蘇科版 八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題 專題9.9正方形的性質(zhì)專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）（原卷版+解析）

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】專題9.9正方形的性質(zhì)專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，其中選擇8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2023秋·江蘇無錫·八年級?？计谥校┫铝姓f法中，是正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（

）A．兩組對邊分別平行 B．對角線互相垂直 C．四個角都為直角 D．對角線互相平分2．(2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州高新區(qū)第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是（

）A．5 B．6 C．12 D．133．(2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD中,以對角線AC為一邊作菱形AEFC,則∠FAB等于(

).A．22.5° B．45° C．30° D．135°4．(2023秋·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期中）若順次連接四邊形ABCD四邊中點所得的四邊形是正方形，則四邊形ABCD一定滿足（）A．是正方形 B．AB＝CD且AB∥CD C．是矩形 D．AC＝BD且AC⊥BD5．(2023秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，∠CAD的平分線交CD于點E，交BC的延長線于點F，則DE的長為（

）A．2?1 B．24 C．236．(2023秋·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點，且CE=DF，AE，BF相交于點O，下列結(jié)論①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四邊形DEOFA．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．(2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF．若DF=3，則BE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．58．(2023春·江蘇無錫·八年級?？计谥校┤鐖D，等邊△ABC與正方形DEFG重疊，其中D，E兩點分別在AB,BC上，且BD=BE．若AB=10,DE=4，則△EFC的面積為（

）A．7.5 B．8 C．6 D．10二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請把答案直接填寫在橫線上9．(2023秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）“正方形既是矩形又是菱形”是____事件．（填“必然”、“隨機”、“不可能”）10．(2023秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE=40°，則∠ANM=_________°．11．(2023秋·江蘇宿遷·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊△DCE，則∠AEC的度數(shù)是_______．12．(2023秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習(xí)）將將正方形A一個頂點與正方形B的對角線交點重合（如圖1），則陰影部分面積是正方形A面積的18，將正方形B的一個頂點與正方形A的對角線交點重合（如圖2），則陰影部分面積是正方形B13．(2023秋·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點E是正方形ABCD邊AD上一點，AE＝2cm，DE＝6cm，點P是對角線BD上的一動點，則AP＋PE的最小值是______cm．14．(2023秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的點，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F(xiàn)分別為垂足，連結(jié)EF.設(shè)M，N分別是AB，BG的中點，EF=5，則MN的長為______．15．(2023秋·江蘇南通·八年級校考階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD和正方形AEFG的邊長分別為6cm和4cm，點E、G分別為AB、AD邊上的點，H為CF的中點，連接16．(2023春·八年級單元測試）如圖，將正方形ABCD置于平面直角坐標(biāo)系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD邊在x軸上，直線L：y＝kx與正方形ABCD的邊有兩個交點O、E，當(dāng)3＜OE＜5時，k的取值范圍是_______．三、解答題（本大題共8小題，共68分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．(2023秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E在AB延長線上，且BE=2．求證：DE平分∠BDC18．(2023秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）已知在正方形ABCD中，點E、F分別在AB、BC邊上，DE⊥AF于點G．(1)求證：DE＝AF；(2)若點E是AB的中點，AB＝4，求GF的長．19．(2023春·江蘇·八年級期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點，且DE＝BF，連接AE．(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面積．20．(2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E是線段OD上一點，連接EC，過點B作BF⊥CE于點F，交OC于點G．(1)求證：BG=CE；(2)若OB=2，BF是∠DBC的角平分線，求OE21．(2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點P是邊AB上的定點．(1)如圖1中僅用圓規(guī)分別在AD、BC上作點E、F，使EP⊥PF，且EP=PF，保留作圖痕跡，不寫作法；(2)根據(jù)你的作圖步驟，利用圖2證明：EP⊥PF，且EP=PF．22．(2023秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，點E在邊AB上，連接ED，過點D作FD⊥DE與BC的延長線相交于點F，連接EF與邊CD相交于點G，與對角線BD相交于點H．(1)若AB=6，且BD=BF，求BE的長；(2)若∠2=2∠1，求證：HF=HE+HD．23．(2023春·江蘇·八年級期中）已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．24．(2023秋·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）四邊形ABCD為正方形，點E為對角線AC上一點，連接DE．過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F．(1)如圖1，若點F在邊BC上，求證：DE=EF；(2)以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．①如圖2，若AB=4，CE=32，求CG②當(dāng)線段DE與正方形ABCD一邊的夾角是35°時，直接寫出∠EFC的度數(shù)．【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】專題9.9正方形的性質(zhì)專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，其中選擇8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2023秋·江蘇無錫·八年級?？计谥校┫铝姓f法中，是正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（

