中考數(shù)學(xué)選擇填空壓軸題：幾何變換問題

PAGE中考數(shù)學(xué)選擇填空壓軸題：幾何變換問題例1．如圖，斜邊長12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使點(diǎn)B′落在原三角尺ABC的斜邊AB上，則三角尺向左平移的距離為______________．（結(jié)果保留根號(hào)）同類題型1.1把圖中的一個(gè)三角形先橫向平移x格，再縱向平移y格，就能與另一個(gè)三角形拼合成一個(gè)四邊形，那么x＋y（）A．是一個(gè)確定的值 B．有兩個(gè)不同的值 C．有三個(gè)不同的值 D．有三個(gè)以上不同的值同類題型1.2已知：如圖△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如將B點(diǎn)向右平移2個(gè)單位后再向上平移4個(gè)單位到達(dá)EQB\S\DO(1)點(diǎn)，若設(shè)△ABC的面積為EQS\S\DO(1)，EQ△AB\S\DO(1)C的面積為EQS\S\DO(2)，則EQS\S\DO(1)，EQS\S\DO(2)的大小關(guān)系為（）A．EQS\S\DO(1)＞S\S\DO(2) B．EQS\S\DO(1)＝S\S\DO(2) C．EQS\S\DO(1)＜S\S\DO(2) D．不能確定例2．如圖，P是等邊△ABC外一點(diǎn)，把BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：P′C＝2：3，則PB：P′A是（）A．EQ\R(,2)：1 B．2：1 C．EQ\R(,5)：2 D．EQ\R(,3)：1同類題型2.1如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD旋轉(zhuǎn)到△CAE，則下列結(jié)論：①D、A、E三點(diǎn)共線；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)同類題型2.2如圖，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與B，C重合），CN⊥DM，CN與AB交于點(diǎn)N，連接OM，ON，MN．下列五個(gè)結(jié)論：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④EQAN\S\UP6(2)＋CM\S\UP6(2)＝MN\S\UP6(2)；⑤若AB＝2，則EQS\S\DO(△OMN)的最小值是EQ\F(1,2)，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5同類題型2.3在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，0），B（0，4），將△BOA繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得△CDA，使點(diǎn)B在直線CD上，連接OD交AB于點(diǎn)M，直線CD的解析式為__________．同類題型2.4如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，將矩形ABCD繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF，點(diǎn)A落在矩形ABCD的邊CD上，連結(jié)CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，則tanα﹒tanβ＝___________．同類題型2.5如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，M是BC的中點(diǎn)，P是A′B′的中點(diǎn)，連接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，則線段PM的最大值是_____．同類題型2.6如圖1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF疊合在一起，邊BC與EF重合，BC＝EF＝12，點(diǎn)G為邊EF的中點(diǎn)，邊FD與AB相交于點(diǎn)H，如圖2，將三角板DEF繞點(diǎn)G按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到60°的過程中，BH的最大值是_________，點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的路徑長是_________．例3．如圖，折疊菱形紙片ABCD，使得AD的對(duì)應(yīng)邊EQA\S\DO(1)D\S\DO(1)過點(diǎn)C，EF為折痕，若∠B＝60°，當(dāng)EQA\S\DO(1)E⊥AB時(shí)，EQ\F(BE,AE)的值等于（）A．