2023年福建省中考數(shù)學(xué)試題【含答案】

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合要求的.

1.下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.-1B.OC.1D.2

2.下圖是由一個長方體和一個圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（）

3.若某三角形的三邊長分別為3,4,m,則小的值可以是（）

A.1B.5C.7D.9

4.黨的二十大報告指出，我國建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會保障體系、醫(yī)療衛(wèi)生體系，教育普及

水平實現(xiàn)歷史性跨越，基本養(yǎng)老保險覆蓋十億四千萬人，基本醫(yī)療保險參保率穩(wěn)定在百分之九十五、將數(shù)

據(jù)1040000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.104xl07B.10.4xl08C.1.04xl09D.0.104x10'0

5.下列計算正確的是（）

A.（.2）=。''B.ah-j-tz2C.a3-a4-a'2D-a2-a=a

6.根據(jù)福建省統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為

53109.85億元.設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,根據(jù)題意可列方程（）

A.43903.89(1+x)=53109.85B.43903.89(1+x>=53109.85

2

C.43903.8"=53109.85D.43903.89(1+X)=53109.85

7.閱讀以下作圖步驟:

①在Q4和OB上分別截取OC,。。，使OC=OD；

②分別以C,。為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧在NAQB內(nèi)交于點M；

2

③作射線OA7,連接CM,DM,如圖所示.

根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（）

A./1=/2且。/=。用B.N1=N3且=

CN1=N2且。D=DWD.N2=/3且OD=DW

8.為貫徹落實教育部辦公廳關(guān)于“保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各1小時體育活動時間”的要求，學(xué)校要求學(xué)

生每天堅持體育鍛煉.小亮記錄了自己一周內(nèi)每天校外鍛煉的時間（單位：分鐘），并制作了如圖所示的

統(tǒng)計圖.

個時間/分鐘

100

90

80

70

60二

50）...........................................................................

二二T3『夫白贏

根據(jù)統(tǒng)計圖，下列關(guān)于小亮該周每天校外鍛煉時間的描述，正確的是（）

A.平均數(shù)為70分鐘B.眾數(shù)為67分鐘C.中位數(shù)為67分鐘D.方差為0

3n

9.如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y=二和y=一圖象的四個分支上，則實數(shù)〃的值為

xx

（）

A.—3B.—C.—D.3

33

10.我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼

近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所

失矣”.“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率%的近似值為3.1416.如圖，。的

半徑為1,運用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計。。的面積，可得萬的估計值為迪，若用

2

圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得萬的估計值為（）

A.GB.272C.3D.273

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

11.某倉庫記賬員為方便記賬，將進貨10件記作+10,那么出貨5件應(yīng)記作.

12.如圖，在YABCD中，。為8。的中點，所過點。且分別交于點若AE=10,則

的長為

DFC

/"/

AEB

13.如圖，在菱形ABCQ中，A3=10,28=60°,則AC的長為一

BC

14.某公司欲招聘一名職員.對甲、乙、丙三名應(yīng)聘者進行了綜合知識、工作經(jīng)驗、語言表達(dá)等三方面的

測試，他們的各項成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

'目

\綜合知識工作經(jīng)驗語言表達(dá)

應(yīng)代

甲758080

乙858070

丙707870

如果將每位應(yīng)聘者的綜合知識、工作經(jīng)驗、語言表達(dá)的成績按5:2:3的比例計算其總成績，并錄用總成績

最高的應(yīng)聘者，則被錄用的是.

15.已知,+2=1,且。。一〃，則吐q的值為.

aba+h

16.已知拋物線y=ax2-2ax+b(a>0)經(jīng)過A(2〃+3,y),以八一1,%)兩點，若A5分別位于拋物線對

稱軸的兩側(cè)，且X<%，則n的取值范圍是.

三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計算:V9-2°+|-l|.

'2x+l<3,①

18.解不等式組：\x1-3%?

-+-----<1.(2)

124

19.如圖，OA=OC,OB=OD,AAOD=NCOB.求證：AB=CD.

2°-先化簡’再求值』一個卜會’其中行血一

21.如圖，已知J18C內(nèi)接于O,CO的延長線交于點。，交。于點E，交)0的切線AR于點

F，且A/〃5c.

A

F

（1）求證：AO//BE；

（2）求證：AO平分NB4c.

