河南魯山縣第一高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)（理）試卷

魯山一高高三年級(jí)8月月考數(shù)學(xué)（理）試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，，則A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)，則A. B.-2 C. D.23.已知，則A. B. C. D.4.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是A.B.C.D.5.如圖，在中，，是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為A.B.C. D.6.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為A. B.C. D.7.已知函數(shù)的圖像相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，若將函數(shù)的圖像向左平移后得到偶函數(shù)的圖像，則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為A.B.C.D.8.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸長(zhǎng)為6，漸近線方程為，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線左支上，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，則的最小值為A.8B.9C.10D.119.如圖，在直角坐標(biāo)系中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為，向矩形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為A. B. C. D.10.定義在R上的函數(shù)滿足且，則不等式的解集為A.B.C.D.11．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上且滿足，則此橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．12.中，，，，中，，則的取值范圍是A. B.C. D.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則__________．14.已知的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為64，則展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________．15.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則__．16.如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形沿軸滾動(dòng)，點(diǎn)恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn).設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則對(duì)函數(shù)有下列判斷：①函數(shù)是偶函數(shù)；②對(duì)任意的，都有；③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；④函數(shù)的值域是；⑤.其中判斷正確的序號(hào)是__________．三、解答題（解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，數(shù)列滿足，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.（本小題滿分12分）已知的面積為，且內(nèi)角依次成等差數(shù)列.（=1\*ROMANI）若，求邊的長(zhǎng)；（=2\*ROMANII）設(shè)為邊的中點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的最小值.19.（本小題滿分12分）已知三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，（Ⅰ）證明：平面平面；（=2\*ROMANII）設(shè)為棱的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.20.（本小題滿分12分）東方商店欲購(gòu)進(jìn)某種食品（保質(zhì)期兩天），此商店每?jī)商熨?gòu)進(jìn)該食品一次（購(gòu)進(jìn)時(shí)，該食品為剛生產(chǎn)的）.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該食品每份進(jìn)價(jià)元，售價(jià)元，如果兩天內(nèi)無(wú)法售出，則食品過(guò)期作廢，且兩天內(nèi)的銷售情況互不影響，為了了解市場(chǎng)的需求情況，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)該產(chǎn)品在本地區(qū)天的銷售量如下表：（視樣本頻率為概率）（Ⅰ）根據(jù)該產(chǎn)品天的銷售量統(tǒng)計(jì)表，記兩天中一共銷售該食品份數(shù)為，求的分布列與期望（=2\*ROMANII）以兩天內(nèi)該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)期望為決策依據(jù)，東方商店一次性購(gòu)進(jìn)或份，哪一種得到的利潤(rùn)更大？21.（本小題滿分12分）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.（Ⅰ）求拋物線的方程；（=2\*ROMANII=2\*ROMAN）過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線，切線與拋物線的另一交點(diǎn)分別為，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為，求的取值范圍.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（Ⅰ）求證：曲線與在處的切線重合；（=2\*ROMANII=2\*ROMAN）若對(duì)任意恒成立。=1\*GB3①求實(shí)數(shù)的取值范圍=2\*GB3②求證：（其中）理科數(shù)學(xué)答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，，則（B）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)，則（D）A. B.-2 C. D.23.已知，則（A）A. B. C. D.4.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是(C)A.B.C.D.5.如圖，在中，，是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（D）A.B.C. D.【詳解】由題意及圖，，又，，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故選：D．6.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（C）A. B.C. D.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)即：，其中z取得最小值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)B處取得最小值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)最小值為：.本題選擇C選項(xiàng).7.已知函數(shù)的圖像相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，若將函數(shù)的圖像向左平移后得到偶函數(shù)的圖像，則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為(D)A.B.C.D.【詳解】函數(shù)f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，）的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，則：T＝π，所以：ω＝2,將函數(shù)f（x）的圖象向左平移后，得到g（x）＝sin（2xθ）是偶函數(shù)，故：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于：，所以：當(dāng)k＝0時(shí)．則，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），當(dāng)k＝0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為：[]，由于[]?[]，故選：D．8.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸長(zhǎng)為6，漸近線方程為，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線左支上，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，則的最小值為BA.8B.9C.10D.11【答案】B求得雙曲線的a，b，可得雙曲線方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用雙曲線的定義和三點(diǎn)共線取得最小值，連接EF1，交雙曲線于M，交圓于N，計(jì)算可得所求最小值．【詳解】由題意可得2a＝6，即a＝3，漸近線方程為y＝±x，即有，即b＝1，可得雙曲線方程為y2＝1，焦點(diǎn)為F1（，0），F(xiàn)2，（，0），由雙曲線的定義可得|MF2|＝2a+|MF1|＝6+|MF1|，由圓E：x2+（y）2＝1可得E（0，），半徑r＝1，|MN|+|MF2|＝6+|MN|+|MF1|，連接EF1，交雙曲線于M，交圓于N，可得|MN|+|MF1|取得最小值，且為|EF1|4，則則|MN|+|MF2|的最小值為6+4﹣1＝9．