環(huán)境流體力學(xué) 課件 第五章第二節(jié)Kelvin定理

渦旋運動的基本概念和渦量輸運方程流體運動中速度環(huán)量的變化對于理想正壓流體，體積力有勢，則沿任一封閉物質(zhì)線的速度環(huán)量和通過任一物質(zhì)面的渦通量在運動過程中恒不變，稱此為開爾文(Kelvin)定理渦旋運動的基本概念和渦量輸運方程Kelvin定理的推論(Lagrange渦保持定理)：理想正壓流體，體積力有勢，如果初始時刻在某部分流體是無旋的，則在以前或以后任一時刻中這部分流體始終無旋；反之，若初始時刻該部分流體是有旋的，則在以前或以后任一時刻中，這部分流體始終有旋。我們稱之為漩渦不生不滅定理。渦面保持定理：理想流體正壓、體積力有勢時，則在某時刻組成渦面的流體質(zhì)點在前一或后一時刻也永遠(yuǎn)組成渦面。證明：設(shè)初始時刻t=t0

，流體中有一渦面，在渦面上任取一面積S，則通過S的渦通量，在以前及以后任一時刻，組成渦面S流體質(zhì)點構(gòu)成面S*，根據(jù)Kelvin定理，有。由于S的任意性，有，即在面S*上，，即S*為渦面。同理可證，渦管保持定理：理想流體正壓、體積力有勢時，則在某時刻組成渦管的流體質(zhì)點在前一或后一時刻也永遠(yuǎn)組成渦管。渦旋運動的基本概念和渦量輸運方程渦線保持定理：理想流體是正壓的，體積力有勢，則在某時刻組成渦線的流體質(zhì)點在前一或后一時刻也永遠(yuǎn)組成渦線。證明：由于渦線可視為兩個渦面的交線，由渦面保持定理可推出渦線保持定理?？梢?，理想流體正壓、體積力有勢時，渦面、渦管、渦線都具有保持性，它們通常稱為亥姆霍茲第一定理。證明：由開爾文(Kelvin)定理：渦管強度即可證渦管的強度在運動過程中保持不變。亥姆霍茲渦管強度保持定理(亥姆霍茲第二定理)：理想正壓流體，體積力有勢，則任何渦管的強度在運動的全部時間內(nèi)保持不變。渦旋運動的基本概念和渦量輸運方程【例5-4】對無粘性密度為常值的流體，在體力有勢條件下作定常運動，試證明：(a)若做平面運動，則沿流線，渦量保持不變；(b)若做的軸對稱運動，則沿流線，保持不變。證明

(a)在平面運動中，滿足

在流動平面(xy平面)上任取一小流管，如圖，并在此流管中作面積為A1微元的渦管(注意現(xiàn)在的渦管是和xy平面垂直的)。由于定常運動，跡線和流線是一致的，在某一時刻t，組成流管的微元沿流線運動到2處，面積為A2，根據(jù)亥姆霍茲渦管強度保持定理，有由于微元和時間t的任意性，可以推導(dǎo)出沿流線保持不變。其中分別為截面上的渦量，根據(jù)連續(xù)性方程，有渦旋運動的基本概念和渦量輸運方程(b)若做的軸對稱運動，則，于是渦量這說明渦的方向是方向，即與子午面(rz平面)是垂直的，在子午面上任取一小流管，如圖，在流管中做截面積為的渦管(是半徑為的環(huán)狀管)，由于定常運動，此微元渦管隨流體質(zhì)點沿流管運動，在某一時刻t，組成流管的微元沿流線運動到2處，構(gòu)成截面積為的渦管，根據(jù)亥姆霍茲渦管強度保持定理，有其中分別為截面上的渦量，根據(jù)連續(xù)性方程，有由于微元和時間t的任意性，可以推導(dǎo)出沿流線保持不變。渦旋運動的基本概念和渦量輸運方程(b)若做的軸對稱運動，則，于是渦量

(1)在平面運動中，滿足

作業(yè)5.1求下列流場的渦量場和渦線。(1)