數(shù)學北師大版必修3學案3-2-3互斥事件

2．3互斥事件知識點一互斥事件[填一填]1．互斥事件不能同時發(fā)生的兩個事件叫作互斥事件(或稱互不相容事件)．2．事件A與B的并(或和)一般地，由事件A和B至少有一個發(fā)生(即A發(fā)生，或B發(fā)生，或A、B都發(fā)生)所構成的事件C稱為事件A與B的并(或和)，記作C＝A∪B.事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件組成的集合．3．互斥事件的概率加法公式(1)如果A、B是互斥事件，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)如果事件A1，A2，…An兩兩互斥(彼此互斥)，那么事件“A1∪A2∪…∪An”發(fā)生(是指事件A1，A2，…An中至少有一個發(fā)生)的概率等于這n個事件分別發(fā)生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[答一答]1．怎樣正確理解事件A與事件B的和？提示：并(和)事件具有三層意思：(1)事件A發(fā)生，事件B不發(fā)生；(2)事件A不發(fā)生，事件B發(fā)生；(3)事件A，B同時發(fā)生．即事件A，B中至少有一個發(fā)生．與集合的并集的性質A∪B＝B∪A類似，事件A與事件B的并(和)事件等于事件B與事件A的并(和)事件，即A∪B＝B∪A.例如在擲骰子的試驗中，事件C，D分別表示投擲骰子出現(xiàn)2點、3點，則C∪D＝{出現(xiàn)2點或3點}．知識點二對立事件[填一填]4．對立事件(1)定義：不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件叫作互為對立事件，事件A的對立事件記作eq\x\to(A).(2)概率公式：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．[答一答]2．怎樣正確理解互斥事件與對立事件？提示：互斥事件和對立事件都是針對兩個事件而言的，它們兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系．在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，但不可能兩個都發(fā)生；而兩個對立事件必有一個要發(fā)生，但是不可能兩個事件同時發(fā)生，也不可能兩個事件同時不發(fā)生．所以兩個事件互斥，它們未必對立；反之兩個事件對立，它們一定互斥．1．要注意互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系：互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：(1)事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生．(2)事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生．(3)事件A與事件B同時不發(fā)生．而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形：①事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生．②事件B發(fā)生且事件A不發(fā)生．對立事件是互斥事件的特殊情形．2．關于概率的加法公式：(1)使用條件：A、B互斥．(2)推廣：若事件A1，A2，…，An彼此互斥，則P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(3)在求某些復雜的事件的概率時，可將其分解為一些概率較易求的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易．類型一互斥事件與對立事件的判斷【例1】某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報”，事件C為“至多訂一種報”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報也不訂”．判斷下列事件是否是互斥事件，如果是，判斷它們是否是對立事件．(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.【思路探究】判斷兩個事件是否互斥，就是判斷它們在一次試驗中是否能同時發(fā)生；判斷兩個互斥事件是否對立，就是判斷它們在一次試驗中是否必有一個發(fā)生．【解】(1)由于事件C“至多訂一種報”中可能只訂甲報，即事件A與事件C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事件．(2)事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生的，故事件B與E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一個發(fā)生，故B與E也是對立事件．(3)事件B“至少訂一種報”中有可能只訂乙報，即有可能不訂甲報，也就是說事件B發(fā)生，事件D也可能發(fā)生，故B與D不是互斥事件．(4)事件B“至少訂一種報”中有3種可能：“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”．事件C“至多訂一種報”中有3種可能：“一種報也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”．即事件B與事件C可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件．(5)由(4)的分析可知，事件E“一種報也不訂”僅僅是事件C的一種可能，事件C與事件E可能同時發(fā)生，故C與E不是互斥事件．規(guī)律方法互斥事件和對立事件的判斷方法(1)判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們在一次試驗中能否同時發(fā)生，若不能同時發(fā)生，則這兩個事件是互斥事件，若能同時發(fā)生，則這兩個事件不是互斥事件．(2)判斷兩個事件是否為對立事件，主要看在一次試驗中這兩個事件是否同時滿足兩個條件：一是不能同時發(fā)生；二是必有一個發(fā)生．