遼寧省大連市高新園區(qū)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

九年級（上）期末檢測數(shù)學(xué)

滿分150分，考試時間120分鐘.

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

個選項(xiàng)正確）

1.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）

C

△二XD△

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念，進(jìn)行判斷即可.把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能

夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

【詳解】解：A：選項(xiàng)A不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B：選項(xiàng)B是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)B不符合題意；

C：選項(xiàng)C是中心對稱圖形，選項(xiàng)C符合題意；

D：選項(xiàng)D不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在；ABC中，NC=90°,AC=3，AB=5,則sinB的值是（）

【答案】A

【解析】

3

【分析】根據(jù)直角三角形正弦等于對邊比斜邊可知sinB=g

【詳解】解：：在《ABC中，ZC=90°

：AC=3，AB=5

故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的相關(guān)知識點(diǎn)，熟記正弦的定義是解題的關(guān)鍵.

3.與點(diǎn)A（l,-2）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）

A.（2,1）B.（1,2）C.（-2,1）D.（一1,2）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)“平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)尸（x，y）,關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是（-x，-y）,關(guān)于原點(diǎn)對稱的

點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)”即可得出結(jié)論.

【詳解】解：?.?根據(jù)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)

4。，一2）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（—1,2）

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟記關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征

是解題的關(guān)鍵.

4.用配方法解方程》2—4%+2=0,下列配方正確的是（）

A.（工-2）2=0B.（X+2）2=2C.（x-2）2=-2D.（x-2））=2

【答案】D

【解析】

【分析】在方程的左右兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)Y的一半的平方，把左邊配成一個完全平方式，右邊化

為一個常數(shù)，判斷出配方結(jié)果正確的是哪個即可.

【詳解】/一4x=—2，

x2-4x+4=-2+4，

(x-2>=2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法在解一元二次方程中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握配方法的基本步驟.

5.如圖，A6是1。的直徑，AC.BC是。。的弦，若NA=20。，則N6的度數(shù)為（）

c

A80°B.70°C.60°D.50°

【答案】B

【解析】

【分析】直接根據(jù)直徑所對的圓周角為直角進(jìn)行求解即可.

【詳解】???A3是。。的直徑,

，ZACB=90°,

：.RtAABC在中，NB=90°-ZA=70°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查直徑所對的圓周角為直角，理解基本定理是解題關(guān)鍵.

6.將拋物線y=2（x-3）?+2向左平移2個單位，再向上平移3個單位，平移后所得拋物線的解析式為

（）

A.y=2（x-5y+5B.y=2x2

C.y=2（x-l）2+5D.J；=2（X-1）2-1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)左加右減，上加下減的平移規(guī)律求解即可.

【詳解】解：將拋物線y=2（x-3y+2向左平移2個單位，再向上平移3個單位，平移后所得拋物線的解

析式為y=2（x—3+2『+2+3,

即y=2（x-iy+5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)圖象平移變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.并用規(guī)律求函

數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

7.在一個不透明的袋子里裝有紅球6個、黃球4個，這些球除顏色外都相同.小明從袋子中摸一次，摸到

黃球的概率是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：因?yàn)橐粋€不透明的袋子里裝有紅球6個、黃球4個，

從袋子中摸一個球共有10種可能，

摸到黃球有4種可能，

所以，小明從袋子中摸一次，摸到黃球的概率：

4_2

To-51

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了簡單的概率計(jì)算，熟練掌握概率公式是解題關(guān)鍵.

8.關(guān)于x的一元二次方程x2_2x+左=0有兩個實(shí)數(shù)根，則人的取值范圍是()

A.k>\B.k<lC.k>-lD.k<}

【答案】B

【解析】

【分析】當(dāng)ANO時、一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，據(jù)此求出人的取值范圍即可.

【詳解】解：關(guān)于》的一元二次方程Y—2x+%=0有兩個實(shí)數(shù)根，

,-.(-2)2-4X1XA:>0.

解得ZW1，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用一元二次方程根的判別式A-4ac判斷方程的根的情況，解答此題的關(guān)

鍵是要明確：當(dāng)△之0時，方程有兩個實(shí)數(shù)根.

