西藏自治區(qū)拉薩市（一模）2024屆上學(xué)期第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷及答案

拉薩市2024屆高三第一次模擬考試

數(shù)學(xué)理科

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷

上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知全集。={一1,3,5,7,9},?2={-1,9},8={3,7,9},則2口8=()

A.{3,7}B.{3,5}C.{3}D.{9}

2.已知復(fù)數(shù)2+i(l—a+ai)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為()

A.-1B.0C.1D.2

22

3.雙曲線上—2=1的焦點坐標(biāo)為()

73

A.(2,0),(-2,0)B.(0,2),(0,-2)C.(Vw,0),(-VH),0)D.(0,Vw),(0,-Vw)

4.將函數(shù)/(x)=2sin(x+o)[o<°<|^的圖象向左平移g個單位長度，得到偶函數(shù)g(x)的圖象，則°=

()

兀兀兀兀

A.—B.—C.—D.一

6543

V2

5.函數(shù)/(x)=4f平的部分圖象大致為()

yypI，

A.B.C.D.

6.已知拋物線C：「=8x的焦點為尸，點〃■在拋物線。上，且|〃F|=4,。為坐標(biāo)原點，則10M=()

A.V5B.2A/5C.4D.5

7.二項式的展開式中的第3項為()

8040

A.160B.—80%C?-D.----

x3X1

8x—3y+320,

8.若變量x,y滿足約束條件卜x+2y—4V0,則2=上的最小值為()

l1

XV十JL

x+y-l>0,

111

A.B.-C.-D.一

3456

9.若一個圓錐的軸截面是一個腰長為正，底邊上的高為1的等腰三角形，則該圓錐的側(cè)面積為()

A.2瓶兀B.、/^兀C.(4+2后)兀D.(1+啦)兀

10.(l-tanl00°)(l-tan35°)的值為()

A.-1B.0C.1D.2

11.“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“距”指由相互垂直的長短兩條直尺

構(gòu)成的角尺，用來測量、畫圓和方形圖案的工具.有一圓形木板，首先用矩測量其直徑，如左圖，矩的較長邊

為10cm,較短邊為5cm,然后將這個圓形木板截出一塊四邊形木板，該四邊形48CD的頂點都在圓周上，

如右圖，若ZC，CQ,sinN8ZC=g,則8C=()

12.已知函數(shù)/(x)的定義域為RJ(2—x)=/(2+x),/(5)=2,且Vx1,/e(―叫2],當(dāng)x尸乙時,

/(%)―/(3)>。則不等式/(x)+4x+3〉一的解集為()

石-x2

A.1x|x<-1,或x〉5}B.|x|-l<x<5}

C.1x|x<-5,或x〉5}D.1x|-5<x<5^

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知X/ER,空間向量方=（2,l,x）石=（4）,一1）.若2〃B,貝！J2x+y=.

14.已知正數(shù)a/滿足a+b=2,則工+工的最小值為____.

ab

15.如果兩個球的表面積之比為4:9,那么兩個球的體積之比為.

16.已知函數(shù)/（x）=（%一口）卜2一伍一1卜-引，函數(shù)/（x）的圖象與x軸的交點關(guān)于y軸對稱，當(dāng)a=6時,

函數(shù)/（x）=;當(dāng)函數(shù)/（X）有三個零點時，函數(shù)/（X）的極大值為.

（第一空2分，第二空3分）

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.（12分）已知等差數(shù)列｛%｝的前”項和為=15,%+為=20?

（1）求｛與｝的通項公式；

（2）記數(shù)列的前〃項和為7；,求

1%一一

18.（12分）如圖，正方體Z8CQ—的棱長為2.

bi2

zfT71cl

、、

另c

4H

（1）證明：4G〃平面NC3；

（2）求直線8。與平面NC2所成角的正弦值.

19.（12分）當(dāng)前，以ChatGPT為代表的AIGC（利用AI技術(shù)自動生成內(nèi)容的生產(chǎn)方式）領(lǐng)域一系列創(chuàng)新技

術(shù)有了革命性突破，全球各大科技企業(yè)都在積極擁抱AIGC,我國的BAT（百度、阿里、騰訊3個企業(yè)的簡

稱）、字節(jié)跳動、萬興科技、藍(lán)色光標(biāo)、華為等領(lǐng)頭企業(yè)已紛紛加碼布局AIGC賽道，某傳媒公司準(zhǔn)備發(fā)布《2023

年中國AIGC發(fā)展研究報告》，先期準(zhǔn)備從上面7個科技企業(yè)中隨機(jī)選取3個進(jìn)行采訪.

（1）求選取的3個科技企業(yè)中，BAT中至多有1個的概率；

（2）記選取的3個科技企業(yè)中BAT中的個數(shù)為X,求X的分布列與期望.

22

20.（12分）設(shè)橢圓￡:=+二=1（?！?〉0）的上頂點為8,左焦點為尸.且民E在直線X—>+2=0

ab

上.

(1)求￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/與E交于尸，。兩點，且點2(-1,1)為尸。中點，求直線/的方程.

