滬科版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試重要知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)提綱

滬科版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試重要知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)提綱

二次根式

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、二次根式及代數(shù)式的概念

L二次根式：一般地，我們把形如石（a20）的式子叫做二次根式，“?”稱為二次

根號(hào).

要點(diǎn)詮釋：

,'二次根式的兩個(gè)要素：①根指數(shù)為2；②被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

2.代數(shù)式：形如5,a,a+b,ab,三，x>g^⑺之。）這些式子，用基本的運(yùn)算符號(hào)（基

本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子，我們

稱這樣的式子為代數(shù)式.

要點(diǎn)二、二次根式的性質(zhì)

1.&20,（420）；

2.（布）=a（a≥0）;

3=IaIw

11［-a（α<0）

要點(diǎn)詮釋：

1.二次根式石（a20）的值是非負(fù)數(shù)。一個(gè)非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的形式，

即a=（V0）2（α≥O）.

2?與（G）2要注意區(qū)別與聯(lián)系：D的取值范圍不同，（JZ）2中"中。

為任意值。

2）.。20時(shí)，（G）2=C^=α;。<0時(shí)，（G）?無(wú)意義，聒=-a.

二次根式的乘除法

［要點(diǎn)梳理］

知識(shí)力一、二次根式的乘法及積的算術(shù)平方根

L乘法法則：后,痣=J^（a20,ANO）,即兩個(gè)二次根式相乘，根指數(shù)不變，

只把被開方數(shù)相乘.

要點(diǎn)詮釋：

（1）.在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，一定要注意：公式中a、b都必須是非

負(fù)數(shù)；（在本章中，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，所有字母都表示非負(fù)數(shù)）.

（2）.該法則可以推廣到多個(gè)二次根式相乘的運(yùn)算：

瓜?如弧'.......?M=JaI.a??........?%（的a2>0'%》

0）.

（3）.若二次根式相乘的結(jié)果能寫成?2的形式，則應(yīng)化簡(jiǎn)，如壓=4?

2.積的算術(shù)平方根：

疑=歷（。10,?>0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方

根的積.

要點(diǎn)詮釋：

（1）在這個(gè)性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無(wú)論是數(shù)，還是代數(shù)式，都

必須滿足b20,才能用此式進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，如果不滿足這個(gè)條件，等

式右邊就沒(méi)有意義，等式也就不能成立了；（2）二次根式的化簡(jiǎn)關(guān)鍵是將被開方數(shù)分

第1頁(yè)共17頁(yè)

解因數(shù)，把含有口2形式的a移到根號(hào)外面.

知識(shí)點(diǎn)二、二次根式的除法及商的算術(shù)平方根

1.除法法則：巫=E(?！?,8>0),即兩個(gè)二次根式相除，根指數(shù)不變，把被

√?也

開方數(shù)相除.。

要點(diǎn)詮釋：

(1)在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時(shí)，對(duì)于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別

注意，b>0,因?yàn)閎在分母上，故b不能為0.

(2)運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號(hào)去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡

量化簡(jiǎn)，最后結(jié)果中分母不能帶根號(hào).

2.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：

但=巫(β≥0,b>0),即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除

V?4b

式的算術(shù)平方根.

要點(diǎn)詮釋：

運(yùn)用此性質(zhì)也可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，運(yùn)用時(shí)仍要注意符號(hào)問(wèn)題.

知識(shí)點(diǎn)三、最簡(jiǎn)二次根式

(1)被開方數(shù)不含有分母；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

滿足這兩個(gè)條件的二次根式叫最簡(jiǎn)二次根式.

要點(diǎn)詮釋：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式主要有以下兩種情況：

(1)被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式；

(2)含有能開方的因數(shù)或因式.

二次根式的加減

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、同類二次根式

1.定義：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根

式就叫做同類二次根式.

要點(diǎn)詮釋：

(1)判斷幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式,

再看被開方數(shù)是否相同；

(2)幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號(hào)外

的因式無(wú)關(guān).

2.合并同類二次根式

合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根

式的方法與整式加減運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)類似)

要點(diǎn)詮釋：

,、(1)根號(hào)外面的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)；

(2)二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要變成假分?jǐn)?shù)的形式.