22.為促進消費，助力經(jīng)濟發(fā)展，某商場決定“讓利酬賓”，于“五一”期間舉辦了抽獎促銷活動.活動

規(guī)定：凡在商場消費一定金額的顧客，均可獲得一次抽獎機會.抽獎方案如下：從裝有大小質(zhì)地完全相同

的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中，隨機摸出1個球，若摸得紅球，則中獎，可獲得獎品：若

摸得黃球，則不中獎.同時，還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1個紅球或黃

球（它們的大小質(zhì)地與袋中的4個球完全相同），然后從中隨機摸出1個球，記下顏色后不放回，再從中隨

機摸出1個球，若摸得的兩球的顏色相同，則該顧客可獲得精美禮品一份.現(xiàn)已知某顧客獲得抽獎機會.

（1）求該顧客首次摸球中獎的概率；

（2）假如該顧客首次摸球未中獎，為了有更大機會獲得精美禮品，他應(yīng)往袋中加入哪種顏色的球？說明

你的理由

23.閱讀下列材料，回答問題

任務(wù)：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬

度，如圖1.

工具：一把皮尺（測量長度略小于AB）和一臺測角儀，如圖2.皮尺的功能是直接測量任意可到達(dá)的

兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）；

測角儀功能是測量角的大小，即在任一點。處，對其視線可及的尸，。兩點，可測得的大

小，如圖3.

圖1圖2圖3圖4

小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度AB,其測量及求解過程如下：測量過程：

（i）在小水池外選點C,如圖4,測得AC=am,BC=0m；

（ii）分別在AC,BC,上測得CM=@加，CN=-m；測得MN=cm.求解過程:

33

ah

由測量知，AC=a,BC=b,CMCN=-

33

MN1

:.ACMNSACAB,：.——--

AB3

又,：MN=c,：.AB/

故小水池的最大寬度為.m.

（1）補全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；

（2）小明求得A3用到的幾何知識是;

（3）小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得A6.請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾

何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度AB，寫出你的測量及求解過程.要求：測量得到

的長度用字母。，b,CL表示，角度用a,/，/L表示；測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求

出AB,且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）.

24.已知拋物線丁=0?+瓜+3交x軸于A（l,0）,8（3,0）兩點，M為拋物線的頂點，C,。為拋物線上不

與A3重合的相異兩點，記中點為E，直線AD,BC的交點為P.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若C（4,3）,。卜,一（），且加＜2,求證：C,三點共線；

（3）小明研究發(fā)現(xiàn)：無論C,。在拋物線上如何運動，只要CD,E三點共線，△AMRZXMERAABP

中必存在面積為定值的三角形.請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由.

25.如圖1,在中，/明仁二^^A臺:人^^是從臺邊上不與人5重合的一個定點.A01BC

于點0,交CD于點、E.DE是由線段QC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到的，ED,C4的延長線相交于點

M.

(1)求證：AAD^AfMC；

(2)求NABF度數(shù)；

(3)若N是A尸的中點，如圖2.求證：ND=NO.

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合要求的.

1.下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.-1B.OC.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】有理數(shù)比較大小的法則：正數(shù)大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于0,兩個負(fù)數(shù)中絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即

可.

【詳解】解：正數(shù)大于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù)，且2>1，所以—1、0、1、2中最大的實數(shù)是2.

故選：D

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)比較大小，熟練掌握其方法是解題的關(guān)鍵.

2.下圖是由一個長方體和一個圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（）

/某視方向

【解析】

【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖即可解答.

【詳解】解：從上面看下邊是一個矩形，矩形的上邊是一個圓，

故選：D.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，掌握從上面看得到的圖形是俯視圖是解答本題的關(guān)鍵.

3.若某三角形的三邊長分別為3,4,m,則機的值可以是（）

A.1B.5C.7D.9

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求解即可.

【詳解】解：由題意，得4—3<“<4+3,即1<m<7,

故加的值可選5,

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

4.黨的二十大報告指出，我國建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會保障體系、醫(yī)療衛(wèi)生體系，教育普及

水平實現(xiàn)歷史性跨越，基本養(yǎng)老保險覆蓋十億四千萬人，基本醫(yī)療保險參保率穩(wěn)定在百分之九十五、將數(shù)

據(jù)104000000()用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.104xl07B.10.4xl08C.1.04xl09D.0.104x10'°

【答案】C

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中〃為整數(shù).確定”的值時，要看把原數(shù)

變成“時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：104()()()()()()()=1.04xl()9,

故選：C.

