遼寧省遼東十一所重點高中聯(lián)合教研體2024屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試（一）數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前遼東十一所重點高中聯(lián)合教研體2024屆高考適應(yīng)性考試（一）數(shù)學(xué)本試卷共19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號?考場號?座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個進(jìn)項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A.B.C.D.3.已知，若是第二象限角，則（）A.B.C.D.4.如圖，為圓錐底面圓的一條直徑，點為線段的中點，現(xiàn)沿將圓錐的側(cè)面展開，所得的平面圖形中為直角三角形，若，則圓錐的表面積為（）A.B.C.D.5.設(shè)實數(shù)滿足，且，雙曲線的漸近線分別是和，且都經(jīng)過原點，則雙曲線的離心率的比值（）A.B.C.1D.26.若過點可作函數(shù)圖象的兩條切線，則必有（）A.B.C.D.7.設(shè)則（）A.B.C.D.8.在正方體中，分別為線段的中點，為四棱錐的外接球的球心，點分別是直線上的動點，記直線與所成角為，則當(dāng)最小時，（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得2分，選錯得0分.9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為圓心的圓與軸正半軸交于點.已知點在圓上，點的坐標(biāo)是，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.，則D.若，則10.已知隨機(jī)變量的分布列（如下表），則下列說法錯誤的是（）A.存在B.對任意C.對任意D.存在11.對平面直角坐標(biāo)系中的兩組點，如果存在一條直線使這兩組點分別位于該直線的兩側(cè)，則稱該直線為“分類直線”.對于一條分類直線，記所有的點到的距離的最小值為，約定：越大，分類直線的分類效果越好.某學(xué)校高三（2）班的7位同學(xué)在2020年期間網(wǎng)購文具的費用（單位：百元）和網(wǎng)購圖書的費用（單位：百元）的情況如圖所示，現(xiàn)將和為第I組點將和歸為第點.在上述約定下，可得這兩組點的分類效果最好的分類直線，記為.給出下列四個結(jié)論：①直線比直線的分類效果好；②分類直線的斜率為2；③該班另一位同學(xué)小明的網(wǎng)購文具與網(wǎng)購圖書的費用均為300元，則小明的這兩項網(wǎng)購花銷的費用所對應(yīng)的點與第II組點位于的同側(cè)；④如果從第I組點中去掉點，第II組點保持不變，則分類效果最好的分類直線不是.其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.①B.②C.③D.④三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間中的三個點，則點到直線的距離為__________.13.函數(shù)的值域為__________.14.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如：，則__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步楫.15.（13分）如圖，在平行六面體中，，點為中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.16.（15分）某校舉行知識競賽，規(guī)則如下：選手每兩人一組，同一組的兩人以搶答的方式答題，搶到并回答正確得1分，答錯則對方得1分，比賽進(jìn)行到一方比另一方多2分為止，且多得2分的一方勝出.現(xiàn)甲乙兩人分在同一組，兩人都參與每一次搶題，每次搶到的概率都為.若甲?乙正確回答每道題的概率分別為和，每道題回答是否正確相互獨立.（1）求第1題答完甲得1分的概率；（2）求第2題答完比賽結(jié)束的概率；（3）假設(shè)準(zhǔn)備的問題數(shù)足夠多，求甲最終勝出的概率.17.（15分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若，且，求證：.18.（17分）已知是焦距為的雙曲線上一點，過的一條直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，且，過作垂直的兩條直線和，與軸分別交于兩點，其中與軸交點的橫坐標(biāo)是.（1）證明：；（2）求的最大值，并求此時雙曲線的方程；（3）判斷以為直徑的圓是否過定點，如果是，求出所有定點；如果不是，說明理由19.（17分）對于數(shù)列，稱（其中）為數(shù)列的前項“波動均值”.若對任意的，都有，則稱數(shù)列為“趨穩(wěn)數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“趨穩(wěn)數(shù)列”，求的取值范圍；（2）已知等差數(shù)列的公差為，且，其前項和記為，試計算：；（3）若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比，求證：是“趨穩(wěn)數(shù)列”.遼東十一所重點高中聯(lián)合教研體2024屆高考適應(yīng)性考試（一）數(shù)學(xué)·參考答案一?單選題：1.B2.A3.B4.B5.C6.C7.B8.D二?多選題：9.AD10.ABD11.BCD三?填空題：13.14.398四?解答題：15.（1）6分：證明見詳解（2）7分：（幾何法?基地法也得分）（1）因為，所以，所以在的投影數(shù)量為，因為，所以，所以在的投影數(shù)量為，以為原點建立如圖所示的坐標(biāo)系，所以，所以，設(shè)面的法向量為，所以，令，所以，因為不在面內(nèi)，所以平面；（2），所以，設(shè)面的法向量，因為，所以，令，則，設(shè)面的法向量，因為，所以，令，所以，所以，所以二面角的正弦值為.16.（1）4分：（2）5分：（3）6分：（不設(shè)事件扣3分）（1）記“答完1題甲得1分”為事件，則，第1題答完甲得1分的概率為.（2）第2題答完比賽結(jié)束，甲得了2分，或乙得了2分.記“答完1題乙得1分為事件，”則.記“第2題答完比賽結(jié)束”為事件.（3）記甲最終勝出的概率為.答完2題，有四種情況：甲得2分，乙得2分，甲先得1分乙后得1分，乙先得1分甲后得1分，其中甲乙各得1分，與初始狀態(tài)（即比賽前）的情況相同，從而，即，解得，即甲最終勝出的概率為.17.（1）3分：（2）12分：證明見解析（1）由可得，所以在處的切線斜率，且，故所求切線方程為.（2）設(shè)在處的切線斜率為，由（1）得，且，故在處的切線方程為，設(shè)，則.設(shè)，則.因為，所以，僅在時取等號，故在上單調(diào)遞增.列表如下.單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，即.令，其中，且，則有，累加得，即取，即得，當(dāng)時，顯然滿足題意，綜上可得.18.（1）4分：證明見解析（2）7分：面積最大值為，此時雙曲線方程為.（3）6分：過定點，定點為和.（1）因為，所以，即，雙曲線的漸近線方程為位于兩條漸近線上，若，則，若，則，①，又點雙曲線上，，解得：，故，；（2）當(dāng)時，，l與軸的交點為，若，則，若，則，，由（1）可得：同號，于是，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，故面積最大值為，此時，雙曲線方程為；當(dāng)時，易得，，，由①式可得：，且點在雙曲線上，，，，當(dāng)時，同樣當(dāng)且僅當(dāng)時，，雙曲線方