）A．兩組對邊分別平行 B．對角線互相垂直 C．四個角都為直角 D．對角線互相平分【答案】B【分析】根據(jù)正方形、矩形的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：因為正方形的對角相等，對角線相等、垂直、且互相平分，矩形的對角相等，對角線相等，互相平分，所以正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是對角線互相垂直．故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，記住正方形、矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州高新區(qū)第二中學(xué)校考期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是（

）A．5 B．6 C．12 D．13【答案】D【分析】利用勾股定理即可求解.【詳解】解：∵∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2=32+22=13，∴正方形面積S=AB2=13，故選D.【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．(2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD中,以對角線AC為一邊作菱形AEFC,則∠FAB等于(

).A．22.5° B．45° C．30° D．135°【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠CAB=45°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)∠FAB=0.5∠CAB，即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°，∵四邊形AEFC是菱形，∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°，故選：A．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練記住正方形、菱形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．4．(2023秋·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期中）若順次連接四邊形ABCD四邊中點所得的四邊形是正方形，則四邊形ABCD一定滿足（）A．是正方形 B．AB＝CD且AB∥CD C．是矩形 D．AC＝BD且AC⊥BD【答案】D【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，再由四邊形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中點，易知GF是△ACD的中位線，于是GF∥AC，GF=12AC，同理可得IG∥BD，IG=12BD，易求AC=BD，又由于GF∥AC，∠IGF=90°，利用平行線性質(zhì)可得∠IHO=90°，而IG∥BD，易證∠BOC=90°，即AC⊥BD，從而可證四邊形【詳解】解：如圖所示，四邊形ABCD的各邊中點分別是I、E、F、G，且四邊形EFGI是正方形，∵四邊形EFGI是正方形，∴∠IGF＝90°，IE＝EF＝FG＝IG，又∵G、F是AD、CD中點，∴GF是△ACD的中位線，∴GF∥AC，GF＝12AC同理有IG∥BD，IG＝12BD∴12AC＝12即AC＝BD，∵GF∥AC，∠IGF＝90°，∴∠IHO＝90°，又∵IG∥BD，∴∠BOC＝90°，即AC⊥BD，故四邊形ABCD的對角線互相垂直且相等，即：AC＝BD且AC⊥BD．故選：D．【點睛】本題考查了中點四邊形，正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接AC、BD，構(gòu)造平行線．5．(2023秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，∠CAD的平分線交CD于點E，交BC的延長線于點F，則DE的長為（

