計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ) 第3版 課件 第2章回歸與回歸分析

第2章回歸與回歸分析第2章回歸與回歸分析掌握線性相關(guān)系數(shù)的意義及計(jì)算方法理解統(tǒng)計(jì)關(guān)系與確定性關(guān)系的意義理解總體線性回歸方程與總體回歸模型的意義理解隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的意義理解樣本回歸方程與總體回歸模型的意義LEARNINGTARGET學(xué)習(xí)目標(biāo)最早使用“回歸”一詞的是英國遺傳學(xué)家法蘭西斯·高爾頓（FrancisGalton），他在研究父母身高與子女身高的關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)子女身高有向平均身高“回歸”的趨向，這就是古典意義上的回歸?，F(xiàn)代意義的“回歸”已經(jīng)演變成建立回歸方程或模型研究一個(gè)隨機(jī)變量Y對另一個(gè)變量(X)或多個(gè)變量(X1，X2，…，Xk)的相互依存關(guān)系的統(tǒng)計(jì)分析方法。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，很多變量之間都存在著相互依存關(guān)系。2.1回歸的基本問題2.1回歸的基本問題【例2-1】邊際消費(fèi)傾向是凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心概念之一。通俗的講當(dāng)人們的收入增加時(shí)，消費(fèi)支出也會增加，但消費(fèi)支出增加的沒有收入增加的快，而消費(fèi)支出的增加值比收入的增加就是邊際消費(fèi)傾向。在這個(gè)理論中，描述了兩個(gè)經(jīng)濟(jì)變量--收入與消費(fèi)之間的關(guān)系，那么兩者之間存在怎樣的關(guān)系呢？我們搜集到2020年各地區(qū)居民人均可支配收入與人均消費(fèi)支出的數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)見教學(xué)資源data2-1，數(shù)據(jù)來源：中國統(tǒng)計(jì)年鑒2021），并繪制散點(diǎn)圖如下：

