān)于x的方程（m-3）xlm-i+2x-7=0是一元二次方程,

則m=

18.（本題3分）如圖，在正方形4BCD中，點P是AB上一動點（不寫/、B重

合），對角線/C、BO相交于點0,過點P分別作AC、BD的垂線，分別交

AC.BD于點E、F,交/D、BC于點M、N,下列結(jié)論：@AAPEsAAME-,

②PM+PN=AC；③4P0F-ABNF；④當(dāng)/PMN-d力MP時，點P是

的中點，其中一定正確的結(jié)論有X填上所有正確的序號）

三、解答題（共66分）

19.（本題9分）解方程：（1）4（X+1）2=16（2）2（x-3）=3x（x-3）

計算：（3）VT^x￡+—3|+（遙-1）；

20.（本題6分）先化簡，再求值：含-3其中x=?

21.(本題6分)若實數(shù)x,歹滿足42%-1+(y—I)2+|z+3|=0,求4+y—z

的值.

22.（本題8分）已知關(guān)于x的一元二次方程K2一（由一3）%-6=0.

（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）如果方程的兩實根為%1，%2，且優(yōu)+據(jù)-%小2=7,求加的值.

23.（本題8分）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，MN1AM,MN

交CD于點N.

(1)求證：△ABMs^MCN；

(2)若AB=6,BM=2,求DN的長.

試卷第3頁，共4頁

24.(本題8分)有長為30米的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長度為10

米)，圍成中間隔有一道籬笆(平行于AB)的矩形花圃，設(shè)花圃的一邊48為

x米.

?------------10m-------------?

.////<//////、//////〈///，

AD

B'------------'C

(1)如果要圍成面積為63平方米的花圃，那么的長是多少米？

(2)能圍成面積為78平方米的花圃嗎？若能，求出的長，若不能，請說明

理由.

25.(本題9分)杭州亞運會的三個吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江

南憶”，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件.

(1)求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；

(2)經(jīng)市場預(yù)測，7月份的銷售量將與6月份持平，現(xiàn)商場為了減少庫存，采

用降價促銷方式，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20

件，當(dāng)該吉祥鈞售價為多少元時，月銷售利潤達(dá)8400元？

26.(本題12分)如圖所示，AABC中NC=90。,BC=8cm,AC:AB=3:5,點

P從點B出發(fā)沿BC向點C以2cm/s的速度移動，點Q從點C出發(fā)沿CA向

點A以lcm/s的速度移動，如果P、Q分別從B、C同時出發(fā)：

(1)求線段AC的長度

(2)經(jīng)過多少秒后，4CPQ的面積能否為8cm?請說明理由。

(3)經(jīng)過多少秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與AABC相似?

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.D

【分析】根據(jù)一元二次方程定義，逐項判定即可.

【詳解】解：A.整理得：X3-X2-2X=0,不是一元二次方程，故此選項錯

誤，

B.當(dāng)。=0時，不是一元二次方程，故此選項錯誤，

C.左邊不是整式方程，故不是一元二次方程，故此選項錯誤，

D.是一元二次方程，故此選項正確.

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題

的關(guān)鍵.

2.C

【分析】各項化簡后，利用同類二次根式定義判斷即可.

【詳解】解：4、￡=孚，不符合題意；

755

B、府=3,不符合題意；

C、V12=2V3,與舊的被開方數(shù)相同；S泛與百是同類二次根式是符合題意;

D、V18=3^2,不符合題意，

故選：C.

【點睛】此題考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式定義是解本題的關(guān)鍵.

3.A

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對值的意義進(jìn)行化簡，即可得到答案

【詳解】解：□J(3—％)2=|3-%|=%—3,

x—3之0,

解得：%>3.

故選：A.

【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡以及二次根式非負(fù)的知識.熟練掌握

二次根式的性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵.

4.D

答案第1頁，共14頁

【分析】根據(jù)根的判別式□=b2-4ac進(jìn)行計算判斷即可.

【詳解】原方程為x2—2x+4=0,則其□=(-2)2-4xlx4=-12<0；

由此可得原方程x2-2x+4=0無實數(shù)根.

故答案選D.

【點睛】本題考查根的判別式，看到此類題目要首先想到□=b2—4ac,根據(jù)判別

式判斷根的個數(shù).