要點(diǎn)二、二次根式的加減

1.二次根式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式，即先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)

二次根式，再把其

中的同類二次根式進(jìn)行合并.對(duì)于沒(méi)有合并的二次根式，仍要寫到結(jié)果中.

要點(diǎn)詮釋.

(I)在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號(hào)、添

括號(hào)法則仍然適用.

(2)二次根式加減運(yùn)算的步驟：

1)將每個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成為最簡(jiǎn)二次根式；

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2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結(jié)合為一組；

3)合并同類二次根式.

要點(diǎn)三、二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算是對(duì)二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.

要點(diǎn)詮釋：

(1)二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算

加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的；

(2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用；

(3)二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果要寫成最簡(jiǎn)形式.

一元二次方程

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、一元二次方程的定義及一般形式

1.一元二次方程的概念：

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.

要點(diǎn)詮釋：

''識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：(1)整式方程；(2)含有一個(gè)未知數(shù)；(3)未知

數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2.一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一個(gè)關(guān)于X的一元二次方程，都能化成形如+bx+c=0(aW0),這

種形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax?是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bχ是一次項(xiàng)，

b是一次項(xiàng)系數(shù)；C是常數(shù)項(xiàng).

要點(diǎn)詮釋：

(1)只有當(dāng)aWO時(shí)，方程ax?+bx+c=0才是一元二次方程；

(2)在求各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)

注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號(hào).

要點(diǎn)二、一元二次方程的解及有關(guān)結(jié)論

1.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方

程的根.

2.一元二次方程根的重要結(jié)論

(1)若a+b+c=O,則一元二次方程ax’+岳(+C=QgHU)必有一根X=I;反之也成立，

即若x=l是一元二次方程ax"'+bx+c-I：'U≠0)的一個(gè)根，則a+b+c=O.

(2)若a-b+c=O,則一元二次方程以'+bx+c-0[θH必有一根x=T;反之也成立，

即若X=-I是一元二次方程α/+bχ+c=0(aN0)的一個(gè)根，則a-b+c=O.

(3)若一元二次方程以‘+岳r+c=0(aK0)有一個(gè)根χ=0,則c=0；反之也成立，若

c=0,則一元二次方程4x'+bx+c=0(aKI)必有一根為0.

因式分解與直接開平方法

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、因式分解法解一元二次方程

1.用因式分解法解一元二次方程的步驟

(1)將方程右邊化為0；

(2)將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；

(3)令這兩個(gè)一次式分別為0,得到兩個(gè)一元一次方程；

(4)解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

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提取公因式法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等.

要點(diǎn)詮釋：

(1)能用分解因式法來(lái)解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0,另一邊可以分解

成兩個(gè)一次因式的積；

(2)用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0,那么這兩個(gè)因式中

至少有一個(gè)等于0：

(3)用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊

不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.

要點(diǎn)二、直接開平方法解一元二次方程

1.直接開方法解一元二次方程：

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.

2.直接開平方法的理論依據(jù)：

平方根的定義.

3.能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：

①形如關(guān)于X的一元二次方程χ2=a,可直接開平方求解.

若則=土而；表示為而有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；

a>0,XXL=x2=-Ja

若a=0,則χ=0i表示為Xi=X??0，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

若α<0,則方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

②形如關(guān)于X的一元二次方程(αχ+")'=w(a≠α附N0),可直接開平方求解，

兩根是

f÷f-√w

&=1,X)=----------

aa

要點(diǎn)詮釋：

用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義,

應(yīng)用時(shí)應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，就可以直接開平

方求這個(gè)方程的根.

配方法

【要點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程的解法--配方法

1,配方法解一元二次方程：

⑴配方法解一元二次方程：

將一元二次方程配成(X+N)2=P(PNo)的形式，再利用直接開平方法求解，這種

解一元二次方程的方法叫配方法.

⑵配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：a1±2a?+?2=[a±b^.

⑶用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為a/+bχ+c=OgH0)的形式；

②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則

判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

要點(diǎn)詮釋：

'(1)配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；

(2)配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

(3)配方法的理論依據(jù)是完全平方公式∕±2ab+/=(a±8)2.

第4頁(yè)共17頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)二、配方法的應(yīng)用

1.用于比較大?。?/p>

在比較大小中的應(yīng)用，通過(guò)作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零(或

小于零)而比較出大小.