其中，X表示收入，Y表示消費(fèi)。從圖2-1可以看出，當(dāng)X增加時(shí)，Y也在增加，并且這些散點(diǎn)散布在某條直線附近。于是我們可以用一條直線“近似”表示收入(X)與消費(fèi)支出（Y）的關(guān)系：（2-1）而其中的斜率項(xiàng)系數(shù)，即消費(fèi)支出的增量比收入的增量，其含義是邊際消費(fèi)傾向?！纠?-2】新西蘭經(jīng)濟(jì)學(xué)家W·菲利普斯根據(jù)英國近100年貨幣工資變化的百分比（Y）與失業(yè)率（X）的經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)資料提出了一條用以表示失業(yè)率和貨幣工資變動(dòng)率之間交替關(guān)系的曲線（如圖2-2）。這條曲線表明：當(dāng)失業(yè)率較低時(shí)，貨幣工資增長率較高；反之，當(dāng)失業(yè)率較高時(shí)，貨幣工資增長率較低，甚至是負(fù)數(shù)。根據(jù)成本推動(dòng)的通貨膨脹理論，貨幣工資可以表示通貨膨脹率。因此，這條曲線就可以表示失業(yè)率與通貨膨脹率之間的交替關(guān)系。2.1回歸的基本問題由圖2-2，我們可以用一條雙曲線“近似”表示貨幣工資增長率（Y）與失業(yè)率（X）這兩個(gè)變量的規(guī)律性：（2-2）2.1回歸的基本問題【例2-3】經(jīng)濟(jì)理論告訴我們，影響經(jīng)濟(jì)增長的主要因素是消費(fèi)、投資和凈出口，如果用GDP作為經(jīng)濟(jì)總量的代表變量，則可以用以下方程“近似”地表示這些變量的關(guān)系：（2-3）其中Y—GDP，X1—消費(fèi)，X2—投資，X3—凈出口。通過以上例子可以看到，我們可以用一些我們熟知的曲線去“近似”的表示經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，再用這些曲線的特性來對經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系做分析，這就是現(xiàn)代意義的回歸分析。但是，要進(jìn)行回歸分析，首先要進(jìn)行相關(guān)分析。2.1回歸的基本問題2.2相關(guān)分析相關(guān)分析是研究現(xiàn)象（變量）之間是否存在某種依存關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的一種統(tǒng)計(jì)方法，主要研究變量之間相關(guān)關(guān)系的形式、方向和密切程度。1.統(tǒng)計(jì)關(guān)系與確定性關(guān)系在我們所觀察的經(jīng)濟(jì)變量中，存在著各種各樣的關(guān)系，從整體上劃分可以分為統(tǒng)計(jì)關(guān)系和確定性關(guān)系。確定性關(guān)系是指經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系可以用精確的公式表示，如：資產(chǎn)=負(fù)債+所有者權(quán)益、銷售額=銷售量×價(jià)格等等。但是這類關(guān)系在經(jīng)濟(jì)變量之間相對較少，大部分經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系是如前面所舉例的關(guān)系—統(tǒng)計(jì)關(guān)系。2.2相關(guān)分析經(jīng)濟(jì)變量大多都是隨機(jī)變量，例如消費(fèi)支出、失業(yè)率、凈出口等等，正是由于這種隨機(jī)性，導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)變量之間很難保持確定性的關(guān)系。但是，經(jīng)濟(jì)運(yùn)行存在的內(nèi)在規(guī)律性會使經(jīng)濟(jì)變量之間存在著某種“相關(guān)”，這些“相關(guān)”在實(shí)踐中被反復(fù)大量的觀察，并在某種程度上被證實(shí)，于是人們描述出這些“相關(guān)”意義，總結(jié)成相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)理論，這些“相關(guān)”就是我們所理解的經(jīng)濟(jì)意義上的統(tǒng)計(jì)關(guān)系—相關(guān)關(guān)系。兩個(gè)變量之間存在相關(guān)關(guān)系，還需要考慮兩個(gè)變量之間的邏輯關(guān)系—因果關(guān)系，即哪個(gè)變量依賴于哪個(gè)變量。例如消費(fèi)支出與收入之間的關(guān)系，一定是消費(fèi)支出依賴于收入，即收入是“自變量”，消費(fèi)支出是“因變量”；但是也有一些經(jīng)濟(jì)變量之間是互相依賴的，如某種商品的價(jià)格與供應(yīng)量之間的關(guān)系就是互相依賴的關(guān)系。判斷因果關(guān)系依據(jù)是相關(guān)的經(jīng)濟(jì)理論，在統(tǒng)計(jì)意義上是無法判斷的，所以在進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)一般不區(qū)分因果關(guān)系。相關(guān)分析就是研究統(tǒng)計(jì)關(guān)系的形式、方向和密切程度的統(tǒng)計(jì)方法。為了表達(dá)問題的方便，我們約定在本書中，用大寫字母表示變量，如Y、X、X1、…、Xk等等。（1）按相關(guān)的程度可分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)當(dāng)兩個(gè)變量之間的關(guān)系是確定性關(guān)系是，稱這兩種現(xiàn)象間的關(guān)系為完全相關(guān)；當(dāng)兩個(gè)變量之間彼此互不影響，其數(shù)量變化各自獨(dú)立時(shí)，稱為不相關(guān)；兩個(gè)變量之間的關(guān)系介于完全相關(guān)和不相關(guān)之間，稱為不完全相關(guān)，一般的相關(guān)關(guān)系就是指這種不完全相關(guān)。（2）按相關(guān)的方向可分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)量增加（或減少），另一個(gè)變量的數(shù)量也隨之增加（或減少）時(shí)，稱為正相關(guān)；反之，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)量增加（或減少），而另一個(gè)變量的數(shù)量向相反方向變動(dòng)時(shí)，稱為負(fù)相關(guān)。2.相關(guān)關(guān)系的種類（3）按相關(guān)的形式可分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)當(dāng)兩種相關(guān)變量之間的關(guān)系大致呈現(xiàn)為線性關(guān)系時(shí)，稱之為線性相關(guān)；如果兩種相關(guān)變量之間，并不表現(xiàn)為直線的關(guān)系，而是近似于某種曲線方程的關(guān)系，則這種相關(guān)關(guān)系稱為非線性相關(guān)。（4）按所研究的變量多少可分為簡單相關(guān)、復(fù)相關(guān)兩個(gè)變量之間的相關(guān)，稱為簡單相關(guān)；當(dāng)所研究的是一個(gè)變量對兩個(gè)或兩個(gè)以上其他變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，稱為復(fù)相關(guān)。簡單線性相關(guān)關(guān)系是最簡單也是最常見的相關(guān)形式，一般用簡單線性相關(guān)系數(shù)度量這種關(guān)系的密切程度。簡單線性相關(guān)系數(shù)簡稱相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient），如果是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，則稱為總體相關(guān)系數(shù)，通常記為，計(jì)算公式為：其中

