第17章 勾股定理 考點(diǎn)精練 2023-2024學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

?人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)專(zhuān)題02勾股定理能力能力一、選擇題（共13小題）1．（2023秋?西安期末）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，的頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上．若于點(diǎn)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為A． B． C．1 D．22．（2023秋?船營(yíng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是1，于點(diǎn)，且，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)為A． B． C． D．3．（2023秋?佛山期末）如圖，在的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，為格點(diǎn)，另取一格點(diǎn)，使為直角三角形，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)4．（2023秋?豐順縣期末）在中，，，的對(duì)邊分別是，，，．則該三角形的三邊滿(mǎn)足的關(guān)系是A． B． C． D．5．（2023秋?昆明期末）為了測(cè)量學(xué)校的景觀池的長(zhǎng)，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)，使得米，在點(diǎn)正上方找一點(diǎn)（即，測(cè)得，，則景觀池的長(zhǎng)為A．5米 B．6米 C．8米 D．10米6．（2023秋?白銀期末）已知的三邊分別為、、，下列條件中，不能判定為直角三角形的是A． B． C． D．7．（2023秋?錦州期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，，，均在正方形格點(diǎn)上，連接，，點(diǎn)到的距離為A． B． C． D．8．（2023秋?廣南縣期末）小明從家出發(fā)向正北方向走了，接著向正東方向走到離家遠(yuǎn)的地方，小明向正東方向走了A．60 B．80 C．100 D．1609．（2023秋?肅州區(qū)校級(jí)期末）如圖，所有的三角形都是直角三角形，所有的四邊形都是正方形，已知，，，，則的值是A．18 B．10 C．36 D．4010．（2023秋?五華區(qū)校級(jí)期末）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為3，寬為2，高為4，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面到點(diǎn)處吃食物，那么它爬行最短路程是A． B． C． D．11．（2023秋?惠來(lái)縣期末）已知的三條邊分別為，，下列條件不能判斷是直角三角形的是A． B．，， C． D．12．（2023秋?北碚區(qū)期末）如圖，在直角三角形中，，的垂直平分線(xiàn)交于，交的角平分線(xiàn)于，連接、，若，的周長(zhǎng)為17，則的長(zhǎng)度是A． B．10 C．12 D．1313．（2023秋?遼寧期末）如圖，為的一條弦，分別交和于、，連接，．若，，那么的半徑為A． B． C． D．二、填空題（共10小題）14．（2023秋?公主嶺市期末）如圖，分別以的三邊為一邊向外作正方形，它們的面積分別是，，，若，則度．15．（2023秋?汝陽(yáng)縣期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子的長(zhǎng)為17米，幾分鐘后船到達(dá)點(diǎn)的位置，此時(shí)繩子的長(zhǎng)為10米，問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了米．16．（2024?崇明區(qū)）如圖，一艘輪船位于燈塔的南偏東方向，距離燈塔25海里的處，它沿正北方向航行到達(dá)位于燈塔正東方向上的處，那么此時(shí)輪船與燈塔的距離為海里．17．（2023秋?玄武區(qū)期末）如圖，在中，，于點(diǎn)，，，則．18．（2023秋?成都期末）如圖，中，，．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)．若，則．19．（2023秋?廣南縣期末）如圖，以的三邊為直徑分別向外作半圓，若，，則．20．（2023秋?寬城區(qū)期末）某醫(yī)院入口的正上方處裝有紅外線(xiàn)激光測(cè)溫儀（如圖所示），測(cè)溫儀離地面的距離米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，測(cè)溫儀就會(huì)自動(dòng)測(cè)溫并報(bào)告人體體溫．當(dāng)身高1.2米的患者走到離門(mén)1.6米的感應(yīng)器地方時(shí)（即米），測(cè)溫儀自動(dòng)顯示體溫，則人頭頂離測(cè)溫儀的距離的長(zhǎng)為米．21．（2023秋?法庫(kù)縣期末）如圖是一種飲料的包裝盒，其長(zhǎng)、寬、高分別為，，，現(xiàn)有一長(zhǎng)為的吸管插入到盒的底部，吸管露在盒外部分的長(zhǎng)度為，則的取值范圍為．22．（2023秋?秦安縣期末）如圖，在一棵樹(shù)的10米高處，有兩只猴子，一只猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù)20米處的池塘處，另一只爬到樹(shù)頂后直接躍到處，距離以直線(xiàn)計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則這棵樹(shù)的高度為米．23．（2023秋?彰武縣期末）如圖，在中，，，，是的垂直平分線(xiàn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則的周長(zhǎng)為．三、解答題（共9小題）24．（2023秋?