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查圓的方程的運(yùn)用，以及三點(diǎn)共線取得最值，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為，向矩形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為（A）A. B. C. D.【答案】A【詳解】設(shè)切點(diǎn)，所以切線方程，又因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)所以解得所以點(diǎn)P因?yàn)榕c軸在圍成的面積是則陰影部分的面積為而矩形的面積為故向矩形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為故選A10.定義在R上的函數(shù)滿足且，則不等式的解集為（C）A.B.C.D.11．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上且滿足，則此橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B由①②③得：，，，∴，則此橢圓離心率的取值范圍是，故選B．12.中，，，，中，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后分析點(diǎn)D的位置，利用直線的夾角公式，求得點(diǎn)D的軌跡方程為圓的一部分，然后利用圓的相關(guān)知識(shí)求出最大最小值即可.【詳解】由題，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，BC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系；設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以由題易知點(diǎn)D可能在直線AB的上方，也可能在AB的下方；當(dāng)點(diǎn)D可能在直線AB的上方；直線BD的斜率；直線AD的斜率由兩直線的夾角公式可得：化簡(jiǎn)整理的可得點(diǎn)D的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓，且點(diǎn)D在AB的上方，所以是圓在AB上方的劣弧部分；此時(shí)CD的最短距離為：當(dāng)當(dāng)點(diǎn)D可能在直線AB的下方；同理可得點(diǎn)D的軌跡方程：此時(shí)點(diǎn)D的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓，且點(diǎn)D在AB的下方，所以是圓在AB下方的劣弧部分；此時(shí)CD的最大距離為：所以CD的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考察了直線與圓的綜合知識(shí)，建系與直線的夾角公式是解題的關(guān)鍵，屬于難題.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則__________．【答案】114.已知的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為64，則展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________．【答案】2015.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則__．【答案】【分析】先由題意，是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性推出的周期，可得，然后帶入求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以又因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以即所以的周期因?yàn)樗怨蚀鸢笧椤军c(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)的變形以及公式的熟記是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16.如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形沿軸滾動(dòng)，點(diǎn)恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn).設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則對(duì)函數(shù)有下列判斷：①函數(shù)是偶函數(shù)；②對(duì)任意的，都有；③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；④函數(shù)的值域是；⑤.其中判斷正確的序號(hào)是__________．【答案】①②⑤【分析】根據(jù)正方形的運(yùn)動(dòng)，得到點(diǎn)P的軌跡方程，然后根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】當(dāng)﹣2≤x≤﹣1，P的軌跡是以A為圓心，半徑為1的圓，當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，P的軌跡是以B為圓心，半徑為的圓，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，P的軌跡是以C為圓心，半徑為1的圓，當(dāng)3≤x≤4時(shí)，P的軌跡是以A為圓心，半徑為1的圓，∴函數(shù)的周期是4．因此最終構(gòu)成圖象如下：①，根據(jù)圖象的對(duì)稱性可知函數(shù)y＝f（x）是偶函數(shù)，故①正確；②，由圖象即分析可知函數(shù)的周期是4．即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正確；③，函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，故③錯(cuò)誤；④，由圖象可得f（x）的值域?yàn)閇0，]，故④錯(cuò)誤；⑤，根據(jù)積分的幾何意義可知f（x）dxπ?（）21×1π×12，故⑤正確．故答案為：①②⑤．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象的變化，其中根據(jù)已知畫(huà)出正方形轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的一個(gè)周期內(nèi)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想對(duì)本題進(jìn)行分析是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，數(shù)列滿足，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（Ⅰ）由和得，∴.設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵∴，計(jì)算得出∴（Ⅱ）由（1）得，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，∴18.已知的面積為，且內(nèi)角依次成等差數(shù)列.（1）若，求邊的長(zhǎng)；（2）設(shè)為邊的中點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的最小值.【詳解】（1）三內(nèi)角依次成等差數(shù)列，設(shè)所對(duì)的邊分別為,由可得.，由正弦定理知.中，由余弦定理可得.即的長(zhǎng)為（2）是邊上的中線，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”,即長(zhǎng)的最小值為.19.已知三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，；（1）證明：平面平面；（2）設(shè)為棱的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：在中，，，，由余弦定理可得，，，，平面，平面，平面平面.（2）在平面中，過(guò)點(diǎn)作，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)平面的一個(gè)法向量為則解得，，，即設(shè)平面的一個(gè)法向量為則解得，，即由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的證明方法，空間向量的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20.東方商店欲購(gòu)進(jìn)某種食品（保質(zhì)期兩天），此商店每?jī)商熨?gòu)進(jìn)該食品一次（購(gòu)進(jìn)時(shí)，該食品為剛生產(chǎn)的）.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該食品每份進(jìn)價(jià)元，售價(jià)元，如果兩天內(nèi)無(wú)法售出，則食品過(guò)期作廢，且兩天內(nèi)的銷售情況互不影響，為了了解市場(chǎng)的需求情況，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)該產(chǎn)品在本地區(qū)天的銷售量如下表：（視樣本頻率為概率）（1）根據(jù)該產(chǎn)品天的銷售量統(tǒng)計(jì)表，記兩天中一共銷售該食品份數(shù)為，求的分布列與期望（2）以兩天內(nèi)該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)期望為決策依據(jù)，東方商店一次性購(gòu)進(jìn)或份，哪一種得到的利潤(rùn)更大？【詳解】（1）根據(jù)題意可得，，，，，，，的分布列如下：（2）當(dāng)購(gòu)進(jìn)份時(shí)，利潤(rùn)為，當(dāng)購(gòu)進(jìn)份時(shí)，利潤(rùn)為，可見(jiàn)，當(dāng)購(gòu)進(jìn)份時(shí)，利潤(rùn)更高.【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，概率統(tǒng)計(jì)的預(yù)測(cè)作用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.21.已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線，切線與拋物線的另一交點(diǎn)分別為，線段中點(diǎn)