如果這兩個條件同時成立，那么這兩個事件是對立事件，只要有一個條件不成立，這兩個事件就不是對立事件．事實上，解決此類問題的關鍵是明晰“恰”“至少”“至多”“都”等關鍵詞．拋擲一枚質地均勻的骰子，用圖形畫出下列每對事件所含結果構成的集合之間的關系，并說明二者之間是否構成對立事件．(1)“朝上的一面出現(xiàn)奇數(shù)”與“朝上的一面出現(xiàn)偶數(shù)”；(2)“朝上的一面的數(shù)字不大于4”與“朝上的一面的數(shù)字大于4解：(1)根據(jù)題意作出Venn圖(如圖(1))．從圖中可以看出：“朝上的一面出現(xiàn)奇數(shù)”與“朝上的一面出現(xiàn)偶數(shù)”各自所含結果所組成的集合互為補集，因此它們構成對立事件．(2)根據(jù)題意作出Venn圖(如圖(2))．從圖中可以看出：“朝上的一面的數(shù)字不大于4”與“朝上的一面的數(shù)字大于4類型二互斥事件的概率計算【例2】假設向三個相鄰的軍火庫投擲一枚炸彈，炸中第一個軍火庫的概率為0.025，炸中其余兩個的概率各為0.1，只要炸中一個，另兩個也會發(fā)生爆炸，求軍火庫發(fā)生爆炸的概率．【思路探究】本題應先判斷“軍火庫發(fā)生爆炸”所包含的結果是否可寫成幾個互斥事件所包含結果的和的形式，如果可以，則分別計算出每個基本事件發(fā)生的概率，再利用概率的加法公式進行計算．【解】設A、B、C分別表示炸中第一、第二、第三個軍火庫這三個事件，則P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.又設D表示軍火庫發(fā)生爆炸這個事件，則有D＝A＋B＋C，其中A、B、C彼此互斥．所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225，則軍火庫發(fā)生爆炸的概率為0.225.規(guī)律方法利用互斥事件的加法公式解題體現(xiàn)了化整為零、化難為易的思想．但要注意用此公式時，首先要判斷事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．在投擲骰子試驗中，根據(jù)向上的點數(shù)可以定義許多事件，如：A＝{出現(xiàn)1點}，B＝{出現(xiàn)3點或4點}，C＝{出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)}，D＝{出現(xiàn)的點數(shù)是偶數(shù)}．(1)說明以上4個事件的關系；(2)求兩兩運算的結果．解：解答時抓住運算定義．在投擲骰子的試驗中，根據(jù)向上出現(xiàn)的點數(shù)有6種基本事件，記作Ai＝{出現(xiàn)的點數(shù)為i}(其中i＝1,2，…，6)．則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A與事件B互斥，但不對立，事件A包含于事件C，事件A與D互斥，但不對立；事件B與C不是互斥事件，也不對立；事件B與D不是互斥事件，也不是對立事件；事件C與D是互斥事件，也是對立事件．(2)A∩B＝?，A∩C＝A，A∩D＝?.A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現(xiàn)點數(shù)1或3或4}，A∪C＝C＝{出現(xiàn)點數(shù)1或3或5)，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點數(shù)1或2或4或6}．B∩C＝A3＝{出現(xiàn)點數(shù)3}，B∩D＝A4＝{出現(xiàn)點數(shù)4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出現(xiàn)點數(shù)1或3或4或5}．B∪D＝A2∪A3∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點數(shù)2或3或4或6}．C∩D＝?，C∪D＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6＝{出現(xiàn)點數(shù)1,2,3,4,5,6}．類型三對立事件的概率計算【例3】一個箱子內(nèi)有9張票，其號數(shù)分別為1,2，…，9.從中任取2張，其號數(shù)至少有一個為奇數(shù)的概率是多少？【思路探究】從9張票中任取2張，要弄清楚取法種數(shù)為eq\f(1,2)×9×8＝36，“號數(shù)至少有一個為奇數(shù)”的對立事件是“號數(shù)全是偶數(shù)”，用對立事件的性質求解非常簡單．【解】從9張票中任取2張，有(1,2)，(1,3)，…，(1,9)；(2,3)，(2,4)，…，(2,9)；(3,4)，(3,5)，…，(3,9)；…(7,8)，(7,9)；(8,9)，共計36種取法．記“號數(shù)至少有一個為奇數(shù)”為事件B，“號數(shù)全是偶數(shù)”為事件C，則事件C為從號數(shù)為2,4,6,8的四張票中任取2張有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6種取法．∴P(C)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，由對立事件的性質得P(B)＝1－P(C)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).規(guī)律方法(1)求復雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和；二是先去求對立事件的概率．(2)涉及到“至多”“至少”型的問題，可以用互斥事件以及分類討論的思想求解，當涉及的互斥事件多于兩個時，一般用對立事件求解．將一顆質地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是eq\f(5,6).解析：方法1：將一顆質地均勻的骰子先后拋擲2次，向上的點數(shù)有36種結果，其中點數(shù)之和小于10的有30種，故所求概率為eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).