《一次函數(shù)與方程、不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)

第十九章一次函數(shù)19.2一次函數(shù)19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式一、教學(xué)目標(biāo)1.認(rèn)識(shí)一次函數(shù)與方程（組）、不等式之間的聯(lián)系．會(huì)用函數(shù)觀點(diǎn)解釋方程和不等式及其解和解集的意義．2.經(jīng)歷用函數(shù)圖象表示方程、不等式的解和解集的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)“以形表示數(shù)，以數(shù)解釋形”的數(shù)形結(jié)合的思想．二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：理解一次函數(shù)與不等式和方程的聯(lián)系．難點(diǎn)：把一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程和不等式的解和解集建立聯(lián)系．三、教學(xué)用具電腦、多媒體、課件四、相關(guān)資源微課、知識(shí)卡片五、教學(xué)過(guò)程（一）一次函數(shù)與一元一次方程觀察下面3個(gè)方程．（1）2x＋1＝3；（2）2x＋1＝0；（3）2x＋1＝－1．教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生思考代數(shù)式2x＋1的值與誰(shuí)的值的確定是對(duì)應(yīng)的？你能從函數(shù)的角度對(duì)解這3個(gè)方程進(jìn)行解釋嗎？學(xué)生活動(dòng)：觀察、思考、比較上面的三個(gè)方程可以看成函數(shù)y＝2x＋1的函數(shù)值分別為3，0，－1時(shí)，求自變量x的值，或者說(shuō)這三個(gè)方程的解分別對(duì)應(yīng)著函數(shù)y＝2x＋1圖象上A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)．結(jié)論：因?yàn)槿魏我詘為未知數(shù)的一個(gè)一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax＋b＝0（a≠0）的形式．所以解一元一次方程：（1）從函數(shù)值的角度看，求方程ax＋b＝0（a≠0）的解相當(dāng)于求一次函數(shù)y＝ax＋b（a≠0）的函數(shù)值為0時(shí)，相應(yīng)的自變量x的值；（2）從函數(shù)圖象的角度看，求方程ax＋b＝0（a≠0）的解相當(dāng)于求直線y＝ax＋b（a≠0）與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．設(shè)計(jì)意圖：用數(shù)形結(jié)合的方法，建立一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系．（二）一次函數(shù)與一元一次不等式觀察下面三個(gè)不等式．（1）3x＋2＞2；（2）3x＋2＜0；（3）3x＋2＜－1．教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比一次函數(shù)和一元一次方程的關(guān)系，試著用函數(shù)觀點(diǎn)看一元一次不等式．學(xué)生活動(dòng)：觀察、思考、比較上面的三個(gè)不等式相當(dāng)于在一次函數(shù)y＝3x＋2的函數(shù)值分別大于2、小于0、小于－1時(shí)，求對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍，或者說(shuō)在直線y＝3x＋2上取縱坐標(biāo)分別滿足大于2、小于0、小于－1的點(diǎn)，看它們的橫坐標(biāo)的取值范圍．結(jié)論：因?yàn)槿魏我粋€(gè)以x為未知數(shù)的一元一次不等式都可以變形為ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0)的形式，其左邊恰是一次函數(shù)y＝ax＋b的形式．所以解一元一次不等式：（1）從函數(shù)值的角度看，就是求一次函數(shù)y＝ax＋b的函數(shù)值大于(或小于)0的自變量x的取值范圍；（2）從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝ax＋b在x軸上（或下）方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比探究一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，探究用函數(shù)觀點(diǎn)看一元一次不等式．（三）一次函數(shù)與二元一次方程（組）1號(hào)探測(cè)氣球從海拔5m處出發(fā)，以1m/min的速度上升．與此同時(shí)，2號(hào)探測(cè)氣球從海拔15m處出發(fā)，以0.5m/min的速度上升．兩個(gè)氣球都上升了1h．問(wèn)題（1）請(qǐng)用式子表示1號(hào)探測(cè)氣球所在位置的海拔y（單位：m）關(guān)于上升時(shí)間x（單位：min）的函數(shù)關(guān)系．（y＝x＋5）問(wèn)題（2）請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)y＝x＋5的圖象上的任意5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，你寫(xiě)出的5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是否都滿足方程y－x＝5？你是怎么驗(yàn)證的？問(wèn)題（3）以方程y－x＝5的所有解組成的坐標(biāo)是否都在一次函數(shù)y＝x＋5的圖象上？