2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章第4講：隨機(jī)事件與概率（附答案解析）

2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章第4講：隨機(jī)事件

與概率

【考試要求】1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概

率的區(qū)別.2.理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算3掌握古典概型及其計(jì)算公式，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單

隨機(jī)事件的概率.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.樣本空間和隨機(jī)事件

(1)樣本點(diǎn)和有限樣本空間

①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn),常用。表示.

全體樣本點(diǎn)的集合稱(chēng)為試驗(yàn)E的樣本空間,常用Q表示.

②有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有"個(gè)可能結(jié)果<01，(02>",，(0,1)則稱(chēng)樣本空間Q—{C0l，

602，必}為有限樣本空間.

(2)隨機(jī)事件

①定義：將樣本空間Q的子集稱(chēng)為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱(chēng)事件.

②表示：一般用大寫(xiě)字母A,B,C,…表示.

③隨機(jī)事件的極端情形：必然事件、不可能事件.

2.兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算

含義符號(hào)表示

包含關(guān)系若4發(fā)生，則8一定發(fā)生

相等關(guān)系8NA且A224=5

并事件(和事件)A與B至少有一個(gè)發(fā)生AUB或A+B

交事件(積事件)A與3同時(shí)發(fā)生ACB或4B

互斥(互不相容)4與8不能同時(shí)發(fā)生

互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生AC18=0,且4UA=a

3.古典概型的特征

(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有翦蚣;

(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

4.古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間。包含〃個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn),

則定義事件A的概率P(A)=%器.

其中，“(A)和”(0分別表示事件A和樣本空間Q包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

5.概率的性質(zhì)

性質(zhì)1：對(duì)任意的事件4,都有P(A)2O；

性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Q)=1,P(0)=O；

性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么尸(AUB)=P(A)+P(8)；

性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么尸(8)=1一尸(A),尸⑷=1—P(B)；

性質(zhì)5：如果AUB,那么尸(A)WP(3),由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A,因?yàn)?UAUQ,所

以0WP(A)〈l；

性質(zhì)6：設(shè)A,8是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(AUB)=P(B+P(2)—P(An8).

6.頻率與概率

(1)頻率的穩(wěn)定性

一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率4A)

會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A),我們稱(chēng)頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.

(2)頻率穩(wěn)定性的作用

可以用頻率%(A)估計(jì)概率尸(A).

【常用結(jié)論】

1.當(dāng)隨機(jī)事件A,B互斥時(shí)，不一定對(duì)立；當(dāng)隨機(jī)事件A,B對(duì)立時(shí)，一定互斥，即兩事件

互斥是對(duì)立的必要不充分條件.

2.若事件4,4，…，4兩兩互斥,則P(AILM2U…U4)=P(AI)+P(A2)+?“+P(A”).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“X”)

(1)事件發(fā)生的頻率與概■率是相同的.(X)

(2)兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指這兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生.(V)

(3)從一3,-2,-1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(V)

(4)若AUB是必然事件，則A與B是對(duì)立事件.(X)

【教材改編題】

1.一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是()

A.至少有一次中靶

B.兩次都中靶

C.只有一次中靶

D.兩次都不中靶

答案B

解析射擊兩次中“至多有一次中靶"即''有一次中靶或兩次都不中靶”，與該事件不能同

時(shí)發(fā)生的是“兩次都中靶”.

2.從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2,該同學(xué)的身高

在［160,175］（單位：cm）內(nèi)的概率為0.5,那么該同學(xué)的身高超過(guò)175cm的概率為（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

答案B

解析由題意知該同學(xué)的身高小于160cm的概率、該同學(xué)的身高在［160,175］（單位：cm）內(nèi)的

概率和該同學(xué)的身高超過(guò)175cm的概率和為1,故所求概率為1—0.2—05=0.3.

3.（2022?全國(guó)乙卷）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的

概率為.