變量X和Y的協(xié)方差變量X的方差變量Y的方差3.簡單線性相關(guān)關(guān)系的度量可以證明，的取值范圍為-1≤≤1；若為正，則表明兩變量為正相關(guān)；若為負(fù)，則表明兩變量為負(fù)相關(guān)；如果=1或–1，則表明兩個(gè)變量完全相關(guān)。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的相關(guān)系數(shù)稱為樣本相關(guān)系數(shù)，記為r。由于總體一般是不能全面觀測的，所以相關(guān)系數(shù)一般只能計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，計(jì)算公式為：（2-5）其中

變量X的平均數(shù)變量Y的平均數(shù)注意到式（2-5）中計(jì)算項(xiàng)都是離差，設(shè)，，則有：

（2-6）式（2-6）稱為r的離差形式。r與有相同的取值范圍與意義。但是，r是由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到的，其值會隨樣本的波動(dòng)而波動(dòng)，故r是統(tǒng)計(jì)量，我們可以用r檢驗(yàn)總體是否存在相關(guān)關(guān)系?？梢宰C明，在的條件下，關(guān)于r的統(tǒng)計(jì)量服從t分布：

（2-7）其中r—樣本相關(guān)系數(shù)n—樣本容量顯著性檢驗(yàn)的步驟如下：1）提出假設(shè)：，；2）由式（2-7）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；3）確定顯著性水平，根據(jù)給定的顯著性水平和自由度（n-2）查t分布表查構(gòu)造拒絕域；4）決策判斷：若，拒絕H0,表明總體的兩個(gè)變量之間存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系。2.3一元線性回歸分析回歸分析是指在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，將變量之間的變動(dòng)關(guān)系模型化，即尋找出一個(gè)能夠“近似”刻畫變量間變化關(guān)系的函數(shù)關(guān)系式，并據(jù)此“精確”的表達(dá)變量之間影響的結(jié)構(gòu)、方向和程度。通過回歸分析，可以將相關(guān)變量之間不確定、不規(guī)則的數(shù)量關(guān)系一般化、規(guī)范化，從而可以根據(jù)自變量的某一個(gè)給定值推斷出因變量的可能值（或估計(jì)值）?；貧w分析中最簡單、最基本的是一元線性回歸分析，即只考慮兩個(gè)變量之間的線性回歸。由于回歸分析要建立回歸方程，故要考慮兩個(gè)變量之間的因果關(guān)系。我們將數(shù)學(xué)意義上的自變量稱為“解釋變量”（比如X），因變量稱為“被解釋變量”或“響應(yīng)變量”（比如Y），我們要尋找的就是用X解釋Y的函數(shù)關(guān)系式。我們通過一個(gè)人為設(shè)定的例子來說明怎樣建立總體線性回歸方程與總體回歸模型?！纠?-4】假設(shè)一個(gè)總體中只有100個(gè)家庭。由于這個(gè)總體非常小，我們可以對這個(gè)總體中的所有數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)查。經(jīng)過調(diào)查，這100個(gè)家庭的月度收入和消費(fèi)支出數(shù)據(jù)如下：1.總體線性回歸方程與回歸模型收入X4000450050005500600065007000750080008500

消費(fèi)支出Y2656293131483428372239964288466146354915268729343173356437724169437946944857521426982951320235903802419244174917499955232698296532713612382042384453501552055693275429973301363638234262446450515526