【點睛】此題主要考查了科學(xué)記數(shù)法表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中

l<|a|<10,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

5.下列計算正確是()

A.?=/B.ab-i-a2=a3C.a5-a4=a'2D.a2-a=a

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)塞的乘方法、同底數(shù)基的除法法則、同底數(shù)幕的乘法以及合并同類項逐項判斷即可.

【詳解】解：A.(/丫=。2*3=。6,故A選項計算正確，符合題意；

B.。6+/=46-2=。4,故B選項計算錯誤，不合題意；

C.4.。4=。3+4=，，故C選項計算錯誤，不合題意；

D./與一”不是同類項，所以不能合并，故D選項計算錯誤，不合題意.

故選：A.

【點睛】本題主要考查同底數(shù)幕的乘除運算、基的乘方運算以及整式的加減運算等知識點，同底數(shù)幕相乘，

底數(shù)不變，指數(shù)相加；同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

6.根據(jù)福建省統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為

53109.85億元.設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,根據(jù)題意可列方程()

A.43903.89(1+%)=53109.85B.43903.89(1+%)2=53109.85

C.43903.89%2=53109.85D.43903.89(l+x2)=53109.85

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解.

【詳解】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,根據(jù)題意可列方程

43903.89(1+x)2=53109.85,

故選:B.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

7.閱讀以下作圖步驟：

①在。4和。8上分別截取使OC=8；

②分別以C,。為圓心，以大于‘C。的長為半徑作弧，兩弧在NAOB內(nèi)交于點M；

2

③作射線。用，連接CM,DM,如圖所示.

A./1=/2且。/=。用B./1=/3且。1=?！?/p>

C.N1=N2且=D./2=/3且=

【答案】A

【解析】

【分析】由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM,再結(jié)合=可得-COMg二。OM（SSS）,由

全等三角形的性質(zhì)可得Nl=Z2即可解答.

【詳解】解：由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM,

DM=DM，

：..COM^DOM（SSS）.

???N1=N2.

.?.A選項符合題意；

不能確定OC=CM,則Zl=N3不一定成立，故B選項不符合題意；

不能確定OD=￡＞河,故C選項不符合題意，

OD〃CM不一定成立，則/2=/3不一定成立，故D選項不符合題意.

故選A.

【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，理解尺規(guī)作圖過程是

解答本題的關(guān)鍵.

8.為貫徹落實教育部辦公廳關(guān)于“保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各1小時體育活動時間”的要求，學(xué)校要求學(xué)

生每天堅持體育鍛煉.小亮記錄了自己一周內(nèi)每天校外鍛煉的時間（單位：分鐘），并制作了如圖所示的

統(tǒng)計圖.

?時間/分鐘

根據(jù)統(tǒng)計圖，下列關(guān)于小亮該周每天校外鍛煉時間的描述，正確的是（）

A.平均數(shù)為70分鐘B.眾數(shù)為67分鐘C.中位數(shù)為67分鐘D.方差為0

【答案】B

【解析】

【分析】分別求出平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差，即可進行判斷.

【詳解】解：A.平均數(shù)為［”而四+叱+及+”十%??（分鐘），故選項錯誤，不符合題意;

B.在7個數(shù)據(jù)中，67出現(xiàn)的次數(shù)最多，為2次，則眾數(shù)為67分鐘，故選項正確，符合題意;

c.7個數(shù)據(jù)按照從小到大排列為：65,67,67,70,75,79,88,中位數(shù)是70分鐘，故選項錯誤，不符合題

意;

65+67x2+70+75+79+88

D.平均數(shù)為=73,

7

方差為(65—737+(67-73『x2+(70-73『+(75-73丫+(79-73『+(88—73『=410.故選項錯

77

誤，不符合題意.

故選：B.

【點睛】此題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差，熟練掌握各量的求解方法是解題的關(guān)鍵.