3

答案To

解析從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有Cg種情況，其中甲、乙都入選有C!種情況，

所以甲、乙都入選的概率

■探究核心題型

題型一隨機(jī)事件

命題點(diǎn)1隨機(jī)事件間關(guān)系的判斷

例1（1）（多選）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A=｛兩彈都擊

中飛機(jī)｝,事件B=｛兩彈都沒(méi)擊中飛機(jī)）,事件C=｛恰有一彈擊中飛機(jī)｝,事件。=｛至少有

一彈擊中飛機(jī)｝，則下列關(guān)系正確的是（）

A.ACiD=0B.BAD=0

C.AL）C=DD.4UB=BUO

答案BC

解析“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中、第二枚沒(méi)中或第一枚沒(méi)中、第二枚擊中，“至

少有一彈擊中飛機(jī)”包含兩種情況，一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都擊中，故

4nr）W0,Bno=0,4UC=O,AUB^BUD.

（2）從裝有十個(gè)紅球和十個(gè)白球的罐子里任取兩球，下列情況中是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的

是（）

A.至少有一個(gè)紅球；至少有一個(gè)白球

B.恰有一個(gè)紅球；都是白球

C.至少有一個(gè)紅球；都是白球

D.至多有一個(gè)紅球；都是紅球

答案B

解析對(duì)于A,“至少有一個(gè)紅球”可能為一個(gè)紅球、一個(gè)白球，“至少有一個(gè)白球”可能

為一個(gè)白球、一個(gè)紅球，故兩事件可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件；對(duì)于B,“恰有一個(gè)

紅球”，則另一個(gè)必是白球，與“都是白球”是互斥事件，而任取兩球還可能都是紅球，故

兩事件不是對(duì)立事件；對(duì)于C,“至少有一個(gè)紅球”為都是紅球或一紅一白，與“都是白球”

顯然是對(duì)立事件；對(duì)于D,“至多有一個(gè)紅球”為都是白球或一紅一白，與“都是紅球”是

對(duì)立事件.

命題點(diǎn)2利用互斥、對(duì)立事件求概率

例2某商場(chǎng)進(jìn)行有獎(jiǎng)銷(xiāo)售，購(gòu)滿(mǎn)100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)

單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)

的事件分別為A,B,C,求：

(l)P(A),P(B),pg；

(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；

(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.

解(l)P(A)=i000，「⑻=i000=而P(C)=I000=20'

(2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng).設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事件為何，則M

=AUBUC.

?.?事件4,B,C兩兩互斥，

：.P(M)=P(AUBUQ=P(A)+P(B)+「(。

1+10+50_61

=-1000=1000,

故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為島.

(3)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N,則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中

一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件，

P(M=1-P(AU1-(HXjo+io())='iS,

故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為9湍89.

思維升華事件關(guān)系的運(yùn)算策略

進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的

全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試臉結(jié)果進(jìn)行分析.當(dāng)事件是由互斥事件組成時(shí)，運(yùn)用互斥

事件的概率加法公式.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：

Ci=“點(diǎn)數(shù)為廣,其中1=1,2,3,4,5,6；

A="點(diǎn)數(shù)不大于2"，D2="點(diǎn)數(shù)不小于2"，D3="點(diǎn)數(shù)大于5”；

E="點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；

F="點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”.

下列結(jié)論正確的是（）

A.G與C2對(duì)立B.G與。2不互斥

C.DgFD.￡2（DinD2）

答案BC

解析對(duì)于A,G="點(diǎn)數(shù)為1”，C2="點(diǎn)數(shù)為2”，G與C2互斥但不對(duì)立，故選項(xiàng)A不

正確；

對(duì)于B,Di="點(diǎn)數(shù)不大于2"，D2="點(diǎn)數(shù)不小于2”，當(dāng)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2時(shí)，9與。2同

時(shí)發(fā)生，所以。1與。2不互斥，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,。3="點(diǎn)數(shù)大于5”表示出現(xiàn)6點(diǎn)，F(xiàn)="點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，所以。3發(fā)生時(shí)尸一定發(fā)

生，所以。3=尸，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,表示兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，即出現(xiàn)2點(diǎn)，E="點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，所以D^D2

發(fā)生，事件E不發(fā)生，所以后二（20。2）不正確，故選項(xiàng)D不正確.