9.如圖，在一ABC中，以C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC、BC于點(diǎn)、E、F,再分別以E、F

為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)N.連結(jié)CN交AB于點(diǎn)。，過。作BC的平行線交

2

AC于M,若8C=3,AC=2,則。M=()

A

【答案】B

【解析】

【分析】由作圖知道是角平分線，再由平行得到等腰三角形和三角形相似，利用相似的性質(zhì)求解即可

得到答案.

【詳解】解：設(shè)。M=X,

由題意得：CO平分

:.ZACD=ZBCD,

QBC//DM,

:.ZMDC=ZBCD,

:.ZMDC=ZACD,

DM=CM=x,

AM=2—x>

QBC//DM,

:uADMs二ABC，

AMDM

"~AC~~BC'

即上NJ,

23

解得x=5,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖和角平分線的定義、三角形相似的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義和三角形相似

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，小強(qiáng)在某次投籃中，球的運(yùn)動路線是拋物線丁=-：/+3.5的一部分，若命中籃圈中心，則他

與籃筐底的距離/是（）

3.05m

A.3mB.3.5mC.4mD.4.5m

【答案】D

【解析】

【分析】由題意得，當(dāng)y=3.05時，即—（爐+3.5=3.05,求出x=±1.5，由于籃圈中心在V軸的右

側(cè)，所以％=1.5,從而可求出小強(qiáng)與籃筐底的距離/.

11

【詳解】解：球的運(yùn)動路線是拋物線丁=-yd+3.5的一部分，籃圈中心在y軸的右側(cè)，高度為

3.05m,

1

.?.令y=3.05,則一二0/+3.5=3.05,

解得：x=±L5,

籃圈中心在）'軸的右側(cè)，

x>0>

x—1.5,

，小強(qiáng)與籃筐底的距離/為：3+1.5=4.5m,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)y=3.05求出X的值，再根據(jù)籃圈中心在y軸的右側(cè)確定

x的具體值是解題的關(guān)鍵，解答本題需采用數(shù)形結(jié)合的思想.

二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）

11.關(guān)于x的一元二次方程f—3x+c=0的一個根為-1,則另一個根是.

【答案】4

【解析】

【分析】先將％=-1代入X2—3X+C=0,求得。的值，再解一元二次方程即可得到答案.

【詳解】解：關(guān)于》的一元二次方程f_3x+c=0的一個根為-1，

.??將x=_］代入》2_3x+c=0得，(_1)2_3X(_1)+C=0,

解得：c=T,

一元二次方程為：工2一3工一4=0，

.\(x-4)(x+l)=0,

?"-4=0或x+l=0,

.”=-1或x=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二

次方程的解，解答本題的關(guān)鍵是將工二一1代入方程求出。的值.

12.對于二次函數(shù)y=(x—2丫+1,當(dāng)x>3時，了隨x的增大而一(填“增大”或"減小

【答案】增大

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得到對稱軸光=2,再利用二次函數(shù)的圖像特征即可求出結(jié)論.

【詳解】解：???二次函數(shù)y=(x-2p+l

函數(shù)的對稱軸為：直線x=2

當(dāng)x<2時，y隨x的增大而減??；當(dāng)了〉2時，y隨x的增大而增大

?；3>2,

.?.當(dāng)x>3時，>隨x的增大而增大

故答案為：增大

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)解析式得到對稱軸是解題的關(guān)鍵.

13.從〃個蘋果和3個桔子中任選1個，若選中蘋果的概率是:，則〃的值為.

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)概率公式得一々二2;,然后利用比例性質(zhì)求〃的值即可.

n+33

【詳解】解：根據(jù)題意得：二J7二2;,

n+33

3〃=2("+3),

3月—2〃=6，

〃=6,

經(jīng)檢驗(yàn)，〃=6是方程的解.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)概率公式列出關(guān)于n的方程，解方程即

可.

14.如圖，在平行四邊形A3C。中，點(diǎn)E在邊8c上，OE交對角線AC于F,若CE=2BE,/XCEF

的面積等于4,那么△4林）的面積等于.