3n

9.如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y=二和y=一的圖象的四個分支上，則實數(shù)〃的值為

)

33

【答案】A

【解析】

3

【分析】如圖所示，點8在丫=二上，證明AOC'OBD,根據(jù)左的幾何意義即可求解.

x

【詳解】解：如圖所示，連接正方形的對角線，過點A6分別作x軸的垂線，垂足分別為C,。，點8在

OB^OA,ZAOB=NBDO=ZACO=9Q0,

：.ZCAO=90°—ZAOC=ZBOD.

，,.AO&OBD.

?s_s_2_H

,?0AOC-0OBD~2~~2'

???A點在第二象限，

n=—3.

故選：A.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的k的幾何意義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

10.我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼

近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所

失矣”.“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率萬的近似值為3.1416.如圖，。的

半徑為1,運用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計。。的面積，可得力的估計值為述，若用

2

圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得乃的估計值為（）

A.拒B.2夜C.3D.2百

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得NAO8=30。，根據(jù)30度的作對的直角邊是斜邊的一半可得

BC^-,根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解.

2

【詳解】解：圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為

30°,設(shè)圓的半徑為1,如圖為其中一個等腰三角形。鉆，過點B作8C_LQ4交QA于點于點C,

???ZAOB=30°,

BC=LOB=L,

22

…1,11

則SOAR=2XX2=4,

故正十二邊形的面積為125。相=12x1=3,

圓面積為"xlxl=3,

用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計：-O的面積可得兀=3,

故選：C.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，30度的作對的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓

的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

II.某倉庫記賬員為方便記賬，將進貨10件記作+10,那么出貨5件應(yīng)記作.

【答案】-5

【解析】

【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示.

【詳解】解：；“正”和“負(fù)”相對,

工進貨10件記作+10,那么出貨5件應(yīng)記作-5.

故答案為：-5.

【點睛】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，理解"正''和"負(fù)”的相對性，確定一對具有相反意義的量是解題關(guān)

鍵.

12.如圖，在YABC。中，。為6D的中點，所過點。且分別交于點若AE=10,則

CF的長為.

【答案】10

【解析】

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得。?！?3,。。=43即/0￡0=/。七8,/0。尸=/￡：80,再結(jié)合

OD=OB可得△DOFTZ\BOE(AAS)可得DF=EB，最進一步說明FC=AE=W即可解答.

【詳解】解：???A8C￡)中，

DC〃AB,DC=AB,

：.ZOFD=ZOEB,ZODF=NEBO,

???OD=OB,

：.△DOF^ABOE(AAS),

；?DF=EB，

：.DC-DF=AB-BE,即/7CMAEMIO.

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，證明三角形全等是解答

本題的關(guān)鍵.

13.如圖，在菱形ABCO中，A3=10,ZB=60°,則AC的長為.

【答案】10

【解析】

【分析】由菱形ABC。中，/B=60°,易證得,ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得解.

【詳解】解：???四邊形ABC。是菱形，

二AB=BC=10,

:/B=60°,

是等邊三角形，

...AC=10.

故答案為：10.

【點睛】本題考查了菱形性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記菱形的性質(zhì)并推出等邊三角形是解題的

關(guān)鍵.

14.某公司欲招聘一名職員.對甲、乙、丙三名應(yīng)聘者進行了綜合知識、工作經(jīng)驗、語言表達(dá)等三方面的

測試，他們的各項成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

項目綜合知識工作經(jīng)驗語言表達(dá)

甲75808()

乙858070

丙707870

如果將每位應(yīng)聘者的綜合知識、工作經(jīng)驗、語言表達(dá)的成績按5:2:3的比例計算其總成績，并錄用總成績

最高的應(yīng)聘者，則被錄用的是.

【答案】乙

【解析】

【分析】分別計算甲、乙、丙三名應(yīng)聘者的成績的加權(quán)平均數(shù)，比較大小即可求解.

-523

【詳解】解：x甲=75x—+80x—+80x—=77.5,

101010

-523

x乙=85X——+80X——+70X—=79.5,

101010

-523

x丙=70x—+78x—+70x3=71.6,

101010

V71.6<77.5<79.5

...被錄用的是乙，

故答案為：乙.

【點睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵.

15.已知,+2=1,且。。一人，則或二q的值為.

aha+b

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)一+-=1可得b+2a=出?，即出?一a=。+a,然后將"一a=匕+a整體代入?yún)^(qū)二色計算即

aba+b

可.