EQ\F(\R(,3),6) B．EQ\F(\R(,3)－1,6) C．EQ\F(\R(,3)＋1,8) D．EQ\F(\R(,3)－1,2)同類題型3.1如圖，正方形ABCD中，AD＝4，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，連接DF，交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點(diǎn)N，若點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，則△EMN的周長是_____________．同類題型3.2如圖，∠MON＝40°，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的定點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在OM，ON上移動(dòng)，當(dāng)△PAB周長最小時(shí)，則∠APB的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．100° D．140° 同類題型3.3如圖，矩形紙片ABCD中，G、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，將紙片折疊，使D點(diǎn)落在GF上，得到△HAE，再過H點(diǎn)折疊紙片，使B點(diǎn)落在直線AB上，折痕為PQ．連接AF、EF，已知HE＝HF，下列結(jié)論：①△MEH為等邊三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④EQ\F(AD,AB)＝\F(2\R(,3),5)，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④同類題型3.4△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折得到△AED．連CE，則線段CE的長等于_______．參考答案例1．如圖，斜邊長12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使點(diǎn)B′落在原三角尺ABC的斜邊AB上，則三角尺向左平移的距離為______________．（結(jié)果保留根號(hào)）解：如圖：連接B′B″，∵在Rt△ABC中，AB＝12，∠A＝30°，∴EQBC＝\F(1,2)AB＝6，EQAC＝6\R(,3)，∴B′C＝6，∴EQAB′＝AC－B′C＝6\R(,3)－6，∵B′C∥B″C″，B′C＝B″C″，∴四邊形B″C″CB′是矩形，∴B″B′∥BC，B″B′＝C″C，∴△AB″B′∽△ABC，∴EQ\F(AB′,AC)＝\F(B″B′,BC)，即：EQ\F(6\R(,3)－6,6\R(,3))＝\F(B″B′,6)，解得：EQB″B′＝6－2\R(,3)．∴EQC″C＝B″B′＝6－2\R(,3)．同類題型1.1把圖中的一個(gè)三角形先橫向平移x格，再縱向平移y格，就能與另一個(gè)三角形拼合成一個(gè)四邊形，那么x＋y（）A．是一個(gè)確定的值 B．有兩個(gè)不同的值C．有三個(gè)不同的值 D．有三個(gè)以上不同的值解：（1）當(dāng)兩斜邊重合的時(shí)候可組成一個(gè)矩形，此時(shí)x＝2，y＝3，x＋y＝5；（2）當(dāng)兩直角邊重合時(shí)有兩種情況，①短邊重合，此時(shí)x＝2，y＝3，x＋y＝5；②長邊重合，此時(shí)x＝2，y＝5，x＋y＝7．綜上可得：x＋y＝5或7．選B．同類題型1.2已知：如圖△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如將B點(diǎn)向右平移2個(gè)單位后再向上平移4個(gè)單位到達(dá)EQB\S\DO(1)點(diǎn)，若設(shè)△ABC的面積為EQS\S\DO(1)，EQ△AB\S\DO(1)C的面積為EQS\S\DO(2)，則EQS\S\DO(1)，EQS\S\DO(2)的大小關(guān)系為（）A．EQS\S\DO(1)＞S\S\DO(2) B．EQS\S\DO(1)＝S\S\DO(2) C．EQS\S\DO(1)＜S\S\DO(2) D．不能確定解：△ABC的面積為EQS\S\DO(1)＝\F(1,2)×4×4＝8，將B點(diǎn)平移后得到EQB\S\DO(1)點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1），所以EQ△AB\S\DO(1)C的面積為EQS\S\DO(2)＝\F(1,2)×4×4＝8，所以EQS\S\DO(1)＝S\S\DO(2)．選B．同類題型1.3同類題型1.4例2．如圖，P是等邊△ABC外一點(diǎn)，把BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：P′C＝2：3，則PB：P′A是（）A．