2024年高考數(shù)學模擬卷（新高考Ⅱ卷專用）（解析版）

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學模擬卷

(新高考n卷專用)

01

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

第I卷(選擇題)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.設集合A={M%+l)(x-4)<o},B=^x\lx+a<6^,AnB=1x|-l<x<3},貝!Ja=()

A.6B.4C.—4D.―6

【答案】D

【解析】A={X|-1<X<4},B=1|,

VAnB=1x|—l<x<31,=3,a=-6,

故選：D.

71

2.已知丁一=1一，則同=().

1+1111

A.J2B.變C.2D.1

2

【答案】C

719

【解析】由3=l,=l+i,得z=(l+i)2=2i,

則彳=—2i,所以同=2.

故選：c.

3.已知〃x)=sin]s-T(0eN)的圖象與直線y=”在區(qū)間[0,可上存在兩個交點，則當。最大時，曲線

y=的對稱軸為()

兀攵兀，?一兀％兀，?

A.x=-----1,kGZB.x=1,kGZ

244305

—571kli[~—itku,

C.x=1—,kGZD.x=—l,kGZ

24465

【答案】D

【解析】當xe[O,對時吟-梟,

要使得f(x)的圖象與直線>存在兩個交點，

71711ITCATT,口535

貝」7<兀6y—，解得，

232oo

又因為GGN,所以GE{L2,3,4,5},所以4ax=5,

此時曲線y=f(x)的對稱軸為5x-g=]+E,左eZ,

&Rzi=t兀kiL

解傳x=:+-—,左wZ,

65

故選：D

4.函數(shù)〃無)=17^―的圖像大致為()

Inh/x+l-x

【解析】設g（尤）=ln（V?W—目,

對任意xeR,,尤，+1>|x|>x,

所以，d+l-x>0,

所以g(x)的定義域為R，

1

=ln=-ln

J%?+1—x

所以函數(shù)g(%)=lnJV+i—x)為奇函數(shù).

令g(x)=In(A/X?+1一x)=0,

可得+1_%=1，即J九2+]=%+],

所以x+120,可得x2—l,

由JX2+1=x+]可得％2+]=(%+1)2,解得％=0,

2X+2-X

所以〃x)=的定義域為{尤|尤片0},

InyJx+l-x

2T+2XTx+2X

又==-〃x),

g(f)g")

所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，排除BD選項,

x)=ln共二是減函數(shù),

當x>0時，In+1-

則ln(&+l-x)<ln(，0+l-0)=Ini=0,2"+2r>0,

所以/(x)<0,排除A選項.

故選：C

5.如圖，正方形ABC。中，。石=2石C,P是線段跖上的動點，_aAP=xAB+yAD(x>0,y>0),則|+；的

c4+26

A.2近B.D.4

3

【答案】C

22

【解析】正方形ABCQ中，DE=2EC，貝UAO=AE+ED=AE+§CD=AE—,

_,___—一22

而AP=xAB+yAD,貝！JAP=xAB+y(AE~—AB)=(x--y)AB+yAE,

又點B,P,E共線，于是(x-gy)+y=l,BPx+j=l,而尤>0,y>0,

e”11/yl1、4xy、4cxy_4+2百

因此一+—=(%+5)x(z一+—)=一+—+上之一+2,

3xy3y3%3y3x3

巫口時取等號,

當且僅，弋即y=y/3x

2

所以當X二三詆立時,工+工取得最小值3立

2'片2xy3

故選：C

6.謝爾賓斯基（Sierpinski）三角形是一種分形，它的構造方法如下：取一個實心等邊三角形（如圖1）,沿

三邊中點的連線，將它分成四個小三角形，挖去中間小三角形（如圖2）,對剩下的三個小三角形繼續(xù)以上

操作（如圖3）,按照這樣的方法得到的三角形就是謝爾賓斯基三角形.如果圖1三角形的邊長為2,則圖4

3773

D.

