高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019必修二）專題9.3用樣本估計(jì)總體（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

專題9.3用樣本估計(jì)總體（重難點(diǎn)題型精講）1．頻率分布直方圖(1)頻率分布表與頻率分布直方圖的意義

為了探索一組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律，一般先要用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，或者用圖將數(shù)據(jù)直觀表示出來.在初中，我們曾用頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖來整理和表示這種數(shù)值型數(shù)據(jù)，由此能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù).

有時(shí)，我們更關(guān)心各個(gè)小組的數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例的大小，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖來整理和表示數(shù)據(jù).

(2)頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟

與畫頻數(shù)分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖.

第一步，求極差

極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.

第二步，決定組距與組數(shù)第三步，將數(shù)據(jù)分組

通常對組內(nèi)數(shù)據(jù)取左閉右開區(qū)間，最后一組數(shù)據(jù)取閉區(qū)間.

第四步，列頻率分布表

計(jì)算各小組的頻率，作出頻率分布表.

第五步，畫頻率分布直方圖

畫圖時(shí)，以橫軸表示分組，縱軸（小長方形的高度）表示.2．其他幾類常用統(tǒng)計(jì)圖——條形圖、折線圖、扇形圖條形圖折線圖扇形圖特點(diǎn)一般地，條形圖中，一條軸上顯示的是所關(guān)注的數(shù)據(jù)類型，另一條軸上對應(yīng)的是數(shù)量、個(gè)數(shù)或者比例，條形圖中每一長方形都是等寬的.用一個(gè)單位長度表示一定的數(shù)量，用折線的起伏表示數(shù)量的增減變化.用整個(gè)圓表示總體，扇形圖中，每一個(gè)扇形的圓心角以及弧長，都與這一部分表示的數(shù)據(jù)大小成正比.作用及選用情景能清楚地表示每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)量，便于相互比較大小.能清楚地看出數(shù)量增減變化的情況及各部分?jǐn)?shù)量的多少.常用來表示隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，當(dāng)然，也可以用在其他合適的情形中.可以形象地表示出各部分?jǐn)?shù)據(jù)在全部數(shù)據(jù)中所占的比例情況.圖例3．總體百分位數(shù)的估計(jì)(1)概念

一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.(2)求解步驟

可以通過下面的步驟計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)：

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計(jì)算i=n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).4．總體集中趨勢的估計(jì)在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.具體概念回顧如下：名稱概念平均數(shù)如果有n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，那么（x1+x2+…+xn）就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，用表示，即=（x1+x2+…+xn）.中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)）或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)）稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻數(shù)最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)）稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).5．總體離散程度的估計(jì)(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差

假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則我們稱為這組數(shù)據(jù)的方差.有時(shí)為了計(jì)算方差的方便，我們還把方差寫成的形式.

我們對方差開平方，取它的算數(shù)平方根，稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.(2)總體（樣本）方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差①一般式：如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為，，，，總體平均數(shù)為，則總體方差=.

②加權(quán)式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(kN)個(gè)，不妨記為，，，，其中出現(xiàn)的頻數(shù)為(i=1，2，，k)，則總體方差為=.

總體標(biāo)準(zhǔn)差：S=.(3)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的統(tǒng)計(jì)意義①標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

②在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.③標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的取值范圍為[0,+).若樣本數(shù)據(jù)都相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性，則標(biāo)準(zhǔn)差為0.反之，標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本，其中的數(shù)據(jù)都相等.6．頻率分布直方圖中的統(tǒng)計(jì)參數(shù)(1)頻率分布直方圖中的“眾數(shù)”

根據(jù)眾數(shù)的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(gè)(些)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一般用中點(diǎn)近似代替.

(2)頻率分布直方圖中的“中位數(shù)”

根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計(jì)中位數(shù)的值.

(3)頻率分布直方圖中的“平均數(shù)”

平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.因?yàn)槠骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.【題型1頻率分布直方圖的相關(guān)計(jì)算問題】【方法點(diǎn)撥】由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需掌握下列關(guān)系式：(1)小長方形的面積=組距×=頻率；(2)各小長方形的面積之和等于1；(3)=頻率，此關(guān)系式的變形為=樣本容量，樣本容量×頻率=頻數(shù).【例1】（2023春·天津?yàn)I海新·高三開學(xué)考試）隨著若卡塔爾世界杯的舉辦，全民對足球的熱愛程度有所提高，組委會(huì)在某場比賽結(jié)束后，隨機(jī)抽取了若干名球迷對足球“喜愛度”進(jìn)行調(diào)查評分，把喜愛程度較高的按年齡分成5組，其中第一組：[20,25)，第二組：[25,30)，第三組：[30,35)，第四組：[35,40)，第五組：[40,45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有32人，第三組中女性球迷有4人，則第三組中男性球迷人數(shù)為（