（2）某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的

100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.

一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顧客數(shù)（人）X3025y10

結(jié)算時(shí)間

11.522.53

（分鐘/人）

已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%.

①確定x,y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；

②估計(jì)一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率.

解①由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.則顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)

「遼丁r田2-+一皿八、，u,1X15+1.5X30+2X25+2.5X20+3X10

間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為------------------麗------------------=

1.9（分鐘）.

②記A為事件”一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘”，AI,A2,A3分別表示事件“該

顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1.5分鐘”“該顧客一

次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”，則可估計(jì)概率約為

153303251

2（41）=而=4，"A2）=而=正，2（&）=而=不

因?yàn)锳=4UA2UA3,且Ai,A2,As兩兩互斥，

3317

所以P(A)=P(4UA2UA3)=P(AI)+P(A2)+P(A3)=詬+而+]=而,

故一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率約為六7.

題型二古典概型

例3(1)(2023?南通質(zhì)檢)我國(guó)數(shù)學(xué)家張益唐在“攣生素?cái)?shù)”研究方面取得突破，攣生素?cái)?shù)也

稱(chēng)為享生質(zhì)數(shù)，就是指兩個(gè)相差2的素?cái)?shù)，例如5和7.在大于3且不超過(guò)20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)

選取2個(gè)不同的數(shù)，恰好是一組攣生素?cái)?shù)的概率為()

卷B.5C.|D.|

答案D

解析大于3且不超過(guò)20的素?cái)?shù)為5,7,11,13,17,19,共6個(gè)，

隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，分別為(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(7,11),(7,13),(7,17),

(7,19),(11,13),(11,17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共15種選法，其中恰好是一組

李生素?cái)?shù)的有(5,7),(11,13),(17,19),共3種，故隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，恰好是一組李生

素?cái)?shù)的概率為吉3=存1

(2)在一次比賽中某隊(duì)共有甲、乙、丙等5位選手參加，賽前用抽簽的方法決定出場(chǎng)順序，則

乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)的概率是()

1123

A.而B(niǎo)，5C.5D詞

答案D

解析在一次比賽中某隊(duì)共有甲、乙、丙等5位選手參加，賽前用抽簽的方法決定出場(chǎng)順序，

樣本點(diǎn)總數(shù)〃=A§=120,“乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)”包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)〃?=A2A3+A密熱3

=36,所以“乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)”的概率尸=￡=卷=木

思維升華利用公式法求解古典概型問(wèn)題的步驟

-------u定型，根據(jù)事件的性質(zhì)，確定事件類(lèi)

.第：步型為古典概型,

定量，確定試驗(yàn)包含的樣本點(diǎn)總數(shù)及、

箜譽(yù)尸［所求事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)

~~求值，代入古典概型的概率計(jì)算公式'

住莖好［求解，

跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022.全國(guó)甲卷)從分別寫(xiě)有.123,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回地隨機(jī)抽取2張,

則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()

A-|B3C1Dt

答案c

解析從寫(xiě)有123,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回地隨機(jī)抽取2張，共有15種取法，它們分別是

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),

(5,6),其中卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6

種取法，所以所求概率是「=泰=,

(2)(2022?宜賓質(zhì)檢)2022年冬奧會(huì)在北京、延慶、張家口三個(gè)區(qū)域布置賽場(chǎng)，北京承辦所有冰

上項(xiàng)目，延慶和張家口承辦所有雪上項(xiàng)目.組委會(huì)招聘了包括甲在內(nèi)的4名志愿者，準(zhǔn)備分

配到上述3個(gè)賽場(chǎng)參與賽后維護(hù)服務(wù)工作，要求每個(gè)賽場(chǎng)至少分到一名志愿者，則志愿者甲

正好分到北京賽場(chǎng)的概率為.

