線性代數(shù)課件6-3線性子空間

線性代數(shù)課件6-3線性子空間contents目錄線性子空間的定義與性質(zhì)線性子空間的維數(shù)與基線性子空間的表示與投影線性子空間的性質(zhì)與關(guān)系線性子空間的運(yùn)算與變換線性子空間的應(yīng)用與實(shí)例線性子空間的定義與性質(zhì)010102線性子空間的定義線性子空間可以由一個(gè)或多個(gè)向量作為基底來(lái)生成。線性子空間是向量空間的一個(gè)非空子集，對(duì)于向量空間中的加法和標(biāo)量乘法運(yùn)算封閉。010203線性子空間中的任意向量可以由基底線性表示。線性子空間對(duì)于向量空間的加法和標(biāo)量乘法運(yùn)算封閉。線性子空間的和仍然是線性子空間。線性子空間的性質(zhì)三維向量空間中的任何平面和三維子空間都是線性子空間的例子。在矩陣向量空間中，由所有形如$Ax$的向量構(gòu)成的集合，其中$A$是某個(gè)矩陣，$x$是任意向量，也是一個(gè)線性子空間。平面幾何中的直線和平面可以視為二維向量空間中的線性子空間。線性子空間的例子線性子空間的維數(shù)與基02線性子空間的維數(shù)是該子空間中獨(dú)立向量的個(gè)數(shù)。定義通過(guò)向量的線性組合，得到子空間的一組基，基的個(gè)數(shù)即為維數(shù)。計(jì)算方法線性子空間的維數(shù)與其在原空間中的投影維數(shù)相等。性質(zhì)線性子空間的維數(shù)線性子空間的基是一組線性獨(dú)立的向量，它們可以生成整個(gè)子空間。定義選取方法性質(zhì)通過(guò)求解線性方程組或利用已知基進(jìn)行擴(kuò)展得到?；南蛄渴蔷€性無(wú)關(guān)的，且任意向量可以由基向量線性表示。030201線性子空間的基對(duì)于任意線性子空間，存在一組擴(kuò)展基，使得該子空間中的任意向量都可以由擴(kuò)展基線性表示。定理內(nèi)容在求解線性方程組、向量空間分解等方面有重要應(yīng)用。應(yīng)用場(chǎng)景利用線性代數(shù)的基本定理和性質(zhì)進(jìn)行證明。證明方法基的擴(kuò)展定理線性子空間的表示與投影03線性子空間是向量空間中的一個(gè)非空子集，對(duì)于加法和標(biāo)量乘法封閉。線性子空間定義線性子空間具有加法封閉性、標(biāo)量乘法封閉性和零元存在性。線性子空間的性質(zhì)一個(gè)子集是線性子空間的充分必要條件是它對(duì)加法和標(biāo)量乘法封閉。線性子空間的判定線性子空間的表示投影的公式設(shè)$xinV$，$W$是$V$的線性子空間，那么$x$在$W$上的投影為$frac{<x,w>}{<w,w>}w$，其中$winW$且$<w,w>$不等于0。投影的定義對(duì)于任意向量$x$和線性子空間$W$，$x$在$W$上的投影是$W$中與$x$最接近的向量。投影的性質(zhì)投影具有非負(fù)性、齊次性和平移不變性。線性子空間的投影03投影的意義投影表示向量$x$在子空間$W$上的分量，即向量$x$在子空間$W$上的表示。01投影的長(zhǎng)度向量$x$在子空間$W$上的投影長(zhǎng)度等于向量$x$與垂直于子空間$W$的平面上任意向量的點(diǎn)積的絕對(duì)值。02投影的方向投影的方向與子空間$W$正交，且與向量$x$在子空間$W$上的方向一致。投影的幾何意義線性子空間的性質(zhì)與關(guān)系0402030401線性子空間的性質(zhì)線性子空間是向量的集合，這些向量滿足加法和標(biāo)量乘法的封閉性。線性子空間中的向量可以由基向量線性表示。線性子空間具有有限或無(wú)限維數(shù)，取決于其包含的向量個(gè)數(shù)。線性子空間具有零向量，即加法單位元。