高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（人教A版2019必修二）專題9.3用樣本估計總體（重難點題型精講）（學生版）

專題9.3用樣本估計總體（重難點題型精講）1．頻率分布直方圖(1)頻率分布表與頻率分布直方圖的意義

為了探索一組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律，一般先要用表格對數(shù)據(jù)進行整理，或者用圖將數(shù)據(jù)直觀表示出來.在初中，我們曾用頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖來整理和表示這種數(shù)值型數(shù)據(jù)，由此能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個小組的個數(shù).

有時，我們更關心各個小組的數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例的大小，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖來整理和表示數(shù)據(jù).

(2)頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟

與畫頻數(shù)分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖.

第一步，求極差

極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.

第二步，決定組距與組數(shù)第三步，將數(shù)據(jù)分組

通常對組內數(shù)據(jù)取左閉右開區(qū)間，最后一組數(shù)據(jù)取閉區(qū)間.

第四步，列頻率分布表

計算各小組的頻率，作出頻率分布表.

第五步，畫頻率分布直方圖

畫圖時，以橫軸表示分組，縱軸（小長方形的高度）表示.2．其他幾類常用統(tǒng)計圖——條形圖、折線圖、扇形圖條形圖折線圖扇形圖特點一般地，條形圖中，一條軸上顯示的是所關注的數(shù)據(jù)類型，另一條軸上對應的是數(shù)量、個數(shù)或者比例，條形圖中每一長方形都是等寬的.用一個單位長度表示一定的數(shù)量，用折線的起伏表示數(shù)量的增減變化.用整個圓表示總體，扇形圖中，每一個扇形的圓心角以及弧長，都與這一部分表示的數(shù)據(jù)大小成正比.作用及選用情景能清楚地表示每個項目的具體數(shù)量，便于相互比較大小.能清楚地看出數(shù)量增減變化的情況及各部分數(shù)量的多少.常用來表示隨時間變化的數(shù)據(jù)，當然，也可以用在其他合適的情形中.可以形象地表示出各部分數(shù)據(jù)在全部數(shù)據(jù)中所占的比例情況.圖例3．總體百分位數(shù)的估計(1)概念

一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.(2)求解步驟

可以通過下面的步驟計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)：

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計算i=n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).4．總體集中趨勢的估計在初中的學習中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.具體概念回顧如下：名稱概念平均數(shù)如果有n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么（x1+x2+…+xn）就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，用表示，即=（x1+x2+…+xn）.中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個數(shù)據(jù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時）或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時）稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻數(shù)最大值所對應的樣本數(shù)據(jù)）稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).5．總體離散程度的估計(1)方差和標準差

假設一組數(shù)據(jù)是，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則我們稱為這組數(shù)據(jù)的方差.有時為了計算方差的方便，我們還把方差寫成的形式.

我們對方差開平方，取它的算數(shù)平方根，稱為這組數(shù)據(jù)的標準差.(2)總體（樣本）方差和總體標準差①一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為，，，，總體平均數(shù)為，則總體方差=.

②加權式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(kN)個，不妨記為，，，，其中出現(xiàn)的頻數(shù)為(i=1，2，，k)，則總體方差為=.

總體標準差：S=.(3)標準差與方差的統(tǒng)計意義①標準差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

②在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差.③標準差(方差)的取值范圍為[0,+).若樣本數(shù)據(jù)都相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性，則標準差為0.反之，標準差為0的樣本，其中的數(shù)據(jù)都相等.6．頻率分布直方圖中的統(tǒng)計參數(shù)(1)頻率分布直方圖中的“眾數(shù)”

根據(jù)眾數(shù)的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(些)點的橫坐標為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一般用中點近似代替.

(2)頻率分布直方圖中的“中位數(shù)”

根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可估計中位數(shù)的值.

(3)頻率分布直方圖中的“平均數(shù)”

平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.因為平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.【題型1頻率分布直方圖的相關計算問題】【方法點撥】由頻率分布直方圖進行相關計算時，需掌握下列關系式：(1)小長方形的面積=組距×=頻率；(2)各小長方形的面積之和等于1；(3)=頻率，此關系式的變形為=樣本容量，樣本容量×頻率=頻數(shù).【例1】（2023春·天津濱海新·高三開學考試）隨著若卡塔爾世界杯的舉辦，全民對足球的熱愛程度有所提高，組委會在某場比賽結束后，隨機抽取了若干名球迷對足球“喜愛度”進行調查評分，把喜愛程度較高的按年齡分成5組，其中第一組：[20,25)，第二組：[25,30)，第三組：[30,35)，第四組：[35,40)，第五組：[40,45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有32人，第三組中女性球迷有4人，則第三組中男性球迷人數(shù)為（