282830483303365138284272458350565690

3141332036813829428547525104

315733313700385842924797

315733633708390543354839

3374372039214381

3426372339694400

3450372340114439

373240434453

378740434551

37994063

4067

4133

4231

Y的條件均值2720303133053670393643054552492851525336表2-1100個(gè)家庭收入與消費(fèi)支出數(shù)據(jù)單位：元根據(jù)這些數(shù)據(jù)，說明收入對消費(fèi)支出影響的規(guī)律性。解：由經(jīng)濟(jì)理論可知，收入是解釋變量，消費(fèi)支出是被解釋變量。從這些數(shù)據(jù)可以看出，雖然每一個(gè)收入水平對應(yīng)下的消費(fèi)支出是不相同的，但平均而言當(dāng)收入增加時(shí)，消費(fèi)支出也會增加。計(jì)算每一個(gè)收入水平對應(yīng)的平均消費(fèi)支出，由于這個(gè)平均值是在給定的收入條件下得到的，所以稱為條件均值，一般用符號表示，如，表示在收入水平為4000元的條件下，消費(fèi)支出是2720元。繪制X與Y的散點(diǎn)圖：圖2-3收入與消費(fèi)支出的散點(diǎn)圖由圖（2-3）可以看出，消費(fèi)支出的條件均值可以用一條直線來表示：（2-8）我們稱式（2-8）為總體線性回歸方程，因?yàn)樗且粋€(gè)一元一次方程，所以也稱為總體一元線性回歸方程。對于相同收入水平的家庭，消費(fèi)支出并不一定相同。每個(gè)家庭的具體消費(fèi)支出與其條件均值會有一個(gè)“偏差”，這個(gè)偏差記為，之所以加下標(biāo)是因?yàn)樵谕粋€(gè)收入水平下，這樣的偏差有多個(gè)。顯然有：（2-9）由式（2-8）和（2-9）可得：（2-10）我們稱式（2-10）為總體回歸模型，它是刻畫總體真實(shí)統(tǒng)計(jì)關(guān)系的模型。由【例2-1】的分析可知，斜率項(xiàng)系數(shù)表示邊際消費(fèi)傾向。由以上分析可知，收入對消費(fèi)支出的影響可以用一元線性方程近似地來刻畫。對于總體線性回歸方程和模型我們要做如下理解和說明：第一，總體線性回歸方程是被解釋變量（Y）的條件均值與解釋變量（X）真實(shí)關(guān)系的描述，總體回歸模型是兩者統(tǒng)計(jì)關(guān)系的描述；第二，要確定總體線性回歸方程，只需確定截距項(xiàng)系數(shù)和斜率項(xiàng)系數(shù)即可，而且這些系數(shù)往往表示特定的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義，如在消費(fèi)模型中斜率項(xiàng)系數(shù)表示邊際消費(fèi)傾向。由于在研究的同一個(gè)問題中，總體是唯一確定的，所以這些系數(shù)也是唯一確定的或者說是一種客觀存在，它們是統(tǒng)計(jì)意義上的參數(shù)，稱為總體回歸系數(shù)。第三，表示在同一X水平下每一個(gè)實(shí)際Y與其條件均值的離差，這樣的偏差是一種誤差，這種誤差的形成是由隨機(jī)原因造成的，故是隨機(jī)誤差，項(xiàng)也稱為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。第四，本例完全是一個(gè)假設(shè)的總體，在實(shí)際中這樣小的總體是不存在的。我們可以設(shè)想，當(dāng)我們觀察的總體足夠大時(shí)，在同一收入水平下的消費(fèi)支出數(shù)據(jù)是非常多的，它們在一個(gè)比較狹小的區(qū)域中“堆積”，會形成一個(gè)消費(fèi)支出（Y）的分布，我們相信消費(fèi)支出數(shù)據(jù)會在其均值附近集中，而偏差均值的數(shù)據(jù)是較少的。由于，所以根據(jù)Y的分布可以得到關(guān)于的分布，而且這兩個(gè)分布在形態(tài)上應(yīng)該是相同的。那么，這個(gè)分布的形態(tài)是怎樣的呢？我們用計(jì)算機(jī)隨機(jī)生成10000個(gè)收入水平為4000元的家庭消費(fèi)支出數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)以2720元為均值，繪制消費(fèi)支出和隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的直方圖?？梢悦黠@看到，這個(gè)分布的形態(tài)近似的是正態(tài)分布。a)消費(fèi)支出b)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)圖2-4由10000個(gè)模擬數(shù)據(jù)生成的分布圖在模型中引入隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的原因是復(fù)雜的，歸納起來有以下幾點(diǎn)：(1)隨機(jī)誤差項(xiàng)代表了模型中并未包括的變量的影響。例如，當(dāng)我們要研究居民的收入對消費(fèi)行為的影響，即用收入（解釋變量X）解釋消費(fèi)支出（被解釋變量Y）。但是從實(shí)際的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)來看，不僅僅是收入會影響消費(fèi)支出，如商品的價(jià)格、營銷策略、消費(fèi)者對該商品的需求狀況、需求偏好等因素都會對消費(fèi)支出造成影響，我們就可以把這些影響因素用隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來表示。(2)經(jīng)濟(jì)行為內(nèi)在的隨機(jī)性。雖然人類的經(jīng)濟(jì)行為是理性的，也不可以完全可預(yù)測，所以這些行為的結(jié)果—經(jīng)濟(jì)變量是隨機(jī)變量，這是我們做何種努力都無法精確解釋的，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)則反映了經(jīng)濟(jì)行為中的一些內(nèi)在隨機(jī)性。(3)數(shù)據(jù)的測量誤差。一般來說消費(fèi)支出的數(shù)據(jù)相對真實(shí)，但收入數(shù)據(jù)可能是有偏差的，比如有些人會夸大或隱瞞收入，有些人可能會超前消費(fèi)，故與消費(fèi)支出數(shù)據(jù)對應(yīng)的收入數(shù)據(jù)非?？赡懿皇桥c實(shí)際情況相吻合的；另外在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)往往會四舍五入，也會會產(chǎn)生誤差。所有這些誤差我們用隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來表示。(4)引入隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)有利于建立比較簡單的模型。如果我們要考慮影響消費(fèi)的所有因素，顯然是不現(xiàn)實(shí)的，此外模型中的解釋變量過多，會使模型變得非常復(fù)雜，讓我們無從下手，也會影響我們分析核心的影響因素。特別需要說明的是，對于“線性”可以做兩方面的理解：第一個(gè)方面的理解是，對于變量而言是線性的，即對于解釋變量（X）與被解釋變量（Y）之間是線性關(guān)系；另外一個(gè)方面理解是對于系數(shù)而言是線性的，即回歸系數(shù)（）與被解釋變量（Y）之間是線性關(guān)系，而且這種線性對于我們特別重要，這在以后的內(nèi)容里會表現(xiàn)出來。例如，對變量而言是線性的，對系數(shù)而言也是線性的；對變量而言不是線性的，對系數(shù)而言是線性的；