5.C

【分析】由平行線分線段成比例直接得到答案.

【詳解】解：^AB^CD^EF

BDAC

..——

BFAE

HAC=3,CE=4

BD3

,—=一，

BF7

故選C.

【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行

線分線段成比例.

6.C

【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系逐項判斷各項方程的兩根之和即可.

【詳解】解:在方程x2解x-3=0中,兩根之和等于-2,故A不符合題意;

2

在方程x2+2x+3=0中，□=2-4xlx3=-8<0,則該方程無實數(shù)根，故B不符合題

思；

在方程x2-2x-3=0中，兩根之和等于2,故C符合題意；

在方程4x2-2x-3=0中，兩根之和等于一3=；,故D不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程的兩根之和等于-2,

a

兩根之積等于￡是解題的關(guān)鍵.

a

7.A

【分析】由數(shù)軸可知，5<a<10,可得a-4>0,a-11<0,再化簡即可.

【詳解】解:由數(shù)軸可知,5<a<10,

答案第2頁，共14頁

CL-4>0,CL—11<0,

d(a-4)-J(a-11/，

=CL—4—(11—a),

=a—4—11+a,

=2a—15,

故選:A.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡和絕對值的意義，熟練掌握數(shù)軸上的點的特

征，注意字母的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式大于零構(gòu)建不等式，求解即可.

【詳解】解：由題意得2\=2?-4(1一zn)x(-7)>0,且1一7nH0,

解得zn<且mH1,

7

故選：D.

【點睛】此題考查了利用一元二次方程根的情況求參數(shù)，熟記一元二次方程根的

三種情況并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得到a+。=4,a/?=-1,再把式子變形代入求值

即可.

【詳解】解：口訪6分別是方程/一4%-1=0的兩個根，

□a+/?=—^=4,鄧=三=一1,

□a2+=(a+0)2_2aB=42—2x(-1)=18,

故選B.

【點睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，掌握根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方式是解答

此題的關(guān)鍵.

10.D

【分析】根據(jù)相似三角形的判定條件分析即可；

【詳解】(1)中，ZACP=NB,又有一公共角乙4,故△APC?△ACB,故(1)

正確；

答案第3頁，共14頁

(2)中，^APC=^.ACB,又有一公共角乙4,故△APC?△4CB,故(2)正確；

(3)中，爺=條乙4為其夾角，故(3)正確；

(4)中不是對應(yīng)邊成比例，故(4)不正確；

故正確的是(1)(2)(3)；

故選D.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定條件，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

11.C

【分析】解方程/-14%+48=0,求得方程/-14%+48=0的兩個根，再利

用勾股定理的逆定理即可判定這個三角形是直角三角形.

【詳解】設(shè)三角形的另外兩邊分別為a、b,

□另兩邊是一元二次方程的x2-14x+48=0的兩個根，

□解方程得到a=6,b=8,

□62+82=102,

□此三角形是直角三角形.

故選C.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解法及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，正確求得

方程/-14x+48=0的兩個根是解決問題的關(guān)鍵.

12.D

【分析】根據(jù)“三天累計票房10.82億元”求解即可得出答案.

【詳解】解:設(shè)平均每天票房的增長率為x,則根據(jù)題意可列方程為3+3(1+%)+

3(1+%)2=10.82,

故選：D.

【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握理解

題意，找到其中蘊含的相等關(guān)系.

13.--3

【分析】根據(jù)題意，設(shè)x=k,y=2k,代入求解即可.

【詳解】解：□.=；,

y2

□設(shè)％=k,y=2k,

答案第4頁，共14頁

代入二得：=

x+yk+2k3k3

故答案為：-

【點睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握“設(shè)左值法”，將兩

個字母統(tǒng)一為一個字母.

14.%>-5

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：5+x>0,

□%>—5,

□實數(shù)x的取值范圍是久2-5.

故答案為：x>—5.

【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)

為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

15.3

【分析】把％=1代入方程+3)%2—mx+m2-12=0,可得m=+3,再由

m+3=0,即可求解.

【詳解】解：把％=1代入方程(zn+3)/-mx+機2一12=0,得

m+3—m+m2—12=0,

解得m=±3,

□m+3H0,

□mH—3,

□m=3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的根就是一元二

次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.即用這個數(shù)代替未知

數(shù)所得式子仍然成立是解題的關(guān)鍵.