64

【答案】D

【解析】第一種挖掉的三角形邊長為2x；=l,一昱

共1個，面積為lx

4-4

7

2

第二種挖掉的三角形邊長為共個,3G

lxg=g,3面積為3x----X

4216

第三種挖掉的三角形邊長為汨［,共9個,

29指

面積為9x旦

"Tx464

故被挖去的三角形面積之和是乎+筆+等二萼

故選：D

25

X—2dXH—,X<1

2

7.已知函數(shù)〃到=，滿足對于任意實數(shù)％N%,都有〃%）-〃々）＜0成立,則實數(shù)。的

^,x>l國-x2

X

取值范圍是（）

A.(1,2)B.[1,2)C.[1,1]D.1,1

【答案】D

【解析】依題意，對于任意實數(shù)為工馬，都有"百)一"無2)<。成立，

玉一%2

不妨設看<玉，則(檢)>。,/(西)>f(%)，

所以f(x)在R上單調遞減，

-->1

23

所以件a>0,解得iWaW工

252—(2

r-2a+->----

I21

故選：D

8.已知雙曲線[-1=1(">0b>0)右支上非頂點的一點A關于原點的對稱點為81為雙曲線的右焦點，若

ab

(TTJI1

AF±BF,設=且ce則該雙曲線的離心率的取值范圍為()

A.(1,A/2)B.(72,2)C.(也+8)D.(2,+8)

【答案】C

【解析】如圖所示，設雙曲線的左焦點為廣，連接AF',BF',

因為則四邊形AFB尸為矩形,

所以|明=|FF[=2c,

則|AF|=2csina,|BF|=2ccosa.

\AFr\-\AF\=2a.

/.2ccos?—2csina=2a.

即c(cosa-sina)=a,

11

即雙曲線離心率的取值范圍是（JI+8）,

故選：C.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知圓M：x2+y2-4y-5=0,則下列關于圓M的結論正確的是（）

A.點（3,1）在圓M內

B.圓M關于直線x+y-2=0對稱

C.圓M與圓O：/+,2=1相切

D.若直線/過點（1,0）,且被圓M截得的弦長為4后，則/的方程為3尤-4y+3=0

【答案】BC

【解析】圓加的方程為爐+（丫-2）2=9,即圓心為（0,2）,半徑為3,

對于A：因為3?+。-2）2=10>9,所以點（3,1）在圓加外，故選項A錯誤；

對于B：因為0+2-2=0,所以圓心在直線上，故選項B正確；

對于C：因為圓。、圓土的圓心距為J（0-21+0=2,兩圓的半徑差為3-1=2,

所以兩圓內切，故選項C正確；

對于D：當直線/的斜率不存在時，其方程為x=l,圓心（0,2）到直線/的距離為1,

直線被圓所截得的弦長為2出口=40，

kxO-2-A:l

當直線/的斜率存在時，設其方程為y=1）,圓心（0,2）到直線/的距離為?],1=1,

y11+k

3

解得上=-：，可得直線/的方程為力-分+3=0,綜上所述，直線/的方程為3x-4y+3=0或x=l,故選

項D錯誤.

故選：BC.

10.下列說法正確的是（）

A.若數(shù)據(jù)士,々，??，%的方差為1，則新數(shù)據(jù)玉+1，Z+1，…，龍陵+1的方差為1

B.已知隨機事件A和B互斥，且尸（AB）=0.8,P（B）=0.3,則P（K）等于0.5.

C.“。-1”是直線a2x-y+l=0與直線尤-◎-2=0互相垂直的充要條件

D.無論實數(shù)九取何值，直線（22一1）彳+（九+3）了一（九一11）=0恒過定點（2,-3）

【答案】ABD

【解析】對于A：若數(shù)據(jù)為,%,，%的方差為1,則新數(shù)據(jù)玉+1,%+1,…，和+1的穩(wěn)定程度沒有發(fā)生

改變，方差還是1,A正確；

對于B：隨機事件A和8互斥，且尸（A3）=0.8,P（B）=0.3,

貝尸（A）=尸（AU3）—尸（3）=0.8—0.3=0.5,

則尸（司=1-尸（A）=0.5,B正確；

對于C：若直線〃x-y+l=0與直線尤一0一2=?；ハ啻怪?，貝lj/+（-l）x（-a）=0,

解得a=0或a=—1,

故七二-1”是直線/%7+1=。與直線a"一2=0互相垂直的充分不必要條件，C錯誤；

對于D：直線（2"l）x+（X+3）y_（"n）=0

/、[x=2

即為（2fT"x+3y+ii=。，令Lf2x++；yy-l+=i0i=o,解得

即無論實數(shù)％取何值，直線（2"1戶+（/1+3萬-（/1-11）=0恒過定點（2,-3）,D正確.

故選：ABD.