對變量而言是線性的，對系數(shù)而言不是線性的。我們建立了總體的一元線性回歸方程和模型，只是在總體上確立了解釋變量與被解釋變量之間的關(guān)系。但是總體是不能全面觀察的，【例2-4】只是假想的一個(gè)例子。如果要實(shí)際得到解釋變量與被解釋變量之間的關(guān)系，我們要進(jìn)行抽樣，用樣本數(shù)據(jù)得到樣本回歸系數(shù)，去估計(jì)總體回歸系數(shù)。仍然以【例2-4】為例。對于各個(gè)收入水平，在其中隨機(jī)抽取消費(fèi)支出數(shù)據(jù)，下表顯示的是其中兩個(gè)樣本結(jié)果：表2-2在100個(gè)家庭里抽樣得到的兩個(gè)結(jié)果2.樣本回歸方程與回歸模型收入X4000450050005500600065007000750080008500消費(fèi)支出Y2687304833743651377244004797491755265523收入X4000450050005500600065007000750080008500消費(fèi)支出Y2754295133203428413343354464510446354915樣本1樣本2對于這個(gè)問題的抽樣，我們做如下理解和解釋：第一，為了保證樣本有好的代表性，選取的收入（X）與總體的收入完全一致，所以我們認(rèn)為X的取值不是隨機(jī)的，或者說X不是隨機(jī)變量。第二，消費(fèi)支出是隨機(jī)變量。第三，如果是重復(fù)抽樣，在100個(gè)家庭里抽取10個(gè)家庭做樣本，從理論上說最多可以得到10010個(gè)不同的樣本。也就是說我們可以按這樣方法抽樣，得到成千上萬個(gè)不同的樣本，表2-2里僅僅顯示了其中的兩個(gè)樣本。表2-2里僅僅顯示了其中的兩個(gè)樣本。我們將這兩個(gè)樣本的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，如圖2-5。

圖2-5兩個(gè)樣本的散點(diǎn)圖從兩個(gè)樣本的散點(diǎn)圖可以看到，收入（X）與消費(fèi)支出（Y）之間近似的是一條直線，這樣我們就可以用直線來“近似”地表示這兩個(gè)變量之間的規(guī)律性。從兩個(gè)樣本的散點(diǎn)圖可以看到，收入（X）與消費(fèi)支出（Y）之間近似的是一條直線，這樣我們就可以用直線來“近似”地表示這兩個(gè)變量之間的規(guī)律性。設(shè)定樣本回歸方程為：（2-11）我們用分別表示樣本回歸方程的截距項(xiàng)系數(shù)和斜率項(xiàng)系數(shù)，稱為樣本回歸系數(shù)。這樣表示樣本回歸系數(shù)，一是為了和總體回歸系數(shù)相區(qū)別，二是一般情況下在字母上加“^”表示是估計(jì)量。同樣道理，表示估計(jì)值。從本質(zhì)上來說，我們的思想是在給定的X（總體和樣本是相同的）條件下，用樣本回歸方程決定的去估計(jì)（近似）實(shí)際觀察到的，這樣的過程也稱為擬合，也稱為的擬合值。既然是的擬合值，那么兩者之間就會有誤差，這個(gè)誤差記為，稱為殘差。則有：（2-12）由式（2-11）和（2-12）可得：（2-13）式（2-13）稱為樣本回歸模型。對于樣本線性回歸方程和回歸模型做如下理解：第一，樣本線性回歸方程和回歸模型是總體線性回歸方程和模型的估計(jì)。我們認(rèn)為，樣本的解釋變量（）與總體的解釋變量（）是相同的；樣本的被解釋變量（）是從總體