方法2：將一顆質地均勻的骰子先后拋擲2次，向上的點數(shù)有36種結果，其中點數(shù)之和不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6種，故所求概率為1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).類型四互斥事件、對立事件的綜合應用【例4】一個盒中裝有除顏色外完全相同的12個球，其中有5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．【解】方法1：(1)從12個球中任取1球，得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9(種)不同的取法，任取1球有12種取法．所以任取1球得到紅球或黑球的概率為eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)從12個球中任取1球，得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法．從而得紅球或黑球或白球的概率為eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11,12).方法2：(利用互斥事件求概率)記事件A1＝“任取1球為紅球”；A2＝“任取1球為黑球”；A3＝“任取1球為白球”；A4＝“任取1球為綠球”，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).方法3：(利用對立事件求概率)(1)由方法二知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1＋A2的對立事件為A3＋A4，所以取得1球為紅球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1＋A2＋A3的對立事件為A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).規(guī)律方法解決此類問題要注意分類討論和等價轉化的數(shù)學思想的運用，在決定用哪個公式前，首先應結合互斥事件和對立事件的定義分析出相關事件是不是互斥事件或對立事件，不要由于亂套公式而出錯．甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，求：(1)甲獲勝的概率；(2)甲不輸?shù)母怕剩猓?1)“甲獲勝”和“和棋或乙獲勝”是對立事件，所以“甲獲勝”的概率P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).即甲獲勝的概率是eq\f(1,6).(2)法1：設事件A為“甲不輸”，可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個互斥事件的并事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).法2：設事件A為“甲不輸”，可看成是“乙獲勝”的對立事件，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).即甲不輸?shù)母怕适莈q\f(2,3).——易錯警示——不能區(qū)分事件是否互斥而致錯【例5】擲一枚質地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點，2點，3點，4點，5點，6點的概率均為eq\f(1,6)，記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)”，事件B為“向上的數(shù)不超過3”，求P(A∪B)．【易錯點分析】事件A與事件B不是互斥事件，不能應用概率的加法公式．【防范措施】1.明確概率的加法公式使用的條件．2．掌握互斥事件的特點，分清事件是否為互斥事件．【正解】記事件“出現(xiàn)1點”，“出現(xiàn)2點”，“出現(xiàn)3點”，“出現(xiàn)5點”分別為A1，A2，A3，A4.這四個事件彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).某城市2018年的空氣質量狀況如下表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質量為優(yōu)；50<T≤100時，空氣質量為良；100<T≤150時，空氣質量為輕微污染．該城市2018年空氣質量達到良或優(yōu)的概率為(A)A.eq\f(3,5) B.eq\f(1,180)C.eq\f(1,19) D.eq\f(5,9)解析：所求概率為eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5)，故選A.一、選擇題1．把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是(C)A．對立事件 B．不可能事件C．互斥但不對立事件 D．以上答案都不對解析：由互斥事件的定義可知：甲、乙不能同時得到紅牌，由對立事件的定義可知：甲、乙可能都得不到紅牌，即“甲或乙分得紅牌”的事件可能不發(fā)生．2．一人打靶連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是(C)A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶解析：連續(xù)射擊兩次包含的基本事件有“兩次都不中靶”、“一次中靶”、“兩次中靶”，而“至少有一次中靶”包含“一次中靶”與“兩次中靶”，故其對立事件為“兩次都不中靶”．3．2015年5月12日尼泊爾發(fā)生里氏7.5級地震，此后，連續(xù)下了幾天的雨，下表是氣象人員記錄的一組觀察值及其概率的情況：日降雨量(單位：mm)[0,50)[50,100)[100,150)概率0.140.300.32則日降雨量在[50,150)內(nèi)的概率及日降雨量不低于150mm的概率分別為(B)A．0.24,0.62 B．0.62,0.24C．0.24,0.72 D．0.14,0.62解析：記“日降雨量在[0,50)內(nèi)”為事件A，“日降雨量在[50,100)內(nèi)”為事件B，“日降雨量在[100,150)內(nèi)”為事件C，事件A，B，C彼此互斥，且P(A)＝0.14，P(B)＝0.30，P(C)＝0.32，則日降雨量在[50,1