21.(12分)已知函數(shù)/("=(/+1)依—/一曬了,(力為函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù).

⑴若0=1,求/'(X)的最小值；

(2)若方程/(x)=axe2?-/有解，求實數(shù)。的取值范圍.

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

題計分.

22.(10分)【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

x=2%+1,

在平面直角坐標(biāo)系xp中，直線/的參數(shù)方程為J_2ta為參數(shù))，以左邊原點。為極點，1軸的非負(fù)

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為22—42sin。+3=0.

(1)求直線/的直角坐標(biāo)方程以及曲線C的普通方程；

(2)過直線/上一點幺作曲線。的切線，切點為8,求|48|的最小值.

23.(10分)【選修4-5：不等式選講】

(1)求不等式/(x)〉7的解集；

4

(2)證明：Vm>l,3xGR,使得/(x)=----+m.

m-1

拉薩市2024屆高三第一次模擬考試

數(shù)學(xué)理科參考答案及評分細(xì)則

1.【答案】A

【解析】因為。={一1,3,5,7,9},?2={-1,9},所以幺={3,5,7},因為5={3,7,9},所以

Nn8={3,7},故選A.

2.【答案】D

【解析】因為2+i(l—a+ai)=—a+2+(l—a)i為純虛數(shù)，所以心解得。=2,故選D.

3.【答案】C

【解析】因為/=7萬=3,所以C2=/+62=IO,得。=而，所以焦點坐標(biāo)為("6,0)和

(-Vio,o),故選c.

4.【答案】A

【解析】將/(x)的圖象向左平移;個單位長度，得到8(?=25吊口+三十—的圖象，因為g(x)為偶函

7T7TTTJT

數(shù)，且0<°<—,所以一+0=—,得0=—,故選A.

2326

5.【答案】A

【解析】因為/(—》)=]—"[又函數(shù)的定義域為{x|x*0}，故/(x)為奇函數(shù)，排除CD；

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，y=4工在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x〉0時，x〉—x,故4T<#，則/(x)<0,排除B,

故選A.

6.【答案】B

【解析】設(shè)M(x0,j0),由|"F|=4得x0+^=4,又p=4,得%=2,所以

M(2,±4),|(9M|=V4+16=2-\/5,故選B.

7.【答案】C

【解析】因為Qi=C”廣,所以4=亡(2力]—}]哼，故選C.

8.【答案】C

【解析】根據(jù)約束條件畫出如圖所示的可行區(qū)域，再利用幾何意義知z=」」表示點(x,y)與點尸(-1,0)

X+1

1

5x+2y—4=0,(21、R1

連線的斜率，易知直線尸幺的斜率最小，由''得Z—,一，所以Zmin=F—J,故選C.

x+y-l=0133；±+15

3

【解析】由題意可得該圓錐的軸截面是一個等腰直角三角形，腰長為后，底邊長為2,所以圓錐的母線長

1=42,底面圓半徑r=l,所以該圓錐的側(cè)面積為5=兀〃=兀xlx0=J^r,故選B.

10.【答案】D

［解析］(1-tanl00°)(1-tan35°)=1-tanl00°-tan35°+tanl00°tan35°

=l-tanl35°(l-tanl00°tan35°)+tanl00°tan35°=2,故選D.

11.【答案】A

【解析】因為NC_LC￡),所以幺。為圓的直徑，由題意得AD=Ji。？+52=5A5cm,因為△4BC在以

為直徑的圓上，所以8C=ZQ-sinN8ZC=5石x』=35cm,故選A.

33

12.【答案】B

【解析】解法一：由/(2-x)=/(2+x)可知，/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且在(-叫2］上單調(diào)遞

增，在(2,+oo)上單調(diào)遞減；4g(x)=/(X)-X2+4X,易知函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且在

(7,2］上單調(diào)遞增，在(2,+oo)上單調(diào)遞減，則〃(x)=g(x+2)關(guān)于歹軸對稱，且在(-叫。］上單調(diào)遞增,

在(0,+oo)±單調(diào)遞減，故

f(x)+4x+3>x2<4>f(x)-x2+4x〉一3=g(x)〉g(5)=/z(x-2)〉/z(3)=|x-2］<30-l<x<5

,故選B.解法二：取滿足條件的特殊函數(shù)，令/(X)=-(X-2)2+11,則

/(x)+4x+3>x?—(x—2)+11+4x+3>x?x2—4x—5<0—1<x<5,故選B.

13.【答案】1

-21x1

【解析】因為所以一=—=一,即》=——,y=2,得2x+y=l.

4y~12

14.【答案】2

【解析】依題意，-+-=-f-+-\a+M=-f2+-+-V-f2+2./^K2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l

ab2(QbJ2(ab)2(VabJ

時取等號.

Q

15.【答案】8:27(填——也可以)

27

、4,

【解析】因為球的表面積公式為5=4兀氏2,體積公式為憶=—兀R3,所以由兩個球的表面積之比為4:9可

3

得它們的半徑之比為2:3,所以它們的體積之比為8:27.