答案3

解析依題意3個(gè)賽場(chǎng)分配的志愿者人數(shù)只有1,1,2這種情況，則共有〃=aAg=36(種)安排

方法，

志愿者甲被分配到北京賽場(chǎng)有機(jī)=Ag+CgA3=12(種)安排方法，

所以志愿者甲正好分到北京賽場(chǎng)的概率尸=曇=：.

303

題型三概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題

例4北京冬奧會(huì)順利閉幕后，某學(xué)校團(tuán)委組織了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)講座活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束

后隨機(jī)抽取120名學(xué)生對(duì)講座情況進(jìn)行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為1：1,抽取的學(xué)

生中男生有40名對(duì)講座活動(dòng)滿(mǎn)意，女生中有30名對(duì)講座活動(dòng)不滿(mǎn)意.

(1)完成下面2X2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷對(duì)講座活動(dòng)是否

滿(mǎn)意與性別有關(guān)？

滿(mǎn)意不滿(mǎn)意合計(jì)

男生

女生

合計(jì)120

(2)從被調(diào)查的對(duì)講座活動(dòng)滿(mǎn)意的學(xué)生中，利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取7名學(xué)生，

再在這7名學(xué)生中抽取3名學(xué)生談?wù)勛约郝?tīng)講座的心得體會(huì)，求其中恰好抽中2名男生與1

名女生的概率.

n(ad-bc￥

參考數(shù)據(jù)：/='1,其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

解(1)2義2列聯(lián)表如表所示.

滿(mǎn)意不滿(mǎn)意合計(jì)

男生402060

女生303060

合計(jì)7050120

零假設(shè)為Ho：對(duì)講座活動(dòng)是否滿(mǎn)意與性別無(wú)關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，

L.120X(40X30-20X30)224

-工計(jì)算付/=60X60X70X50=y^3.429>2.7O6=xo.io.

根據(jù)小概率值a=010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷Ho不成立，即認(rèn)為對(duì)講座活動(dòng)是否滿(mǎn)意與性

別有關(guān).

(2)由(1)知，在樣本中對(duì)講座活動(dòng)滿(mǎn)意的學(xué)生有70人，從中抽取7人，其中

7

"男生滿(mǎn)意"的有40X方=4(人)，

7

"女生滿(mǎn)意”的有30X而=3(人),

記“恰好抽中2名男生與1名女生”為事件4,

則W尸魯嚼

所以恰好抽中2名男生與1名女生的概率為H

思維升華求解古典概型的綜合問(wèn)題的步驟

⑴將題目條件中的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件；

(2)判斷事件是否為古典概型；

(3)選用合適的方法確定樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(4)代入古典概型的^率公式求解.

跟蹤訓(xùn)練3從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出40名，將其成績(jī)(均為整數(shù))整理后畫(huà)出頻率

分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問(wèn)題.

⑴成績(jī)?cè)冢?0,90)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？

(2)估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(不要求寫(xiě)過(guò)程)

(3)從成績(jī)是80分以上(包括80分)的學(xué)生中選2人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率.

解(1)根據(jù)題意，成績(jī)?cè)冢?0,60)這一組的頻率為0.015X10=0.15,在［60,70)這一組的頻率為

0.025X10=0.25,在［70,80)這一組的頻率為0.035X10=0.35,在［90,100)這一組的頻率為

0.005X10=0.05,則成績(jī)?cè)冢?0,90)這一組的頻率為3義口一(0.15+0.25+0.35+0.05)］=0.1,其

頻數(shù)為40X0.1=4.

(2)這次競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)約為45X0.1+55X0.15+65X0.25+75X0.35+85X0.1+95X0.05

=68.5；

成績(jī)?cè)冢?0,80)這一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)約為75；

70分左右兩側(cè)的頻率均為0.5,則中位數(shù)約為70.