【解析】

【分析】證明得△ADFSACEE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得結(jié)果.

【詳解】???四邊形ABCD是平行四邊形，CE=2BE,

：.AD=BC=3BE

,/AD//BC,

：.ZFAD^ZFCE,ZFDA=ZFEC

???AADFSACEF，

△CEF的面積等于4,

?q-Q

,?0ADF7，

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比是相似

比的平方是解決問題的關(guān)鍵.

15.如圖，在矩形A8CO中，AB=26，以點(diǎn)4為圓心，4。長為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E,連接AE，

N54E=30。，則陰影部分的面積為.

【答案】6百—烏》

3

【解析】

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出ND4B=N8=90°,A3=2百，可以求出AE的長，由Nfi4E=30。，可以

得出ZD4E的度數(shù)，再分別求出矩形A3CO、VA5E和扇形D4E的面積即可.

【詳解】解：：四邊形A8CD是矩形，

NDAB=NB=90°,

QZBAE=30°,

BE^-AE,

2

AB=26

AE2=AB2+BE2<

2(i、2

即=(2可+6叱|,

解得AE=4，

；.AO=AE=4,8E」AE=2,

2

QZDAE=NDAB-ZBAE=90°-30°=60°,

.?.陰影部分的面積S=S矩形ABCD-$vABE-S扇形加石

=4x26」x2x2癢^￡

2360

=8百-2#-h

3

=6>/3——71

3

故答案為：6^/3—71.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積計(jì)算，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能把求不規(guī)則圖形的面積

轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵.

16.如圖，在ABC中，AB^AC^a,將ABC繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)得到DBE，若點(diǎn)￡恰好為AC的中

點(diǎn)，則BC的長為(用含。的代數(shù)式表示).

DA

【解析】

【分析】作BF1AC于點(diǎn)/，由AB=4C=a,E為AC的中點(diǎn)，得AE=CE=，AC=!a,由旋轉(zhuǎn)得

22

BE=BC,所以CF=EF=LcE=』a,再根據(jù)勾股定理得BC?—。尸2=人笈一人尸？=§/2,即可求出

24

BC的長.

【詳解】解：如圖，作BF1AC于點(diǎn)/，則NAEB=NCE8=9()°,

VAB=AC=a,E為AC的中點(diǎn)，

AE=CE=-AC=-a,

22

由旋轉(zhuǎn)得BE=BC,

CF=EF=、CE=La,

24

3

AF=AE+EF=」a,

4

,/BC2-CF2=AB2-AF2=BF2，

?“血

??BC=——a.

2

故答案為：旦.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的

關(guān)鍵.

三、解答題（本題共4小題，其中17題9分，18、19、20題各10分，共39分）

17小明用描點(diǎn)法畫拋物線y=—/+以一3.

（1）請幫小明完成下面的表格，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，連線從而畫出此拋物

（2）直接寫出拋物線的對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】（1）-3,1,0,繪圖見解析

（2）拋物線的對稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）

【解析】

【分析】（1）將x=0,x=2,x=3分別代入函數(shù)解析式中，求出相應(yīng)的y的值即可;

（2）根據(jù)（1）中的圖象，可以直接寫出拋物線的對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo).

【小問1詳解】

解：'/y——x2+4x—3,

???當(dāng)x=0時，y=-3；當(dāng)x=2時，y=l；當(dāng)x=3時，y=o；

補(bǔ)全表格如下：

X-1012345

y=-x2+4x-3—8-3010-3—8

拋物線如圖所示;

【小問2詳解】

該拋物線的對稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.某景區(qū)檢票口有A,B,C共3個檢票通道，甲，乙兩人到該景區(qū)游玩，兩人分別從3個檢票通道中隨

機(jī)選擇一個檢票.

（1）甲選擇A檢票通道的概率是；

（2）求甲，乙兩人選擇的檢票通道恰好相同的概率.

