2023年吉林省長(zhǎng)春市一模數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023長(zhǎng)春市中考第一次模擬考試5.某品牌凈水器的進(jìn)價(jià)為1600元，商店以2000元的價(jià)格出售.春節(jié)期間，商店為讓利于顧客，

計(jì)劃以利潤(rùn)率不低于20%的價(jià)格降價(jià)出售，則該凈水器最多可降價(jià)多少元？若設(shè)凈水器可降價(jià)

數(shù)學(xué)試題工元，則可列不等式為（）

A2000-1600-XR2000T600-x

一.選擇題（共8小題每題3分共24分）>20%<20%

.1600.1600

1.如圖是一個(gè)由5個(gè)相同的正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是（）

2000-1600-X2000-160O-X

r>20%n<20%

,2000.2000

6.如圖，在一塊長(zhǎng)為α,寬為2/2的長(zhǎng)方形鐵皮中，以2人為直徑分別剪掉兩個(gè)半圓，若α=4,h

=1時(shí)，則剩下的鐵皮的面積為（）（π取3）

C8

2.古代為便于紀(jì)元，乃在無(wú)窮延伸的時(shí)間中，取天地循環(huán)終始為一巡，稱為元，以元作為計(jì)算時(shí)

間的最大單位，1元=129600年，其中129600用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

7.在AABC中，NAC3=90°,用直尺和圓規(guī)在A8上確定點(diǎn)。，使AACDS∕?CBD,根據(jù)作圖

A.1.296×104B.12.96×104C.1.296×106D.1.296XlO5痕跡判斷，正確的是

3.拒絕“餐桌浪費(fèi)”，刻不容緩，據(jù)統(tǒng)計(jì)全國(guó)每年浪費(fèi)食物總量約59000000O（X）千克，這個(gè)數(shù)據(jù)用()

科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.59X10"千克B.59X109千克

C.5.9X109千克D.5.9X10∣°千克

4.如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)P表示下列四個(gè)無(wú)理數(shù)中的一個(gè)，這個(gè)無(wú)理數(shù)是（）

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=2（χ>0）的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)

IIIH、X

-2-10123y=K（x>0）的圖象上，AB〃X軸，BDLr軸與反比例函數(shù)尸2的圖象交于點(diǎn)C,與X軸交

XX

A.-√3B.-√2C.√2D.√5

于點(diǎn)O,若BC=2CD,則攵的值為（)

y知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,過點(diǎn)A作X軸的平行線.分別交兩條拋物線于點(diǎn)8、C（點(diǎn)8在點(diǎn)A左側(cè),

點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè)），則BC的值為.

三、解答題（共78分）

15.（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（α+2）（?-2）+a（1-?）,其中α=2023.

A.4B.5C.6D.716.（8分）某師范類高校計(jì)劃選派學(xué)生到山區(qū)進(jìn)行支教工作，甲、乙、丙、丁4名學(xué)生積極報(bào)名

參加，其中甲是共青團(tuán)員，其余3人均是共產(chǎn)黨員.學(xué)校決定用隨機(jī)抽取的方式確定人選.若

二、填空題（共6小題每題3分共18分）

從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名學(xué)生都是共產(chǎn)黨員

9.因式分解：a2-2ab=.

的概率.

10.若關(guān)于X的不等式ax>b的解集是XV2,則關(guān)于X的不等式Q-2b）x+心0的解集是.

17.（6分）小吉和小林進(jìn)行跳繩比賽.已知小吉每分鐘比小林多跳18個(gè)，小吉跳135個(gè)所用的時(shí)

5

間與小林跳120個(gè)所用的時(shí)間相等.求小林每分鐘跳繩的個(gè)數(shù).

11.明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，

七兩分之多四兩，九兩分之少半斤.”其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四18.（8分）如圖，在AACB和AECD中，NACB=∕ECD=90°,NCAB=NCED=30°,連接

兩，如果每人分九兩，則還差半斤（注：明代時(shí)1斤=16兩，故有“半斤八兩”這個(gè)成語(yǔ)）.這AE交BD點(diǎn)、M,將ACDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

個(gè)問題中共有兩銀子.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上，點(diǎn)。在8C上時(shí)，請(qǐng)直接寫出AE與3。之間的關(guān)系：

12.關(guān)于X的方程Λ2+2X+Z=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則后的值為.

