6.1平面向量的概念（原題版）

6.1平面向量的概念通過(guò)對(duì)生活中力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景；理解向量的意義及幾何表示；掌握相等向量與共線向量的意義.重點(diǎn)：掌握向量、相等向量、共線向量的概念及向量的幾何表示難點(diǎn)：對(duì)共線向量的理解及掌握閱讀課本內(nèi)容，自主完成下列內(nèi)容。知識(shí)點(diǎn)一向量的實(shí)際背景與概念問(wèn)題1：在物理中，位移與路程是同一個(gè)概念嗎？為什么？問(wèn)題2：什么是向量的概念？你能舉出物理學(xué)中的一些向量和數(shù)量嗎？向量：既有又有的量叫做向量數(shù)量：只有沒(méi)有的量稱為數(shù)量.數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、能比較大??；向量具有大小和方向這雙重要素，由于方向不能比較大小，故向量不能比較大小.1．有下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．其中，不是向量的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4知識(shí)點(diǎn)二向量的幾何表示問(wèn)題3：數(shù)量可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示嗎？問(wèn)題4：什么是有向線段？如何表示有向線段？有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度，知道了有向線段的起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度，它的終點(diǎn)就唯一確定了.問(wèn)題5：如何表示向量？有向線段與向量的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別從定義上看，向量有大小和方向兩個(gè)要素，而有向線段有起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度三個(gè)要素．因此，這是兩個(gè)不同的量．在空間中，有向線段是固定的線段，而向量是可以自由平移的聯(lián)系有向線段是向量的表示，并不是說(shuō)向量就是有向線段，每一條有向線段對(duì)應(yīng)著一個(gè)向量，但每一個(gè)向量對(duì)應(yīng)著無(wú)數(shù)多條有向線段問(wèn)題6：?jiǎn)挝幌蛄亢土阆蛄康亩x是什么？零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0.單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量.定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒(méi)有確定方向．我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同，在平面內(nèi)，將所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)半徑為1的圓.2．已知向量a如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是()A．也可以用eq\o(MN,\s\up7(―→))表示B．方向是由M指向NC．起點(diǎn)是MD．終點(diǎn)是M知識(shí)點(diǎn)三相等向量與共線向量問(wèn)題7平行向量、相等向量、共線向量的概念是什么？問(wèn)題8你認(rèn)為相等向量與表示向量的有向線段的起點(diǎn)有關(guān)嗎？問(wèn)題9向量平行和直線平行的相同嗎？對(duì)相等向量與共線向量的理解(1)理解平行向量的概念時(shí)，需注意平行向量和平行直線是有區(qū)別的，平行直線不包括重合的情況，而平行向量是可以重合的．(2)共線向量就是平行向量，其中“共線”的含義不是平面幾何中“共線”的含義．實(shí)際上，共線向量(平行向量)有以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量．(3)向量相等具有傳遞性，即a＝b，b＝c，則a＝c.而向量的平行不具有傳遞性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄浚?.在下列命題中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線向量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長(zhǎng)度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個(gè)非零向量的兩個(gè)向量是共線向量．正確的命題是________．考點(diǎn)一平面向量的基本概念例1下列說(shuō)法中正確的有()①單位向量的長(zhǎng)度大于零向量的長(zhǎng)度；②零向量與任一單位向量平行；③因?yàn)槠叫邢蛄恳步凶鞴簿€向量，所以平行向量所在的直線也一定共線；④因?yàn)橄嗟认蛄康南嗟汝P(guān)系具有傳遞性，所以平行向量的平行關(guān)系也具有傳遞性；⑤因?yàn)橄嗟认蛄恳欢ㄊ瞧叫邢蛄?，所以平行向量也一定是相等向量．A．①② B．①②④C．①③⑤ D．①②③【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023上·安徽阜陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的有（

）A．平行向量就是共線向量B．相反向量就是長(zhǎng)度相等且方向相反的向量C．同向，且，則D．兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023上·山西運(yùn)城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）①有向線段三要素是始點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度；

