2021版新高考地區(qū)高考數(shù)學(xué)(人教版)大一輪復(fù)習(xí) 充分條件與必要條件、全稱量詞與存在量詞

第2講充分條件與必要條件、全稱量詞與存在量詞

QQ知識，?6回顧理教初?夯實必備如択.

一、知識梳理

i.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p0q,則〃是”的充分條件,°是〃的必要條件

p是q的充分不必要條件p0q且q*p

p是q的必要不充分條件p*q且q=p

p是q的充要條件p0q

p是q的既不充分也不必要條件且*p

I注意］不能將“若p,則q”與“p=q”混為一談，只有“若p,貝觴”為真命題時,

才有才有q",即“p=q”才“若p,則q”為真命題.

2.全稱命題和特稱命題

(1)全稱量詞和存在量詞

量詞名稱常見量詞符號表示

全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等V

存在量詞存在一個、至少有一個、有些、某些等3

(2)全稱命題和特稱命題

名稱

全稱命題特稱命題

形

結(jié)構(gòu)對M中任意一個x,有p(x)成立存在M中的一個年,使p(%)成立

簡記XxRM、p(x)3-r(|eM,p(%)

否定勺xRM,—'pM

常用結(jié)論

1.從集合的角度理解充分條件與必要條件

若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即4={xlp(x)},B={x\q(x)},則關(guān)

于充分條件，必要條件又可以敘述為：

(1)若AU8,則p是g的充分條件；

(2)若AN8,則p是q的必要條件；

(3)若A=8,則p是g的充要條件；

(4)若4B,則p是q的充分不必要條件；

(5)若AB,則p是q的必要不充分條件；

(6)若4幺8且則p是q的既不充分也不必要條件.

2.全稱命題與特稱命題的否定

(1)改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再

對量詞進行改寫.

(2)否定結(jié)論：對原命題的結(jié)論進行否定.

二、教材衍化

1.”(x—l)(x+2)=0"是“x=l”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選B.若x=l,則(x-l)(x+2)=0顯然成立，但反之不成立，即若(x-l)(x+2)

=0,則x的值也可能為-2.故選B.

2.命題“m/WR,log/o+2<0"的否定是.

答案：VxSR,log9x+2^0

曙善懸注喳>

一、思考辨析

判斷正誤(正確的打“J”，錯誤的打“義”)

(1)當(dāng)4是p的必要條件時，p是4的充分條件.()

(2)g不是p的必要條件時，“p*q”成立.()

(3)寫特稱命題的否定時?，存在量詞變?yōu)槿Q量詞.()

(4)BxoeM,p(%)與VxWM,—'p(x)的真假性相反.()

答案：(1)J(2)7(3)。(4)7

二、易錯糾偏

常見?

、口」(1)全稱命題或特稱命題的否定出錯；

誤區(qū)

(2)對充分必要條件判斷錯誤.

1.命題“全等三角形的面積一定都相等”的否定是.

答案：存在兩個全等三角形的面積不相等

2.設(shè)xGR,則“2—x20”是“(x—1)2W1”的條件.

答案：必要不充分

》彰曲素養(yǎng)，⑥。提升明考向?直市考例考法.

考點一全稱命題與特稱命題(基礎(chǔ)型)

復(fù)習(xí)?

山口1理解全稱量詞與存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.

指導(dǎo)

核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象

2

1.（2020?西安模擬）命題“Vx>0,士>0”的否定是（)

Y

A.3x<0,----r^OB.3x>0,OWxWl

x—\

x

C.Vx>0,-r^OD.Vx<0,OWxWl

元一1

xX

解析：選B.因為有>。,所以或X”,所以口>°的否定是所以

命題的否定是三公>0,OWxWl,故選B.

2.下列命題中的假命題是（）

A.VxCR,ev>0B.VxSN,x2>0

兀

C.Bx0GR,lnx0<lD.Bx0GN*,sin/。=1

解析：選B.對于B.當(dāng)x=O時，X2=O,因此B中命題是假命題.

3.已知命題p：5mGR,段）=2\一,如是增函數(shù)，則“為（）

A.y（x）=2t—是減函數(shù)

B.VnjGR,於）=2<—mr是減函數(shù)

C../（x）=2r—n?x不是增函數(shù)

D.X/mGR,不是增函數(shù)

解析：選D.由特稱命題的否定可得「。為貝x）=2、一〃?x不是增函數(shù)”.

4.（2020?寧夏石嘴山期中）若命題“三十氏〃一2￡-4<0”是假命題，則實數(shù)a的取值

范圍是?

解析：因為命題“m/CR,t2—2z—tz<0"為假命題，所以命題“W/eR,n—2/一aNO”

為真命題，所以/=（一2）2—4X1X（—a）=4a+4W0,即aW-l.

答案：（-8,—1]

曲閩歯

（1）全稱命題與特稱命題的否定

①改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對

量詞進行改寫；

②否定結(jié)論：對原命題的結(jié)論進行否定.