2.用于求待定字母的值：

配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?,左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)

的性質(zhì)求出待定字母的取值.

3.用于求最值：

“配方法”在求最大(小)值時(shí)的應(yīng)用，將原式化成一個(gè)完全平方式后可求出最值.

4.用于證明：

“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會(huì)知道“配方法”在

二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用.

要點(diǎn)詮釋：

“配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)

系，討論不等關(guān)系的常用技巧，是挖掘題目當(dāng)中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)

好.

公式法

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、一元二次方程的求根公式

b±yb4ac

一元二次方程α∕+bx+c=O(αwO),當(dāng)從-4WNo時(shí)，x-~*-

2a

要點(diǎn)二、用公式法解一元二次方程的步驟

用公式法解關(guān)于X的一元二次方程α/+bx+c=0(a≠0)的步驟：

①把一元二次方程化為一般形式；

②確定a、b、C的值(要注意符號(hào))；

③求出從_4面的值；

④若從-4κ≥0＞則利用公式X=一■土出一4w.求出原方程的解;

2a

若從-4妝＜0,則原方程無(wú)實(shí)根.

要點(diǎn)詮釋：

色次所有的一元二次方程都可以用公式法來(lái)求解，但它往往并非最簡(jiǎn)單的，一定要注意方

法的選用.

根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

【要點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程根的判別式

1.一元二次方程根的判別式

2

一元二次方程ɑ/+bx+c=O(a≠O)中，b-4αc叫做一元二次方程

ax1+bx+c=0(?≠0)的根的判別式，通常用“△”來(lái)表示，即△=〃-Aac

(1)當(dāng)△＞()時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)當(dāng)△=()時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

(3)當(dāng)時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

要點(diǎn)詮釋：

''利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式;

第5頁(yè)共17頁(yè)

②確定”,b?c的值；③計(jì)算"-4αc的值；④根據(jù)〃-4αc的符號(hào)判定方程根的情況.

2.一元二次方程根的判別式的逆用

在方程ax'+bx+c=θ(αNO)中，

(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根二＞〃-4枇，＞0；

(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根-4αc=0;

(3)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根=＞Z√-4改＜o(jì).

要點(diǎn)詮釋：

(1)逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為

。這一條件；

(2)若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則b2-4ac^0.

知識(shí)點(diǎn)二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

1.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

如果一元二次方程ɑ/+bχ+c=0(α∕0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是玉，x2,

Fb,bc

那么X]÷X=----，XlX2二一?

2aa

注意它的使用條件為aW0,Δ?0.

也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除

以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.

2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用

(I)驗(yàn)根.不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)

根；

(2)已知方程的一個(gè)根，求方程的另一根及未知系數(shù)；

(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于XnX2的對(duì)稱式的值.此時(shí)，常常涉及

代數(shù)式的一些重要變形；如：

2

①xl+考=(XI+x2A-2xλx1；

②J_+_L=AI^.；

X1x2x1?x2

22

(3)X1x2+X1X2=x1x2(x1+X2);

2

④％2+犬1_(x1+x2)-2xιx2

Xjx2xix2XIX2

2

⑤(Xl-X2>=(Xl÷X2)-4XIX2;

2

(g)(x1+k)(x2+&)=xlx2+k(xl+X2)÷?；

22

Q)\x}-x2∣=√(x1-x2)=√(xl+X2)-4X1X2；

22

II_X1+%2_(?i÷?)-2X1X2

U-2''2—?~?~~—T?；

X1X2XχX2(XIX2)

(9)xι-X2=±J(%-X2)2=±J(%1+尤2)2-4XIX2；

2

⑩

?xi?+?x2?=√(∣x1|+|X2D=+q+2∣x∣?X?I

2XXX

=J(Xl+x2)~212+21I?x21.

(4)已知方程的兩根，求作一個(gè)一元二次方程；

以兩個(gè)數(shù)△X2為根的一元二次方程是X’-(/+X2)x+X1X2=0.

第6頁(yè)共17頁(yè)

（5）已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；

（6）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號(hào).

設(shè)一元二次方程0√+?r+c=θ（αHθ）的兩根為占、χ2,則

①當(dāng)△》（）且NX2>0時(shí)，兩根同號(hào).