）A．16 B．18 C．20 D．24【變式11】（2023春·天津和平·高三開學(xué)考試）某單位組織全體員工登錄某網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)平臺進(jìn)行學(xué)習(xí)并統(tǒng)計(jì)積分，得到頻率分布直方圖如圖所示，已知學(xué)習(xí)積分在1,1.5（單位：萬分）的人數(shù)是60人，并且學(xué)習(xí)積分超過2萬分的員工可獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人”稱號，則該單位可以獲得該稱號的員工人數(shù)為（

）A．15 B．16 C．30 D．32【變式12】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖是一學(xué)校期末考試中某班物理成績的頻率分布直方圖，數(shù)據(jù)的分組依次為40,50、50,60、60,70、70,80、80,90、90,100，若成績不低于70分的人數(shù)比成績低于70分的人數(shù)多4人，則該班的學(xué)生人數(shù)為（

）A．45 B．50 C．55 D．60【變式13】（2023春·天津·高三期末）為倡導(dǎo)“節(jié)能減排，低碳生活”的理念，某社區(qū)對家庭的人均月用電量情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某社區(qū)100個(gè)家庭的人均月用電量（單位：千瓦時(shí)），將數(shù)據(jù)按照[40,60),[60,80),[80,100),[100,120),[120,140),140,160分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.若該社區(qū)有3000個(gè)家庭，估計(jì)全社區(qū)人均月用電量低于80千瓦時(shí)的家庭數(shù)為（

A．300 B．450 C．480 D．600【題型2統(tǒng)計(jì)圖的綜合應(yīng)用問題】【方法點(diǎn)撥】條形圖可以直觀地表示各個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)量，扇形圖能夠清晰地顯示各個(gè)項(xiàng)目占總體的百分比，折線圖可以清楚地看到數(shù)據(jù)變動(dòng)趨勢，解決統(tǒng)計(jì)類問題時(shí)常需將若干種統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合，不能孤立分開.【例2】（2023春·四川成都·高三開學(xué)考試）某保險(xiǎn)公司為客戶定制了A，B，C，D，E共5個(gè)險(xiǎn)種，并對5個(gè)險(xiǎn)種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖：用該樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)說法錯(cuò)誤的是（

）．A．57周歲以上參保人數(shù)最少B．18～30周歲人群參保總費(fèi)用最少C．C險(xiǎn)種更受參保人青睞D．31周歲以上的人群約占參保人群80％【變式21】（2023·全國·高一專題練習(xí)）世界人口變化情況的三幅統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加B．2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多C．1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢D．2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平【變式22】（2022·山西運(yùn)城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）2021年，我國各地落實(shí)糧食生產(chǎn)責(zé)任和耕地保護(hù)制度，加大糧食生產(chǎn)扶持力度，支持復(fù)墾撂荒地，連續(xù)兩年實(shí)現(xiàn)增長.我國2020年與2021年糧食產(chǎn)量種類分布及占比統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列說法不正確的是（

）A．我國2020年的糧食總產(chǎn)量約為13390億斤B．我國2021年豆類產(chǎn)量比2020年減產(chǎn)明顯，下降了約14.2%C．我國2021年的各類糧食產(chǎn)量中，增長量最大的是玉米D．我國2021年的各類糧食產(chǎn)量中，同2020年相比，所占比例下降的只有豆類【變式23】（2023·全國·高二專題練習(xí)）某保險(xiǎn)公司推出了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn).現(xiàn)對5個(gè)險(xiǎn)種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖：用樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．30~41周歲參保人數(shù)最多B．隨著年齡的增長，人均參保費(fèi)用越來越多C．54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的8%D．定期壽險(xiǎn)最受參保人青睞【題型3百分位數(shù)的求解】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟，結(jié)合具體問題，進(jìn)行求解即可.【例3】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）某工廠隨機(jī)抽取20名工人,對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),數(shù)據(jù)如下表,則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（

）件數(shù)7891011人數(shù)37541A．8.5 B．9 C．9.5 D．10【變式31】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某校從高一新生中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為10的身高樣本，數(shù)據(jù)（單位：cm）從小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是170，則x=（

）A．169 B．170 C．171 D．172【變式32】（2023·全國·高一專題練習(xí)）一組數(shù)據(jù)如下：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，則該組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)是（