（2）如圖2,將ACDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，請(qǐng)判斷坐的值及NAM8的度數(shù)，并

BD

13.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方

說(shuō)明理由；

形（如圖所示）.若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3,小正方形的面積為49,則大正方形的面積

（3）在（2）的條件下，將ACOE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AE,8。所在直線交于點(diǎn)M.若CE

為.

=√5,CB=y∕7,請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)"重合時(shí)AE的長(zhǎng).

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-工（3-3）2+〃?與），=2（.什2）2+〃的一個(gè)交點(diǎn)為4.己

2.3

19.（7分）如圖，在6X6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形邊長(zhǎng)均為1

線段48的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

（1）父親的速度為米/秒，兒子的速度為米/秒：

（1）在圖中畫出等腰直角AABC,使N84C=90°,則AABC面積為,

（2）當(dāng)200WfW300時(shí)，求兒子在競(jìng)走過程中y與X之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）在圖中找一點(diǎn)O,并連接A。、BD,使aABO的面積為迫.（要求：只用無(wú)刻度的直尺,

4

保留作圖痕跡，不寫作法）

B

W

20.（8分）某校初一年級(jí)有600名男生，為增強(qiáng)體質(zhì)，擬在初一男生中開展引體向上達(dá)標(biāo)測(cè)試活

動(dòng).為制定合格標(biāo)準(zhǔn)，開展如下調(diào)查統(tǒng)計(jì)活動(dòng).

（I）A調(diào)查組從初一體育社團(tuán)中隨機(jī)抽取20名男生進(jìn)行引體向上測(cè)試，B調(diào)查組從初一所有男生（1）如圖①，P為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PD,PC為邊作OPC。。.

中隨機(jī)抽取20名男生進(jìn)行引體向上測(cè)試，其中（填或“8”）調(diào)查組收集的測(cè)試

①請(qǐng)問四邊形PCQ。能否成為矩形？若能，求出AP的長(zhǎng)：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

成績(jī)數(shù)據(jù)能較好地反映該校初?男生引體向上的水平狀況；

（2）根據(jù)合理的調(diào)查方式收集到的測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)記錄如下：②填空：當(dāng)AP=時(shí)，四邊形PCQO為菱形；

成績(jī)/個(gè)23457131415③填空：當(dāng)AP=時(shí)，四邊形PCQD有四條對(duì)稱軸.

（2）如圖②，若尸為AB上的一點(diǎn)，以PD,PC為邊作口PCQD,請(qǐng)問對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在

人數(shù)/人11185121

最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

這組測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)為個(gè)，中位數(shù)為個(gè);

（3）若以（2）中測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)作為該校初一男生引體向上的合格標(biāo)準(zhǔn)，請(qǐng)估計(jì)該校初一

有多少名男生不能達(dá)到合格標(biāo)準(zhǔn).

21.（8分）周末，父子二人在一段筆直的跑道上練習(xí)競(jìng)走，兩人分別從跑道兩端開始勻速往返練

習(xí).在同?直角坐標(biāo)系中，父子二人離同?端的距離s（米）與時(shí)間，（秒）的函數(shù)圖象如圖所

小.圖①圖②

23.(10分)如圖，RtZ?ABC中，ZΛCB=90°,AC=3,SC=4.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)，沿線段AB

以每秒5個(gè)單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接PC,作點(diǎn)A關(guān)于PC的對(duì)稱點(diǎn)。，連結(jié)CD、DP,

設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(秒).

(I)線段AB的長(zhǎng)是；

(2)連結(jié)BD,則線段BD的最小值是,最大值是

(3)當(dāng)點(diǎn)。落在AABC的內(nèi)部時(shí)，求，的取值范圍;

(4)當(dāng)直線PD與aABC的一邊垂直時(shí)，求出，的值.

24.(9分)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=*+αr與X軸交于點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)

P在拋物線上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)。、A重合時(shí)，連結(jié)OP、AP.

①直接寫出AOAP的面積隨m增大而增大時(shí)，”的取值范圍.

②當(dāng)NO∕?=90°時(shí)，求，”的值.

(3)點(diǎn)P關(guān)于直線X=-2m+?的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,當(dāng)m＜工時(shí)，連結(jié)PQ'以PQ為邊向下作正

3

方形PQMN,若拋物線與正方形PQMN有3個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出，”的值.

共有12種等可能的結(jié)果，其中被抽到的兩名學(xué)生都是共產(chǎn)黨員的結(jié)果有：（乙，丙），（乙，?。?

（丙，乙），（丙，丁），（丁，乙），（丁，丙），共6種，

數(shù)學(xué)參考答案

???被抽到的兩名學(xué)生都是共產(chǎn)黨員的概率為&=』.