（2）全稱命題與特稱命題真假的判斷方法

命題名稱真假判斷方法一判斷方法二

真所有對象使命題為真否定為假

全稱命題

假存在一個對象使命題為假否定為真

真存在一個對象使命題為真否定為假

特稱命題

假所有對象使命題為假否定為真

3

［提醒］因為命題P與T的真假性相反，因此不管是全稱命題，還是特稱命題，若其

真假不容易正面判斷時，可先判斷其否定的真假.

考點二充分條件、必要條件的判斷(基礎(chǔ)型)

復(fù)習(xí)

“口I理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.

指導(dǎo)

核心素養(yǎng)：邏輯推理

例11(1)(2020?煙臺模擬)已知°,。都是實數(shù)，那么?>a>0”是"%'的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

(2)(2020?佛山模擬)已知p：x=2,<7：x-2=\j2-x,則p是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】(1)若丄>\,則丄厶">。.當(dāng)0<a<b時，?成立；當(dāng)a>0,b<0時，滿足丄

x7ababababab

但0<a<b不成立.故》>a>0”是“另'的充分不必要條件，故選A.

(2)當(dāng)x-2=d2-x時,兩邊平方可得(X-2)2=2-X,即。一2)(》-1)=0,解得/=2,

々=1.當(dāng)x=l時，-1=W，不成立，故舍去，則x=2,所以p是q的充要條件，故選C.

【答案】(1)A(2)C

砲目骸

充分條件、必要條件的2種判斷方法

(1)定義法：根據(jù)p=夕，進行判斷.

(2)集合法：根據(jù)p,夕成立的對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.

［提醒］判斷充要條件需注意3點

(1)要分清條件與結(jié)論分別是什么.

(2)要從充分性、必要性兩個方面進行判斷.

(3)直接判斷比較困難時，可舉出反例說明.

口考法金練

1.(2019?高考天津卷)設(shè)xWR,貝I"％2-5X<0”是“Lr-11<1”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選B.由X2—5x<0可得0<x<5.由Lr-u<l可得0<r<2.由于區(qū)間(0,2)是(0,5)的

真子集，故“X2—5x<0”是11<1"的必要而不充分條件.

2.(2020?安徽淮南二模)設(shè)2GR,則“4=一3”是“直線2入+(4—l)y=1與直線6x+

4

(1一Qy=4平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A.當(dāng)2=—3時，兩條直線的方程分別為6x+4y+l=0,3x+2)，-2=0,此

時兩條直線平行；

若直線2雙+(2—1?=1與直線6x+(l—?)，=4平行，則22X(1—?=—6(1一%),所以2

=-3或4=1,經(jīng)檢驗，兩者均符合.

綜上，'：=—3”是“直線2厶+(4—1))，=1與直線6x+(l—2))，=4平行”的充分不必要

條件，故選A.

考點三充分條件、必要條件的探求及應(yīng)用(綜合型)

復(fù)習(xí)指導(dǎo)?尋求充分、必要條件的思路

(1)尋求q的充分條件p,即求使q成立的條件p;

(2)尋求q的必要條件p,即求使q為條件可推出的結(jié)論p.

例2已知條件p：集合尸={xlx2-8x—20W0},條件q：非空集合S={xll-〃?WxWl

+“}.若p是q的必要條件，求機的取值范圍.

【解】由X2—8x—20W0,得一2WxW10,

所以P={xL2WxW10},

由0是令的必要條件，知SGP.

1—加,

則<1—〃?》一2,所以0<m這3.

」+mW10,

所以當(dāng)時，p是q的必要條件，

即所求〃?的取值范圍是[0,3].

【遷移探究】(變結(jié)論)若本例條件不變，問是否存在實數(shù)優(yōu)，使〃是q的充要條件.

解：若p是q的充要條件，則2=3,

1—m=-2,機=3,

所以，所以＜

1+m=10,771=9,

即不存在實數(shù)優(yōu)，使「是夕的充要條件.

初悶的

根據(jù)充要條件求解參數(shù)范圍的方法及注意事項

(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然

后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.

(2)求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間

的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當(dāng)容易出

5

現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.

1.命題“VxC[l,3],%2-aWO”為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.心9B.aW9

C.心10D.aW10

解析：選C.命題3],K-nWO"㈡“Vxe[l,3],mWa"O9W4則a,10

是命題“VxW[l,3],%2—aWO”為真命題的一個充分不必要條件.故選C.

2.若“X2—X—6>0”是“x>a”的必要不充分條件，則a的最小值為.

解析：由k一工一6>0,解得xv—2或工>3.

因為“管一工一6>0”是的必要不充分條件，

所以是｛Hrv—2或x>3｝的真子集，即〃23,故。的最小值為3.

答案：3

,@頫演練，①信突破練好施?突破離分瓶頸.