【詳解】解：???二+7=1

ab

.b+2a

??-1f

ab

/.b+2a=ab,即ah-a=h+a.

ab-aa+b.

J-----=----=1.

a+ba+b

【點睛】本題主要考查了分式的加減運算，根據(jù)分式的加減運算法則得到。匕-。二8+。是解答本題的關(guān)

鍵.

16.已知拋物線y=ax2-2ax+b(a>0)經(jīng)過A(2〃+3,y),B(〃一1,%)兩點，若A8分別位于拋物線對

稱軸的兩側(cè)，且X<%，則n的取值范圍是.

【答案】一1<〃<0

【解析】

【分析】根據(jù)題意，可得拋物線對稱軸為直線x=l,開口向上，根據(jù)已知條件得出點A在對稱軸的右側(cè),

且“<必，進而得出不等式，解不等式即可求解.

【詳解】解：；一2ax+/?,a>Q

拋物線的對稱軸為直線元=一士=1,開口向上，

2a

VA(2〃+3,X),8(〃一1,%)分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，

假設(shè)點B在對稱軸的右側(cè)，則”一1>1,解得〃>2,

2〃+3—(n—1)=〃+4>0

A點在B點的右側(cè),與假設(shè)矛盾，則點A在對稱軸的右側(cè)，

.’2〃+3>1

??<1

解得：-l<n<2

又???M<%，

，|(2〃+3H

2"+2<2—〃.

解得：n<Q

-1</?<0>

故答案為：-1<“<().

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計算：V9-2°+|-l|.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，絕對值，零指數(shù)基，有理數(shù)的混合運算法則計算即可.

【詳解】解：原式=3-1+1

=3.

【點睛】本題考查了算術(shù)平方根，絕對值，零指數(shù)累，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握以上運算法則是解題

的關(guān)鍵.

'2x+l<3,①

18.解不等式組：\xi-3x?

-+-^—^<1.(2)

,24

【答案】-3<x<l

【解析】

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不

到確定不等式組的解集.

-2x+l<3,①

【詳解】解：x1-3%

-+----<1.(2)

124

解不等式①，得

解不等式②，得3.

所以原不等式組的解集為-3Wx<l.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，0A=OCQB=OD,ZAOD=4C0B.求證：AB=CD.

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件得出NA03=NC0￡),進而證明如名△<W，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得

證.

【詳解】證明：ZAOD=ZCOB,

ZAOD-NBOD=NCOB-ZBOD,

即ZAOB=ZCOD.

在和△COD中，

OA=OC,

<ZAOB^ZCOD,

OB=OD,

:AO噲COD

AB—CD.

【點睛】本小題考查等式的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查幾何直觀、推理能力

等，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

20.先化簡，再求值：fl--1-4—其中尤=3-1.

[X)X-X

【答案】一一—,一走

x+12

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的混合運算法則化簡，然后再將》=夜-1代入計算即可解答.

【詳解】解：(1一四]+馬二

(XJX-X

(X)X

x-(x+l)x(x-l)

1

x+l

當(dāng)％=a-1時,

原式=J—

V2-1+1~2

【點睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)及其運算、分母有理化，正確的化簡分式是解答本題的關(guān)鍵.

21.如圖，已知內(nèi)接于-O,CO的延長線交于點。，交于點E，交。。的切線A廠于點

F，且A尸〃3c.

(1)求證：AO//BE；

(2)求證：AO平分N84C.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

【分析】(1)由切線的性質(zhì)可得ZOAF=90。，由圓周角定理可得NCBE=90。,即ZOAF=NCBE=90°,

再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得4AE=NA5C,則根據(jù)角的和差可得N0LB=NABE,最后根據(jù)平行線的判

定定理即可解答；

(2)由圓周角定理可得NABE=NACE,再由等腰三角形的性質(zhì)可得NACE=NQ4C,進而得到

ZABE=ZQ4C,再結(jié)合ZOAB=ZABE得到ZOAB=ZOAC即可證明結(jié)論.

【小問1詳解】

證明A/是。的切線，

AF1OA,即NOAF=90°.

CE是I。的直徑，

NCBE=90°.

：.ZOAF=ZCBE=90°.

AF〃BC,

:.ZBAF=ZABC,

;.NOAF—NBAF=NCBE—ZABC,即NQ4B=NABE,

:.AO//BE.

