2023年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)練10平面向量小題基礎(chǔ)練（解析版）

【一專三練】

專題10平面向量小題基礎(chǔ)練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

分層訓(xùn)練(新高考通用)

一、單選題

1.(2023?江蘇泰州?統(tǒng)考一模)已知向量α,b滿足W=I,W=2,<q,6>=g,則"a+q=

()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.

【詳解】α?(α+θ)=a+α?A=1+1x2XCoSg=I-I=0.

故選：C

2.(2023?湖北?荊州中學(xué)校聯(lián)考二模)已知向量加=(3,T),〃=(-12,5),則”??〃+W=

()

A.-56B.69C.-43D.43

【答案】C

【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合平面向量的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橄蛄考?(3,-4),"=(-12,5),貝∣J"7?"+H=3X(-12)+(-4)X5+J(-12)2+5。

=一36-20+13=-43.

故選：C.

3.(2023?江蘇?二模)在；ABC所在平面內(nèi)，。是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且80=46,E是AB

的中點(diǎn)，設(shè)AB="，AC=h?Pl1JfD=()

14,?3I,

A.-a+-bB.-a+-b

5544

-5.4]-5.5,

C.——d+-bD.——a+-h

6364

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，借助向量的線性運(yùn)算用他、AC衣小En即可判斷作答.

4-

【詳解】在AΛBC所在平面內(nèi)，。在BC延長(zhǎng)線上，且B￡>=48,則BD=又E

是AB的中點(diǎn)，

14141454

月『以ED=EB+BO=-A8+-BC=—48+—(AC-AB)=—a+—出一〃)二一一a+—b.

23232363

故選：C

4.（2023?江蘇泰州?泰州中學(xué)校考一模）已知平面單位向量α,b，C滿足

〈0,份=〈6,c〉=〈c,a〉=T，貝中α+2"c∣=（）

A.0B.1C.√3D.√6

【答案】C

rrrrrr?元

【分析】根據(jù)〈。,力=也。〉=仁0〉=寧可得分。=_〃，替換”，利用數(shù)量積的運(yùn)算即可

求解.

【詳解】如圖，設(shè)α=OA,,b=OB,c=OC>

rr2π

因?yàn)镾,c〉=胃，所以平行四邊形OCnB為菱形，

則AODB為正三角形，所以。。=1,且04,。。反向，

rrrrrri'rrrr

所以6+3=F,J5Ffy∣3α+2b+c∣=∣3(-?-c)+2?+c∣=∣-?-2c∣=∣?+2c∣,

因?yàn)?+2c]=b+4c+4MHCoSI=l+4+4xlxlx(-g)=3,

所以際2；卜百，

故選：C.

5.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若向量α,6滿足∣α+A∣=∣α∣+∣6∣,則向量°涉一定

滿足的關(guān)系為（）

A.a=0B.存在實(shí)數(shù)4,使得Ci=痛

C.存在實(shí)數(shù)〃7'〃，使得"74=〃。D.?a-b?=?a?-?b?

【答案】C

【分析】對(duì)于A,BQ通過(guò)舉反例即可判斷，對(duì)于C需分0與〃是否為。討論即可.

【詳解】∣α+?∣=∣α∣+∣6∣,兩邊同平方得

a2+2a?h+b2=d2+2?d??b?+b2

.?a?b=?a??b?9.??a??b?cosθ=?a??b?f

對(duì)A,5=。時(shí)，α為任一向量，故A錯(cuò)誤，

對(duì)B,若b=0,α≠0時(shí)，此時(shí)不存在實(shí)數(shù)4,使得"助，故B錯(cuò)誤,

對(duì)于C,因?yàn)楱Oα∣∣0ICOSe=IaIlbl,當(dāng)α與〃至少一個(gè)為零向量時(shí)，此時(shí)

一定存在實(shí)數(shù)zw,使得心〃=nb`

具體分析如下：

當(dāng)α=0,1#6時(shí)，此時(shí)機(jī)為任意實(shí)數(shù)，n=0.