當(dāng)△》（）且王々>0，玉+尤2>0時(shí)，兩根同為正數(shù)；

當(dāng)△》（）且王w>o,χ∣+%<o時(shí)，兩根同為負(fù)數(shù).

②當(dāng)△>（）且玉々<0時(shí)，兩根異號(hào).

當(dāng)△>（）且不/<0，吊+工2>0時(shí),，兩根異號(hào)且正根的絕對(duì)值較大；

當(dāng)a>0且玉々<0，Μ+々<0時(shí)，兩根異號(hào)且負(fù)根的絕對(duì)值較大.

要點(diǎn)詮釋：

（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的△.一些

考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱；

（2）若有理系數(shù)一元二次方程有一根“+〃，則必有一根“-正（〃，匕為有理數(shù)）.

一元二次方程的應(yīng)用

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟

1.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審（審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等）；

設(shè)（設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量）；

列（根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程）；

解（解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰）；

驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）

答（寫出答案，切忌答非所問(wèn)）.

要點(diǎn)詮釋：

列方程解實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

要點(diǎn)二、一元二次方程應(yīng)用題的主要類型

1.數(shù)字問(wèn)題

（1）任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十

位、百位、

千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、IOO0、……，數(shù)

位上的數(shù)字

只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位

數(shù)，都可用

其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來(lái)表示,這也就是用多項(xiàng)式的形式表示

了一個(gè)多位

數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a,十位上數(shù)為b,百位上數(shù)為c,則這個(gè)三位數(shù)可

表示為：

100c+10b+a.

（2）幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差L

如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為X,則另兩個(gè)數(shù)分別為xT,x+l.

幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)（或奇數(shù)）中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)（或奇數(shù)）相差2.

如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)），設(shè)中間一個(gè)數(shù)為X,則另兩個(gè)數(shù)分別為χ-2,x+2.

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2.平均變化率問(wèn)題

列一元二次方程解決增長(zhǎng)（降低）率問(wèn)題時(shí)，要理清原來(lái)數(shù)、后來(lái)數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，

以及增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程,那么應(yīng)在原數(shù)的

基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.

（1）增長(zhǎng)率問(wèn)題：

平均增長(zhǎng)率公式為α（l+χ）"=A（a為原來(lái)數(shù)，X為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為

增長(zhǎng)后的量.）

（2）降低率問(wèn)題：

平均降低率公式為α（l-χ）"=。（a為原來(lái)數(shù)，X為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為

降低后的量.）

3.利息問(wèn)題

（1）概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù).

利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

（2）公式：

利息=本金X利率X期數(shù)

利息稅=利息X稅率

本金X（1+利率X期數(shù)）=本息和

本金X[1+利率X期數(shù)X（I-稅率）]=本息和（收利息稅時(shí)）

4.利潤(rùn)（銷售）問(wèn)題

利潤(rùn)（銷售）問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)（成本）

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)X總件數(shù)

甲胴率二里7磨用收,標(biāo)價(jià)X紅型=售價(jià)

進(jìn)價(jià)（或成本）10

進(jìn)價(jià)χ（l+利潤(rùn)率）=標(biāo)價(jià)X粵贅

5.形積問(wèn)題

此類問(wèn)題屬于幾何圖形的應(yīng)用問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)

則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.

要點(diǎn)詮釋：

列一元二次方程解應(yīng)用題是把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解

決而獲得對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決.這是在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常用到的數(shù)學(xué)思想一方程思想.

勾股定理

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、勾股定理

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別

為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么片+〃=。？.

要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)

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可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的

目的.

（3）理解勾股定理的一些變式：

er=c2-b^,b^=C1-cr,C1=（a+b）2-2ab.

要點(diǎn)二、勾股定理的證明

方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖(1)中S∕弁Λu0)=(α+b)'=J+4χ1αb,+?a=ca?

2

方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

所以「=>+6?.

(3)

SWCD=婦岑3=2XN+下所以『+從=F

要點(diǎn)三、勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；

3.與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算；

4.勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

勾股定理的逆定理

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三條邊長(zhǎng)α,b,c,滿足az+0？=。？，那么這個(gè)三角形是直角三角形

要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角

形是否為直角三角形.

要點(diǎn)二、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形

（1）首先確定最大邊（如c）.