【答案】（1）-

3

⑵-

3

【解析】

【分析】（1）因?yàn)榫皡^(qū)檢票口有A,B,C共3個檢票通道，所以供甲選擇的有三種可能，甲選擇A檢票通

道的概率是

3

（2）利用樹狀圖把所有可能的情況一一列舉出來，然后利用概率公式求解即可.

【小問1詳解】

解：（1）,??景區(qū)檢票口有A,B,C共3個檢票通道，

???甲隨機(jī)選擇一個檢票共有三種等可能的情況.

??P（選擇A）?

故答案為：—；

3

【小問2詳解】

由題意列樹狀圖得,

甲乙兩人分別從3個檢票通道中隨機(jī)選擇一個檢票共有9種等可能的情況，

其中甲，乙兩人選擇的檢票通道恰好相同的情況共有3種，

._3_1

??P(甲Z■兩人選擇的遍通機(jī)=-=-?

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法求事件發(fā)生的概率，熟練掌握列表法與樹狀圖法及概率公式是解題

的關(guān)鍵.

19.如圖，在中，點(diǎn)力在8c邊上，ZADC^ZBAC,8=1,BD=3,求AC長.

【解析】

【分析】由題意可得3C=3O+CZ)=4,根據(jù)NAQC=N84C,公共角NC=NC,即可證明

△ADCsaBAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

【詳解】解：；CD=1,BD=3,

：.BC=BD+CD=4,

VZADC=ZBAC,ZC=ZC,

AADC^ABAC,

.CD_AC

"AC-BC'

即AC?=CD8C=4，

AAC=2(負(fù)值舍去).

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

20.疫情期間“停課不停學(xué)”，遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科開通公眾號進(jìn)行公益授課，9月份該公眾號關(guān)注人數(shù)

為5(XX)人，11月份該公眾號關(guān)注人數(shù)達(dá)到72()()人，若從9月份到11月份，每月該公眾號關(guān)注人數(shù)的平

均增長率相同，求該公眾號關(guān)注人數(shù)的月平均增長率.

【答案】20%

【解析】

【分析】設(shè)該公眾號關(guān)注人數(shù)的月平均增長率為X,根據(jù)題意題意列出方程，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)該公眾號關(guān)注人數(shù)的月平均增長率為X,

根據(jù)題意得：5000（1+x）2=7200，

解得：玉=0.2=20%,X2=-2.2（舍去），

答：該公眾號關(guān)注人數(shù)的月平均增長率20%.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出方程.

四、解答題（本題共3小題，其中21題9分，22、23題各10分，共29分）

21.數(shù)學(xué)興趣小組測量建筑物的高度.如圖，在建筑物AB前方搭建高臺CO進(jìn)行測量.高臺CD到

AB的距離BC為6米，在高臺頂端D處測得點(diǎn)A的仰角為40。，測得點(diǎn)B的俯角為30°.（參考數(shù)據(jù)：

sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40°?0.84,6=1.732）

（2）求建筑物AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）.

【答案】（1）70

（2）9米

【解析】

【分析】（1）過點(diǎn)。作垂足為E,結(jié)合題意，然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答：

（2）根據(jù)題意，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE，3E的長，從而利

用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【小問1詳解】

解：（1）過點(diǎn)。作DE1AB，垂足為E,

由題意得：

ZADE=40°,NB￡>E=30°,

ZADB=ZADE+ZBDE=40。+30°=70°

故答案為：70；

由題意得：￡>E=BC=6米，

在R/AAOE中，4M>E=4O°,

AE=DE-tan40°?6x0.84=5.04（米），

在RjOBE中，NBDE=30。，、

：.BE=DE-tan30°=6x?3.46（米），

3

.?.AB=AE+EB=5.04+3.46a9（米），

建筑物AB的高度約為9米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；掌握仰俯角的概念、熟練掌握三角函數(shù)解三角形是解題的關(guān)

鍵.

22.如圖，_。是的外接圓，A8是:一。的直徑，過O作QDLAC于點(diǎn)E,延長OE至點(diǎn)。連結(jié)

（1）求證：8是。的切線；

（2）若AB=CD=2非，求AC的長.

