廣東省2021年春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷三（含解析）

2021年廣東春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷(3)

注：本卷共22小題，滿分150分。

一、單選題(本大題共15小題，每小題6分，滿分90分)

1.已知集合力={*|(戸2)(A+3)扌0},5={x|x<0},則IC8=()

A.[-3>-2]B.(-00,-3]U[-2,+°°)

C.(--3]D.(-oo,-3]U[-2,0)

【答案】D

【解析】

【分析】

首先求出集合4,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；

【詳解】

解：因?yàn)椤?{x[(x+2)(x+3)N0}={x|x2-2或xW-3},5={x|x<0}

所以4「6=(-00,—3]U[—2,0)

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查交集的求法，一元二次不等式的解法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運(yùn)用，屬

于基礎(chǔ)題.

2.下列函數(shù)中，定義域?yàn)镽且在R單調(diào)遞增的函數(shù)是()

A.y-e~xB.y=x3C.,=/D.y-|x|

【答案】B

【解析】

【分析】

利用指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用募函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷B、C選項(xiàng)；利用絕對(duì)值函數(shù)

的基本性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)y=e-x=(丄］的定義域?yàn)镽,且該函數(shù)在7?上單調(diào)遞減；

對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)卜=丁的定義域?yàn)镽,且該函數(shù)在R上單調(diào)遞增；

對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)y=￡=五的定義域?yàn)椋?，+°0)；

對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)》=國(guó)的定義域?yàn)镽,且歹=國(guó)=?x,x-：。，該函數(shù)在R上不單調(diào).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)解析式求解函數(shù)的定義域以及判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

3.設(shè)函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=/-2,則()

A.1B.2C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)/(x)的解析式，依次求得/(1),的值.

【詳解】

函數(shù)”X)為奇函數(shù)，/(I)=I2-2=-1,/(/(I))=/(-I)=-/(I)=-(-1)=1.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.函數(shù)y=bg2|》丨的圖像大致是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性即可得到結(jié)果.

【詳解】

函數(shù)V=log2k|是偶函數(shù)，且在（0,+8）上為增函數(shù)，結(jié)合各選項(xiàng)可知A正確.

故選A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的關(guān)系以及特殊值進(jìn)行排除是解決

本題的關(guān)鍵.

5.已知4=0.32,/,=iOg203,c=2%則4,仇c的大小關(guān)系是（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)，塞函數(shù)，和對(duì)數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.

【詳解】

2

0<a=0.3<\,b=log20.3<log21=0,

c=2°，>2°=1,;.b<a<c.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)、基的運(yùn)算及性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，注意與特殊數(shù)的對(duì)比，如“0”“1”等等,

屬于基礎(chǔ)題.

6.sin72。cos18°+cos72。sin18。的值等于()

A.1B.0C.-1D.-

3

【答案】A

【解析】

【分析】

逆用兩角和的正弦公式化為90'的正弦值可得答案.

【詳解】

sin72°cos18°+cos72°sin18°=sin(72°+18°)=sin90°=1.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知厶/臺(tái)。中，a=4,b=4也,4=30°，則8等于().

A.60'或120°B.30°C.60'D.30"或150°

【答案】A

【解析】

【分析】

AsinA

應(yīng)用正弦定理，得到sin8=---------,再由邊角關(guān)系，即可判斷8的值.

a

【詳解】

解：,-?a=4,b=4G，Z=30°，

,/a<b,A<B,

:.B=60°或120°.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理及應(yīng)用，考查三角形的邊角關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，也是易錯(cuò)題.

8.已知角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)則cos2a=()

11

A.連B.-C.——D.一連

3333

【答案】B

【解析】

【分析】

先由角a的終邊過(guò)點(diǎn)1),求出cosa,再由二倍角公式，即可得出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)榻莂的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)戶(-加,1),

a-|>IR

所以cosa=]=-------,

y/2+l3

因此cos2a=2cos2a—1=丄.

故選B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的定義，以及二倍角公式，熟記三角函數(shù)的定義與二倍角公式即可，屬于常

考題型.

9.要得到函數(shù)V=sin（2x-qJ的圖象，需將函數(shù)卜=5m2苫的圖象（）

777T

A.向左平移一上單位B.向右平移二個(gè)單位

1010

TTTT

C.向左平移一個(gè)單位D.向右平移一個(gè)單位

55

【答案】B

【解析】

【分析】

化簡(jiǎn)歹=5W28一?卜詁2（%一7念1，即得解.

10

【詳解】

由題得y=sin[2x-g=sin2(%--),

10

要得到函數(shù)N=sin的圖象，需將函數(shù)歹=5皿2》的圖象向右平移￡7個(gè)1單位.

10

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.

10.在厶/臺(tái)。中，角4，B,C所對(duì)各邊分別為a,b,c,且?guī)n=/+。2一15歷，則工=（）

A.135°B.120°C.60°D.45°

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)余弦定理，由題中條件，即可得出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?/+。2-gbC，

由余弦定理可得，cosN=>+ci-=叵￡=立

2bc2bc2

所以4=45。.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題型.

11.已知向量值=(1,一2),5=(-2,3),則￡力=()

A.8B.4C.7D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

12.已知向量仮滿足,卜3同，a-b=6'向量Z，仮夾角為g，則,卜()

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【解析】

0【分析】

由向量數(shù)量積的定義建立方程即可.

【詳解】

因?yàn)?=x；=6,所以忖=6.

故選:D

【點(diǎn)睛】

此題為基礎(chǔ)題，考查向量數(shù)量積的定義.

13.已知等差數(shù)列｛4,｝的前八項(xiàng)和為邑，且％=3,公差d=2,則$5=()

A.30B.35C.40D.45

【答案】B

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式計(jì)算即可得到答案.