問(wèn)題（4）通過(guò)問(wèn)題（2）和（3）的分析，我們能否概括出二元一次方程的解和一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)之間是什么關(guān)系？教師出示問(wèn)題后，由學(xué)生獨(dú)立完成（1）后，小組合作討論（2）（3）（4），由小組代表發(fā)言，余生補(bǔ)充，最后師生共同總結(jié)．結(jié)論：因?yàn)槊總€(gè)含未知數(shù)x和y的二元一次方程，都可以改寫(xiě)成y＝kx＋b（k，b是常數(shù)，k≠0）的形式，所以每個(gè)這樣的方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)；每個(gè)這樣的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)（x，y），都在其相應(yīng)的一次函數(shù)的圖象上；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），都適合其相應(yīng)的二元一次方程．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，用數(shù)形結(jié)合的方法，建立一次函數(shù)與二元一次方程的聯(lián)系．問(wèn)題（5）用式子表示2號(hào)探測(cè)氣球所在位置的海拔y（單位：m）關(guān)于上升時(shí)間x（單位：min）的函數(shù)關(guān)系．（y＝0.5x＋15）問(wèn)題（6）在某時(shí)刻兩個(gè)氣球能否位于同一高度？如果能，這時(shí)氣球上升了多長(zhǎng)時(shí)間？位于什么高度？對(duì)于問(wèn)題（6），先讓學(xué)生思考如何解決，學(xué)生很容易想到從數(shù)量關(guān)系的角度解決，即解二元一次方程組即解得這就是說(shuō)，當(dāng)上升20min時(shí)，兩個(gè)氣球都位于海拔25m的高度．教師再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從圖形的角度解決，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)分別畫(huà)出一次函數(shù)y＝x＋5和y＝0.5x＋15的圖象，并讀出這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)（20，25），這也說(shuō)明當(dāng)上升20min時(shí)，兩個(gè)氣球都位于海拔25m的高度．完成問(wèn)題（6）后，師生共同歸納總結(jié)：結(jié)論：含有未知數(shù)x和y的兩個(gè)二元一次方程組成的每個(gè)二元一次方程組，都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)一次函數(shù)，也對(duì)應(yīng)著兩條直線．從“數(shù)”的角度看，解這樣的方程組，相當(dāng)于求兩個(gè)函數(shù)值相等時(shí)的自變量的值，以及這個(gè)函數(shù)值是多少；從“形”的角度看，解這樣的方程組，相當(dāng)于確定兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．設(shè)計(jì)意圖：用函數(shù)的觀點(diǎn)探求實(shí)際問(wèn)題答案的過(guò)程中，歸納總結(jié)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系．1．如圖，函數(shù)y＝2x和y＝ax＋4的圖象相交于A（m，3），則不等式2x＜ax＋4的解集為（）．A．B．x＜3C．D．x＞3設(shè)計(jì)意圖：考查一次函數(shù)與二元一次方程組和不等式的聯(lián)系．2．下面四條直線，其中直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程x－2y＝2的解是（）．設(shè)計(jì)意圖：考查一次函數(shù)與二元一次方程的聯(lián)系．3．（1）解不等式3x－6＜0，可看作：．（2）“當(dāng)自變量x取何值時(shí)，函數(shù)y＝3x＋8的值等于0”可看作：．設(shè)計(jì)意圖：考查一次函數(shù)與一元一次方程和不等式的關(guān)系．4．如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（－3，2），Q（－4，0），則關(guān)于x的不等式kx＋b＞－2的解集為；關(guān)于x的方程kx＋b＝0的解為．設(shè)計(jì)意圖：考查一次函數(shù)與一元一次方程和不等式的關(guān)系．5．直線：y＝x＋1與直線：y＝mx＋n相交于點(diǎn)P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解關(guān)于x，y的方程組請(qǐng)你直接寫(xiě)出它的解．設(shè)計(jì)意圖：考查一次函數(shù)與二元一次方程組的聯(lián)系．答案：1．A．2．C3．（1）求一次函數(shù)y＝3x－6的函數(shù)值小于0時(shí)自變量的取值范圍．（2）求方程3x＋8＝0的解．4．x＜－3，x＝－4．5．（1）解：∵點(diǎn)P（1，b）在直線：y＝x＋1上，∴把x＝1代入y＝x＋1，得y＝2．∴b＝2．（2）由（1）得P（1，2），所以關(guān)于x，y的方程組的解為（四）課堂小結(jié)（1）用函數(shù)的觀點(diǎn)，說(shuō)說(shuō)你對(duì)一元一次方程有什么新的認(rèn)識(shí)；（2）用函數(shù)的觀點(diǎn)，說(shuō)說(shuō)一次函數(shù)與一元一次不等式的聯(lián)系；（3）用函數(shù)的觀點(diǎn)，從數(shù)形兩方面說(shuō)說(shuō)你對(duì)二元一次方程有什么新的理解；（4）用函數(shù)的觀點(diǎn)，從數(shù)和形兩個(gè)角度說(shuō)說(shuō)對(duì)二元一次方程組的認(rèn)識(shí)．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)所學(xué)內(nèi)