EQ\R(,2)：1 B．2：1 C．EQ\R(,5)：2 D．EQ\R(,3)：1解：如圖，連接AP，∵BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝60°，又∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝60°，∴∠ABP＝∠CBP′，在△ABP和△CBP′中，∵EQ\B\lc\{(\a\al(BP＝BP′,∠ABP＝∠CBP′,AB＝BC))，∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP＝P′C，∵P′A：P′C＝2：3，∴EQAP＝\F(3,2)P′A，連接PP′，則△PBP′是等邊三角形，∴∠BP′P＝60°，PP′＝PB，∵∠AP′B＝150°，∴∠AP′P＝150°－60°＝90°，∴△APP′是直角三角形，設(shè)P′A＝x，則EQAP＝\F(3,2)x，根據(jù)勾股定理，EQPP′＝\R(,AP\S\UP6(2)－P′A\S\UP6(2))＝\R(,\F(9,4)x\S\UP6(2)－x\S\UP6(2))＝\F(\R(,5),2)x，則EQPB＝\F(\R(,5),2)x，∴PB：EQP′A＝\F(\R(,5),2)x：EQx＝\R(,5)：2．選C．同類題型2.1如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD旋轉(zhuǎn)到△CAE，則下列結(jié)論：①D、A、E三點(diǎn)共線；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：①設(shè)∠1＝x度，則∠2＝（60－x）度，∠DBC＝（x＋60）度，故∠4＝（x＋60）度，∴∠2＋∠3＋∠4＝60－x＋60＋x＋60＝180度，∴D、A、E三點(diǎn)共線；②∵△BCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE為等邊三角形，∴∠E＝60°，∴∠BDC＝∠E＝60°，∴∠CDA＝120°－60°＝60°，∴DC平分∠BDA；③∵∠BAC＝60°，∠E＝60°，∴∠E＝∠BAC．④由旋轉(zhuǎn)可知AE＝BD，又∵∠DAE＝180°，∴DE＝AE＋AD．∵△CDE為等邊三角形，∴DC＝DB＋BA．同類題型2.2如圖，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與B，C重合），CN⊥DM，CN與AB交于點(diǎn)N，連接OM，ON，MN．下列五個(gè)結(jié)論：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④EQAN\S\UP6(2)＋CM\S\UP6(2)＝MN\S\UP6(2)；⑤若AB＝2，則EQS\S\DO(△OMN)的最小值是EQ\F(1,2)，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，∴∠BCN＋∠DCN＝90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM＋∠DCN＝90°，∴∠BCN＝∠CDM，又∵∠CBN＝∠DCM＝90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正確；根據(jù)△CNB≌△DMC，可得CM＝BN，又∵∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，∴∠DOC＋∠COM＝∠COB＋∠BPN，即∠DOM＝∠CON，又∵DO＝CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正確；∵∠BON＋∠BOM＝∠COM＋∠BOM＝90°，∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正確；∵AB＝BC，CM＝BN，∴BM＝AN，又∵Rt△BMN中，EQBM\S\UP6(2)＋BN\S\UP6(2)＝MN\S\UP6(2)，∴EQAN\S\UP6(2)＋CM\S\UP6(2)＝MN\S\UP6(2)，故④正確；∵△OCM≌△OBN，∴四邊形BMON的面積＝△BOC的面積＝1，即四邊形BMON的面積是定值1，∴當(dāng)△MNB的面積最大時(shí)，△MNO的面積最小，設(shè)BN＝x＝CM，則BM＝2－x，∴△MNB的面積EQ＝\F(1,2)x（2－x）＝－\F(1,2)x\S\UP6(2)＋x，∴當(dāng)x＝1時(shí)，△MNB的面積有最大值EQ\F(1,2)，此時(shí)EQS\S\DO(△OMN)的最小值是EQ1-\F(1,2)=\F(1,2)，故⑤正確；綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是5個(gè)，選D．