【小問2詳解】

解：NABE與/ACE都是左￡所對的圓周角,

A

:.ZABE=ZACE.

OA=OC,

ZACE=ZOAC,

:.ZABE=ZOAC.

由（1）知NQ4B=NAB￡,

:.ZOAB=ZOAC,

.?.AO平分/84C.

【點睛】本題主要考查角平分線、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)等知識點，靈活運用相

關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵.

22.為促進消費，助力經(jīng)濟發(fā)展，某商場決定“讓利酬賓”，于“五一”期間舉辦了抽獎促銷活動.活動

規(guī)定：凡在商場消費一定金額的顧客，均可獲得一次抽獎機會.抽獎方案如下：從裝有大小質(zhì)地完全相同

的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中，隨機摸出1個球，若摸得紅球，則中獎，可獲得獎品：若

摸得黃球，則不中獎.同時，還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1個紅球或黃

球（它們的大小質(zhì)地與袋中的4個球完全相同），然后從中隨機摸出1個球，記下顏色后不放回，再從中隨

機摸出1個球，若摸得的兩球的顏色相同，則該顧客可獲得精美禮品一份.現(xiàn)已知某顧客獲得抽獎機會.

（1）求該顧客首次摸球中獎的概率；

（2）假如該顧客首次摸球未中獎，為了有更大機會獲得精美禮品，他應(yīng)往袋中加入哪種顏色的球？說明

你的理由

【答案】（1）1

4

（2）應(yīng)往袋中加入黃球，見解析

【解析】

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）根據(jù)列表法求分別求得加入黃球和紅球的概率即可求解.

【小問1詳解】

解：顧客首次摸球的所有可能結(jié)果為紅，黃①，黃②，黃③，共4種等可能的結(jié)果.

記“首次摸得紅球”為事件A,則事件A發(fā)生的結(jié)果只有1種，

所以「(A)=；,所以顧客首次摸球中獎的概率為1.

【小問2詳解】

他應(yīng)往袋中加入黃球.

理由如下:

記往袋中加入的球為“新”，摸得的兩球所有可能的結(jié)果列表如下:

女球

第X紅黃①黃②黃③新

紅紅，黃①紅，黃②紅，黃③紅，新

黃①黃①，紅黃①，黃②黃①，黃③黃①，新

黃②黃②，紅黃②，黃①黃②，黃③黃②，新

黃③黃③，紅黃③，黃①黃③，黃②黃③，新

新新，紅新，黃①新，黃②新，黃③

共有20種等可能結(jié)果.

(i)若往袋中加入的是紅球，兩球顏色相同的結(jié)果共有8種，此時該顧客獲得精美禮品的概率

n82

r.=——=—；

1205

(ii)若往袋中加入的是黃球，兩球顏色相同的結(jié)果共有12種，此時該顧客獲得精美禮品的概率

A上工

22051

23

因為所以1＜鳥，所作他應(yīng)往袋中加入黃球.

【點睛】本小題考查簡單隨機事件的概率等基礎(chǔ)知識，考查抽象能力、運算能力、推理能力、應(yīng)用意識、

創(chuàng)新意識等，考查統(tǒng)計與概率思想、模型觀念，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

23.閱讀下列材料，回答問題

任務(wù)：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度AB遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬

度，如圖1.

工具：一把皮尺（測量長度略小于AB）和一臺測角儀，如圖2.皮尺的功能是直接測量任意可到達(dá)的

兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）；

測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點。處，對其視線可及的P,。兩點，可測得的大

小，如圖3.

小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度AB，其測量及求解過程如下：測量過程:

（i）在小水池外選點C,如圖4,測得AC=am,

(ii)分別在AC,BC,上測得CM=。,CN=2m

測得MV=cm求解過程:

33

由測量知，AC^a,BC=b,CMCN上,

33

詈弓小又..?&

MN1

/.ACMV^/\CAB，二----=-

AB3

又,/MN=c,AB=(§)(m).

故小水池的最大寬度為m.

（1）補全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；

（2）小明求得A8用到的幾何知識是;

（3）小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得AB.請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾

何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度AB，寫出你的測量及求解過程.要求：測量得到

的長度用字母”，b,cL表示，角度用a,/，/L表示；測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求

出且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）.