（2）驗(yàn)證c?與/+/是否具有相等關(guān)系.若c?=/+/,則AABC是∕C=90°的

直角三角形；若￠2H/+02,則^ABC不是直角三角形.

要點(diǎn)詮釋：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)"+Z72>c2時(shí)，此三角形

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為銳角三角形，其中C為三角形的最大邊.

要點(diǎn)三、勾股數(shù)

滿足不定方程/+/=Z2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)(又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù))，

顯然，以x、y、Z為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：

①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.......

如果么b、C是勾股數(shù)，當(dāng)r為正整數(shù)時(shí)，以〃、初、U為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角

形必為直角三角形.

要點(diǎn)詮釋：(1)n2-↑,In,n2+?是自然數(shù))是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；

(2)2n2+2n,2n+?,2n2+2n+l(n^l,〃是自然數(shù))是直角三角形的

三條邊長(zhǎng)；

(3)m2-n2,m2+n2,2mn(m>n,m>〃是自然數(shù))是直角三角形的三

條邊長(zhǎng)；

多邊形

【要點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一、多邊形的概念

1.定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊

形.其中，各個(gè)角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形.

2.相關(guān)概念：

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角.

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.

對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一

側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形，如果整個(gè)多邊形不在直線的同一側(cè)，這個(gè)多邊形叫凹多

/5」

邊形.如圖：

要點(diǎn)詮釋：/凹多邊形

di正多邊形必須同時(shí)南屋邊行邊相等”，“各角相等”兩個(gè)條件，二者缺一不可；

(2)過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對(duì)角線，n邊形對(duì)角線的條數(shù)為嗎③：

(3)過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊形分成(n-2)個(gè)三角形.

知識(shí)點(diǎn)二、多邊形內(nèi)角和

n邊形的內(nèi)角和為(n-2)?180o(n23).

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要點(diǎn)詮釋：

(1)內(nèi)角和公式的應(yīng)用:①己知多邊形的邊數(shù),求其內(nèi)角和;②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；

(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于(〃一2)?180；

n

知識(shí)點(diǎn)三、多邊形的外角和

多邊形的外角和為360°.

要點(diǎn)詮釋：

(1)在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和?n邊形

的外角和恒等于360。，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)；

(2)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于型-；

n

(3)多邊形的外角和為360。的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊

形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù).

平行四邊形

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、平行四邊形的定義

平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記

作“QABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.

要點(diǎn)詮釋：平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對(duì)；相

對(duì)的邊為對(duì)邊，有兩對(duì)；相鄰的兩角為鄰角，有四對(duì)；相對(duì)的角為對(duì)角，有兩對(duì)Y對(duì)角線有

兩條.

要點(diǎn)二、平行四邊形的性質(zhì)

1.邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等：

2.角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；

3.對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；

4.平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心.

要點(diǎn)詮釋：(1)平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)

可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系

或倍半關(guān)系.

(2)由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇.

(3)利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問(wèn)題，在解答時(shí)應(yīng)

聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來(lái)解決.

要點(diǎn)三、平行四邊形的判定

1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；

5.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

要點(diǎn)詮釋：(1)這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定

同一個(gè)平行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法.

(2)這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊

形”的依據(jù).

要點(diǎn)四、三角形的中位線

1.連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.

2.定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.

要點(diǎn)詮釋：(1)三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.

(2)三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)

小三角形的周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的L,每個(gè)小三角形的面積為原三角形

2

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面積的1.

4

(3)三角形的中位線不同于三角形的中線.

要點(diǎn)五、平行線間的距離

L兩條平行線間的距離：

(1)定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行

線間的距離.注：距離是指垂線段的長(zhǎng)度，是正值.

(2)平行線間的距離處處相等

任何兩平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線間最短的線段的長(zhǎng)度.

兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.

2.平行四邊形的面積：

平行四邊形的面積=底X高；等底等高的平行四邊形面積相等.

矩形

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、矩形的定義

有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

要點(diǎn)詮釋：矩形定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角.即矩形首先是

一個(gè)平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件.

要點(diǎn)二、矩形的性質(zhì)

矩形的性質(zhì)包括四個(gè)方面：

L矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

2.矩形的對(duì)角線相等；

3.矩形的四個(gè)角都是直角；

4.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.

要點(diǎn)詮釋：(1)矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱圖形.過(guò)中心的任意直線

可將矩形分成完全全等的兩部分.