同類題型2.3在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，0），B（0，4），將△BOA繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得△CDA，使點(diǎn)B在直線CD上，連接OD交AB于點(diǎn)M，直線CD的解析式為__________．解：∵△BOA繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得△CDA，∴△BOA≌△CDA，∴AB＝AC，OA＝AD，∵B、D、C共線，AD⊥BC，∴BD＝CD＝OB，∵OA＝AD，BO＝CD＝BD，∴OD⊥AB，設(shè)直線AB解析式為y＝kx＋b，把A與B坐標(biāo)代入得：EQ\B\lc\{(\a\al(3k＋b＝0,b＝4))，解得：EQ\B\lc\{(\a\al(k＝－\F(4,3),b＝4))，∴直線AB解析式為EQy＝－\F(4,3)x＋4，∴直線OD解析式為EQy＝\F(3,4)x，聯(lián)立得：EQ\B\lc\{(\a\al(y＝－\F(4,3)x＋4,y＝\F(3,4)x))，解得：EQ\B\lc\{(\a\al(x＝\F(48,25),y＝\F(36,25)))，即EQM（\F(48,25)，EQ\F(36,25)），∵M(jìn)為線段OD的中點(diǎn)，∴EQD（\F(96,25)，EQ\F(72,25)），設(shè)直線CD解析式為y＝mx＋n，把B與D坐標(biāo)代入得：EQ\B\lc\{(\a\al(\F(96,25)m＋n＝\F(72,25),n＝4))，解得：EQm＝－\F(7,24)，n＝4，則直線CD解析式為EQy＝－\F(7,24)x＋4．同類題型2.4如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，將矩形ABCD繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF，點(diǎn)A落在矩形ABCD的邊CD上，連結(jié)CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，則tanα﹒tanβ＝___________．解：過C點(diǎn)作MN⊥BF，交BG于M，交EF于N，由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，∠ABG＝∠CBE，BA＝BG＝5，BC＝BE＝3，由勾股定理得，EQCG＝\R(,BG\S\UP6(2)＋DG\S\UP6(2))＝4，∴DG＝DC－CG＝1，則EQAG＝\R(,AD\S\UP6(2)＋DG\S\UP6(2))＝\R(,10)，∵EQ\F(BA,BC)＝\F(BG,BE)，∠ABG＝∠CBE，∴△ABG∽△CBE，∴EQ\F(CE,AG)＝\F(BC,AB)＝\F(3,5)，解得，EQCE＝\F(3\R(,10),5)，∵∠MBC＝∠CBG，∠BMC＝∠BCG＝90°，∴△BCM∽△BGC，∴EQ\F(CM,CG)＝\F(BC,BG)，即EQ\F(CM,4)＝\F(3,5)，∴EQCM＝\F(12,5)，∴MN＝BE＝3，∴EQCN＝3－\F(12,5)＝\F(3,5)，∴EQEN＝\R(,CE\S\UP6(2)－CN\S\UP6(2))＝\F(9,5)，∴EQFN＝EF－EN＝5－\F(9,5)＝\F(16,5)，∴EQtanα﹒tanβ＝\F(CN,EN)﹒\F(CN,FN)＝\F(\F(3,5),\F(9,5))×\F(\F(3,5),\F(16,5))＝\F(1,16)．同類題型2.5如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，M是BC的中點(diǎn)，P是A′B′的中點(diǎn)，連接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，則線段PM的最大值是_____．解：如圖連接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴EQPC＝\F(1,2)A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC＋CM，即PM≤3，∴PM的最大值為3（此時(shí)P、C、M共線）．同類題型2.6如圖1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF疊合在一起，邊BC與EF重合，BC＝EF＝12，點(diǎn)G為邊EF的中點(diǎn)，邊FD與AB相交于點(diǎn)H，如圖2，將三角板DEF繞點(diǎn)G按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到60°的過程中，BH的最大值是_________，點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的路徑長是_________．