(3)記“選出的2人在同一分?jǐn)?shù)段”為事件E,成績(jī)?cè)冢?0,90)內(nèi)的有40X01=4(人)，設(shè)為a,

b,c,d；成績(jī)?cè)冢?0,100)內(nèi)的有40X0.05=2(人)，設(shè)為A,8從這6人中選出2人，有(a,

b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,

B),(d,A),(d,B),(A,B),共15種選法,其中事件E包括(a,b),(a,c),(a,cl),(b,

7

c),(仇①，(c,d),(A,B),共7種選法，則尸(七)=正.

課時(shí)精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或3”為事件A,“向上的點(diǎn)數(shù)是1或5”為

事件B,則()

A.AUB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或5

B.A=8

C.AU8表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3

D.ACB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或5

答案A

解析設(shè)4={1,3},2={1,5},

則AD8={1},AUB={1,3,5},

：.A^B,AHB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1,AUB表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或3或5.

2.杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，如圖.現(xiàn)將三張分別印有

“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片(卡片的形狀、大小和質(zhì)地完全相同)放入盒子中.若

從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是()

2121

AQBQC.77D.O

DJyy

答案C

解析記印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片分別為A,B,C,則樣本點(diǎn)有(A,A),

(A,B),(A,O,(B,A),(B,B),(B,Q,(C,A),(C,B),(C,。，共9個(gè)，

其中一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的樣本點(diǎn)有(A,B),(B,A),共2個(gè)，

2

所以所求的概率

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，

驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()

A.134石B.169石

C.338石D.1365石

答案B

解析這批米內(nèi)夾谷約為辰X1534pl69(石).

4.在拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)中，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)"，事件B表示

“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則在一次試驗(yàn)中，事件4+不發(fā)生的概率為()

A-3B-2C3D1

答案C

2142

解析擲一枚骰子的試驗(yàn)有6種等可能的結(jié)果，依題意知尸⑷=與

—21

所以P(B)=1一P(B)=1-§=G，

因?yàn)椴槐硎尽俺霈F(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件，所以事件A與9互斥，從而尸(A+石)=P(A)+P(9)

_11_2

5.(2022?莆田質(zhì)檢)將5名支援某地區(qū)抗疫的醫(yī)生分配到A,B,C三所醫(yī)院，要求每所醫(yī)院

至少安排1人，則其中甲、乙兩名醫(yī)生恰好分配到同一醫(yī)院的概率為()

1674

-CD-

A.29

2516

答案B

解析由題意可知，分配情況分為兩類(lèi)：3,1,1或2,2,1,其方法總數(shù)為CgA§+C守雙=150.

其中甲、乙兩名醫(yī)生恰好分配到同一醫(yī)院的方法共有C3a支卜A4=36（種），

則甲、乙兩名醫(yī)生恰好分配到同一醫(yī)院的概率為將=去.

6.（多選）下列說(shuō)法中正確的有（）

A.若事件A與事件B是互斥事件，則P（AB）=O

B.若事件A與事件B是對(duì)立事件，則P（A+B）=1

C.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)

立事件

D.把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人，每人分得1張，則事件“甲分得的不

是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件

答案ABC

解析事件A與事件B互斥，則A,B不可能同時(shí)發(fā)生，所以P（AB）=O,故A正確；

事件A與事件B是對(duì)立事件，則事件B即為事件T,所以尸（4+8）=1,故B正確；

事件“至少有兩次中靶”與“至多有一次中靶”不可能同時(shí)發(fā)生，且二者必有一個(gè)發(fā)生，所

以為對(duì)立事件，故C正確；

事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”可能同時(shí)發(fā)生，即“丙分得的是紅

牌”，所以不是互斥事件，故D錯(cuò)誤.

7.通過(guò)手機(jī)驗(yàn)證碼注冊(cè)某APP時(shí)，收到的驗(yàn)證碼由四位數(shù)字隨機(jī)組成，如某人收到的驗(yàn)證

碼（0,“2,43,”4）滿(mǎn)足a42*3<〃4,則稱(chēng)該驗(yàn)證碼為遞增型驗(yàn)證碼，某人收到一個(gè)驗(yàn)證碼，

則它是首位為2的遞增型驗(yàn)證碼的概率為.