16.6

【分析】根據(jù)蕓=5可求得*=：，再根據(jù)平行線分線段成比例定理得到啜=答，

EC2AC5ABDC

即可求得DE的長.

答案第5頁，共14頁

【詳解】解：；蕓="AE+EC=AC,

EC2

AE_3

,,AC~~59

???DE\\BC,

.DE_AE_3

-BC-4c-5’

???BC=10,

.??DE=6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)

線段成比例.

17.-3

【詳解】□（m-3）%|rn|-1+2x-7=0是關(guān)于％的一元二次方程，

{[mj-3l=°2，解得m=-3.

點睛：解這道題需注意兩點：（1）一元二次方程中，二次項系數(shù)不能為0；（2）

一元二次方程中未知數(shù)的最高次數(shù)為2.

18.□□□

【分析】□根據(jù)正方形的每一條對角線平分一組對角可得□PAE=DMAE=45。，然

后利用“角邊角”證明DAPE和DAME全等；□根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得

PE=EM=ipM,同理，F(xiàn)P=FN」NP,證出四邊形PEOF是矩形，得出PF=OE,證

22

得L1APE為等腰直角三角形，得出AE=PE,PE+PF=OA,即可得到PM+PN=AC；

□判斷出UPOF不一定等腰直角三角形，DBNF是等腰直角三角形，從而確定出

兩三角形不一定相似；□證出DAPM和DBPN以及DAPE、1BPF都是等腰直角

三角形，從而得出結(jié)論.

【詳解】□□四邊形ABCD是正方形，

□□BAC=DDAC=45°,

□PMQAC,

□□AEP=DAEM=90°,

在DAPE和DAME中，

答案第6頁，共14頁

DABAC=^DAC,

AE=AE,

乙AEP=^AEM,

□□APEQUAME(ASA),

故□正確；

□□□APEQQAME,

□PE=EM-PM,

2

同理，F(xiàn)P=FN=|NP,

□正方形ABCD中，ACDBD,

XQPEQAC,PFDBD,

□□PEO=□EOF=QPFO=90°,且EJAPE中AE=PE

□四邊形PEOF是矩形.

□PF=OE,

□在^APE中，□AEP=90°,□PAE=45°,

□□APE為等腰直角三角形，

□AE=PE,

□PE+PF=OA,

XDPE=EM=1PM,FP=FN=1NP,OA=|AC,

口PM+PN=AC,

故□正確；

□□□APEDDAME,

□AP=AM

□BNF是等腰直角三角形，而DPOF不一定是，

□□POF與DBNF不一定相似，

故□錯誤；

□□□APEDDAME,

□AP=AM,

□□AMP是等腰直角三角形，

答案第7頁，共14頁

同理，DBPN是等腰直角三角形，

當(dāng)□PMNUDAMP時，DPMN是等腰直角三角形.

□PM=PN,

又□DAMP和EJBPN都是等腰直角三角形，

□AP=BP,即P是AB的中點，

故口正確；

故答案為□□□.

【點睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定

與性質(zhì)、勾股定理的綜合應(yīng)用、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判

定與性質(zhì)等知識；熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解決問題的關(guān)鍵.

19.(1)xi=l,X2=-3；(2)(2)xi=3?X2=^

【詳解】試題分析：(1)兩邊先除以4,再直接開方，可得方程的解；

(2)移項后提取公因式x-3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可.

試題解析：4(X+1)2=16,

(x+1)2=4,

x+l=±2,

解得：x=1或x=-3,

所以原方程的解為：Xi=1,x2=-3；

(2)2(x-3)=3x(x-3),

移項得：2(x-3)—3x(x—3)=0,

整理得：(x—3)(2—3x)=0,

x-3=0或2-3x=0,

解得：x=3或x=|,

所以原方程的解為：X|=3,X2=|.

.(3)4-V2

【分析】(1)根據(jù)二次根式的加減運算法則即可求出答案；

(2)原式利用二次根式的除法，絕對值的意義，以及0指數(shù)累的法則計算即可

答案第8頁，共14頁

的到結(jié)果.

