《一元二次方程的實根分布問題》

一元二次方程的實根分布問題問題方程x2+(m–3)x+m=0，求實數(shù)m的取值范圍。條件1：假設(shè)方程有兩個正根。如右圖知分析設(shè)f(x)=x2+(m–3)x+m條件2：假設(shè)方程的兩個根均小于1。如右圖知分析設(shè)f(x)=x2+(m–3)x+m問題方程x2+(m–3)x+m=0，求實數(shù)m的取值范圍。條件3：假設(shè)方程的一個根大于1，一個根小于1。如右圖知分析設(shè)f(x)=x2+(m–3)x+m問題方程x2+(m–3)x+m=0，求實數(shù)m的取值范圍。條件4：假設(shè)方程的兩個根均在(0，2)內(nèi)。如右圖知分析設(shè)f(x)=x2+(m–3)x+m問題方程x2+(m–3)x+m=0，求實數(shù)m的取值范圍。條件5：假設(shè)方程的兩個根有且僅有一個在(0，2)內(nèi)。如右圖知分析設(shè)f(x)=x2+(m–3)x+m3、1、2、由于1，2，3知m的取值范圍是問題方程x2+(m–3)x+m=0，求實數(shù)m的取值范圍。條件6：假設(shè)方程的一個根在(–2，0)，另一個根在(0，4)。如右圖知分析設(shè)f(x)=x2+(m–3)x+m問題方程x2+(m–3)x+m=0，求實數(shù)m的取值范圍。條件7：假設(shè)方程的一個根小于2，另一個根大于4。如右圖知分析設(shè)f(x)=x2+(m–3)x+m問題方程x2+(m–3)x+m=0，求實數(shù)m的取值范圍。條件8：假設(shè)方程有一個正根，一個負(fù)根且正根的絕對值較大。如右圖知分析設(shè)f(x)=x2+(m–3)x+m問題方程x2+(m–3)x+m=0，求實數(shù)m的取值范圍。

一元二次方程的根，其實質(zhì)就是其相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，因此，可以借助于二次函數(shù)及其圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法來研究一元二次方程的實根分布問題，下面通過例題具體情況來說明。設(shè)二次方程

的二實根為

方程對應(yīng)的二次函數(shù)為

小結(jié)兩個根均小于k兩個根均大于k一個根小于k，一個根大于k。小結(jié)：一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根分布兩個根均在

(m，n)內(nèi)X1∈(m，n)

，X2∈(p，q)

。小結(jié)：一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根分布兩根均在[m，n]外兩旁小結(jié)：一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根分布兩個根有且僅有一個在(m，n)內(nèi)或或注意：

由函數(shù)圖象與x軸交點的位置寫出相應(yīng)的充要條件，一般考慮以下三個方面：

①判別式

的符號；

②對稱軸

的位置分布；

③二次函數(shù)在實根分布界點處函數(shù)值的符號。課堂練習(xí)：1.假設(shè)方程7x2–(m+13)x+m2–m–2=0在區(qū)間(0，1)、(1，2)上各有一個實根，求實數(shù)m的取值范圍。2.假設(shè)方程2x2–(m–2)x–2m2–m=0的兩根在區(qū)間[0，1]之外兩旁，求實數(shù)m的取值范圍。4.假設(shè)方程x2–2mx+m–1=0在區(qū)間(–2，4)上有兩根，