一.選擇題（共8小題每題3分共24分）122

17.

1.C.2.D.3.D.4.C.5.A.6.A.7.C.8.C.

解：設(shè)小林每分鐘跳繩X個(gè)，則小吉每分鐘跳繩（x+18）個(gè)，

二、填空題（共6小題每題3分共18分）

根據(jù)題意列方程，得/_=▲鴕，

9.α(α-2b).10.x≤-5.11.46.12.1.13.289.14.10.x+18X

三、解答題（78分）即135x=120（x+18）,

15.解得尸144,

解：原式=J-4+α-J經(jīng)檢驗(yàn)X=144是原方程的解，

答：小林每分鐘跳繩144個(gè).

當(dāng)α=2023時(shí),18.

原式=2023-4解：（1）如圖1中，結(jié)論：AE=MBD.理由如下：

=2019.

16.

解：畫樹狀圖如下:圖1

???在AACB和AECO中，ZACB=ZECD=9Qo,ZCAB=ZCED=30o,

：?EC=&CD,AC=MBC,

甲,?AE=AC-EC=y∕3CBC-CD)=MBD.

乙丙

(2)結(jié)論：如圖2中，嶇=Jξ,NAM8=90°,

BD

ΛZAMB=90o，退二炳,

BD

理由是：設(shè)BD=x,則AE=y[^x,

RtZSECO中，NDEC=30°,NDCE=90°,RtAECD中,ZCED=30o,CE=√ξ,

??立=Ian30°=亞_,JCD=1,DE=2,BE=X-2,

CD3

中，

同理得：竺=tan300=YRtZXACBNCA8=30°,CB=√7,

CA3

:?AB=2CB=2救,

???—EC—-C—B

CDCA在RlZ?4M8中，由勾股定理得：AE1+BE1=AB2,

YNACB=NECo=90°,

(MX)2+(?-2)2=(2√7)2,

???ZACE=ZBCD,

X1-X-6=0,

：.4ACEsABCD,

(χ-3)(Λ+2)=0,

??迪=二=?,/EAC=NDBC,

BDCDXl=3，X2=-2,

在AAMB中，NAMB=I800-(NMA8+NA8M)=180°-(.ZCAB+ZABM+ZDBO=90°.ΛΛE=3√3;

②點(diǎn)E與點(diǎn)“重合時(shí)，如圖4,同理得：NAMB=90°,

(3)①點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖3,同理得：XNCEsXBCD,

D

/k圖4B

故答案為：6.5.

—=V3?設(shè)BO=x,則AE=Fx,20.

BD

解：（1）從初一所有男生中隨機(jī)抽取20名男生進(jìn)行引體向上測(cè)試，收集的測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)能較好

在RtZXAMB中，由勾股定理得：AE1+BE2=AB2,

地反映該校初一男生引體向上的水平狀況，

(√3x)2+(Λ-+2)2=(2√7)2

故答案為：B；

x1+x-6=0,

（2）這組測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)為：?（2×l+3×l+4×1÷5×8+7×5+13×l+14×2+15×l）=7

(x+3)(JV-2)=0,20

（個(gè)），

Xl=-3,X2=2,

中位數(shù)為：5（個(gè)），

ΛAE=2√3:

故答案為:7,5：

綜上所述，AE的長(zhǎng)為3√W或2√S.

（3）600xW=90（人），

19.20

答：校初一大約有90名男生不能達(dá)到合格標(biāo)準(zhǔn).

解：(1)如圖所示：

21.

△48C面積:五+/乂62+32+2=6.5；

解：（1）由圖形可知，父親的速度為2X20O=9（米/秒）,

（2）點(diǎn)。在直線/上即可，答案不唯一.1203

兒子的速度為四二2（米/秒）.

100

故答案為：lθ,2；

3

（2）當(dāng)200<∕W300時(shí)，設(shè)兒子在競(jìng)走過程中y與X之間的函數(shù)關(guān)系式為y=燈+〃,Y四邊形PC。。是平行四邊形，假設(shè)四邊形PC。。是矩形,

把（）和（）代入解析式得：［

200,200300,0200t+b=200,則NDPC=90°,

l300t+b=0

解得（t=-2,；.NAPD+NBPC=90°，

lb=600

在aAO『中，NA=90°,

.??當(dāng)200≤rW300時(shí)，設(shè)兒子在競(jìng)走過程中y與X之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-2/+600；