【答案】（1）見解析（2）4

【解析】

【分析】（1）連接。C,根據(jù)垂直的定義得到“EC=90。，求得ND+NDCE=90。,根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)得到NA=NACO,推出OC_LCD,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理得到8=5,根據(jù)三角形的面積公式得到CE的長，根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：連接。c,

ODA-AC,

：."EC=90。，

/.ZD+Z￡)CE=90°,

???Z4=ZD，

ZA+ZDCE=90°,

OA=OC，

：.NA=NACO,

ZACO+ZDCE=90。,

OCVCD,

?；OC是。的半徑，

。。是(O的切線；

【小問2詳解】

解：?:AB=CD=2后,

???oc=G

?*-OD=y]CD2+OC2=420+5=5，

?；S“oD=goCCD=；OD-CE,

.—OCCD亞x2也.

??CE=----------=------------=2，

OD5

,/ODLAC，

：.AC=2CE=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

23.某公司研發(fā)了一款成本為30元的新型產(chǎn)品，投放市場進(jìn)行銷售.按照物價部門規(guī)定，銷售單價不低于

成本且不高于70元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（個）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖

所示.

X（元）

（1）求每天的銷售量y（個）與銷售單價X（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）銷售單價為多少元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？

【答案】（1）y=-x+100

（2）銷售單價為65元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是1225元

【解析】

【分析】（1）由待定系數(shù)法可得函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)每天獲得的利潤為w元，由題意得二次函數(shù)，寫成頂點(diǎn)式，可求得答案.

【小問1詳解】

解：設(shè)丁="+儀左。0）,

40女+/?=60

將點(diǎn)（40,60）,（60,40）代入得：?,,八，

60女+力=40

z-_1

解得L=…，

b=100

每天的銷售量y（個）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+100；

【小問2詳解】

設(shè)每天獲得的利潤為w元，

由題意得叩=（x-30）（-%+100）=-x2+130x-3（X）0=-（x-65）2+1225.

?..按照物價部門規(guī)定，銷售單價不低于成本且不高于70元，

30<x<70,

???。=一1<0,拋物線開口向下，

...當(dāng)x=65時，w有最大值，%大值=1225,

???銷售單價為65元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是1225元.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性

質(zhì).

五、解答題（本題共3小題，其中24、25題各11分，26題12分，共34分）

24.如圖，在Rt/XABC中，ZACB=90°,AC=8cm,BC=6cm.。為AC中點(diǎn)，過。作OE1AC交

AB于點(diǎn)E.動點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿射線以1cm/s的速度運(yùn)動.過。作D以〃A3,過P作

夕/0_1。”于點(diǎn)M.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為f（s）.△PDA/與。重疊部分圖形的面積為S（cm2）.

（1）當(dāng)點(diǎn)M落在BC邊上時，求「的值；

（2）當(dāng)點(diǎn)〃在，ABC內(nèi)部時，求S關(guān)于，的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量，的取值范圍.

25

【答案】（1）y

紫（。</3）

⑵S二13654（25、

—t----3<r<—

I252513）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可得AB=10cm,DM=5cm,再根據(jù)DM〃AB,PMA.DM可得

NPDM=NB,NPMD=ZACB=90。，從而可證APDMsABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

25

PD=—cm,以此即可求解；

3

（2）當(dāng)點(diǎn)M在內(nèi)部時，在（1）的情況下，達(dá)到了最大值，①當(dāng)0<rW3時，S=sPDM，此時尸。=人

4325

由，PDA/sA3C可得PM=T,DM=-t,以此即可算出S；②當(dāng)3<rW—時，如圖，過E作

553

EQJ.DM交D”于點(diǎn)Q,此時S=S四邊形&謝=5￡現(xiàn)+5四邊形於“2,根據(jù)題意可得DE=3,四邊形

91254

ENMQ為矩形，再由dOQEs68cA得OQ=g,QE=M,SEDQ=^-,根據(jù)MENs,EDQ得

EN=-（t-3）,以此即可算出S.