一個(gè)子空間可以包含另一個(gè)子空間的所有向量。子空間包含兩個(gè)子空間的交集也是一個(gè)子空間。子空間交兩個(gè)子空間的并集不一定是子空間。子空間并一個(gè)子空間在全空間中的補(bǔ)集也是一個(gè)子空間。子空間的補(bǔ)線性子空間的關(guān)系123如果$U$和$W$是$V$的子空間，那么$U+W$也是$V$的子空間。子空間的和如果$U$和$W$是$V$的子空間，那么$UcapW$也是$V$的子空間。子空間的交如果$U$是$V$的子空間，那么$U'$（$U$在$V$中的補(bǔ)集）也是$V$的子空間。子空間的補(bǔ)子空間之間的關(guān)系定理線性子空間的運(yùn)算與變換05線性子空間的加法與數(shù)乘線性子空間的加法設(shè)$W_1$和$W_2$是線性子空間，對(duì)于任意$w_1inW_1$和$w_2inW_2$，$w_1+w_2$的定義是滿足$w_1+w_2inW$的向量。數(shù)乘對(duì)于任意標(biāo)量$k$和向量$winW$，數(shù)乘$kcdotw$的定義是滿足$(kcdotw)+w=k(w+w)$的向量。結(jié)合律對(duì)于任意向量$w_1,w_2,w_3inW$和標(biāo)量$k,k'inK$，有$(kcdotw_1)+(k'cdotw_2)=(k+k')cdot(w_1+w_2)$。分配律對(duì)于任意向量$w_1,w_2inW$和標(biāo)量$k,k'inK$，有$(k+k')cdotw=kcdotw+k'cdotw$。封閉性對(duì)于任意向量$w_1,w_2inW$和標(biāo)量$k,k'inK$，有$kcdotw_1+k'cdotw_2inW$。線性子空間的運(yùn)算性質(zhì)線性變換與矩陣表示一個(gè)從線性子空間$W_1$到線性子空間$W_2$的映射，如果對(duì)于任意向量$winW_1$，滿足$varphi(kcdotw)=k'cdotvarphi(w)$的標(biāo)量$k'$，則稱$varphi$為線性變換。線性變換如果存在基底${e_1,e_2,...,e_n}$，使得對(duì)于任意向量$w=a_1e_1+a_2e_2+...+a_ne_ninW$，有$varphi(w)=A(w)=A(a_1,a_2,...,a_n)$，則稱矩陣A為線性變換在基底下的表示。矩陣表示線性子空間的應(yīng)用與實(shí)例06線性子空間在幾何中可以用來(lái)描述平面、直線、向量等基本概念。例如，平面可以看作是所有滿足某個(gè)線性方程的點(diǎn)的集合，而直線則可以看作是兩個(gè)平面的交集。線性子空間還可以用來(lái)研究幾何對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系，例如通過(guò)向量的線性組合和運(yùn)算，可以研究向量的長(zhǎng)度、夾角、平行性和垂直性等幾何屬性。線性子空間在幾何中的應(yīng)用在信號(hào)處理中，線性子空間可以用來(lái)描述信號(hào)的頻率、時(shí)間和幅度等特征。例如，在頻域分析中，信號(hào)可以表示為一組正弦波的線性組合，而這些正弦波的頻率、幅度和相位可以構(gòu)成一個(gè)線性子空間。線性子空間還可以用來(lái)進(jìn)行信號(hào)分類、降噪和壓縮等操作。例如，通過(guò)將信號(hào)投影到一個(gè)低維的線性子空間中，可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的降噪和壓縮，同時(shí)保留其主要特征。線性子空間在信號(hào)處理中的應(yīng)用在控制理論中，線性子空間可以用來(lái)描述系統(tǒng)的狀態(tài)和行為。例如，一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)可以表示