(2)矩形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸(分別通過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線).對(duì)

稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn)(即對(duì)稱中心).

(3)矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形

的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對(duì)邊平行且相等；從角

看，矩形四個(gè)角都是直角；從對(duì)角線看，矩形的對(duì)角線互相平分且相等.

要點(diǎn)三、矩形的判定

矩形的判定有三種方法：

L定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

要點(diǎn)詮釋：在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”都能判

定平行四邊形是矩形.

要點(diǎn)四、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

要點(diǎn)詮釋：(1)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角

三角形，對(duì)一般三角形不可使用.

(2)學(xué)過(guò)的直角三角形主要性質(zhì)有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三

角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30°所對(duì)的

直角邊等于斜邊的一半.

(3)性質(zhì)可以用來(lái)解決有關(guān)線段倍分的問(wèn)題.

菱形

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

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要點(diǎn)詮釋：菱形的定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一

個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件.

要點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)

菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：

L菱形的四條邊都相等；

2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

3.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱

中心.

要點(diǎn)詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，過(guò)中心的任意直線可將

菱形分成完全全等的兩部分.

（2）菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底X高；

另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.

實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘

積的一半.

（3）菱形可以用來(lái)證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問(wèn)

題.

要點(diǎn)三、菱形的判定

菱形的判定方法有三種：

1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

3.四條邊相等的四邊形是菱形.

要點(diǎn)詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來(lái)判定菱形，后一種方

法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.

正方形

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、正方形的定義

四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.

要點(diǎn)詮釋：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，

更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個(gè)角是直角的菱形.

要點(diǎn)二、正方形的性質(zhì)

正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

L邊一一四邊相等、鄰邊垂直、對(duì)邊平行；

2.角一一四個(gè)角都是直角；

3.對(duì)角線——①相等，②互相垂直平分，③每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

4.是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸：又是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心.

要點(diǎn)詮釋：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對(duì)角線將正方形分為四

個(gè)等腰直角三角形.

要點(diǎn)三、正方形的判定

正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是

直角或?qū)蔷€相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互

相垂直（即菱形）.

要點(diǎn)四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系

或者可表示為:

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要點(diǎn)五、順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀

(1)順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.

(2)順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.

(3)順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.

(4)順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.

要點(diǎn)詮釋：新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連接而成.

(1)若原四邊形的對(duì)角線互相垂直，則新四邊形是矩形.

(2)若原四邊形的對(duì)角線相等，則新四邊形是菱形.

(3)若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.

用正多邊形鋪設(shè)地面

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、正多邊形的有關(guān)概念

1.正多邊形定義：在平面內(nèi)各個(gè)角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形.

2.正多邊形的內(nèi)角：正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于‘〃-2)?I8。.；正多邊形的內(nèi)

n

角和與一般n邊形的內(nèi)角和公式相同為(n-2)?180o(n≥3).

3.正多邊形的外角和:正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等,所以它的每個(gè)外角都相等,都等于迦-；

n

正多邊形的外角和與一般多邊形的外角和一樣都為360°.

4.正多邊形的對(duì)角線：連接正多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做正多邊形的對(duì)角線.

要點(diǎn)詮釋：

(1)正多邊形必須同時(shí)滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個(gè)條件，二者缺一不可；

(2)已知正多邊形的邊數(shù),可求其內(nèi)角和以及每個(gè)內(nèi)角；已知多邊形內(nèi)角和就可以求其邊數(shù)；

(3)已知正多邊形一個(gè)內(nèi)角可以求其外角，從而用外角和求正多邊形邊數(shù)；

(4)從正n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對(duì)角線，將正多邊形分成(n-2)個(gè)三角形；共有

n(n-3)EU八、

-------條對(duì)角線.

2

要點(diǎn)二、平面鋪設(shè)的概念和特征

L定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問(wèn)題叫做用多邊

形覆蓋平面(或平面鑲嵌).這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同.

要點(diǎn)詮釋：(1)拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公共邊.

(2)用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長(zhǎng)相等；頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之

和為360°.

2.用一種正多邊形鋪設(shè)地面

只用一種正多邊形鑲嵌地面，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好

組成一個(gè)周角360。時(shí)，這種正多邊形可以鋪設(shè)地面.事實(shí)上，在正多邊形中，能用一種正

多邊形鋪滿地面的只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用.