(3)V12x

=V2+(3-2V2)+1

=V2-2V2+3+1

=4-V2；

【點睛】本題考查二次根式的混合運算，以及0指數(shù)幕，解題的關(guān)鍵是熟練運用

二次根式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

20.占V2+1

【分析】先把分子、分母因式分解，再通分，然后把要求的式子進(jìn)行化簡，再代

入進(jìn)行計算即可;

【詳解】解：原式=立空手力

xz-l

X+1

(%+1)(%-1)

1

x-1

當(dāng)％=加時，

原式==-7^—=V2+1；

x-lV2-1

【點睛】本題考查分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是正確的因式分解期間注意符號的

選擇.

(2x-l=0

【分析】根據(jù)非負(fù)性，可得y-l=0，求出x、y、z的值，代入計算即可求解.

.z+3=0

【詳解】解：由題意得：

2%—1=0

y—1=0,

z+3=0

(x--1

解得：1j,

y—1

<z=-3

：?x+y—z

答案第9頁，共14頁

1,

=]+1-(-3)

_9

-2

【點睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求代數(shù)式的值，理解非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.

22.(1)見解析

八、5+V175-V17

(2)租1=,m2=-^―

【分析】(1)由題意可得根的判別式A=b2-4ac20,即可得證

(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可得%1+%2=m一3，=-血；然后代入后+%2-

%1%2=7求出租的值即可.

【詳解】(1)解：□方程%2—(m—3)x—m=0

a=l,b=—(m—3),c=-m

□A=[—(m—3)]2—4x1x(—?n)

=m2—6m+9+4m

=m2—2m+9

=(zn-1)2+8>0,

□方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)解：由兩根關(guān)系得％1+x2=m-3,xrx2--m,

□+x2—X1%2=7，

2

□(%!+X2)—,%2=7,

即(zn—3)2—(—m)=7

即—5m+2=0

AZJZB5+7175-x<17

解得：

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識點,

熟練掌握一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

23.(1)詳見解析；(2)g

【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定即可求出答案.

(2)根據(jù)△ABMD4MCN可知空=器,，由AB與BM的長度即可求出DN的

答案第10頁，共14頁

長度.

【詳解】解：(1)?.?zB=ZC=Z.AMN=90°,

ZAMB+ZCMN=9O,

ZCMN+ZMNC=90°,

???ZAMB=ZMNC,

.-.△ABMDAMCN；

(2)由(1)可知：△ABMOAMCN,

.AB_BM

**CM-CN,

VAB=BC=6,BM=2,

???CM=4,

.6_2

4CN

4

CN=

3

【點睛】本題考查相似三角形的綜合，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的判定

與性質(zhì)，本題屬于中等題型.

24.(1)7米

⑵不能，理由見解析

【分析】(1)首先根據(jù)題意列出不等式組，可求得x的取值范圍，再根據(jù)各邊長度

間的關(guān)系可得出BC=AD=(30-3%)米，再利用矩形的面積計算公式及圍成花

圃的面積為63平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之并取其符合題意的

值，即可得出結(jié)論；

(2)首先根據(jù)圍成花圃的面積為78平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，再

由一元二次方程根的判別式，即可判定能否圍成面積為78平方米的花圃.

【詳解】(1)解：：48=萬米

???BC=AD=(30-3%)米，

(30—3x>0

??130-3x<10

20

A—<X<10,

3

根據(jù)題意得:%(30-3%)=63,

答案第11頁，共14頁

解得=7,x2=3(不符合題意，舍去)，

答：如果要圍成面積為63平方米的花圃，那么的長是7米；

(2)解：不能圍成面積為78平方米的花圃；

理由如下：

根據(jù)題意得：%(30-3%)=78,

整理得：%2—10x4-26=0,

???A=(-10)2-4xlx26=-4<0,

該方程沒有實數(shù)根，

故不能圍成面積為78平方米的花圃.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)

鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程，靈活運用一元二次方程根的判別式.

25.(1)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為25%

(2)該款吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達(dá)8400元

【分析】(1)設(shè)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為x,可列出

關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)該吉祥物售價為y元，則每件的銷售利潤為(y-35)元，利用月銷售利潤

=每件的銷售利潤x月銷售量，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意

的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：設(shè)該款吉祥物4