7

答案2000

解析**ci\=2,2<6Z2<6Z3<6T4,

〃3,。4從3,4,5,6,7,8,9中選，

選出3個(gè)數(shù)，讓其按照從小到大的順序有@=35（種）排法，

又四位驗(yàn)證碼共有10X10X10X10=10000（種），

，它是首位為2的遞增型險(xiǎn)證碼的概率為濡35而=5■7而不

8.（2022?全國(guó)甲卷）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為

姣案—

口呆35

解析從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，取法有Cg=70（種）.

其中4個(gè)點(diǎn)共面有以下兩種情況：

（1）所取的4個(gè)點(diǎn)為正方體同一個(gè)面上的4個(gè)頂點(diǎn)，如圖1,有6種取法；

(2)所取的4個(gè)點(diǎn)為正方體同一個(gè)對(duì)角面上的4個(gè)頂點(diǎn)，如圖2,也有6種取法.

故4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面共有6+6=12(種)情況.

所以所取的4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率戶(hù)=芫=

9.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口排隊(duì)的人數(shù)相應(yīng)的概率如下:

排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率；

(2)至少3人排隊(duì)等候的概率.

解記''無(wú)人排隊(duì)等候”為事件A,“1人排隊(duì)等候”為事件“2人排隊(duì)等候”為事件C,

“3人排隊(duì)等候”為事件。，“4人排隊(duì)等候”為事件E,“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事

件凡則事件4,B,C,D,E,尸彼此互斥.

(1)記''至多2人排隊(duì)等候”為事件G,則G=A+B+C,所以尸(G)=P(4+8+C)=P(A)+P(B)

+P(O=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)方法一記''至少3人排隊(duì)等候”為事件H,則H=Z)+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)

=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二記“至少3人排隊(duì)等候”為事件”，則其對(duì)立事件為事件G,所以P(4)=l一尸(G)

=0.44.

10.某縣共有90個(gè)農(nóng)村淘寶服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，隨機(jī)抽取6個(gè)網(wǎng)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)得到其元旦期間的網(wǎng)購(gòu)金額(單

位：萬(wàn)元)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù).

046

1228

20

(1)根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

(2)若網(wǎng)購(gòu)金額(單位：萬(wàn)元)不小于18的服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)定義為優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，其余為非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)

點(diǎn)，根據(jù)莖葉圖估計(jì)這90個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(3)從隨機(jī)抽取的6個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中任取2個(gè)做網(wǎng)購(gòu)商品的調(diào)查，求恰有1個(gè)網(wǎng)點(diǎn)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)

點(diǎn)的概率.

解（1）由題意知，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x=-------------------=12.

21

（2）樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個(gè)，頻率為由此估計(jì)這90個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)約

有90X；=30（個(gè)）.

（3）樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個(gè)，分別記為四，政，非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有4個(gè)，分別記為歷，歷,

歷,仇，

從隨機(jī)抽取的6個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中任取2個(gè)的可能情況有（0,。2）,3,加），31,bi）.3,歷），

3,Z?4），（。2,bl）,（。2,bi）,（。2,。3），（〃2,84），（加，力2），S1,6），Sl，64）?（岳,63），（岳，

仇），（匕3,Z?4）,共15種,

記“恰有1個(gè)網(wǎng)點(diǎn)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)”為事件M,則事件M包含的可能情況有（0,6），（卬，

岳），3【，匕3）,（兩，人4）,（。2,加），（。2,岳），（。2,%）,（。2,b4），共8種,

Q

故所求概率尸（M）=m.

立綜合提升練

11.如果事件A,B互斥,記石分別為事件A,8的對(duì)立事件，那么（）

A.AUB是必然事件

B.T是必然事件

C.N與不一定互斥

D.N■與下■一定不互斥

答案B

解析如圖①所示，4UB不是必然事件，下是必然事件，了與萬(wàn)不互斥；如圖②所

示，AUB是必然事件，加U不是必