要點(diǎn)詮釋：正多邊形能用于鋪設(shè)地面的前提條件是：這個(gè)正多邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是

360°的約數(shù).正三角形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180÷3=60°,是360°的約數(shù)；正方形的一個(gè)內(nèi)

角度數(shù)為360÷4=90°,是360°的約數(shù)；正六邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷6=120°,

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是360°的約數(shù)，所以它們都可以用于鋪設(shè)地面，而其他正多邊形內(nèi)角不能滿足這個(gè)條件，

所以不能用于鋪設(shè)平面.

3.用多種正多邊形鋪設(shè)地面

正多邊形的組合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是看位于同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角之和

能否為360°.若能，則說(shuō)明能鋪滿；反之，則說(shuō)明不能鋪滿.

(1)用兩種正多邊形鋪設(shè)地面的組合有：①正三角形與正方形；②正三角形與正六邊形；

③正三角形與正十二邊形；④正方形與正八邊形.

(2)用三種正多邊形鋪設(shè)地面的組合有：①正三角形、正方形與正六邊形；②正方形、正

六邊形與正十二邊形③正三角形、正十邊形與正十五邊形④正方形、正五邊形與正二十邊形.

要點(diǎn)詮釋：(1)用兩種正多邊形鋪設(shè)地面滿足方程：內(nèi)角度數(shù)Xm+另一種內(nèi)角度數(shù)X

n=360o有正整數(shù)解(即m、n均為正整數(shù)).

(2)用三種正多邊形鋪設(shè)地面滿足方程：內(nèi)角度數(shù)Xm+另一種內(nèi)角度數(shù)X

n+第三種內(nèi)角度數(shù)Xk=360。有正整數(shù)解(即01、n、k均為正整數(shù)).

(3)有時(shí)幾種正多邊形的組合能圍繞一點(diǎn)拼成周角，但不能擴(kuò)展到整個(gè)平面,

即不能鋪滿平面.如：正五邊形與正十邊形的組合.

4.任意多邊形平面鋪設(shè)：

形狀、大小完全相同的任意三角形能鑲嵌成平面圖形；形狀、大小相同的任意四邊形(凸

四邊形)能鑲嵌成平面圖形.

要點(diǎn)詮釋：任意三角形、四邊形(形狀、大小相同)能鑲嵌平面是因?yàn)椋喝切蝺?nèi)角

和為180°,是360°的約數(shù)；四邊形(凸四邊形)的內(nèi)角和是360°,也是360°的約數(shù).

所以大小形狀相同任意三角形、四邊形圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)

周角(360。)時(shí),就能鋪滿地面.

數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、組距、頻數(shù)、頻率與頻數(shù)分布表

1.組距：每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)間的距離叫做組距.

2.頻數(shù)：一批數(shù)據(jù)中落在某個(gè)小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)組的頻數(shù).

3.頻率：如果一批數(shù)據(jù)共有n個(gè)，而其中某一組數(shù)據(jù)是m個(gè),那么巴就是該組數(shù)據(jù)在這批

n

數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的頻率.即每一組數(shù)據(jù)頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比叫做這一組數(shù)據(jù)的頻率.

4.頻數(shù)分布表：通常用選舉時(shí)唱票的方法，對(duì)落在各個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)進(jìn)行記錄，計(jì)算

出每個(gè)小組的頻數(shù)，并制成頻數(shù)分布表.

要點(diǎn)詮釋.

’(1),各組頻數(shù)總和等于樣本容量，各組數(shù)據(jù)的頻率之和等于1；

(2)頻數(shù)分布表能清楚地反映一組數(shù)據(jù)的大小分布情況.將一批數(shù)據(jù)分組，一般數(shù)據(jù)越

多，分的組也越多.

要點(diǎn)二、頻數(shù)直方圖

1.頻數(shù)直方圖

畫出相互垂直的兩條直線,用橫軸表示分組情況,縱軸表示頻數(shù),繪出相應(yīng)的長(zhǎng)方形條，

就得到了頻數(shù)直方圖.

2.頻數(shù)直方圖的畫法

(1)計(jì)算數(shù)據(jù)中最大數(shù)與最小數(shù)的差.