,NAPD+NAoP=90°,

（3）Y父親的速度為西米/秒，兒子的速度為2米/秒，

3：?ZADP=/BPC,

???10分鐘父子所走路程和為10X6OX（-lθ+2）=320。（米），

：

3'NA=N5,

父子二人第一次迎面相遇時(shí)，兩人所走路程之和為200米，/.AAPDsABCP,

父子二人第二次迎面相遇時(shí)，兩人所走路程之和為200X2+200=600（米），?辿=空

*eBPBC,

父子二人第三次迎面相遇時(shí)，兩人所走路程之和為400X2+200=1000（米），

?"AD=2tAB=5tBC=3,

父子二人第四次迎面相遇時(shí)，兩人所走路程之和為600X2+200=1400（米），

SAP=χf則8尸=5-斯

?2X

..百T

父子二人第〃次迎面相遇時(shí)，兩人所走路程之和為200Ui-1）×2+200=（400〃-200）米,

解得：內(nèi)=2,.￥2=3,

令400〃-200=3200,

，當(dāng)AP的長(zhǎng)為2或3時(shí)，四邊形PCQO是矩形;

解得〃=8.5,

②四邊形PC。。為菱形時(shí)，DP=CPf

???父子二人迎面相遇的次數(shù)為8,

VZA=ZB=90o,

故答案為:8.

2222

ΛAD+AP=βC+BPt

22.

即22+AP2=32+(5-AP)2,

解：（1）①四邊形PCQo能成為矩形，AP的長(zhǎng)為2或3,理由如下:

解得：AP=3,

故答案為：3；???BH=BC+CH=3+2=5,

③當(dāng)四邊形PCQ。為正方形時(shí)，有四條對(duì)稱軸，，當(dāng)PQ_LAB時(shí)，P。的長(zhǎng)最小,

???同時(shí)滿足①②的四邊形PCQD為正方形，此時(shí)，PQ=BH=5,

."P=3,，尸。的長(zhǎng)存在最小值，為5.

故答案為:3；

(2)存在，理由如下：

過Q作。斤_LBa交Be的延長(zhǎng)線于V,如圖②所示:

VZB=90o,

：.AB//QH,

.*.NAPQ=NHQP,

23.

???ZAPD+^DPQ=NPQC+/CQH,

解：(1)在RtZiACB中，AB=√AC2+BC2=√32+42=5,

???四邊形PCQD是平行四邊形，

故答案為：5：

:?PD"QC,PD=QC,

(2)如圖1,???點(diǎn)4與點(diǎn)。關(guān)于PC的對(duì)稱，

."DPQ=NCQP,

：./APD=NCQH,

在AAOP和4"CQ中，

'NA=NH

<ZAPD=ZHQC*

PD=QC

:AADP//XHCQ(AAS),圖1

?*.AC=CD=3

：.AD=CH=Iif

???點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑的半圓，

，當(dāng)B,C,。共線，BD最小,其最小值是4-3=1,

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)，。與4重合，此時(shí)8。的值最大，最大值是5；

故答案為：L5；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。落在AB上時(shí)，CPlAB.

過點(diǎn)P作PTlAC于點(diǎn)T.則CT=PT,

設(shè)CT=PT=Xf

?：PT〃CB、

：?AAPTs△ABC,

圖2

.PT=ATj

,

VZA=ZA,ZCPA=ZACB=9Qo,"BCAC^

..x—3-χ

JXAPCSRACB,**I~,

?AP=AC?L12

**ACAB^,7

.怛=3,■"-AP=VAT2+PT2=^(3-y)2+(-y-)2=y--

5^,

ΛAP=-i,?LAP_3

557

?=AP=9觀察圖象可知，滿足條件的，的值為：-1-<∕<X

525257

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)。落在BC上時(shí)，NACP=NPCB=45°.故答案為：-LVfV3；

257

(4)如圖4中，當(dāng)PO_L4C時(shí)，延長(zhǎng)OP交AC于點(diǎn)R.

B

如圖6中，當(dāng)PO_LA8時(shí)，過點(diǎn)C作C〃_LA8于點(diǎn)H.

則CJLAB,CR=CV=巫4=烏

55

：.AR=AC?CR=3-衛(wèi)?=3,

55

丁cosA=螞=理■,

ABAP

圖6

旦

.3=互?：NCPH=∕CPD=45°,

?.虧AP,

：.PH=CH=理,

.?.AP=1,5

此時(shí)Z=XCOsA=&!=旦，

5AC5

如圖