當(dāng)4.0，O=O時(shí)，此時(shí)”為任意實(shí)數(shù)，加=0，

當(dāng)α=0,8=0時(shí)，〃?，,為任意實(shí)數(shù)，

當(dāng)α≠0,3小時(shí)，因?yàn)镮aiwCOSe=Ia|叫，則有CoSe=1,根據(jù)1∈[θ,司,

則6=0,此時(shí)共線，且同向，則存在實(shí)數(shù);I使得￡=2B(Λ>0),

H

令4=—,其中〃2，"同號(hào)，即4=—b,即加Q=R;,則存在實(shí)數(shù)相，〃,使得m士=應(yīng)?，故

mm

C正確，

對(duì)于D,當(dāng)4="ZWB時(shí)，∣α-力阿。|一|。|,故D錯(cuò)誤，

故選：C.

6.(2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))平面向量”=(-2M),6=(2,4),若皿,貝小4卜

()

A.6B.5C.2√6D.2√5

【答案】B

【分析】先利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求得#,再利用平面向量模的坐標(biāo)表示即可得

解.

【詳解】因?yàn)棣?(-2,%),6=(2,4),aVby

所以Gb=-2x2+4k=0,解得&=1，

所以a_6=(_2_2?_4)=(T,_3),

4232

因止匕,=λ∕(-)+(-)=5.

故選：B.

7.(2023?湖南邵陽(yáng)?統(tǒng)考二模)已知向量。=(1,3),6=(1,-1),￠=(4,5).若〃與6+衣

垂直，則實(shí)數(shù)4的值為()

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，垂直向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得答案.

【詳解】由題意，?+Λc=(1+42,5/1-1),由〃與b+∕lc垂直，則小僅+%)=0,

,2

βpi+4∕l÷3×(5Λ-l)=O,解得2=歷.

故選：A.

2

8.(2023?湖南?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平行四邊形A8C。中，AB=a,AD=h,^AE=-AC,

則DE=()

A.—a——bB.—a——bC.-a+-bD.—。+一匕

33333333

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則計(jì)算得到答案.

221\21

【詳解】DE=AE-AD=-AC-AD=-(AB+AD)-AD=-a--b,

故選:B

9.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知向量d為單位向量,向量5=(1,1),R+9?(2A-很)=1,

則向量α與向量b的夾角為()

πC?！?，兀C兀

A.-B.—C.—D.一

6432

【答案】B

【分析】利用向量模長(zhǎng)的定義得到同=1，忖=血，再根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可求得

向量d與向量方的夾角.

【詳解】因?yàn)橄蛄縟為單位向量，向量b=(u),所以Ia=I,忖=夜，

+=Ia1+a?b-b2=?,g∣J2p∕∣2+∣α∣∣?∣cos<a,b>-∣fe∣=1,

所以cos<α,b>=亭，又<α,6>e[0,τι],則向量A與向量6的夾角為:，

故選：B.

10.(2023?廣東佛山?統(tǒng)考一模)已知單位向量α,。滿足夕〃=0,若向量c=4+√?,

則CoS(a,C)=()

A.且B.?C.如D.-

2244

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算以及夾角的余弦公式，可得答案.

【詳解】由單位向量3,則H=1，W=1,即卜J=（α+Gb）=p∣2+2>∕3α?b+3∣?∣2=4,

∣c∣=2,a?c=a?^a+?∣3b^=p∕∣+6Crb=I

CoS但/?>麗a?c=1

故選：B.

11.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考一模）已知α,b為單位向量，且囚-5力|=7,則°與的

夾角為（）

πC2兀_πC5花

A.-B.—C.-D.—

3366

【答案】C

【分析】設(shè)“與夾角為，，利用∣3α-5b∣=7求出°力，在利用夾角公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)椤?〃為單位向量，

由∣3α-58∣=7,

所以（3a-5?）2=49=9/_30。為+25廣=49,

--1

即9一30。?人+25=49=α?b=—一,

2

設(shè)。與4—b夾角為8,

12.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考一模）在.ABC中，AB=c,AC=b,若點(diǎn)M滿足MC=28M，

則AM=（）

122,1c52,

A.-hz+-cB.—h——cC.-c——bD.