16.【答案】(x—l)2(x+l)暇(第一空2分，第二空3分)(第一空填"J也可以)

【解析】/(x)=(x-a)(x-Z))(x+l),當(dāng)a=b時，函數(shù)/(x)有兩個零點，其中一個為一1,另一個必為

1,于是4=3=1,/(x)=(x—l『(x+i)；當(dāng)/(X)有3個零點時，因為函數(shù)/(X)的圖象與X軸的交點關(guān)于y

軸對稱，所以0是函數(shù)/(X)的零點，從而1也是函數(shù)/(X)的零點，于是

/(X)=X(X-1)(X+1),/,(X)=3X2-1,由廣(X)=0,得X=±F，顯然當(dāng)x=—理時，函數(shù)/⑴有

極大值，極大值為----.

9

17.解：（1）設(shè)｛%｝的公差為d,

a+4=2a+7d=20,

由已知得7451解得q=3,d=2.

S3=3a2=3al+3d=15,

故a”=。1+（〃一1）4=2〃+l.

111

（2）~7777——II，

%%+]（2〃+1）（2〃+3）212〃+12n+3j

1

2〃+3

【評分細(xì)則】

nn

第(2)小題的結(jié)果若寫成下上~7或^^,不扣分.

3(2〃+3)6n+9

18.(1)證明：?.?2?！?。1，幺。匚平面幺。。1，4。1<2平面幺。。1，

.?.4G〃平面zcz)i.

(2)解：如圖，以。為原點，萬%皮，萬萬分別為x/,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-個z.

則2(2,0,0),0(020),5(2,2,0),0(000),2(0,0,2),

所以％=(—2,2,0),9=(—2,0,2),而=(—2,—2,0),

設(shè)平面NCD]的法向量為為=(x,y,z),

n-AC=0,[-2x+2y=0,

由5___.得＜

n?ADX=0,[-2x+2z=0,

令x=l,得力=(1,1,1),

/-^z一\BD-fi-2x1+(—2)x1+0x1V6

cos(BD,n)=?“----------產(chǎn)—--------------------

'/即.問272x733

所以直線BD與平面ACD,所成角的正弦值為彳.

【評分細(xì)則】

如果第一問使用其他方法證明且步驟無誤，不扣分.

19.解：(1)選取的3個科技企業(yè)中，BAT中至多有1個的概率為

C；C；+C：_3x6+4_22

3535

(2)由題意，X的所有取值為0,1,2,3,

尸。=0)幸$小=1)=*=1|

P（X=2）=等=||,P（X=3）=|!$

所以X的分布列為

X0123

418121

P

35353535

459

￡（X）=0x—+lx—+2x—+3x—

v7835353535357

【評分細(xì)則】

1.如有其他解法若正確，也給滿分；

2.第(2)問最終結(jié)果不化為最簡扣1分.

20.解：(1)直線％-》+2=0與x軸交于點尸(一2,0),與y軸交于點5(0,2),

所以6=2,c=2,〃=〃+/=8,

22

因此E的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

84

X=-1,X——1,X——1,

22解得《

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時，聯(lián)立xy17或＜Z，

—+—=1,yy

I842；

7

故尸!\,Q,不滿足|/訓(xùn)=|幺0|,即N不是尸。的中點,不符合題意.

2

7

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/：y=左(》+1)+1,尸(占,%),0(%,%)?

|22

土+匕=1、

聯(lián)立《84一’可得/+2［左（》+1）+1『—8=0,

尸左（x+l）+l,

即（2左2+1）%？+4左（左+l）x+2（左+1）2—8=0.

所以x+x-4M左+1）

所以I2_—2后2+1.

由于4(—1,1)為尸。的中點，所以五丁=—1,即廣1,解得左=g.

綜上，直線/的方程為y=：(x+l)+l,即x—2y+3=0.

【評分細(xì)則】

第(2)題中也可以通過其他方法得出斜率的值，步驟結(jié)果無誤，可給滿分.

21.解：(1)當(dāng)時，/(x)=^x2+1jlux-x2-x,

/=2xlnx-x+--1,

設(shè)g(x)=/'(x)，則g'⑴=l+21nx--y,

X

g'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,且g”)=0,

所以X￡(O,1)時，g'(x)<0/(x)單調(diào)遞減，xw(l,+8)時,g'(x)>0J'(x)單調(diào)遞增,

所以/'(x)mm=r(l)=T?

(2)f(x)=axe2ax-x2即2(/+1)血=2ax^e2ax+1),

即卜2+i)1nx2=(e26+l)lne2",

設(shè)/z(x)=(x+1)Inx,則h^x1)=%(e2G),

iir_i

/z'(x)=lux+1+—,設(shè)加(x)=lux+1+—,則加'(x)=——,

所以x￡(0,1)時，加(x)<0,m(x)單調(diào)遞減，x€(1,+8)時，加'(')〉0,m(x)單調(diào)遞增,

所以加(x)>m(l)=2