[基礎(chǔ)題組練]

1.（2020?安徽螂埠第一次敎學(xué)質(zhì)量檢査）命題p：存在常數(shù)列不是等比數(shù)列，則命題一'P

為（）

A.任意常數(shù)列不是等比數(shù)列

B.存在常數(shù)列是等比數(shù)列

C.任意常數(shù)列都是等比數(shù)列

D.不存在常數(shù)列是等比數(shù)列

解析：選C.因為特稱命題的否定是全稱命題，命題p:存在常數(shù)列不是等比數(shù)列的否

定命題,：任意常數(shù)列都是等比數(shù)列，故選C.

2.設(shè)U為全集，A,8是集合，則“存在集合C使得A=C,BUl’C”是“AC8=?！?/p>

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A.由4UC,易知AA8=0,但4nB=0時未必有AUC,BQ^C,

如圖所示，

f

所以“存在集合。使得A&C,B^vC是“AA8=0”的充分不必要條件.

3.已知於）=sinx—x,命題p：縱於）<0,則（）

6

A.p是假命題，「p：Vx￡（O,兀020

B.p是假命題，—ip：J,段）20

C.〃是真命題，「p：Vx&（0,J,?r）20

D.p是真命題，一1p：Bx^（0>5）,/（x）^0

所以?x）在（0,號上是減函數(shù)，因為犬0）=0,所

解析：選C.易知/(x)=cosx—l<0,

以式x）<0,所以命題p：3xG（0,5）,式x）<0是真命題，一>p:Vxsfo.5）,貝X）N0,故選C.

4.（2020?鄭州模擬）設(shè)平面向量a,b,c均為非零向量，則“0（6—<?）=0"是“。=c”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選B.由?=c,得》一c=0,得。仍一c）=0;反之不成立.故"a?S-c）=0"是

“b=c”的必要不充分條件.

5.（2020?寧莫銀川一中模擬）王昌齡的《從軍行》中兩句詩為"黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破

樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（）

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選B.“攻破樓蘭”不一定“返回家鄉(xiāng)”，但“返回家鄉(xiāng)”一定是“攻破樓蘭”，

故“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要非充分條件.故選B.

6.已知命題使2x^+（。-l）x°+gw0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是

（）

A.（-8,-1）B.（-1,3）

C.（-3,+8）D.（一3,1）

解析：選B.原命題的否定為VxCR,2x2+0-1）A+|>0,由題意知，其為真命題，則

△=（a—1）2—4X2Xy<0,則一2<a—1<2,她|—l<a<3.

7.（多選）已知a,b,c是實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.aai>b2n是“a>6”的充分條件

B.。2>歷”是“a>b”的必要條件

C.uac2>bc2,>是“a>加'的充分條件

D.u\a\>\b\n是"a>b”的既不充分也不必要條件

7

解析：選CD.對于A,當(dāng)〃=-5,b=l時，滿足但是avb,所以充分性不成

立；對于B,當(dāng)a=l,b=—2時，滿足〃>b,但是02Vb2,所以必要性不成立；對于C,由

〃c2>bc2得cWO,則有a>b成立，即充分性成立，故正確；對于D,當(dāng)〃=—5,b=l時，1。1>心1

成立，但是avb,所以充分性不成立，當(dāng)〃=1,。=一2時，滿足少汕，但是㈤〈心，所以必

要性也不成立，故"㈤>肘'是、>兄的既不充分也不必要條件.故選CD.

8.(多選)(2021?預(yù)測)下列命題說法錯誤的是()

A.三元o^R,ev()WO

B.VxWR,2r>X2

C.”+b=0的充要條件是￡=-1

D.若x,yWR,且x+y>2,則x,y中至少有一個大于1

解析：選ABC.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得e?0,故A錯誤：x=2時，2>解不成立，

故B錯誤；當(dāng)a=b=O時，/殳有意義，故C錯誤；因為“x+y>2,則x,y中至少有一個

大于1”的逆否命題為“x,y都小于等于1,則x+yW2”，是真命題，所以原命題為真命

題，故選ABC.

9.若命題P的否定是“Wxe(o,+8),，則命題P可寫為

解析：因為P是「P的否定，所以只需將全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，再對結(jié)論否定即可.

答案：3xoG(0>+°°),\[x0^x0+1

10.在△ABC中，“4=8”是“tan4=tan8”的條件.

解析：由A—B,得tanA=tanB,反之，若tanA=tanB,則A—B+kn,kGZ.因為0<4<n,

0<B<n,所以A=B,故"A=8"是"tanA=tan8”的充要條件.

答案：充要

11.條件p：x>a,條件q：x22.

(1)若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是；

(2)若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍是.

解析：設(shè)厶=口k>4},B={xLr扌2},

(1)因為p是g的充分不必要條件，

所以AB,所以aN2;

(2)因為p是g的必要不充分條件，

所以84,所以"2.

答案:(1)[2,+8)(2)(—8,2)

12.已知集合4={xla-2<r<a+2},8={xLrW-2或x24},則的充要條件是

8

他+2W4,

解析：AC1B=0^、<=>0WaW2.

a—2^—2

答案：[0,2]

[綜合題組練]

1.（2020?遼寧丹東質(zhì)量測試（一））已知x,yGR,則“x+yWl”是“xW；且的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件