公主嶺市期末）一塊田地的形狀如圖所示，已知，，，，，求該田地的面積．25．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形中，，，．（1）求證：（2）如果平分，且，求的面積．26．（2023秋?肅州區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，，，，，求的長(zhǎng)．27．（2023秋?白銀期末）為白銀市公園建設(shè)多一些綠色、多一片藍(lán)天，市政府準(zhǔn)備對(duì)金魚(yú)公園進(jìn)行小范圍綠化．如圖，現(xiàn)計(jì)劃在公園一塊四邊形空地上種植草皮，測(cè)得，，，，，求該四邊形的面積．28．（2023秋?蘭州期末）如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門(mén)的正上方處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地的高度為2.5米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門(mén)就會(huì)自動(dòng)打開(kāi)．一個(gè)身高1.6米的學(xué)生正對(duì)門(mén)，緩慢走到離門(mén)1.2米的地方時(shí)米），感應(yīng)門(mén)自動(dòng)打開(kāi)，為多少米？29．（2023秋?榆陽(yáng)區(qū)期末）如圖，一棵豎直的大杉樹(shù)在一次臺(tái)風(fēng)中被刮斷，樹(shù)頂落在離樹(shù)根處，工作人員要查看斷痕處的情況，在離樹(shù)根有的處架起一個(gè)長(zhǎng)的梯子，點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上．求這棵樹(shù)原來(lái)的總高度．30．（2023秋?城關(guān)區(qū)期末）用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線(xiàn)段長(zhǎng)度之間關(guān)系的有關(guān)問(wèn)題，這種方法稱(chēng)為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法，請(qǐng)你用等面積法來(lái)探究下列三個(gè)問(wèn)題：（1）如圖1是著名的“趙爽弦圖”，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，請(qǐng)用它驗(yàn)證勾股定理．（2）如圖2，在中，，是邊上的高，，，求的長(zhǎng)度；（3）如圖1，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求的值．31．（2023秋?楊浦區(qū)期末）如圖，走廊上有一梯子以的傾斜角斜靠在墻上，墻與地面垂直，梯子影響了行人的行走，工人將梯子挪動(dòng)位置，使其傾斜角變?yōu)?，如果梯子的長(zhǎng)為4米，那么行走的通道拓寬了多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）．32．（2022秋?上蔡縣期末）閱讀下列材料，完成任務(wù)我們知道，平方差公式可以用如圖所示的平面幾何圖形的面積來(lái)表示，實(shí)際上，還有一些代數(shù)式恒等式也可以用這種形式表示．任務(wù)：（1）圖1是由2個(gè)邊長(zhǎng)分別為，的正方形和2個(gè)全等的長(zhǎng)方形所拼成的大正方形，根據(jù)圖中的信息，可以寫(xiě)出所表示的代數(shù)恒等式為；（2）圖2所示的圖形是由四個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為，，斜邊長(zhǎng)為的全等的直角三角形和一個(gè)正方形的拼成的大正方形，請(qǐng)你用面積法推導(dǎo)恒等式的方法，證明勾股定理．（3）在中，，為直角邊長(zhǎng)，為斜邊長(zhǎng)，且，，求直角三角形的斜邊長(zhǎng)．拔高拔高一、選擇題（共2小題）1．（2023春?豐臺(tái)區(qū)期末）勾股定理又稱(chēng)畢達(dá)哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人類(lèi)早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一．如圖，在中，，以各邊為邊向外作正方形、正方形、正方形．連接、、，若，，則這個(gè)六邊形的面積為A．28 B．26 C．32 D．302．（2023秋?秦都區(qū)校級(jí)期中）如圖，在中，，，，是上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，于，，則的長(zhǎng)是A． B． C．4 D．二、填空題（共2小題）3．（2022秋?泰山區(qū)校級(jí)月考）若的三邊，，滿(mǎn)足，，為奇數(shù)，且能被3整除，則，是三角形．4．（2023春?莒南縣期中）如圖，在中，，以，和為邊向上作正方形和正方形和正方形，點(diǎn)落在上，若，空白部分面積為16，則圖中陰影部分的面積是．三、解答題（共7小題）5．（2023秋?凌海市期中）我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（又名嬰，字君卿．三國(guó)時(shí)吳國(guó)人，一說(shuō)魏晉人或漢人．籍貫、生卒年不詳，約生活于公元3世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家．為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”．如圖，，，和是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形和都是正方形．如果大正方形的面積為25，，，，且．試求小正方形的邊長(zhǎng)．6．（2023秋?中牟縣期中）勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，其巧妙各有不同．在進(jìn)行《勾股定理》一章《回顧與思考》時(shí)，李芳老師帶領(lǐng)同學(xué)們進(jìn)行如下的探究活動(dòng)：如圖①，是用硬紙板剪成的四個(gè)全等的直角三角形（兩直角邊長(zhǎng)分別為，，斜邊長(zhǎng)為和一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能驗(yàn)證勾股定理的圖形．