第十五章壓桿穩(wěn)定

壓桿穩(wěn)定北京交通大學(xué)主要內(nèi)容和重點(diǎn):壓桿穩(wěn)定與臨界壓力的概念歐拉公式及其適用范圍壓桿的穩(wěn)定計(jì)算工程背景壓桿工程背景工程背景工程實(shí)例穩(wěn)定性分析的重要意義

1983年10月4日，高54.2m、長(zhǎng)17.25m、總重565.4kN大型腳手架屈曲坍塌，5人死亡、7人受傷。

橫桿之間的距離太大2.2m>規(guī)定值1.7m;

地面未夯實(shí)，局部桿受力大；

與墻體連接點(diǎn)太少；

安全因數(shù)太低：1.11~1.75<規(guī)定值3.0。§15-1穩(wěn)定性概念Δ屈曲－

壓桿從直線平衡構(gòu)形到彎曲平衡構(gòu)形的轉(zhuǎn)變過程由于屈曲，壓桿產(chǎn)生的側(cè)向位移，稱為屈曲位移。FPFPFP壓桿的平衡構(gòu)形、平衡路徑及其分叉

FPΔOFPFP>FPcrFPcrF′PFP<FPcrΔFP分叉點(diǎn)(臨界點(diǎn))FPFPFP平衡路徑臨界壓力（臨界力）：保持壓桿直線形式平衡時(shí)，壓力的最大值壓桿的平衡構(gòu)形、平衡路徑及其分叉

FP

FP<FPcr:在擾動(dòng)作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動(dòng)除去后，能夠恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的。FPFP

判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則（staticalcriterionforelasticstability）

FPFP>FPcr:在擾動(dòng)作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動(dòng)除去后，不能恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的。FPFP1.兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力§15-2臨界載荷的歐拉公式x=0v=0B=0

x=lAsinkl=0

A=0舍sinkl=0

kl=nπ(n=0、1、2、3…)n=1歐拉公式兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力線彈性范圍內(nèi)穩(wěn)定分析采用變形后尺寸桿件總是首先沿著桿件抗彎剛度最小的方向首先失穩(wěn)失穩(wěn)時(shí)，彎曲撓曲線為半個(gè)正弦波注意：歐拉公式的適用范圍：兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力2.兩端非鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷

－歐拉公式的普遍表達(dá)式μ：長(zhǎng)度系數(shù)

μl：相當(dāng)長(zhǎng)度兩端鉸支：μ＝1一端固定一端自由：μ＝2兩端固定：μ＝0.5一端固定一端鉸支：μ＝0.7歐拉公式的普遍表達(dá)式

問題的提出能不能應(yīng)用歐拉公式計(jì)算四根壓桿的臨界載荷？四根壓桿是不是都會(huì)發(fā)生彈性屈曲？材料和直徑均相同歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗(yàn)公式§15-3中、小柔度桿的臨界應(yīng)力（1）臨界應(yīng)力：壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)橫截面上的平均應(yīng)力。—柔度（長(zhǎng)細(xì)比）—截面的慣性半徑（2）柔度：影響壓桿承載能力的綜合指標(biāo)—?dú)W拉公式歐拉公式的適用范圍

p—比例極限——?dú)W拉公式只適用于細(xì)長(zhǎng)桿歐拉公式的適用范圍:經(jīng)驗(yàn)公式直線公式：經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍：中柔度桿首先發(fā)生強(qiáng)度破壞小柔度桿臨界應(yīng)力總圖歐拉公式的適用范圍中長(zhǎng)桿：

cr＝

a-b

粗短桿：

cr＝s

細(xì)長(zhǎng)桿—發(fā)生彈性屈曲(

p)

中長(zhǎng)桿—發(fā)生彈塑性屈曲(

s<p)

粗短桿—不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服(<s)細(xì)長(zhǎng)桿：三類壓桿的臨界應(yīng)力公式

