數(shù)學說題案例(上傳)

說題題目：2012年廣東高考理科19題2013年9月23日題目：設數(shù)列的前項和為，滿足，，且成等差數(shù)列?！?〕求的值；〔2〕求數(shù)列的通項公式；〔3〕證明：對一切正整數(shù)，有。一、目標：數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是高考考查的重點。而且往往還以解答題的形式出現(xiàn)，所以我們在復習時應給予重視。近幾年的高考數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的根底知識、根本技能和根本思想方法，而且有效地考查了學生的各種能力。解答題大多以考查數(shù)列內(nèi)容為主，并涉及到函數(shù)，不等式知識的綜合性試題，在解題過程中通常用到等價轉化，放縮，等數(shù)學思想方法.。二、題目難度：此題是2012年廣東高考理科第19題，題目的難度是屬于中高難度。第一小問屬于比擬根底的題目，一般在中等學生都可以進行解答，而第二小問需要構建一個新的數(shù)列，利用等比數(shù)列進行求解，難度中上。第三小問的難度就比擬大，對中等或中上以上的學生進行考察，能讓學生有明顯的區(qū)分度。三、此題立意：該題是2012年廣東高考數(shù)學理科第19題。第〔1〕問是比擬根底的知識，，成等差數(shù)列。只要掌握等差數(shù)列的根本公式和數(shù)列的遞推，只要是考察學生對數(shù)列根底知識的掌握程度。而第〔2〕問是數(shù)列通項公式的求法，得到后需要構造一個新的數(shù)列，那么，從而得到數(shù)列的形式，主要考察學生對遞推數(shù)列的理解程度。和等比數(shù)列的通項公式。第〔3〕問那么要用到二項式定理，或課本的掌握，所以，該題的目的是考察學生對遞推數(shù)列，等差等比數(shù)列的通項公式，二項式定理、列項相消法、等比數(shù)列求和，放縮法等方法的掌握程度，考察是否有比擬扎實的數(shù)學功底，還要對所學的知識進行融會貫穿，各個知識點聯(lián)系和運用。知識的跨度和靈活度都比擬大，題目難度較大。能區(qū)分不同層次的學生。四、解題思路：第〔1〕問：從題目給出的條件：，成等差數(shù)列，比擬容易讓學生聯(lián)想到等差數(shù)列的有關公式，和與的關系，比擬容易得到的值，當然，對一些根底不是很好的學生，可以直接用遞推的方法直接得到答案。例如：當時,,即,當時,,即,又〔出自課本必修五P31例3〕聯(lián)立上述三個式子可得.第〔2〕問：當時,由得,兩式相減整理得〔公式源自課本必修五P66第三題〕，最關鍵的一步是如何處理成：〔或〕的形式，然后構造一個新的等比數(shù)列求解。關鍵是引導學生在得到后兩邊是同時除以，而不是除以。要有遞推數(shù)列的意識。第〔3〕問：在第〔2〕問得到后，要得到，肯定需要用到放縮法。關鍵的處理時的分解。常規(guī)的平方差公式不行。高次方的分解可以使用二項式定理或?qū)Φ讛?shù)進行適當放縮。難點就是用二項式定理后如何進行適當放縮。所以，第〔3〕問解答的難點是將從而得到之后如何進行放縮的問題。同時，針對學生的根底，需要引導學生如何拿到分步的根底分。不要因為沒有明顯的思路或難以分析就直接整題都放棄。五、講解策略：第〔1〕問屬于根底題，可以讓學生自己摸索解決，只要給一定的時間，讓他獨立進行遞推數(shù)列的推導，不難得到。只要學生懂得數(shù)列的遞推就可以了。〔個別根底較差的可以適當引導〕。推導過程：當時,,即,當時,,即,又聯(lián)立上述三個式子可得.第〔2〕問需要用到，在得到后，第一個難點:由于不是常數(shù)，〔k為常數(shù)〕形式不能解決問題，要引導學生學會遞推數(shù)列的真正含義。