（1）如圖②，是李明拼成的示意圖，請(qǐng)你利用圖②驗(yàn)證勾股定理；（2）一個(gè)零件的形狀如圖③，按規(guī)定這個(gè)零件中和都應(yīng)是直角．工人師傅測(cè)得這個(gè)零件各邊尺寸（單位：如圖④所示，這個(gè)零件符合要求嗎？7．（2023春?前郭縣期末）【閱讀理解】我國(guó)古人運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個(gè)直角三角形拼成正方形，通過(guò)證明可得中間也是一個(gè)正方形．其中四個(gè)直角三角形直角邊長(zhǎng)分別為、，斜邊長(zhǎng)為．圖中大正方形的面積可表示為，也可表示為，即，所以．【嘗試探究】美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)直角梯形，其中，，根據(jù)拼圖證明勾股定理．【定理應(yīng)用】在中，，、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、．求證：．8．（2023春?汝南縣期末）勾股定理是人類(lèi)最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖，后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請(qǐng)敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)的證明方法中任選一種來(lái)證明該定理；（如圖中圖形均滿(mǎn)足證明勾股定理所需的條件）（2）①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿(mǎn)足的有個(gè)；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，直角三角形面積為，請(qǐng)判斷，，的關(guān)系并證明．9．（2023春?交城縣期中）問(wèn)題情境：勾股定理是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法．下面利用拼圖的方法探究證明勾股定理；定理表述：（1）請(qǐng)你結(jié)合圖1中的直角三角形，敘述勾股定理（可以選擇文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言敘述）；嘗試證明：（2）利用圖1中的直角三角形可以構(gòu)造出如圖2的直角梯形，請(qǐng)你利用圖2證明勾股定理；定理應(yīng)用：（3）某工程隊(duì)要從點(diǎn)向點(diǎn)鋪設(shè)管道，由于受條件限制無(wú)法直接沿著線(xiàn)段鋪設(shè)，需要繞道沿著矩形的邊和鋪設(shè)管道，經(jīng)過(guò)測(cè)量米，米，已知鋪設(shè)每米管道需資金1000元，請(qǐng)你幫助工程隊(duì)計(jì)算繞道后費(fèi)用增加了多少元？10．（2023秋?東莞市期末）如圖，在直角三角形中，，若厘米，厘米，厘米．點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始，以2厘米秒的速度沿的方向移動(dòng)，終點(diǎn)為；點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始，以1厘米秒的速度沿的方向移動(dòng)，終點(diǎn)為．如果，同時(shí)出發(fā)，用秒表示移動(dòng)時(shí)間．（1）分別求出，到達(dá)終點(diǎn)時(shí)所需時(shí)間；（2）若點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，試求出當(dāng)為何值時(shí)，？（3）當(dāng)為何值時(shí)，？11．（2023秋?船營(yíng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線(xiàn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的長(zhǎng)為；（用含的代數(shù)式表示）（2）若點(diǎn)在的角平分線(xiàn)上，求的值；（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，直接寫(xiě)出是等腰三角形時(shí)的值．

能力練一、選擇題（共13小題）1．【答案】【解答】解：由勾股定理得：，，，，，，，是直角三角形，，的面積，，．故選：．2．【答案】【解答】解：由題意可得，，，，，，點(diǎn)表示數(shù)為：，故選：．3．【答案】【解答】解：如圖所示，共有6個(gè)格點(diǎn)使為直角三角形．故選：．4．【答案】【解答】解：，，的對(duì)邊分別是，，，，是的斜邊，．故選：．5．【答案】【解答】解：，，米，（米，，（米，（米，故選：．6．【解答】解：、，，，為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；、設(shè)，，，，解得：，則，不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：．7．【答案】【解答】解：連接．的面積，設(shè)點(diǎn)到的距離為，的面積，，．故選：．8．【答案】【解答】解：由題意可得，小明向正東方向走了，故選：．9．【答案】【解答】解：如圖，由題意得：，，，，故選：．10．【答案】【解答】解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個(gè)平面，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是6和3，則所走的最短線(xiàn)段是；第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是5和4，所以走的最短線(xiàn)段是；第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是7和2，所以走的最短線(xiàn)段是；三種情況比較而言，第二種情況最短．