）A．2?1 B．24 C．23【答案】A【分析】設(shè)DE的長為x，過點E作EG⊥AC于點G，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得EG=ED=x，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AEGC是等腰直角三角形，可得EC=2x，根據(jù)DC=DE+EC，從而求出x的值，即【詳解】解：如圖，過點E作EG⊥AC于點G，設(shè)DE的長為x，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=90°，∠ACD=45°，CD=1．∵EG⊥AC，且AE平分∠CAD，∴EG=DE=x．在△EGC中，∠EGC=90°，∠ECG=45°，∴∠CEG=∠ECG=45°，∴CG=EG=x，∴EC=E∴DC=DE+EC=x+2解得：x=2即DE的長為2?1故選：A【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，利用角平分線的性質(zhì)添加輔助線是解題的關(guān)鍵．6．(2023秋·江蘇鹽城·八年級校考階段練習(xí)）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點，且CE=DF，AE，BF相交于點O，下列結(jié)論①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四邊形DEOFA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)四邊形ABCD是正方形及CE=DF，可證出△ADE≌△BAF，則得到：①AE=BF，以及△ADE和△BAF的面積相等，得到；④S△AOB=S四邊形DEOF；可以證出∠ABO+∠BAO=90°，則②AE⊥BF一定成立．用反證法可證明AO【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=AD，∵CE=DF，∴DE=AF，∴△ADE≌△BAF，∴AE=BF（故①正確）；S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠∵S△AOB=S△BAF-S四邊形DEOF=S△ADE∴S△AOB=S∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°，∴∠AFB+∠EAF=90°，∴AE⊥BF一定成立（故②正確）；假設(shè)AO=OE，∵AE⊥BF，∴AB=BE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，這與正方形的邊長AB=BC相矛盾，∴假設(shè)不成立，AO≠OE（故③錯誤）；故錯誤的只有一個．故選：A．【點睛】本題考查了正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，求出△ADE≌△BAF是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．7．(2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF．若DF=3，則BE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】如圖，首先把△ADF旋轉(zhuǎn)到△ABG，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到DF=BG，∠DAF=∠BAG，然后根據(jù)題目中的條件，可以得到△EAG≌△EAF，再根據(jù)DF=3，AB=6和勾股定理，可以求出BE的長，本題得以解決．【詳解】解；如圖，把△ADFF繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴∠ADF=∠ABG=∠ABE=90∴∠ABG+∠ABE=180∴G、B、E三點共線，∴DF=BG,∠DAF=∠BAG，∵∠DAB=90∴∠DAF+∠EAB=45∴∠BAG+∠EAB=45∴∠EAF=∠EAG，在△EAG和△EAF中，AG=AF∠EAG=∠EAF∴△EAG≌△EAFSAS∴.GE=FE，設(shè)BE=x，∵CD=6,DF=3，∴CF=3，則GE=BG+BE=3+x,CE=6?x，∴EF=3+x，∵∠C=90∴(6?x)2解得，x=2，∴BE的長為2．故選：A．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答8．(2023春·江蘇無錫·八年級?？计谥校┤鐖D，等邊△ABC與正方形DEFG重疊，其中D，E兩點分別在AB,BC上，且BD=BE．若AB=10,DE=4，則△EFC的面積為（