）A．16 B．18 C．20 D．24【變式11】（2023春·天津和平·高三開學考試）某單位組織全體員工登錄某網(wǎng)絡培訓平臺進行學習并統(tǒng)計積分，得到頻率分布直方圖如圖所示，已知學習積分在1,1.5（單位：萬分）的人數(shù)是60人，并且學習積分超過2萬分的員工可獲得“學習達人”稱號，則該單位可以獲得該稱號的員工人數(shù)為（

）A．15 B．16 C．30 D．32【變式12】（2023·全國·高一專題練習）如圖是一學校期末考試中某班物理成績的頻率分布直方圖，數(shù)據(jù)的分組依次為40,50、50,60、60,70、70,80、80,90、90,100，若成績不低于70分的人數(shù)比成績低于70分的人數(shù)多4人，則該班的學生人數(shù)為（

）A．45 B．50 C．55 D．60【變式13】（2023春·天津·高三期末）為倡導“節(jié)能減排，低碳生活”的理念，某社區(qū)對家庭的人均月用電量情況進行了調查，通過抽樣，獲得了某社區(qū)100個家庭的人均月用電量（單位：千瓦時），將數(shù)據(jù)按照[40,60),[60,80),[80,100),[100,120),[120,140),140,160分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.若該社區(qū)有3000個家庭，估計全社區(qū)人均月用電量低于80千瓦時的家庭數(shù)為（

A．300 B．450 C．480 D．600【題型2統(tǒng)計圖的綜合應用問題】【方法點撥】條形圖可以直觀地表示各個項目的具體數(shù)量，扇形圖能夠清晰地顯示各個項目占總體的百分比，折線圖可以清楚地看到數(shù)據(jù)變動趨勢，解決統(tǒng)計類問題時常需將若干種統(tǒng)計圖結合，不能孤立分開.【例2】（2023春·四川成都·高三開學考試）某保險公司為客戶定制了A，B，C，D，E共5個險種，并對5個險種參保客戶進行抽樣調查，得出如下的統(tǒng)計圖：用該樣本估計總體，以下四個說法錯誤的是（

）．A．57周歲以上參保人數(shù)最少B．18～30周歲人群參保總費用最少C．C險種更受參保人青睞D．31周歲以上的人群約占參保人群80％【變式21】（2023·全國·高一專題練習）世界人口變化情況的三幅統(tǒng)計圖如圖所示．下列結論中錯誤的是（

）A．從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加B．2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多C．1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢D．2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平【變式22】（2022·山西運城·統(tǒng)考模擬預測）2021年，我國各地落實糧食生產(chǎn)責任和耕地保護制度，加大糧食生產(chǎn)扶持力度，支持復墾撂荒地，連續(xù)兩年實現(xiàn)增長.我國2020年與2021年糧食產(chǎn)量種類分布及占比統(tǒng)計圖如圖所示，則下列說法不正確的是（

）A．我國2020年的糧食總產(chǎn)量約為13390億斤B．我國2021年豆類產(chǎn)量比2020年減產(chǎn)明顯，下降了約14.2%C．我國2021年的各類糧食產(chǎn)量中，增長量最大的是玉米D．我國2021年的各類糧食產(chǎn)量中，同2020年相比，所占比例下降的只有豆類【變式23】（2023·全國·高二專題練習）某保險公司推出了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險；戊，重大疾病保險.現(xiàn)對5個險種參保客戶進行抽樣調查，得出如下的統(tǒng)計圖：用樣本估計總體，以下四個選項錯誤的是（

）A．30~41周歲參保人數(shù)最多B．隨著年齡的增長，人均參保費用越來越多C．54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的8%D．定期壽險最受參保人青睞【題型3百分位數(shù)的求解】【方法點撥】根據(jù)計算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟，結合具體問題，進行求解即可.【例3】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）某工廠隨機抽取20名工人,對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進行統(tǒng)計,數(shù)據(jù)如下表,則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（

）件數(shù)7891011人數(shù)37541A．8.5 B．9 C．9.5 D．10【變式31】（2023·全國·高一專題練習）某校從高一新生中隨機抽取了一個容量為10的身高樣本，數(shù)據(jù)（單位：cm）從小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是170，則x=（

）A．169 B．170 C．171 D．172【變式32】（2023·全國·高一專題練習）一組數(shù)據(jù)如下：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，則該組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)是（