【小問1詳解】

解：如圖，此時點(diǎn)M落在5c邊上，

D

???ZACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,

AB=y/AC2+BC2=10cm，

為AC中點(diǎn)，DM//AB，

；.*CDMsCAB,

DM=—AB=5cm,

2

,/DEIAC,

；?NPDC=90。,

DM//AB，

：.ZA=/MDC，

,/ZA+N8=90°,ZPDM+NMDC=90°,

???ZPDM^ZB，

■:PMLDM，

：.ZPMD=ZACB=9Q°,

.PDMsABC,

.PDDMPD5

??=-----9即nn=-f

ABBC106

25

***PD=—cm，

3

25?25

??t=----r1=---S9

33

25

當(dāng)點(diǎn)M落在BC邊上時，f的值為三；

【小問2詳解】

解：由（1）可知，當(dāng)點(diǎn)時在_48。內(nèi)部時，在（1）的情況下，達(dá)到了最大值,

當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)D位置時，達(dá)到了最小值，

①當(dāng)0<fW3時，S=SPDM，此時PO=f，

；,PDMsABC,

.PD_PMDM

"ABACBC

PMDM

即丁?=------,

1086

43

PM=-t>DM=T,

55

13462

一

"'3PDM=2?-t"t=-V

5525

q—q_L_v

。四道彩EDMN~°EDQ丁?四邊形四攻,

?.?。為AC中點(diǎn)，DEIAC,

，DE//BC，

DE=-BC^3,

2

?/EQLDM,PMLDM,

EQ//PM,

四邊形ENM。為矩形，

"DQEs^DMP,

：./\DQE^/\BCA,

.DEDQQE3_DQ_QE

??——ft*J——

ABBCAC1068

912

DQ=-,QE=—,

。191254

??5￡De=-x-xy=-,

此時PD=t,PE=t-3,

,/DM//AB，

??PENS-EDQ,

EN

PEENz-3

即亍

~ED~~DQ方,

5

3

EN=：(f-3),

,'S四邊形ENMQ=Q￡EN=f^(t-3)=w"3),

.5436/、3654

??3二3四邊形=3EDQ+3四邊形ENMQ=+(/-3)=-t—5^

^-t2（O<^<3）

綜上,S關(guān)于r的函數(shù)解析式為S”

36^）41

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線，三角形的面積以及矩形的面積，熟練

掌握相似三角形的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論思想是解題關(guān)鍵.

25.綜合與實(shí)踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1,在」ABC中，45=AC,點(diǎn)。在8c邊上,

AD=AE，ZADE=-ZBAC,延長84至點(diǎn)尸，連結(jié)石戶.求證：ZDAC=ZEAF.

2

獨(dú)立思考：（1）請解答王老師提出的問題.

實(shí)踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答.

“如圖2,連結(jié)交AC于G,若NAGE=NGEF,AB=AF，求證AG=L。。.”

2

問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動小組同學(xué)解決完上述問題后，感悟了此題的數(shù)學(xué)思想方法，對此題進(jìn)行變式，提出

新的問題，請你解答.

33

“如圖3,在二ABC中，48=—4C.點(diǎn)。在8C邊上，點(diǎn)尸在一ABC內(nèi).AD=-AF,ZDAF=ZADC,

22

ZADB=NBAC,連結(jié)■交4。于點(diǎn)E，求——的值”.

6

【答案】獨(dú)立思考：見解析；實(shí)踐探究：見解析；問題解決:

【解析】

【分析】（1）說明NZM￡=NC4/即可證明結(jié)論；

（2）首先利用SAS證明^ADC^AAEF，得。C=所，取BE的中點(diǎn)〃，連接A”，可知AH為/\BEF

的中位線，由NAHG=NAG〃，則AG=AH=4EF,即可證明結(jié)論；

2

3

（3）延長84至點(diǎn)M,使AC==AM,連接RW,利用兩邊成比例且夾角相等得△ADCs”也，從而

2

4

說明AD〃EW,得△ABES&WBF,設(shè)AB=3a,AC=2a,AM=-a,進(jìn)而解決問題.