11.如圖，在棱長為2的正方體A3C。-44GR中，M,N分別是棱4耳，AR的中點，點E在3。上,

點廠在8。上，且3E=CF,點P在線段CM上運動，下列說法正確的有（）

A.當點E是3。中點時，直線EF〃平面DCCQI；

B.直線與A到平面CM2V的距離是變；

2

C.存在點尸，使得48/2=90。；

D.面積的最小值是還

6

【答案】AC

【解析】對于A,由E是3D中點，BE=CF,得點尸是用C的中點，連接BC-顯然b也是BG的中點,

連接DQ,

于是EF〃cp,而EfV平面DCG2，DGu平面。CG2,所以直線班〃平面。CG2,A正確;

對于B,M,N分別是棱A片,AR的中點，則BQ//MN,平面CMV,跖Vu平面CACV,于是耳，//

平面CMN,

因此直線BQ到平面CMN的距離等于點2到平面CMN的距離h,

MN=^2,CM=CN=[CD；+DN=7（2^）2+l2=3,

Vc-MND、=-x（—xlxl）x2=—,SCMN=；x應x卜一（*）2=^~'VD「CMNh，

J乙J乙、乙乙D乙

由VJMNDI=YD「CMN，得〃=與叵^,B錯誤；

以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則4(1,0,2),。(2,2,0),4(2,0,2),〃(0,2,2),

對于C,設AiP=/-MC=《1,2,-2),貝I)+1,2f,—2r+2),PBX=(1-r,-2r,2r),PD}=(-?-1,2-2r,2。"e[0,1],

由N4PR=90。，得尸4=(lT)(—f—1)+(—2。(2-2。+2/2=9/—4f—1=0,解得/=生普，

由于f=2+ji?e[0,]],因此存在點尸，使得487口=90。，C正確；

對于D,由選項C得尸。+12,-2/+2)在的投影點為(0,2,-2f+2),

則P至I」DD、的距離d=7(/+l)2+(2-2r)2=卜Q-|)2+y,

△PDR面積為s=g2?d=1(f一/2+g(re[0,1]),所以當/=1時，s取得最小值為竽，D錯誤.

故選：AC

12.已知〃x)、g(x)都是定義在R上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，g(x)的圖像關于直線x=l對稱，則下列

說法中一定正確的是()

A."0)=0B,g(l)=0

C.y=g[f(x)]為奇函數(shù)D.y=/[g(x)]的圖像關于直線X=1對稱

【答案】AD

【解析】解：因為〃尤)是定義在R上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，所以"0)=0,故A正確；

因為g(x)是定義在R上的函數(shù)，且g(x)的圖像關于直線x=l對稱，所以g(l-x)=g(l+x),g。)不一定為

0,故B錯誤；C明顯錯誤；

因為g(lr)=g(l+尤)，所以y=/[g(x)]的圖像關于直線x=l對稱，故D正確.

故選：AD

第口卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知（3工-?，彳-：]的展開式中各項系數(shù)的和為4,則實數(shù)。的值為.

【答案】7

【解析】因為13X-￡|[X—的展開式中各項系數(shù)的和為4,

令％=1,可得(3—a)(—1)=4,解得&=7.

故答案為：7.

14.已知等差數(shù)列｛q,｝,也｝的前"項和分別為S.Z，且寧=藐百，則清=

【答案】217

47

S2〃5

【解析】等差數(shù)列也｝,也｝的前〃項和分別為S"Z，且流=了不，

11(%+%)

。6=2〃6=4+4=25n_2x11-517

/工—/+兒一］電+4)工1—4、11+3-47

2

17

故答案為：—

47

15.在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知c=4,C=60°,BD=—+DA,則ZMDB

2

的最大值為.

OQ

【答案】-u/-3.52

【解析】由題意,

DC3

BD=—+DA=-DC+CA

22

2

BD=BC+CD，所以消去BD得CD=-(CA+CB)

DA-DB=(DC+CA)-(DC+CB)=^CA-^CB^-^CB-^CA^=-^a2+b2)+^abcos600,

由COS60°="+”76,得/+/=必+1622",當且僅當a=6時等號成立，

2ab

0<4zZ?<16,

.h—6“八13,1,9688

??JM=-----(16+ab)H-----ctb=—cib-----W------

2550502525

QQ

故答案為：-

16.在棱長為2的正方體ABC。-44G〃中，點加是對角線AG上的點（點〃與A、Q不重合），則下列

.（請?zhí)顚懶蛱枺?/p>

①存在點使得平面平面BCQ；

②存在點使得DM//平面

③若AOM的面積為s,貝l]Se

IJ7

④若S、、邑分別是^DM在平面ABCR與平面BBGC的正投影的面積，則存在點M,使得H=邑.

