初中一元二次方程的求解及其應(yīng)用

【摘

要】一元二次方程在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，牽涉到的知識點較多，是中考經(jīng)?？疾榈膶ο?。而且一元二次方程的學(xué)習(xí)能夠為二次函數(shù)的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)，讓學(xué)生建立起良好的思維模式，是初中生必須應(yīng)知應(yīng)會的內(nèi)容。對剛接觸的學(xué)生來說，一元二次方程陌生且學(xué)起來也有一定難度，為了讓學(xué)生更好地掌握這一節(jié)的數(shù)學(xué)知識，本文結(jié)合以往教學(xué)經(jīng)驗對一元二次方程的解法及應(yīng)用做了一個簡單的總結(jié)?！娟P(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);一元二次方程;求解方法一元二次方程是初中數(shù)學(xué)中的一個重要的知識部分，教師在講解這一部分的內(nèi)容時，要注重對一元二次方程解法的重點講解。要明確這個知識點內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)，注重多種解答計算的方法，保證學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和掌握這一類題目解答的技巧，從而獲得更高的解題效率。本文主要通過運用多媒體創(chuàng)設(shè)問題的情境、發(fā)揮學(xué)生的主體地位、明確教學(xué)的目標(biāo)、規(guī)范學(xué)生的解題步驟及正確率、加強學(xué)生的課堂應(yīng)用環(huán)節(jié)等方式，探究出適合初中階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式，促進他們能力的全面提升。一、初中數(shù)學(xué)解題方法的重要性數(shù)學(xué)主要就是注重題目的解答步驟和解題方式，掌握了這些，解題的效率和正確率就能夠得到很大的提升，因為這些看似簡單的過程中有著非常重要的思維方式和方法，如果可以把這些都理解透徹，那么對于知識點就能更好地掌握，在解題方法和技巧上也有很好的提升。因此，教師需要通過各種形式的教學(xué)，以此來提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，幫助他們掌握同一類型題目的不同解答方式，進而能夠自行找到問題的解答方式，讓學(xué)生面對數(shù)學(xué)時更具信心，不再懼怕數(shù)學(xué)。二、當(dāng)前一元二次方程教學(xué)中存在的問題原有的數(shù)學(xué)教學(xué)模式中都是教師發(fā)揮主體作用，通常都是由教師講大半節(jié)課，學(xué)生在下面聽課，只是個被動的接收者，師生之間互動很少或者幾乎沒有。而且就算是講了大半節(jié)課，教師也總是依據(jù)一個一元二次方程題目去講解，沒有舉一反三，致使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中沒有能夠?qū)⑼活愋偷念}完全掌握，并且解答一元二次方程有多種解答的方式，教師也沒有進行分類教學(xué)。而一個好的課堂，主體應(yīng)該是學(xué)生，教師起到的是一個輔助作用，這樣學(xué)生就可以充分地思考，對于知識的掌握才能夠深刻，才能夠在自己解題的過程中掌握解題技巧和方法。三、初中數(shù)學(xué)一元二次方程的求解方法及其應(yīng)用（一）運用多媒體創(chuàng)設(shè)問題的情境多媒體能夠使得知識的呈現(xiàn)更加直觀，教師可以依靠多媒體設(shè)備讓學(xué)生更好地去了解一元二次方程這個知識點，這樣學(xué)生在面對這類問題時才能夠更加從容地去應(yīng)對。教師也可以利用信息技術(shù)等去搜集一些一元二次方程解答方式的視頻和好的教學(xué)課件，借鑒一些其他優(yōu)秀教師的教學(xué)方式，提升他們自身的課堂教學(xué)效果和教學(xué)水平。例如，“x2=16”這個一元二次方程，16的平方根有兩個，一個是正數(shù)，一個是負(fù)數(shù)，由于這個時候?qū)W生的知識水平還沒有涉及到平方根的運用，此時教師就可以利用多媒體來幫助學(xué)生掌握此類題目的解題方法。通過簡單的動畫效果模擬剝落雞蛋殼，一層一層去分解，將原本的一元二次方程變成一元一次方程去解答，這樣學(xué)生才能更容易地理解和掌握。在這道題目解答之后，教師還要多舉幾個這種類型題目的例子，通過多媒體方式展示出來，舉一反三，幫助學(xué)生更好地掌握一元二次方程這個知識點。