解：如圖1中，作HM⊥BC于M，設(shè)HM＝a，則CM＝HM＝a．在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝12，在Rt△BHM中，BH＝2HM＝2a，EQBM＝\R(,3)a，∵BM＋FM＝BC，∴EQ\R(,3)a＋a＝12，∴EQa＝6\R(,3)－6，∴EQBH＝2a＝12\R(,3)－12．如圖2中，當(dāng)DG⊥AB時(shí)，易證EQGH\S\DO(1)⊥DF，此時(shí)EQBH\S\DO(1)的值最小，易知EQBH\S\DO(1)＝BK＋KH\S\DO(1)＝3\R(,3)＋3，∴EQHH\S\DO(1)＝BH－BH\S\DO(1)＝9\R(,3)－15，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時(shí)，F(xiàn)與EQH\S\DO(2)重合，此時(shí)BH的值最大，易知最大值EQBH\S\DO(2)＝6\R(,3)，觀察圖象可知，在∠CGF從0°到60°的變化過程中，點(diǎn)H相應(yīng)移動(dòng)的路徑長EQ＝2HH\S\DO(1)＋HH\S\DO(2)＝18\R(,3)－30＋[6\R(,3)－（12\R(,3)－12）]＝12\R(,3)－18．例3．如圖，折疊菱形紙片ABCD，使得AD的對(duì)應(yīng)邊EQA\S\DO(1)D\S\DO(1)過點(diǎn)C，EF為折痕，若∠B＝60°，當(dāng)EQA\S\DO(1)E⊥AB時(shí)，EQ\F(BE,AE)的值等于（）A．EQ\F(\R(,3),6) B．EQ\F(\R(,3)－1,6) C．EQ\F(\R(,3)＋1,8) D．EQ\F(\R(,3)－1,2)解：如圖所示，延長AB，EQD\S\DO(1)A\S\DO(1)交于點(diǎn)G，∵EQA\S\DO(1)E⊥AB，EQ∠EA\S\DO(1)C＝∠A＝120°，∴∠G＝120°－90°＝30°，又∵∠ABC＝60°，∴∠BCG＝60°－30°＝30°，∴∠G＝∠BCG＝30°，∴BC＝BG＝BA，設(shè)BE＝1，EQAE＝x＝A\S\DO(1)E，則AB＝1＋x＝BC＝BG，EQA\S\DO(1)G＝2x，∴GE＝1＋x＋1＝x＋2，∵EQRt△A\S\DO(1)GE中，EQA\S\DO(1)E\S\UP6(2)＋GE\S\UP6(2)＝A\S\DO(1)G\S\UP6(2)，∴EQx\S\UP6(2)＋（x＋2）\S\UP6(2)＝（2x）\S\UP6(2)，解得EQx＝1＋\R(,3)，（負(fù)值已舍去）∴EQAE＝1＋\R(,3)，∴EQ\F(BE,AE)＝\F(1,1＋\R(,3))＝\F(\R(,3)－1,2)，選D．同類題型3.1如圖，正方形ABCD中，AD＝4，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，連接DF，交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點(diǎn)N，若點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，則△EMN的周長是_____________．解：解法一：如圖1，過E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，連接BE，∵DC∥AB，∴PQ⊥AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°，∴△PEC是等腰直角三角形，∴PE＝PC，設(shè)PC＝x，則PE＝x，PD＝4－x，EQ＝4－x，∴PD＝EQ，∵∠DPE＝∠EQF＝90°，∠PED＝∠EFQ，∴△DPE≌△EQF，∴DE＝EF，∵DE⊥EF，∴△DEF是等腰直角三角形，易證明△DEC≌△BEC，∴DE＝BE，∴EF＝BE，∵EQ⊥FB，∴EQFQ＝BQ＝\F(1,2)BF，∵AB＝4，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，∴BF＝2，∴FQ＝BQ＝PE＝1，∴EQCE＝\R(,2)，PD＝4－1＝3，Rt△DAF中，EQDF＝\R(,4\S\UP6(2)＋2\S\UP6(2))＝2\R(,5)，EQDE＝EF＝\R(,10)，如圖2，∵DC∥AB，∴△DGC∽△FGA，∴EQ\F(CG,AG)＝\F(DC,AF)＝\F(DG,FG)＝\F(4,2)＝2，∴CG＝2AG，DG＝2FG，∴EQFG＝\F(1,3)×2\R(,5)＝\F(2\R(,5),3)，∵EQAC＝\R(,4\S\UP6(2)＋4\S\UP6(2))＝4\R(,2)，∴EQCG＝\F(2,3)×4\R(,2)＝\F(8\R(,2),3)，∴EQEG＝\F(8\R(,2),3)－\R(,2)＝\F(5\R(,2),3)，連接GM、GN，交EF于H，∵∠GFE＝45°，∴△GHF是等