所以它需要爬行的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)是，故選：．11．【答案】【解答】解：、設(shè)，則，，，，解得，此三角形不是直角三角形，符合題意；、，此三角形是直角三角形，不符合題意；、，，此三角形是直角三角形，不符合題意；、此三角形是直角三角形，不符合題意．故選：．12．【答案】【解答】解：垂直平分，，，，，，，平分，，，的周長(zhǎng)為17，，，，，，，，，，，，故選：．13．【答案】【解答】解：連接，，，，，設(shè)的半徑為，則，，由勾股定理得：，，解得：，即的半徑是，故選：．二、填空題（共10小題）14．【答案】90．【解答】解：，，，，，是直角三角形，，故答案為：90．15．【答案】9．【解答】解：在中：，米，米，（米，（米，（米，（米，答：船向岸邊移動(dòng)了9米，故答案為：9．16．【答案】．【解答】解：由題意可知，，海里，，（海里），（海里），即此時(shí)輪船與燈塔的距離為海里，故答案為：．17．【答案】．【解答】解：，，，，，，，故答案為：．18．【答案】．【解答】解：，，，，由作圖得，，，，故答案為：．19．【答案】2．【解答】解：，，，，，，故答案為：2．20．【答案】2.0．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，米，米，米，（米，在中，由勾股定理得到：（米，故答案為：2.0．21．【答案】．【解答】解：當(dāng)吸管放進(jìn)盒里垂直于底面時(shí)露在盒外的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，當(dāng)吸管放進(jìn)盒里露出部分最短時(shí)與底面對(duì)角線(xiàn)和高正好組成直角三角形，底面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，高為，由勾股定理得：盒里面吸管長(zhǎng)度，吸管露在盒外的長(zhǎng)度最短，吸管露在盒外的部分的取值范圍是，故答案為：．22．【答案】．【解答】解：如圖，設(shè)樹(shù)的高度為米，因兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等都為30米．由勾股定理得：，解得．故這棵樹(shù)高．23．【答案】14．【解答】解：在中，，，，，垂直平分，，的周長(zhǎng)，故答案為：14．三、解答題（共9小題）24．【答案】該田地的面積是．【解答】解：連接，在中，根據(jù)勾股定理，可得，，，，是直角三角形，，該田地的面積的面積的面積，答：該田地的面積是．25．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）的面積為．【解答】（1）證明：，，．，，，是直角三角形，，；（2）解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，平分，，，，在中，，，在中，，，，的面積，的面積為．26．【答案】．【解答】解：，，，設(shè)，則，，，，，．27．【答案】該四邊形的面積為．【解答】解：如圖，連接．，，，．又，，，即，是直角三角形．，答：該四邊形的面積為．28．【答案】1.5米．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，米，米，米，（米．在中，由勾股定理得到：（米，答：為1.5米．29．【答案】．【解答】解：在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，這棵樹(shù)原來(lái)的總高度，答：這棵樹(shù)原來(lái)的總高度為．30．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）25．【解答】解：（1）如圖1，大正方形的面積，整理得，；（2）在中，，，，，，；（3）大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，，，，，，即的值為25．31．【答案】米．【解答】解：在中，，則，米，，（米，在中，，，（米，米，答：行走的通道拓寬了米．32．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）．【解答】解：（1）根據(jù)正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，得到正方形的面積為；結(jié)合圖形，得到正方形的面積還等于，故，故答案為：．（2），，．（3），，，，，，，，，（舍去）．拔高練一、選擇題（共2小題）1．【答案】【解答】解：設(shè)，，，過(guò)作作的垂線(xiàn)，垂足為，過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足為，，，，在與中，，，，，同理可證，，，在中，，即，在中，，即，，，．．故選：．2．【答案】【解答】解：連接．，可以假設(shè)，，，，，，，，，或（舍棄），，，，故選：．二、填空題（共2小題）3．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，第三邊應(yīng)滿(mǎn)足：，又為奇數(shù)，滿(mǎn)足從7到17的奇數(shù)有9，11，13，15，與的和又是3的倍的只有13了，，此時(shí)有，根據(jù)勾股定理的逆定理，是直角三角形．故填13，直角．4．【答案】．【解答】解：如圖，四邊形是正方形，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，陰影部分的面積和．故答案為：．三、解答題（共7小題）5．【答案】3．【解答】解：，，，和是四個(gè)全等的直角三角形，，，小正方形的面積，，小正方形的邊長(zhǎng)為3．6．【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）這個(gè)零件不符合要求．【解答】解：（1）正方形面積可表示為：，根據(jù)圖②，正方形面積還可以表示為：，，即，；（2）在中，，所以是直角三角形，是直角．在中，，，．所以不是直角三角形，不是直角．因此，這個(gè)零件不符合要求．7．【答案】【嘗試探究】見(jiàn)解析；【定理應(yīng)用】見(jiàn)解析．【解答】證明：【嘗試探究】梯形的面積為，利用分割法，梯形的面積為，，；【定理應(yīng)用】，，．8．【答案】（1）①在直角三角形中，兩條