§15-4壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)壓桿穩(wěn)定條件－穩(wěn)定條件校核設(shè)計(jì)截面尺寸確定許用載荷穩(wěn)定校核步驟(1)根據(jù)壓桿的實(shí)際尺寸及支承情況,分別計(jì)算各自平面彎曲的柔度,得出最大柔度

max(3)比較

max和λP、λs，確定屬于哪一類壓桿,計(jì)算臨界應(yīng)力或臨界力(4)進(jìn)行安全校核(2)根據(jù)材料參數(shù)，計(jì)算λP、λs1）減小壓桿的長(zhǎng)度(在壓桿中間增加支撐)；2）增強(qiáng)桿端約束；3）增大截面形心主軸慣性矩,并且使各個(gè)方向參數(shù)（約束方式、截面結(jié)構(gòu)尺寸）；4）對(duì)于中長(zhǎng)桿和短粗桿時(shí),選用流動(dòng)限高的高強(qiáng)鋼和合金鋼;對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿,因各類鋼材的E基本相同,選用高強(qiáng)鋼和合金鋼對(duì)提高壓桿的承載能力意義不大,故應(yīng)選用低碳鋼.壓桿的合理設(shè)計(jì)例1圖示四種壓桿材料為A3鋼，E=200GPa，面積均為3.2×103mm2，試計(jì)算它們的臨界荷載。已知

s=235MPa，

cr=304－1.12，

p=100，

s=61.4b2bad0.7dd(1)、b=40mm＞P大柔度桿(2)、a=56.5mm(

s<p)中柔度桿3mP(

s<p)中柔度桿

cr2=304-1.12

2=304-1.12×92=200.9MPa(3)、d=63.8mm(

s<p)中柔度桿(4)、D=89.3mm,d=62.5mm(<s)短粗桿b2bad0.7dd3mP慣性半徑越大,柔度越小,承載能力越強(qiáng)。b2bad0.7dd3mP思考：兩根直徑均為d的壓桿，材料都是Q235鋼，但二者長(zhǎng)度和約束條件各不相同。試分析:哪一根壓桿的臨界載荷比較大？對(duì)于材料相同的壓桿，長(zhǎng)細(xì)比越大，臨界載荷越小。習(xí)題15-5；15-8；15-91）要抄題，畫原圖；2）用鉛筆、直尺作圖習(xí)題要求例題2：矩形截面桿如圖，A、B處銷釘連接。L=2.3mb=40mmh=60mmE=205GPaλ1=132求Pcr。解：若在正視圖內(nèi)失穩(wěn)μ＝1若在俯視圖內(nèi)失穩(wěn)μ＝0.5在正視圖失穩(wěn)例題3:圖示立柱長(zhǎng)L=6m,由兩根10號(hào)槽鋼組成,問：a多大時(shí)立柱的臨界荷載Pcr最高，并求其值。已知:材料E=200GPa，

P=200MPa。單個(gè)10號(hào)槽鋼的幾何性質(zhì):Iz0=198.3×104mm4,Iy0=25.6×104mm4,A=12.74×102mm2,z0=15.2mm,iz=39.5mm整個(gè)截面的慣性矩:

使立柱的臨界荷載最高，壓桿繞Z軸和Y繞軸應(yīng)有相等的穩(wěn)定性。即：zyy0az0P要確定臨界荷載先求：iz=39.5mm＞P大柔度桿例題4:圖示立柱長(zhǎng)L=6m,由兩根10號(hào)槽鋼組成,問：a多大時(shí)立柱的臨界荷載Pcr最高，并求其值。已知:材料E=200GPa，

P=200MPa。zyy0az0P例題5：圖示工字鋼直桿在溫度t1=20℃時(shí)安裝，此時(shí)桿不受力，已知桿長(zhǎng)l=6m，材料為Q235鋼，λP=132,E=200GPa。試問當(dāng)溫度升高到多少度時(shí)，桿將失穩(wěn)。（材料的線膨脹系數(shù)α=12.5×10-6/℃）FBFA解：細(xì)長(zhǎng)桿臨界壓力小結(jié)：每一個(gè)壓桿均有與之相應(yīng)的臨界應(yīng)力大柔度桿臨界應(yīng)力取決于壓桿的材料、柔度中柔度桿首先發(fā)生強(qiáng)度破壞小柔度桿例題5：已知桿AB的λ1＝100,λ2＝62，lAB=80cm,nst=2，,試校核AB桿。工作壓力解：PAB=159kN臨界壓力Pcr=σcrA=270kN不安全解：PAB=0.5PPAC=0.866P歐拉公式P≤139.2kN