【答案】①②④

①設平面\B.CD與對角線AG交于M,

由BXC1Be】,DC1BQ,

且4CU平面4與。0,CDu平面ABC。，且反CcCD=C,

所以平面A4CD,即36,平面A?！?，

所以存在點使得平面AOWL平面BG。，所以①正確;

②連接

由BD〃BR,BD.平面CBQi,耳鼻u平面C2Q,

所以BDH平面CBR,同理由//BO可得A.DII平面CB,D},

乂ADcBD=D,ADu平面A]DB,_06匚平面4。8,

所以平面A"?//平面C8Q,

設平面與AG交于點M,則DMu平面

所以DM〃平面。旦。|,所以②正確；

③連接AD,交A.D于點O,過O點作OM±AG,

在正方體ABCD-AgGR中，

由①BQ，平面A^CD,同理可證ADtL平面ABCXD,,

且OMu平面A5CQ,

所以ADJOM，所以OM為異面直線AD與AC,的公垂線,

根據(jù)4。加6,4^2,所以方77=亍，

即。“=如旭=君3=逅，

AC,2A/33

此時\DM的面積為s.DM=-xAiDxOM=-x2y/2x^-=^.

■AD"2233

所以③不正確；

④設點M在平面4月GA的正投影為，在平面的正投影為A/?

如圖，因為恒，平面4AGA，

則AG在平面A及GA內的射影為AG，

由MeAC1,則MeACi，

故在點M從AG的中點向著點A運動的過程中，

點Mx也從4G的中點向著點A運動.

由MMl1平面4片GR,則MMJ/AA,,

故當加為AQ中點時，正投影也為AG中點，

此時AQM在平面A瓦GR的正投影的面積=gx2xl=l,

因此，在點M從AG的中點向著點A運動的過程中，

A2Ml的面積即加從1減少到趨向于0,即SIe(0,1),

同理，在點M從AG的中點向著點A運動的過程中，

點”2也從BC「的中點向著點B運動，△AQM2的面積即邑從0開始增加,

當”與A重合時，正投影與8重合,

此時A｛DM在平面BBgC的正投影的面積Sz=S1cB=：x2夜x0=2,

所以$2e(0,2),

故在此過程中，必存在某個點M使得S,=S2，所以④正確，

故答案為：①②④.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

17.(10分)己知點(-2,1)是角a終邊上一點.

sin（兀-a）+cos（兀+a）

(2)若將角a終邊繞著坐標原點逆時針旋轉!?得到角B的終邊，求cos尸的值.

【答案】⑴-3

0、275+715

【解析】(1)因為點(-2,1)是角a終邊上一點,

,1V52后11

所以2=卮升、u9tancc=—=—

5-22

sin（兀-a）+cos（7i+a）sina-cosatan-1

sing-^-cos^-^cosa+sina1+tana

(2)將角。終邊繞著坐標原點逆時針旋轉g得到角夕的終邊,

故"=a+1,

所以cos￡=cos[a+q]=cosacos3—sinasinq=cosa=—^xL—@x3=-^^l

33525210

18.(12分)已知正項數(shù)列｛%｝的前〃項和S,,滿足：$“=］寸

(1)求數(shù)列｛見｝的通項公式；

(2)記2=翟-,設數(shù)列｛2｝的前幾項和為求證

16

【答案】(1)%=2〃-1

2

【解析】(1)當〃=1時，"

，解得?1=1.

當時，由S“J等］①，可得I-,②

①—②得：4a?=a；｝-+2an-2an_t,BP(a?+an_x)(a?-an_r-2)=0.

a?>0,

.??{%}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列,

二數(shù)列｛%｝的通項公式a“=l+(〃T)x2=2〃-l.

(2)由(1)可得⑤=(1+2；1加="2,

.51〃+11__

一"一〃2(〃+2)2一砧“2("+2刃’

44mL'高-^4

T.,1f,111111111)

乜=4+2++a=T守+*不+三一"+許一西？+刖一謔獷J，

1(111)155

一隊4(M+1)2(n+2)2J44-16,

19.(12分)如圖，在四棱柱ABC￡>-A4GR中，四棱錐R-ABC。是正四棱錐，AD^D.C.

(1)求AQ與平面BCQB,所成角的正弦值；

3

(2)若四棱柱ABCD-A4GR的體積為16,點E在棱A3上，且AE=《AB,求點G到平面人65的距離.

【答案】

c、12屈

-----

59

【解析】（1）因為四棱錐2-ABC。是正四棱錐，連接AC、B￡＞交于點。，則AC4BD,

連接20,則Z）。，平面ABCD,所以。4。民兩兩垂直.