（二）發(fā)揮學(xué)生的主體地位在傳統(tǒng)的這類題目的教學(xué)中，教師總是給學(xué)生介紹一元二次方程應(yīng)當(dāng)先移動方程中的幾項，然后再轉(zhuǎn)化，并且一直不斷地重復(fù)著這個步驟，卻沒有關(guān)注學(xué)生是否完全掌握了。時間長了，學(xué)生在課堂中就會逐漸放棄自身的思考，只依賴于教師的步驟，不會去獨立、主動地思考。在現(xiàn)階段的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到這個問題，要讓學(xué)生成為課堂中的主體，激發(fā)學(xué)生的主觀能動性。例如，在剛學(xué)習(xí)這類方程怎么計算的時候，學(xué)生總是會在求解的過程中出現(xiàn)各種各樣的問題，尤其漏解的這個錯誤是最容易在初學(xué)的時候出現(xiàn)的，甚至到了后期的學(xué)習(xí)中，也會因為不仔細(xì)出現(xiàn)這樣的錯誤。如（2x+1）2=16這個方程求解的時候，很多學(xué)生會忽略了正負(fù)號，從而導(dǎo)致結(jié)果只能夠得到x=1.5這個答案。此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生去思考這個答案到底對不對，如果有錯誤又是犯了什么樣的錯誤。學(xué)生就會將求得的答案代入到上面的方程中去驗算，通過自己的再次驗算，有些學(xué)生就能夠發(fā)現(xiàn)錯誤，發(fā)現(xiàn)缺少了負(fù)號的這一答案，應(yīng)該還有一個結(jié)果-2.5。這就是把學(xué)生放在主體地位，由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)解答中的問題，才能達到更好的教學(xué)效果。（三）明確教學(xué)的目標(biāo)教師在教課之前都需要先進行課堂內(nèi)容的備課，要根據(jù)中考的考綱，明確這個章節(jié)內(nèi)容中的重點和難點知識，將知識點全部關(guān)聯(lián)在一起，幫助學(xué)生形成更加系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)。只有明確好自己的教學(xué)目標(biāo)，才能讓學(xué)生獲得更加高效的教學(xué)課堂和體驗。例如，在教學(xué)一元二次方程的解法時，由于一元二次方程被應(yīng)用在很多的數(shù)學(xué)應(yīng)用大題中，包括一些利潤問題、增長問題等等。因此，教師可以將這一部分內(nèi)容分成幾個部分進行教學(xué)，包括應(yīng)用題如何去列式子，如何去解答。通過這一類的教學(xué)，不僅讓學(xué)生能夠計算這一類方程，還能夠運用這類方程去解答更多的問題。（四）規(guī)范學(xué)生的解題步驟，保證正確率教師在教學(xué)一元二次方程之類的應(yīng)用題時，常常將重點放在了學(xué)生數(shù)學(xué)知識的運用上，總是忽視了應(yīng)用題不像填空題和選擇題那樣，只要直接給出最后的答案就可以拿到全部的分?jǐn)?shù)，而是需要將解答過程中的全部步驟都體現(xiàn)在試卷上，才能夠獲得全部的分?jǐn)?shù)。很多學(xué)生也就是忽視了這個點，認(rèn)為最后答案能做對就可以了，但這樣往往會使得他們丟失很多的步驟分，從而與別人拉開一定的差距。因此，教師在教學(xué)時必須要規(guī)范學(xué)生的解題步驟，要求學(xué)生對自己的解答過程進行仔細(xì)的檢查，要讓學(xué)生知道自己在計算過程中可能出現(xiàn)的錯誤，以保證之后解題的正確率。（五）加強學(xué)生課堂應(yīng)用的環(huán)節(jié)一元二次方程的解答和知識不是單一存在的知識點，它與前后的一些知識也都有著緊密相連的關(guān)系，這一部分基礎(chǔ)打好了，也能為后面一元二次不等式的計算和學(xué)習(xí)提供一定的幫助。因此，教師在教學(xué)時不能夠僅僅局限在固定的解決方法和解答的思路中，要幫助學(xué)生學(xué)會分析題目的類型，再運用自己所學(xué)的知識，尋找各個知識點的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，采取多樣的數(shù)學(xué)方法進行多方面的考慮，最后進行綜合解答。在初中這一階段，教師不僅要注重對題目解答方法的教學(xué)，還要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用的能力，要讓學(xué)生遇到相關(guān)的問題時都能夠自行解決，從而增強學(xué)生的綜合能力。（六）著力提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要性數(shù)學(xué)思維是從數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)出發(fā)，理性認(rèn)識數(shù)學(xué)規(guī)律，理解特定數(shù)學(xué)知識，分析和解決數(shù)學(xué)問題的過程。