33333333

【答案】A

【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：

uuπrr

UUirminUUlrUun∣UUnUlIn∣zuιnπUUn`ιUlln212

AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-?AC-AB]=-AC+-AB=-h+-c.

33、>3333

故選：A.

13.（2023廣東湛江?統(tǒng)考一模）在平行四邊形ABCZ）中，E為邊5。的中點(diǎn)，記AC=α，

DB=b,則AE=（）

11,-21,

A.—a——bB.—a+-P

2433

131,

C.ci-\—bD.-ciH—b

244

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，求得CB=gb-；a,結(jié)合AE=AC+CE=AC+gCB,

即可求解.

【詳解】如圖所示，可得CB=OB-OC=1￡>8—《AC=18-!.,

2222

所以AE=4C+CE=AC+Lc8="+U4-L]=3α+4.

22（22J44

故選：D.

14.(2023?浙江金華?浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))若向量α=(x,2),6=(-1,2),

且“_L0，則M=()

A.2√3B.4C.3√2D.2√5

【答案】D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求X,再由向量的模的坐標(biāo)表示即得.

【詳解】UIaJLB,UJ得一x+2x2=0,

所以x=4,α=(2,2),

2

∣α∣=√4+4=√20=2√5?

故選：D.

15.(2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知向量4,6滿足Idl=1,?b?=3,a-h=(3,?),則

∣3α-?∣=（）

A.2√2B.√[5C.3√2D.2√5

【答案】C

【分析】根據(jù)向量模的公式得4功=O,再求模即可.

【詳解】解:因?yàn)镮aI=I,|/71=3,a-b=(3,1),

所以，((2-6)2=∣α-?∣2=β2+?2-2α.?=l+9-2iJ??=10,

所以，a-b=0-

X∣3a-?∣2=9β2+?2-6a?=18,

所以∣3α-5∣=3√∑.

故選：C

16.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）等邊ABC的邊長(zhǎng)為3,若AO=2OC,BF=FD>

貝IlWI=（）

?719r√17r√15n√13

2222

【答案】A

【分析】取BC中點(diǎn)O,建立直角坐標(biāo)系，得到AF=-%-乎］，再根據(jù)模長(zhǎng)的坐標(biāo)

公式即可求解.

如圖，取BC中點(diǎn)O,建立直角坐標(biāo)系，則A（0,竽J,《一|,0）,C（|,0

FlIAD=2DC,若O（X，y）,則A。=gAC=gx（g,-,）=（l,-√5）,

所以(x,y-殛)=(1,-G)得:

若廠（利,〃），貝IJBF=gBO=Jx（|,乎）=（：,《）,

由BF=尸￡>，

所以（*■〃）=（冷）為

故選：A

17.(2023?江蘇南通?二模)在平行四邊形ABC。中，BE=^BC,AF=^AE.若

AB=mDF+nAE,則根+〃=()

I354

A.—B.-C.-D.—

2463

【答案】D

【分析】利用平面向量的四則運(yùn)算求出犯〃即可.

【詳解】由題意可得AB=AE+EB=AE+^DA=AE+g(θF+FA)

=AE+-[DF--AE?=-DF+-AE,

213J26

4

所以根+〃=§,

故選：D

二、填空題

18.(2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知向量a=(-2,4)w=(x,T),若“〃〃，則X=

【答案】y##0.5

【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)果.

【詳解】由〃?〃〃得：4x=2,x=?

2

故答案為：T

19.(2023?湖北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))己知α=(4,2),6=(1,1),則α在匕方向上的投影向量

的坐標(biāo)為.

【答案】(3,3)

【分析】根據(jù)投影向量的定義求解.

【詳解】因?yàn)棣?(4,2),6=(1,1),

(cι-b)/,4+2

所以“向量在b方向的投影向量為R咽=7元萬(wàn)?(L1)=(3,3).