②向量?jī)梢厥谴笮『头较?；③同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量；

④在平行四邊形中，．A．① B．①② C．①②③ D．①②③④考點(diǎn)二平面向量的表示例2（2024高二課時(shí)訓(xùn)練）在如圖所示的坐標(biāo)紙上（每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1），用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量：（1）eq\o(OA,\s\up6(→))，使|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°方向上；（2）eq\o(AB,\s\up6(→))，使|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向上；（3）eq\o(BC,\s\up6(→))，使|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°方向上．【對(duì)點(diǎn)演練1】如圖，B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，可以寫出________個(gè)向量．【對(duì)點(diǎn)演練2】一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向向西偏北50°方向行駛了200km到達(dá)C點(diǎn),又改變方向,向東行駛了100km到達(dá)D點(diǎn)。(1)作出向量AB,BC,CD;(2)求汽車從A點(diǎn)到D點(diǎn)的位移大小|AD|。考點(diǎn)三平行向量與相等向量例3如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，在每?jī)牲c(diǎn)所確定的向量中．（1）與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有哪些？（2）與a共線的向量有哪些？【對(duì)點(diǎn)演練1】本例條件不變，試寫出與向量eq\o(BC,\s\up7(―→))相等的向量．【對(duì)點(diǎn)演練2】如圖，在矩形ABCD中，可以用同一條有向線段表示的向量是()A.eq\o(DA,\s\up7(―→))和eq\o(BC,\s\up7(―→)) B.eq\o(DC,\s\up7(―→))和eq\o(AB,\s\up7(―→))C.eq\o(DC,\s\up7(―→))和eq\o(BC,\s\up7(―→)) D.eq\o(DC,\s\up7(―→))和eq\o(DA,\s\up7(―→))一、單選題1．（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列量中是向量的為（

）A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離2．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于向量的命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）①任一向量與它的相反向量不相等；②長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量；③若，則；④兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同.A．0 B．1 C．2 D．33．（2022下·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）若是向量，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023·河北衡水·高二周測(cè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則不是共線向量5．兩個(gè)非零向量相等，則下列說(shuō)法中不一定成立的是（

）A．它們的方向相同B．它們的大小相同 C．它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)相同 D．它們的負(fù)向量相等6．在四邊形ABCD中，若，且||=||，則四邊形ABCD為（

）A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不確定7.（2023下·上海浦東新·高一統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則與的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；B．若，且與的方向相同，則C．平面上所有單位向量，其終點(diǎn)在同一個(gè)圓上；D．若，則與方向相同或相反8．（2022上·四川成都·高三?？计谥校╆P(guān)于向量，，，下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則多選題9．（2022下·新疆喀什·高一?？计谀┫旅骊P(guān)于向量的說(shuō)法正確的是（）A．單位向量：模為的向量B．零向量：模為的向量C．平行共線向量：方向相同或相反的向量D．相等向量：模相等，方向相同的向量10．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)下列命題的判斷正確的是（

）A．若向量與向量共線，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上B．若A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上，則向量與向量共線C．若A，B，C，D四點(diǎn)不在一條直線上，則向量與向量不共線D．若向量與向量共線，則A，B，C三點(diǎn)在一條直線上11．（2023下·江蘇淮安·高一校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．是單位向量，則C．任一非零向量都可以平行移動(dòng) D．若，則12.如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，則以下說(shuō)法正確的是()A．與eq\o(AB,\s\up7(―→))相等的向量只有一個(gè)(不含eq\o(AB,\s\up7(―→)))B．與eq\o(AB,\s\up7(―→))的模相等的向量有9個(gè)(不含eq\o(AB,\s\up7(―→)))C.eq\o(BD,\s\up7(―→))的模恰好為eq\o(DA,\s\up7(―→))的模的eq\r(3)倍D.eq\o(CB,\s\up7(―→))與eq\o(DA,\s\up7(―→))不共線填空題13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各量中，向量有：．（填寫序號(hào)）①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥人造衛(wèi)星的速度；⑦電量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．14．（2023下·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期末）關(guān)于空間向量的命題：①方向不同的兩個(gè)向量不可能是共線向量；②長(zhǎng)度相等，方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；④若，則．其中所有真命題的序號(hào)有．15.如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，在這6個(gè)向量中：(1)有兩個(gè)向量的模相等，這兩個(gè)向量是________，它們的模都等于_______