如圖所示，以點。為坐標原點，。4。民。2所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系O-DZ,

設OA=Q(4>0),因為AD]_L_D]C,AD{=D{C0D}=a,

設8,與AC交于點尸，則尸為32的中點,

所以0(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),D(0,-a,0),Dx(0,0,a),

,吟f

nBC=0

所以3。二（一〃,一〃,0）,。。1="）1=（044）,設平面BCG用的一個法向量為。=（無y"）,則有，

,

n-CCl=0

/曰\-ax-ay=0

w]八'

[ay+az=v

取z=L得〃=(1,-1,1),

2

直線AG的一個方向向量為t=~AF=「J』)，

設AG與平面BCC.B.所成角為0,

t-n|(-2)xl+lx(-l)+lxl|J2

WBJ(-2)2+F+儼J12+(一[)2+]23

所以直線AG與平面BCG月所成角的正弦值為—.

3

（2）因為四棱柱245。。—4片￡￡）1的體積為丫=5鉆8。。1=（夜。）2〃=16,所以〃=2,

由（1）知,0（0,0,0）,A（2,0,0）,5（0,2,0）,C（—2,0,。）,。（0,—2,0）,“（0,0,2）,

AB=（—2,2,0）,BC=（—2,—2,0）,。。]=（0,2,2）,?！?（0,2,2）.

32

因為A￡=gA3,貝fjM=gA5,

所以AE=AE—=—AB—DDX=^——,——,—2^,

EC=EB+BC=-AB+BC=0]f

5I55J

-/-2zr=0

55

設平面A^c的一個法向量為a=（YV，z）,則有1,得《

m-EC=0--x'--y'=0

取z'=1,得機=（3,—7,1）,

——\m-CC\|3x0+(-7)x2+lx2|12J59

所以點C1到平面第E的距離為LJ=J_—?=”也.

Hj32+(-7>+F59

20.(12分)第19屆亞運會于9月23日至10月8日在杭州舉行，某學校為持續(xù)營造全民參與亞運、服務

亞運、奉獻亞運的濃厚氛圍舉辦“心心相融?愛答亞運”知識挑戰(zhàn)賽.挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，規(guī)則為挑戰(zhàn)

者和守擂者輪流答題，直至一方答不出或答錯，則另一方自動獲勝.若賽制要求挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和

挑戰(zhàn)者每次答對問題的概率都是0.5,且每次答題互不影響.

(1)若在不多于兩次答題就決出勝負，則挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少？

⑵在此次比賽中，挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少？

(3)現(xiàn)賽制改革，挑戰(zhàn)者需要按上述方式連續(xù)挑戰(zhàn)8位守擂者，每次挑戰(zhàn)之間相互獨立，當戰(zhàn)勝至少三分之

二以上的守擂者時，則稱該挑戰(zhàn)者勝利.若再增加1位守擂者時，試分析該挑戰(zhàn)者勝利的概率是否增加?并

說明理由.

【答案】⑴0.25

⑵！

3

(3)沒有增加，理由見解析

【解析】(1)設事件A為挑戰(zhàn)者獲勝，事件B為不多于兩次答題比賽結束.

P(A18)=0.5x0.5=0.25.

(2)設尸為先答題者獲勝的概率，貝IJ尸=0.5x(0.5+0.5尸)，解得P=；,

所以挑戰(zhàn)者獲勝的概率是:.

（3）設隨機變量X為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)8人時戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，片為此時挑戰(zhàn)者獲勝的概率;

y為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)9人時戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，鳥為此時挑戰(zhàn)者獲勝的概率.

^=P(X>6)=C：

6=P(XN7)=C；

顯然，￡＞巴，即該挑戰(zhàn)者勝利的概率沒有增加.

22

21.（12分）已知橢圓M：亍+a=1（。＞6＞0）,點片（-1,0）、。（一2,0）分別是橢圓M的左焦點、左頂點,

過點片的直線/（不與x軸重合）交橢圓M于A,8兩點.

（1）求橢圓M的標準方程；

（2）若4僅,⑹，求二AO3的面積;

（3）是否存在直線/,使得點B在以線段AC為直徑的圓上，若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明

理由.

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【答案】（1）乙+工=1

43

⑵半

（3）不存在，理由見詳解

【解析】（1）由左焦點片（T，。）、左頂點C（一2,0）可知：c=l,a=2,貝Ij62=〃-c2=3,

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