）A．12 B．12.5 C．13 D．13.5【變式33】（2023·全國·高一專題練習(xí)）《中國居民膳食指南（2022）》數(shù)據(jù)顯示，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達(dá)19.0%．為了解某地中學(xué)生的體重情況，某機(jī)構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測量他們的體重（單位：千克），根據(jù)測量數(shù)據(jù)，按[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計(jì)該地中學(xué)生體重的第75百分位數(shù)是（

）A．55 B．57.25 C．58.75 D．60【題型4眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”、“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根據(jù)實(shí)際需要選擇使用.【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某企業(yè)有1000名職工，現(xiàn)按照總體的10%抽取樣本，通過分層抽樣得到如下年收入表：年收入（元）50萬15萬8萬4萬3萬1.2萬人數(shù)161555203某次工資上調(diào)中，只提高了最低收入，即從年收入1.2萬元提高到2萬元，其他職工的收入不變，則下列關(guān)于本企業(yè)職工年收入的說法中正確的是（

）A．平均數(shù)和眾數(shù)都提高了 B．平均數(shù)和中位數(shù)都提高了C．平均數(shù)不變，中位數(shù)提高了 D．中位數(shù)和眾數(shù)不變，平均數(shù)提高了【變式41】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某籃球運(yùn)動(dòng)員練習(xí)罰籃，共20組，每組50次，每組命中球數(shù)如下表：命中球數(shù)4647484950頻數(shù)24464則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（

）A．48，4 B．48.5，4 C．48，49 D．48.5，49【變式42】（2023·全國·高一專題練習(xí)）經(jīng)團(tuán)委統(tǒng)計(jì)，某校申請“志愿服務(wù)之星”的10名同學(xué)在本學(xué)期的志愿服務(wù)時(shí)長（單位：小時(shí)）分別為26、25、23、24、29、25、32、25、24、23，記這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，上四分位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則（

）A．c<a<b B．b<c<a C．c=b<a D．c<b<a【變式43】（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）某電子廠質(zhì)檢員從A、B兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽取7件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)檢，測得該產(chǎn)品的某一質(zhì)量指數(shù)如下：A1.46,1.50,1.41,1.42,1.43,1.48,1.52；B1.46,1.51,1.46,1.43,1.49,1.41,1.53.若該產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)在1.43,1.49內(nèi)，則該產(chǎn)品質(zhì)量為優(yōu)等品，則（A．樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的優(yōu)等品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量相同B．樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)的平均值相同C．樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)的極差相同D．樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)相同【題型5方差、標(biāo)準(zhǔn)差的求解及應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念和計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.【例5】（2023春·山西·高三階段練習(xí)）現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個(gè)數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3．若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（

）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【變式51】（2022·高一單元測試）期末考試后，高二某班50名學(xué)生物理成績的平均分為85，方差為8.2，則下列四個(gè)數(shù)中不可能是該班物理成績的是（

）A．60 B．78 C．85 D．100【變式52】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)有n個(gè)樣本x1，x2，…，xn，其標(biāo)準(zhǔn)差是sx，另有n個(gè)樣本y1，y2，…，ynA．sy=3sC．sy=3【變式53】（2023·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某校舉行校園歌手大賽，5名參賽選手的得分分別是9，8.7，9.3，x，y.已知這5名參賽選手的得分的平均數(shù)為9，方差為0.1，則x?y=（

A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8【題型6頻率分布直方圖中集中趨勢參數(shù)的計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】(1)平均數(shù)：用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積(即該小組的頻率)的乘積之和近似代替平均數(shù).(2)中位數(shù)：根據(jù)中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等列式求中位數(shù).(3)眾數(shù)：可以用最高小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)來近似代替眾數(shù).【例6】（2022秋·遼寧遼陽·高一期末）“天宮課堂”是為發(fā)揮中國空間站的綜合效益，推出的首個(gè)太空科普教育品牌．”天宮課堂”是結(jié)合載人飛行任務(wù)，貫穿中國空間站建造和在軌運(yùn)營系列化推出的，將由中國航天員擔(dān)任“太空教師”，以青少年為主要對象，采取天地協(xié)同互動(dòng)方式開展．2022年10月12日15時(shí)40分，“天宮課堂”第三課在中國空間站開講．學(xué)校針對這次直播課，舉辦了”天宮課堂”知識競賽，有100名學(xué)生代表參加了競賽，競賽后對這100名學(xué)生的成績（滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)分為［60，70），［70，80），［80，90），［90，100]這4組，畫出如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中m的值；(2)估計(jì)這100名學(xué)生競賽成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為