導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)知識點(diǎn)總結(jié)

導(dǎo)數(shù)概念與運(yùn)算知識清單1．導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。如果當(dāng)時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并把這個極限叫做f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，記作f’（x）或y’|。即f（x）==。說明：（1）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點(diǎn)x處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。（2）是自變量x在x處的改變量，時，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的步驟（可由學(xué)生來歸納）：（1）求函數(shù)的增量=f（x+）－f（x）；（2）求平均變化率=；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)f’(x)=。2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x，f（x））處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x，f（x））處的切線的斜率是f’（x）。相應(yīng)地，切線方程為y－y=f/（x）（x－x）。3．幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù):①②③;④;⑤⑥;⑦;⑧.4．兩個函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即：(法則2：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：若C為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：法則3：兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：‘=（v0）。形如y=f的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解——求導(dǎo)——回代。法則：y＇|=y＇|·u＇|導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1.單調(diào)性單調(diào)區(qū)間：一般地，設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)；2．極點(diǎn)與極值：曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；3．最值：一般地，在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f在[a，b]上必有最大值與最小值。①求函數(shù)?在(a，b)內(nèi)的極值；②求函數(shù)?在區(qū)間端點(diǎn)的值?(a)、?(b)；③將函數(shù)?的各極值與?(a)、?(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。課前預(yù)習(xí)1．求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)（1）（2）（3）（4）y=（5）y＝2．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（）A．B．C．D．3．過點(diǎn)（－1，0）作拋物線的切線，則其中一條切線為（）（A）（B）（C）（D）4．半徑為r的圓的面積S(r)＝r2,周長C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(r2)`＝2req\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,1)式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于eq\o\ac(○,1)的式子：；eq\o\ac(○,2)式可以用語言敘述為：。5．曲線和在它們交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是。6．對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x－1）0，則必有（）A．f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）2f（1）C．f（0）＋f（2）2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）7．函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A．1個B．2個C．3個D．4個8．已知函數(shù)。（Ⅰ）設(shè)，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若對任意恒有，求的取值范圍。9．在區(qū)間上的最大值是（）(A)－2(B)0(C)2(D)410．設(shè)函數(shù)f(x)=（Ⅰ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）討論f(x)的極值。12．請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？14．（1）一物體按規(guī)律x＝bt3作直線運(yùn)動，式中x為時間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方．試求物體由x＝0運(yùn)動到x＝a時，阻力所作的功。（2）拋物線y=ax2＋bx在第一象限內(nèi)與直線x＋y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達(dá)到最大值的a、b值，并求Smax．典型例題一導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算EG：如果質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律s=2t3運(yùn)動，則在t=3s時的瞬時速度為（）A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s變式：定義在D上的函數(shù)，如果滿足：，常數(shù)，都有≤M成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界.【文】（1）若已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為，要使在上的每一時刻的瞬時速度是以M=1為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【理】（2）若已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為，要使在上的每一時刻的瞬時速度是以M=1為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.EG：已知的值是（） A.B.2C.D.－2變式1：（） A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1變式2： （） A． B． C． D．根據(jù)所給的函數(shù)圖像比較變式：函數(shù)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（）A.yB.C.D.O1234xEG：求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：。變式：設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x＜0時,＞0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x)＜0的解集是 A．(－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞,－3)∪(3,+∞) D．(－∞,－3)∪(0,3)EG：已知函數(shù).(1)求這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）求這個函數(shù)在點(diǎn)處的切線的方程.變式1：已知函數(shù).（1）求這個函數(shù)在點(diǎn)處的切線的方程；（2）過原點(diǎn)作曲線y＝ex的切線，求切線的方程.變式2：函數(shù)y＝ax2＋1的圖象與直線y＝x相切，則a＝()A.B.C.D.1EG：判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間：變式1：函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是A.B.C.D.變式2：已知函數(shù)(1)若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（-3，1），則的是.(2)若函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是.變式3：設(shè)，點(diǎn)P（，0）是函數(shù)的圖象的一個公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線.（Ⅰ）用表示a，b，c；（Ⅱ）若函數(shù)在（－1，3）上單調(diào)遞減，求的取值范圍.EG：求函數(shù)的極值.求函數(shù)在上的最大值與最小值..變式1：函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A．1個B．2個C．3個D．4個變式2：已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，如圖所示.求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.變式3：若函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)極值，（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)有3個解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式4：已知函數(shù)，對x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范圍。EG：利用函數(shù)的單調(diào)性，證明：變式1：證明：，變式2：（理科）設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若關(guān)于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有兩個相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.EG：函數(shù)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍變式1:設(shè)函數(shù)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式2:如圖,曲線段OMB是函數(shù)的圖象,軸于點(diǎn)A,曲線段OMB上一點(diǎn)M處的切線PQ交x軸于點(diǎn)P,交線段AB于點(diǎn)Q，(1)若t已知,求切線PQ的方程(2)求的面積的最大值變式3:用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻折900角，再焊接而成，問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大的容積是多少？變式4:某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的總成本（萬元），已知產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，產(chǎn)量定為多少時總利潤最大？實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練1.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象可能為()2.已知曲線S:y=3x－x3及點(diǎn),則過點(diǎn)P可向S引切線的條數(shù)為()(A)0 (B)1 (C)2 (D)33.C設(shè)S上的切點(diǎn)求導(dǎo)數(shù)得斜率，過點(diǎn)P可求得:.4.函數(shù)在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（）.5.y=2x3－3x2+a的極大值為6，那么a等于()(A)6 (B)0(C)5 (D)16.函數(shù)f(x)＝x3－3x+1在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是()(A)1，－1 (B)3，-17 (C)1，－17(D)9，－197.設(shè)l1為曲線y1=sinx在點(diǎn)(0，0)處的切線，l2為曲線y2=cosx在點(diǎn)(,0)處的切線，則l1與l2的夾角為___________.8.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx－1，若當(dāng)x=1時，有極值為1，則函數(shù)g(x)=x3+ax2+bx的單調(diào)遞減區(qū)間為.9．（07湖北）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則10．（07湖南）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是11．（07浙江）曲線在點(diǎn)處的切線方程是9．.已知函數(shù)（Ⅰ）若函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)處的切線的斜率小于1，求證：；（Ⅱ）若，函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)處的切線的斜率為，試討論的充要條件。12．(07安徽)設(shè)函數(shù)f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，將f(x)的最小值記為g(t).(Ⅰ)求g(t)的表達(dá)式；(Ⅱ)詩論g(t)在區(qū)間（-1,1）內(nèi)的單調(diào)性并求極值.實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練B1．（07福建）已知對任意實(shí)數(shù)，有，且時，，則時（）A． B．C． D．2．（07海南）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3．（07海南）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4．（07江蘇）已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，對于任意實(shí)數(shù)都有，則的最小值為（）A．B．C．D．5．（07江西）5．若，則下列命題中正確的是（）A． B． C． D．6．（07江西）若，則下列命題正確的是（）A． B． C． D．7．（07遼寧）已知與是定義在上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當(dāng)時的函數(shù)值為0，且，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是（）A．0是的極大值，也是的極大值B．0是的極小值，也是的極小值C．0是的極大值，但不是的極值D．0是的極小值，但不是的極值8．（07全國一）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（）A． B． C． D．9．（07全國二）已知曲線