P≤240.6kN例題6：桿AB、AC：d=80cm,λ1＝96，λ2＝60，,nst=5，E=210GPa，求[P]。解：1.穩(wěn)定校核：2.強(qiáng)度校核：A0=2×28.9×10-4－2×0.023×0.012=5.28×10-3m2穩(wěn)定計(jì)算用毛面積強(qiáng)度計(jì)算用凈面積安全例題7：已知壓桿為球鉸,由兩根等邊角鋼鉚成λ1＝100,λ2＝62,,l=2.4m，A=2×28.9cm2，鉚釘孔直徑為23mm，P＝800kNnst=1.48，[σ]=160MPa，試校核壓桿。如果兩根槽鋼只在兩端連接上述穩(wěn)定計(jì)算和強(qiáng)度計(jì)算會(huì)不會(huì)發(fā)生變化?例題8:圖示圓形截面桿AB，直徑D=80mm，支撐情況如圖，BC桿為正方形截面桿,邊長(zhǎng)a=70mm，兩桿變形互不影響,λ1＝100，L=3m，[n]st=2.5。求：[P]E=200GPa＞P大柔度桿P1.5LLABC圖示正方形桁架結(jié)構(gòu)，由五根圓截面鋼桿組成，連接處均為鉸鏈，各桿直徑均為d＝40mm，a＝1m。材料的λp=101，λs=60，E＝200GPa，經(jīng)驗(yàn)公式為，[n]st＝1.8。[σ]＝160MPa，試求結(jié)構(gòu)的許可載荷。

FDB=FP（拉）

對(duì)于AB等壓桿，需進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算：

穩(wěn)定計(jì)算要點(diǎn)提示:(1)根據(jù)壓桿的實(shí)際尺寸及支承情況,分別計(jì)算各自平面彎曲的柔度,得出最大柔度

max。(2)根據(jù)

max,選擇相應(yīng)的臨界應(yīng)力公式,計(jì)算臨界應(yīng)力或臨界力。(3)利用穩(wěn)定條件進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算。例題9:圖示結(jié)構(gòu)用低碳鋼A5制成,求:[P]。已知:E=205GPa,

s=275MPa,

cr=338-1.12

,

p=90,

s=50,n=2,nst=3;AB梁為N016工字鋼,BC桿為圓形截面d=60mm變形協(xié)調(diào)方程:PABC1m1m1mABCPNN(1)BC桿的穩(wěn)定:例題9:圖示結(jié)構(gòu)用低碳鋼A5制成,求:[P]。已知:E=205GPa,

s=275MPa,

cr=338-1.12

,

p=90,

s=50,n=2,nst=3;AB梁為N016工字鋼,BC桿為圓形截面d=60mm

cr=338-1.12

=338-1.12×66.6=258MPaABCPNN(1)BC桿的穩(wěn)定:(

s<p)中柔度桿0.312P0.376P+-ABCPNN(2)梁AB的強(qiáng)度:例題9:圖示結(jié)構(gòu)用低碳鋼A5制成,求:[P]。已知:E=205GPa,

s=275MPa,

cr=338-1.12

,

p=90,

s=50,n=2,nst=3;AB梁為N016工字鋼,BC桿為圓形截面d=60mmM本章總結(jié)壓桿穩(wěn)定相關(guān)概念：穩(wěn)定、直線平衡、彎曲平衡、屈曲、分叉FP<Fpcr:直線平衡構(gòu)形FP>Fpcr:彎曲平衡構(gòu)形

(在擾動(dòng)作用下)直線平衡構(gòu)形彎曲平衡構(gòu)形不同約束對(duì)臨界載荷的影響不同約束對(duì)臨界載荷的影響細(xì)長(zhǎng)桿：中長(zhǎng)桿：

cr＝

a-b

粗短桿：

cr＝s彈性屈曲