【詳解】解：⑴證明：AD=AE,

:.ZADE=ZAED,

:.ZDAE=\S00-2ZADE,

ZADE=-ZBAC,

2

/.ZDAE=180°-ABAC=ZCAF,

/.ZDAC+ZCAE=ZCAE+ZEAF,

：.ZDAC^ZEAF；

（2）證明：AB=AF,AB^AC,

AF^AC,

又ZDAC=ZEAF,AD=AE，

AADC^AAEF（SAS）,

:.DC=EF,

如圖2,取BE的中點(diǎn)H，連接A”，

AB=AF，

為5尸的中點(diǎn),

AH為△BEE的中位線，

：.AH//EF，AH=-EF,

2

:.ZAHB=ZGEF,

NGEF=ZAGE,

:.ZAHB=ZAGE,

:.ZAHG=ZAGH,

AG=AH=-EF,

EF=CD,

AG^-CD-,

2

圖2圖3

3

(3)如圖3,延長84至點(diǎn)M,使AC=；；A〃，連接RW,

2

,ADAC3

一前一而一5'

ZADC+ZADB=\8009ZADB=/BAC,

/.ZADC4-ZBAC=180°,

Nfi4C+NC4M=18。。，

ZADC=ZCAM,

ZADC=/DAF,

..ZDAF=ZCAMf

^DAC=ZFAMf

:.AADC^/\AFM,

.\ZADC=ZAFMf

ZADC=ZDAF,

.\ZDAF=ZAFM,

：,AD//FM^

,AEAB

.?訴一曲’

33

AB=-AC,AC=-AM,

22

4

，設(shè)AB=3a,AC=2a,AM=-a,

413

:.BM=AB^-AM=3a+-a=—a,

33

AE3a_9

——a

9

AE=—MF

13f

又/\ADCs/\AFM,

,DCADJi

*MF-AF_2J

3

DC=-MF,

2

AE

.=13=A

,CD~3"13'

Mr

2

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中

位線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

1

X2

26.如圖，拋物線y2-+/ZX+C與X軸交于點(diǎn)A（—1,0）和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C（0,—2）,連接AC,BC，

（1）求拋物線的解析式；

4

（2）點(diǎn)。在第四象限的拋物線上，設(shè)，ABC的面積為S-PBC的面積為S2,當(dāng)S2=1S|時，求點(diǎn)p

的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M在拋物線上，當(dāng)NM48=2/ACO時，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

I3

【答案】（1）y=-x2一一x-2

'22

（2）尸的坐標(biāo)為（2,—3）

（3）點(diǎn)A/的橫坐標(biāo)為二或一

33

【解析】

【分析】（1）將A（-l,0）、。（0,-2）代入丁=耳/+法+以列方程組并且解該方程組求出6、c的值，即

i3

可得到拋物線的解析式為y=-x2-jx-2；

（2）先求得8（4,0）,則SAABC=（A8-OC=5,再求得直線8C的解析式為V=g2,作PH_Lx軸

于點(diǎn)/7,交6。于點(diǎn)6,設(shè)「。-》2一3%一2）（0＜》＜4）,則6（%」工—2）,所以26=）了一2-（；

22222

3144

X2--X-2）=-y%2+2%＞可求得SPBC=一X-+4x,由S詠=MSABC，得一X?+4x=§x5,解

方程求出X的值即可；

3

（3）取AB點(diǎn)中E，連接CE,則E（一，0）,可證明AAOCSCCOB,得/ACO=/CBO,再證明

2

/ACB=90°,則屈=CE=gAB,即可證明Z4EC=2NCBO=2/ACO,再分兩種情況討論，一

4

是點(diǎn)M在x軸的上方，則AMCE,可求得直線C￡的解析式為）'=一%-2,進(jìn)而求得直線AA7的解析

3

44

式為丁=一%+一，將其與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，即可求出此時點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；二是點(diǎn)M'在x軸的

33

44

下方，可求得直線A的解析式為y=-—x—-，將其與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，即可求出此時點(diǎn)

33

M'的橫坐標(biāo).

【小問1詳解】

解：..?拋物線y=（/+版+C經(jīng)過點(diǎn)A（-1,0）和點(diǎn)c（o,-2）,

c