故答案為：(3,3)

20.(2023?湖南湘潭?統(tǒng)考二模)已知向量α=(%,-2),b=(l,3),若(a-b)lb,則」=

【答案】16

【分析】根據(jù)向量垂直列方程，由此求得加的值.

【詳解】由(a-：)_!_〃,得(a—8)?%=0,H∣Ja.b=/?,,〃—6=IO,則wz=16.

故答案為：16

21.(2023?廣東惠州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知平面向量a=(-2,4),?=(Λ,1),若“與b垂直，

則實(shí)數(shù);I=.

【答案】2

【分析】向量垂直，數(shù)量積為0,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解參數(shù).

【詳解】因?yàn)閍與字垂直,所以河石=0,即—2/+4=0,解得X=2.

故答案為：2

22.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模)已知向量a=(l,2)/=(3,x),a與a+匕共線，則上”=

【答案】2√5?

【分析】運(yùn)用平面向量共線及向量的模的坐標(biāo)計(jì)算公式求解即可.

【詳解】由題意知，a+8=(4,2+x)

又因?yàn)镽/(〃+〃)，所以lx(2+x)=2x4,所以χ=6,

所以b=(3,6),所以〃-〃=(-2,-4),

所以∣a-b∣=J(-2)2+(-4尸=26.

故答案為：2石.

23.(2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知向量α=(∕n+4,∕n),?=(3,1),且〃//,則m=.

【答案】2

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式，代值計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)椤?(∕n+4,zn),8=(3/)，allb-

由("z+4)xl-3"z=0,得加=2.

故答案為：2.

24.(2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模)已知向量α=(l,2'A=(2㈤，若則2=

【答案】4

【分析】先求出α+0和α-b,再根據(jù)平面向量共線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)?=(1,2)力=(2,2),

所以a+人=(3,2+4),4-〃=(一1,2-幾)，

因?yàn)?“+))〃("_〃)，

所以3x(2—4)=(T)x(2+為，

B∣JA=4.

故答案為：4.

25.(2023?江蘇?統(tǒng)考一模)在ABC中，已知8O=2OC,CE=EA,3E與AO交于點(diǎn)

O.若CO=xCB+yCA(X,?∈R),貝"+V.

3

【答案】

【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的幾何表示可得Co=3x8+yCA,CO=xCB+2yCE,然后利

用共線向量的推論即得.

【詳解】因?yàn)?0=2Z)C，CE=EA,

所以C8=3CO,CA=2CE，又CO=XCB+yCA,

所以Co=3xCD+yCA,CO=xCB+IyCE,乂BE與AD交于點(diǎn)O,

3x+y=I

所以

x+2y=I

123

所以X=M,y=q,即x+y=1,

3

故答案為：—

26.(2023?江蘇?統(tǒng)考一k模)已知向量α,Z?滿足,卜2,W=3,α?b=0.設(shè)c=〃-2α,

則cosC)=.

4

【答案】--##-0.8

【分析】法一：采用特殊值法，設(shè)。=(2,0),h=(0,3),求得c,最終可求；法：直

接求解，根據(jù)向量夾角公式求解即可.

【詳解】法一：設(shè)￡=(2,0),?=(0,3),則C=(0,3)-2(2,0)=(<3),

4

5,

法二：∣C∣=^?-2Λ)^=7?2+4t∕2=5,又〃?C=Q?(∕2-2Q)=-2J=-8,

4

故答案為：-M

27.(2023?山東?煙臺(tái)二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知q,Q是夾角為120。的單位向量，若

m=2e∣+3e1,n=4e∣-6，則機(jī)，〃的夾角為.

【答案】90°

【分析】利用平面向量的數(shù)量積即可求解.

2

［詳解】依題意，rh?n=(2el+3e2)?(4el-e2)=8<?!+10el?e2-3<?,=8-5-3=0,

所以則加，”的夾角為90。.

故答案為：90°.

28.(2023?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考一模)已知平面向量”=(-1,2),