會處理成遞推數(shù)列的形式：。第二個難點：構造一個新的數(shù)列，那么，從而得到〔方法源自課本必修五P69第6題〕再利用等比數(shù)列公式，最后得到。第三個難點：得到后，要得到，肯定需要用到放縮法。關鍵的處理時的分解。如果使用二項式定理，懂將從而得到〔要得到，常用的是拆項相消法。只需要利用〕。第四個難點：拆項相消：又因為,所以,所以所以〔出自課本必修五P47第4題〕在題目的講解和引導中，要充分考慮上述幾個難點，給學生分析和探索的時間。對關鍵點的解答要進行適當?shù)囊龑?。解題思路二：〔分解因式，直接放縮〕〔解法二：∵〔出自課本必修五P62第一題〕∴∴，解法二相對解法更直接，但是要會進行n次方差的因式分解，和數(shù)列的放縮?？梢宰寣W生自己進行分析和嘗試。六、題目的價值和效果：此題是2012年廣東高考理科19題，以知識和方法立意，考察了：遞推數(shù)列，等差數(shù)列通項公式，等比數(shù)列通項公式；知求對應公式，，二項式定理，〔解法一〕列項相消求和〔解法一〕，等比數(shù)列的求和〔解法二〕不等式的放縮。的分解〔解法二〕。等知識點。題目入手容易〔第一問〕，融合了眾多的知識點，所用方法和考察點都出自課本，很好地考察了學生對根底知識的掌握程度，和各局部知識點的聯(lián)系，和知識的綜合運用程度，在題目解答過程中個適當?shù)夭迦胝n本對數(shù)列不同知識點的要求和方法，既有根底，又適當拔高難度。要求學生對課本的根本公式和定理比擬熟悉，還能靈活運用。在高考中將不同層次的學生很好地進行區(qū)分。這樣的命題思路和形式在2013年的高考中得到充分的表達。2013年廣東高考的數(shù)列題的解題思路和知識點的考察與2012年的高度相似。值得我們探討和研究。七、題目很好地表達了廣東高考：源于課本，高于課本的原那么。解題過程中需要用到的公式或方法根本都是出自課本，很好地表達了廣東高考數(shù)學題目源自課本，高于課本的原那么?！?〕例如：與課本必修五第62頁第〔1〕題：求證：是一樣的。如果學生會使用，高考中利用解法二會簡單很多?！?〕新數(shù)列的構建是教學中學生比擬難理解和掌握的方法，例如題目中：由，在得到后，由于不是常數(shù)，利用〔k為常數(shù)〕形式不能解決問題，要得到遞推數(shù)列的形式：，需要構造一個新的數(shù)列，那么，從而得到這樣的方法源自課本必修五P69第6題：數(shù)列中，，該題解答中也需要將：化為：形式。然后構建一個新的數(shù)列然后得到。比照可以發(fā)現(xiàn)，兩題的解法幾乎一致。還有列項相消，數(shù)列遞推，二項式定理，數(shù)列求和等方法，在課本都能找到出處〔局部在前面已經(jīng)列舉〕。所以通過題目的講解和練習，應該引導學生回歸課本，扎扎實實打好根底，不要做一些偏題怪題。舉一反三，充分理解課此題目的涵義。八、題目的推廣、延伸：類似的高考題：1、〔2008廣東文數(shù)〕設數(shù)列滿足，，。數(shù)列滿足是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù)和自然數(shù)，都有?！?〕求數(shù)列和的通項公式；〔2〕記，求數(shù)列的前項和2、〔2011廣東理20題〕設b>0,數(shù)列滿足a1=b，.〔1〕求數(shù)列的通項公式；〔需要用到構造法〕3、〔2013廣東理19題〕設數(shù)列的前n項和為Sn。?！?〕求a2的值；〔2〕求數(shù)列的通項公式；〔3〕證明：對一切正整數(shù)n，有。也要用到構造新數(shù)列的方法，遞推法，放縮法，裂項相消法等，解題方法與2012年的19題非常相似。課外讓學生通過上述例子的比