【詳解】

5x4

因?yàn)椋?3,d=2,所以$5=56+-^-1=35.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.

14.若則。+」一的最小值是()

ci一1

A.2B.aC.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

利用基本不等式化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】

因?yàn)椤?gt;1,所以a—1>0,則。+丄=。-1+丄+122,(。一1)?丄+1=3，

a-1a-\V丿a-1

當(dāng)且僅當(dāng)a—1=丄，即a=2時(shí)取等號(hào).

a-1

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.

15.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()

12

A.-B.-C.1D.2

33

【答案】C

【解析】

試題分析：由三視圖可知：原幾何體為三棱柱.所以體積為：語(yǔ)=工煤〕次碟-丹=?

考點(diǎn)：三視圖；空間幾何體的體積公式.

點(diǎn)評(píng)：由三視圖正確還原幾何體是做本題的的關(guān)鍵.

二、填空題

16.已知公差不為零的等差數(shù)列{a,J的前〃項(xiàng)和為S“，且4=6,若％,4，%成等比數(shù)列，則的

值為.

【答案】88

【解析】

2

由題意得a；=a}a7(6+d)?=(6-d)(6+5d):.6d=12dd羊。：.d=2

所以q=6—2=4,Sg=8x4+；x8x7x2=88

17.過(guò)原點(diǎn)且與直線x-歹+1=0垂直的直線的方程為

【答案】x+y=O

【解析】

分析：根據(jù)兩條直線垂直，可求出斜率；又因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)，因此可求出直線方程.

詳解：因?yàn)閮蓷l直線互相垂直，則兩條直線斜率之積為1

所以該直線斜率為1,因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)(0,0)

所以直線方程為y=-x

即x+y=0

點(diǎn)睛：本題考查了兩條直線垂直時(shí)斜率間的關(guān)系，利用點(diǎn)斜式求直線方程方法，屬于簡(jiǎn)單題.

18.若暴函數(shù)了=/*)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(丄,2),則/(-丄)的值為________.

88

【答案】-2

【解析】

【分析】

11

根據(jù)已知求出募函數(shù)的解析式/6)=一，再求出-爾的值得解.

【詳解】

設(shè)基函數(shù)的解析式為/（、）=/,

I1

由題得2=(-)0=2-3。,—3a=1,a=--,:.f{x}=x3.

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查基函數(shù)的解析式的求法和函數(shù)值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

y<x

19.若實(shí)數(shù)x、V滿足約束條件+則z=2x+y的最大值為.

丿N-1

【答案】3

【解析】

【分析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線z=2x+y,找出使得該直線在歹軸上截距最大時(shí)對(duì)應(yīng)的

最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算即可得解.

【詳解】

y<x

作出不等式組（x+y<l所表示的可行域如下圖所示：

>-1

x+y-\（x=2,、

聯(lián)立〈，，解得《，，可得點(diǎn)2（2,-1）,

y=-i[y=-l

平移直線z=2x+y,當(dāng)直線z=2x+y經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)/時(shí)，該直線在V軸上的截距最大，此

時(shí)z取最大值，即Zmax=2X2-1=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值，一般利用平移直線找出最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)題.

三、解答題

20.某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：A、B、C三

地位于同一水平面上，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測(cè)點(diǎn)A、B兩地相距100米，N8/CW0。，

2

在A地聽到彈射聲音的時(shí)間比在B地晩一秒.A地測(cè)得該儀器彈至最高點(diǎn)H時(shí)的仰角為30°.

17

(1)求A、C兩地的距離；

(2)求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音的傳播速度為340米/秒)

【答案】(1)420；(2)140.73

【解析】

【分析】

(1)利用在A地聽到彈射聲音的時(shí)間比B地晚k秒，求出BC,利用余弦定理，即可求得結(jié)論；

(2)在A4CH中，AC=420,/CAH=30°,利用正弦函數(shù)，可得結(jié)論.

【詳解】

(1)由題意，設(shè)4C=x,

2

則BC=x~—x340=x-40.

17

在A48c中，由余弦定理，得

BP(X-40)2=10000+X2-100X,

解得x=420.

:.A、C兩地間的距離為420m.

(2)在即A/C“中，AC=420,NCAH=30°,

答：該儀器的垂直彈射高度CH為140米.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的

能力，屬于中檔題.

21.

如圖，在四棱錐尸—N8CD中，四邊形Z8CZ）是菱形，PA=PC,E為P8的中點(diǎn).

（1）求證：PDH面AEC；

（2）求證:平面AEC丄平面PDB.

【答案】（1）要證明線面平行，則可以根據(jù)線面平行的判定定理來(lái)證明.

（2）對(duì)于面面垂直的證明，要根據(jù)已知中的菱形的對(duì)角線垂直，以及NC丄面來(lái)加以證明.

【解析】

【分析】

【詳解】

試題分析：（1）由題意得只需在平面AEC內(nèi)找一條直線與直線PD平行即可.設(shè)/Cn8D=。，連

接E0,由三角形中位線可得EO即得；（2）連接P0,由題意得P01AC,又底面為菱形，則AC丄BD,

由面面垂直的判定定理即得.

試題解析：（1）證明：設(shè)/?？?。=。，連接E0,因?yàn)?,E分別是BD,PB的中點(diǎn)，所以

而產(chǎn)。。面4EC,EOu面ZEC,所以「?！?EC

（2）連接P0,因?yàn)镻4=PC，所以NC丄尸。，又四邊形48CD是菱形，所以ZC丄8。

而POu面尸8。，BDu面PBD,POC\BD=O,所以/C丄面尸8。

又ZCu面/EC,所以面/EC丄面尸8。

考點(diǎn)：1.線面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理；

22.已知