【答案】（1）@ZC=ZC；②3c

（2）相似三角形的判定與性質(zhì)

（3）最大寬度為acosa+竺學(xué)］m,見解析

Itan/?）

【解析】

【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可;

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進行回答即可；

(3)測量過程：在小水池外選點C,用測角儀在點B處測得NABC=a,在點A處測得N8AC=尸;

用皮尺測得BC=am；

求解過程：過點C作CDL4B,垂足為。，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義推得50=acosa,

,八tzsina,

CD=asina,AZ)=——-,根據(jù)43=&)+AD，即可求得.

tanp

【小問1詳解】

:AC-a,BC=b,CM=—,CN=—,

33

.CMCN1

??---------=一,

CACB3

又?:zc=zc,

AGW?V^/\CAB,

,MN1

/.----=—.

AB3

又?：MN=c,

：.AB=3c(m).

故小水池的最大寬度為3cm.

【小問2詳解】

根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求得AB=3MN=3c,

故答案為：相似三角形的判定與性質(zhì).

【小問3詳解】

測量過程：

(i)在小水池外選點C,如圖，用測角儀在點8處測得Z43C=a,在點A處測得N84C=夕；

(ii)用皮尺測得3C=am.

求解過程：

由測量知，在_A8C中，ZABC=a,/BAC=。，BC=a.

過點。作CDLA3,垂足為￡>.

BD

在RtaCB。中，cosNCBD=——

BC

BD

即cosa=----,所以&)=acosa.

同理，CD=asma.

CD

在RtZVlC。中，tan/C4O=——

AD

asina4八asina

即tan，=-^—4,所以4。=-

ADtan/7

…ffasina/、

所以A6=BD+AD=acosa-i---------（m）

tan/?''

/z/Q.in/y、

故小水池的最大寬度為acosa+一——m.

Itan尸；

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實際應(yīng)用，根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立

數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵.

24.已知拋物線y=o?+加+3交x軸于A（l,0）,3（3,0）兩點，M為拋物線的頂點，C,。為拋物線上不

與A,8重合的相異兩點，記AB中點為E，直線AD,8C的交點為P.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵若。（4,3）,。口-汁且“<2,求證：C2E三點共線；

（3）小明研究發(fā)現(xiàn)：無論在拋物線上如何運動，只要。,。,后三點共線，△AMPAMEP,AABP

中必存在面積為定值的三角形.請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由.

【答案】（1）y=X2-4x+3

（2）見解析（3）A3P的面積為定值，其面積為2

【解析】

【分析】（1）將A（1,O）,B（3,O）代入丁=4?+法+3,即可解得；

（2）A（1,O）,3（3,0）,AB中點為E,且C（4,3）,可求出過C,E兩點所在直線的一次函數(shù)表達(dá)式

33

y=3,。為拋物線上的一點，所以。(33,一3\:，此點在y='x—3,可證得C,D,E三點共線；

2V24J'2

(3)設(shè)C,。'與。,C分別關(guān)于直線￡70對稱，則只尸關(guān)于直線對稱，且AMP與的面積

不相等，所以.AMP的面積不為定值；如圖，當(dāng)分別運動到點G，2的位置，且保持G，A，E三點

共線.此時與BG的交點《到直線EM的距離小于P到直線的距離，所以△MEq的面積小于

△ME尸的面積，故AWEP的面積不為定值；故ABP的面積為定值，由(2)求出pg-2),此時

的面積為2.

【小問1詳解】

解：因為拋物線y=/+必+3經(jīng)過點A。,0),6(3,0),

。+〃+3=0,

所以V

[9。+3力+3=0.

0=1,

解得74

。=-4.

所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3；

【小問2詳解】

解：

設(shè)直線CE對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為丁=履+”(%。0),

因為E為AB中點，所以￡(2,0).

4Z+〃=3

又因為C（4,3）,所以鼠+〃I。,解得k=一2

3

所以直線C￡對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為丁=5工-3.

因為點。［加在拋物線上，所以加2—4m+3=-1.

35

解得，加=—或/%=一.

22

3

又因為m<2,所以m=一.

2

3_3

所以。2，-4

因為/-3=1，即嗚，-1

滿足直線CE對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，所以點。在直線CE上，即

C2E三點共線；

【小問3詳解】

解：A3P的面積為定值，其面積為2.

理由如下：（考生不必寫出下列理由）

如圖