數(shù)學(xué)思維中數(shù)學(xué)知識是一種職業(yè)，它的獲得是一個漸進的滲透和一個持續(xù)不斷學(xué)習(xí)的過程。這不僅需要教材的滲透，更需要學(xué)生自身的欣賞和理解。例如，如果學(xué)生能夠理解方程的本質(zhì)，就很容易積極探索方程的解法，其效果比解法步驟的機械記憶要強得多。因此，需要更加重視數(shù)學(xué)推理的教與學(xué)。初中常用的數(shù)學(xué)思想是字母代替數(shù)字和數(shù)量對應(yīng)關(guān)系、數(shù)字和形狀的組合、數(shù)學(xué)模型和簡化思維。數(shù)學(xué)思維本質(zhì)上是辯證唯物主義在數(shù)學(xué)科學(xué)中的體現(xiàn)，簡化思維解決了數(shù)學(xué)問題中“未知”與“已知”的矛盾，類比思維則是特殊與一般的區(qū)別。而數(shù)與形相結(jié)合的思想體現(xiàn)了數(shù)與形之間的對立結(jié)合和相互轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)模型思維（形式思維）則是將現(xiàn)實世界中物體的數(shù)量和形狀抽象為數(shù)學(xué)概念和關(guān)系，通過數(shù)學(xué)符號語言進行表達，并創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型或結(jié)構(gòu)，是一種形式化的想法。（七）教學(xué)生理解初中方程的基本數(shù)學(xué)思維史寧忠教授指出，“方程的本質(zhì)是描述現(xiàn)實世界中的等價關(guān)系”，方程作為描述等價關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型思想的重要部分。數(shù)學(xué)家笛卡爾試圖強制建立方程的數(shù)學(xué)模型。他的想法是這樣的，將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題。這種想法顯然夸大了數(shù)學(xué)模型的重要性，但也在一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的重要性。初中方程作為數(shù)學(xué)代數(shù)的重要組成部分，數(shù)學(xué)內(nèi)容豐富，主要包括方程思維、歸約思維、數(shù)形結(jié)合、分類思維、代入、消元、公式等等。其中，歸約思想是解方程的核心思想;方程思想是在解決問題時，將已知和未知以等比關(guān)系聯(lián)系起來，建立方程模型，該方程是已知量和未知量的矛盾聯(lián)合，并利用方程的知識來解決問題的一種方式;化簡思想是轉(zhuǎn)型、減少的簡稱;轉(zhuǎn)化思想是將要解決的問題轉(zhuǎn)化為另一個更容易解決或已經(jīng)解決的問題，并通過將“復(fù)雜問題”轉(zhuǎn)化為“簡單問題”和“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”來將“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”;數(shù)形組合思想是將問題的數(shù)量關(guān)系與幾何圖形有機結(jié)合，達到難易轉(zhuǎn)化的效果，從而解決問題;分類思維是通過對數(shù)學(xué)對象進行分類來尋找答案的思想，討論分類不僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法;去除、替換、降階、公式等數(shù)學(xué)方法都是轉(zhuǎn)化思維的具體方法，都是用簡單性改變復(fù)雜性，讓未知為人所知，讓新知識為人所知，這樣就達到了簡化的目的。關(guān)于一元二次方程，教科書側(cè)重于“模型思想”和“變換思想”，本章的主線是“利用一元二次方程解決實際問題”。方程應(yīng)用部分的第三部分在課本中放置了“查詢”問題，以增強學(xué)生建立方程求解二次模型的“建模思路”。至于解決的方法，教科書介紹了“匹配法”、“公式法”或“因式分解法”兩種求解具有一個變量的二次方程的方法。使用“匹配法”求解，會將方程轉(zhuǎn)換為另一種形式，將新知識轉(zhuǎn)化為“舊知識”。用“公式法”求解，則直接用方程將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”。用“因式分解法”求解，是通過從“一元”求解未知數(shù)的線性方程，將“未知”轉(zhuǎn)換為“已知”。這些解決方案都是將復(fù)雜變?yōu)槭煜?，將未知變?yōu)槭煜ぃ瑢⑿轮R變?yōu)榕f知識，以便更好地求解一元二次方程。四、結(jié)束語綜上所述，教師要注重初中數(shù)學(xué)中一元二次方程的各