）A．12 B．12.5 C．13 D．13.5【變式33】（2023·全國·高一專題練習）《中國居民膳食指南（2022）》數(shù)據(jù)顯示，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達19.0%．為了解某地中學生的體重情況，某機構從該地中學生中隨機抽取100名學生，測量他們的體重（單位：千克），根據(jù)測量數(shù)據(jù)，按[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)調查的數(shù)據(jù)，估計該地中學生體重的第75百分位數(shù)是（

）A．55 B．57.25 C．58.75 D．60【題型4眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應用】【方法點撥】中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”、“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根據(jù)實際需要選擇使用.【例4】（2023·全國·高一專題練習）某企業(yè)有1000名職工，現(xiàn)按照總體的10%抽取樣本，通過分層抽樣得到如下年收入表：年收入（元）50萬15萬8萬4萬3萬1.2萬人數(shù)161555203某次工資上調中，只提高了最低收入，即從年收入1.2萬元提高到2萬元，其他職工的收入不變，則下列關于本企業(yè)職工年收入的說法中正確的是（

）A．平均數(shù)和眾數(shù)都提高了 B．平均數(shù)和中位數(shù)都提高了C．平均數(shù)不變，中位數(shù)提高了 D．中位數(shù)和眾數(shù)不變，平均數(shù)提高了【變式41】（2023·全國·高三專題練習）某籃球運動員練習罰籃，共20組，每組50次，每組命中球數(shù)如下表：命中球數(shù)4647484950頻數(shù)24464則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（

）A．48，4 B．48.5，4 C．48，49 D．48.5，49【變式42】（2023·全國·高一專題練習）經(jīng)團委統(tǒng)計，某校申請“志愿服務之星”的10名同學在本學期的志愿服務時長（單位：小時）分別為26、25、23、24、29、25、32、25、24、23，記這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，上四分位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則（

）A．c<a<b B．b<c<a C．c=b<a D．c<b<a【變式43】（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）某電子廠質檢員從A、B兩條生產(chǎn)線上各隨機抽取7件產(chǎn)品進行質檢，測得該產(chǎn)品的某一質量指數(shù)如下：A1.46,1.50,1.41,1.42,1.43,1.48,1.52；B1.46,1.51,1.46,1.43,1.49,1.41,1.53.若該產(chǎn)品的這一質量指數(shù)在1.43,1.49內，則該產(chǎn)品質量為優(yōu)等品，則（A．樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的優(yōu)等品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量相同B．樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質量指數(shù)的平均值相同C．樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質量指數(shù)的極差相同D．樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質量指數(shù)的中位數(shù)相同【題型5方差、標準差的求解及應用】【方法點撥】根據(jù)方差、標準差的概念和計算公式，進行求解即可.【例5】（2023春·山西·高三階段練習）現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3．若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（

）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【變式51】（2022·高一單元測試）期末考試后，高二某班50名學生物理成績的平均分為85，方差為8.2，則下列四個數(shù)中不可能是該班物理成績的是（

）A．60 B．78 C．85 D．100【變式52】（2023·全國·高一專題練習）設有n個樣本x1，x2，…，xn，其標準差是sx，另有n個樣本y1，y2，…，ynA．sy=3sC．sy=3【變式53】（2023·內蒙古·校聯(lián)考模擬預測）某校舉行校園歌手大賽，5名參賽選手的得分分別是9，8.7，9.3，x，y.已知這5名參賽選手的得分的平均數(shù)為9，方差為0.1，則x?y=（

A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8【題型6頻率分布直方圖中集中趨勢參數(shù)的計算】【方法點撥】(1)平均數(shù)：用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積(即該小組的頻率)的乘積之和近似代替平均數(shù).(2)中位數(shù)：根據(jù)中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等列式求中位數(shù).(3)眾數(shù)：可以用最高小矩形底邊中點的橫坐標來近似代替眾數(shù).【例6】（2022秋·遼寧遼陽·高一期末）“天宮課堂”是為發(fā)揮中國空間站的綜合效益，推出的首個太空科普教育品牌．”天宮課堂”是結合載人飛行任務，貫穿中國空間站建造和在軌運營系列化推出的，將由中國航天員擔任“太空教師”，以青少年為主要對象，采取天地協(xié)同互動方式開展．2022年10月12日15時40分，“天宮課堂”第三課在中國空間站開講．學校針對這次直播課，舉辦了”天宮課堂”知識競賽，有100名學生代表參加了競賽，競賽后對這100名學生的成績（滿分100分）進行統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)分為［60，70），［70，80），［80，90），［90，100]這4組，畫出如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中m的值；(2)估計這100名學生競賽成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為