腰直角三角形，∴EQGH＝FH＝\F(\F(2\R(,5),3),\R(,2))＝\F(\R(,10),3)，∴EQEH＝EF－FH＝\R(,10)－\F(\R(,10),3)＝\F(2\R(,10),3)，由折疊得：GM⊥EF，EQMH＝GH＝\F(\R(,10),3)，∴∠EHM＝∠DEF＝90°，∴DE∥HM，∴△DEN∽△MNH，∴EQ\F(DE,MH)＝\F(EN,NH)，∴EQ\F(\R(,10),\F(\R(,10),3))＝\F(EN,NH)＝3，∴EN＝3NH，∵EQEN＋NH═EH＝\F(2\R(,10),3)，∴EQEN＝\F(\R(,10),2)，∴EQNH＝EH－EN＝\F(2\R(,10),3)－\F(\R(,10),2)＝\F(\R(,10),6)，Rt△GNH中，EQGN＝\R(,GH\S\UP6(2)＋NH\S\UP6(2))＝\R(,(\F(\R(,10),3))\S\UP6(2)＋(\F(\R(,10),6))\S\UP6(2))＝\F(5\R(,2),6)，由折疊得：MN＝GN，EM＝EG，∴△EMN的周長EQ＝EN＋MN＋EM＝\F(\R(,10),2)＋\F(5\R(,2),6)＋\F(5\R(,2),3)＝\F(5\R(,2)＋\R(,10),2)；解法二：如圖3，過G作GK⊥AD于K，作GR⊥AB于R，∵AC平分∠DAB，∴GK＝GR，∴EQ\F(S\S\DO(△ADG),S\S\DO(△AGF))＝\F(\F(1,2)AD﹒KG,\F(1,2)AF﹒GR)＝\F(AD,AF)＝\F(4,2)＝2，∵EQ\F(S\S\DO(△ADG),S\S\DO(△AGF))＝\F(\F(1,2)DG﹒h,\F(1,2)GF﹒h)＝2，∴EQ\F(DG,GF)＝2，同理，EQ\F(S\S\DO(△DNF),S\S\DO(△MNF))＝\F(DF,FM)＝\F(DN,MN)＝3，其它解法同解法一，可得：∴△EMN的周長EQ＝EN＋MN＋EM＝\F(\R(,10),2)＋\F(5\R(,2),6)＋\F(5\R(,2),3)＝\F(5\R(,2)＋\R(,10),2)；解法三：如圖4，過E作EP⊥AP，EQ⊥AD，∵AC是對(duì)角線，∴EP＝EQ，易證△DQE和△FPE全等，∴DE＝EF，DQ＝FP，且AP＝EP，設(shè)EP＝x，則DQ＝4－x＝FP＝x－2，解得x＝3，所以PF＝1，∴EQAE＝\R(,3\S\UP6(2)＋3\S\UP6(2))＝3\R(,2)，∵DC∥AB，∴△DGC∽△FGA，∴同解法一得：EQCG＝\F(2,3)×4\R(,2)＝\F(8\R(,2),3)，∴EQEG＝\F(8\R(,2),3)－\R(,2)＝\F(5\R(,2),3)，EQAG＝\F(1,3)AC＝\F(4\R(,2),3)，過G作GH⊥AB，過M作MK⊥AB，過M作ML⊥AD，則易證△GHF≌△FKM全等，∴EQGH＝FK＝\F(4,3)，EQHF＝MK＝\F(2,3)，∵EQML＝AK＝AF＋FK＝2＋\F(4,3)＝\F(10,3)，EQDL＝AD－MK＝4－\F(2,3)＝\F(10,3)，即DL＝LM，∴∠LDM＝45°∴DM在正方形對(duì)角線DB上，過N作NI⊥AB，則NI＝IB，設(shè)NI＝y(tǒng)，∵NI∥EP∴EQ\F(NI,EP)＝\F(FI,FP)∴EQ\F(y,3)＝\F(2－y,1)，解得y＝1.5，所以FI＝2－y＝0.5，∴I為FP的中點(diǎn)，∴N是EF的中點(diǎn)，∴EQEN＝0.5EF＝\F(\R(,10),2)，∵△BIN是等腰直角三角形，且BI＝NI＝1.5，∴EQBN＝\F(3,2)\R(,2)，EQBK＝AB－AK＝4－\F(10,3)＝\F(2,3)，EQBM＝\F(2,3)\R(,2)，EQMN＝BN－BM＝\F(3,2)\R(,2)－\F(2,3)\R(,2)＝\F(5,6)\R(,2)，∴△EMN的周長EQ＝EN＋MN＋EM＝\F(\R(,10),2)＋\F(5\R(,2),6)＋\F(5\R(,2),3)＝\F(5\R(,2)＋\R(,10),2)．同類題型3.2如圖，∠MON＝40°，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的定點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在OM，ON上移動(dòng)，當(dāng)△PAB周長最小時(shí)，則∠APB的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．100° D．140°解：如圖所示：分別作點(diǎn)P關(guān)于OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)P′、P″，連接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于點(diǎn)A、B，連接PA、PB，此時(shí)△PAB周長的最小值等于P′P″．如圖所示：由軸對(duì)稱性質(zhì)可得，