）A．7.5 B．8 C．6 D．10【答案】C【分析】作DM⊥BC,FN⊥BC,垂足分別為M，N，證明△DME≌△ENF，得到ME=NF=2，根據(jù)面積公式S△EFC【詳解】如圖，作DM⊥BC,FN⊥BC,垂足分別為M，N，因為正方形DEFG，所以DE=EF,∠DEF=90°,∠DEM+∠NEF=90°，因為∠DEM+∠MDE=90°，所以∠MDE=∠NEF，所以∠MDE=∠NEF∠DME=∠ENF所以△DME≌△ENF，所以ME=NF，因為等邊△ABC，BD=BE，AB=10,DE=4，所以等邊△BDE，BD=BE=DE=4，所以AB=BC=10,EC=BC?BE=6,BM=ME=FN=2，所以S△EFC故選C．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握一線三直角全等模型的構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請把答案直接填寫在橫線上9．(2023秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）“正方形既是矩形又是菱形”是____事件．（填“必然”、“隨機”、“不可能”）【答案】必然【分析】根據(jù)正方形、矩形、菱形的性質(zhì)、隨機事件的定義解答．【詳解】正方形四個都是直角，是矩形，正方形四條邊都相等，是菱形，正方形既是矩形，又是菱形，是必然事件；故答案為：必然．【點睛】本題主要考查了隨機事件、正方形的性質(zhì)以及矩形、菱形的判定，正確掌握矩形、菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．10．(2023秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE=40°，則∠ANM=_________°．【答案】50【分析】利用CE⊥MN，求得∠CMG=50°，再利用平行線的性質(zhì)即可解答本題．【詳解】解：如圖，∵CE⊥MN，∴∠CGM=90°，∵∠MCE=40°，∴∠CMG=90°?40°=50°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥∴∠ANM=∠CMG=50°．故答案為：50．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解答關(guān)鍵．11．(2023秋·江蘇宿遷·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊△DCE，則∠AEC的度數(shù)是_______．【答案】45°##45度【分析】由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得AD=DC=DE=CE，∠ADE=150°，可求∠DEA=15°，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC=AD，∠ADC=90°，∵△CDE是等邊三角形，∴CD=DE，∠DEC=∠EDC=60°，∴∠ADE=150°，AD=DE，∴∠AED=180°?150°∴∠AEC=∠DEC?∠AED=45°．故答案為：45°．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．12．(2023秋·江蘇揚州·八年級校考階段練習(xí)）將將正方形A一個頂點與正方形B的對角線交點重合（如圖1），則陰影部分面積是正方形A面積的18，將正方形B的一個頂點與正方形A的對角線交點重合（如圖2），則陰影部分面積是正方形B【答案】1【分析】根據(jù)圖①得出SA=2SB，將圖②進行字母標(biāo)注，然后利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出?COE【詳解】解：設(shè)正方形A的面積為SA，正方形B的面積為S在圖1中，S陰=1∴SA在圖2中，進行標(biāo)注，如圖所示：∵∠COD=∠COE+∠EOD=90°，∠EOF=∠DOF+∠EOD=90°，∴∠COE=∠DOF，在?COE與?DOF中，∠COE=∠DOFOE=OF∴?COE??DOF，∴SΔ∴S陰影故答案為：12【點睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，找出全等三角形并證明是解題關(guān)鍵．13．(2023秋·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點E是正方形ABCD邊AD上一點，AE＝2cm，DE＝6cm，點P是對角線BD上的一動點，則AP＋PE的最小值是______cm．【答案】10【分析】連接EC，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得CE的長，即為AP＋PE的最小值，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖：連接EC，PC，∵點P是正方形ABCD對角線BD上的一動點，∴PA=PC∴PA+PE=PC+PE≥EC則EC就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD，AE=2cm，DE=6cm，∴CD=AD=AE+DE=8cm，∴CE=62∴AP+PE的最小值是10cm．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．(2023秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的點，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F(xiàn)分別為垂足，連結(jié)EF.設(shè)M，N分別是AB，BG的中點，EF=5，則MN的長為______．【答案】2.5【分析】如圖所示。連接AG，CG，先證明△ABG≌△CBG（SSS），得到AG=CG，再證四邊形ECFG是矩形，得到CG=EF=5，最后證明MN是△ABG的中位線，則MN=1【詳解】解：如圖所示。連接AG，CG，∵四邊形ABCD是正方形，∴BA=BC，∠ABG=∠CBG，∠BCD=90°，又∵BG=BG，∴△ABG≌△CBG（SSS），∴AG=CG，∵GF⊥BC，GE⊥CD，∠ECF=90°，∴四邊形ECFG是矩形，∴CG=EF=5，∵M、N分別是AB，BG的中點，∴MN是△ABG的中位線，∴MN=1故答案為：2.5．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．(2023秋·江蘇南通·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD和正方形AEFG的邊長分別為6cm和4cm，點E、G分別為AB、AD邊上的點，H為CF的中點，連接【答案】26cm##26【分析】延長GH交DC的延長線于N，由AAS可證△FGH≌△CNH，可得GH=HN，GF=CN=4，在Rt△GDN【詳解】解：如圖，延長GH交DC的延長線于N，∵正方形ABCD和正方形AEFG的邊長分別為6cm和4∴AE∥GF∥∴∠FGH=∠N，∵點H是CF的中點，∴CH=FH，在△FGH和△CNH中，∠FGH=∠N∠FHG=∠CHN∴△FGH≌∴GH=HN，∴DN=DC+CN=6+4=10cm∴GN=G∴GH=26故答案為：26cm【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．(2023春·八年級單元測試）如圖，將正方形ABCD置于平面直角坐標(biāo)系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD邊在x軸上，直線L：y＝kx與正方形ABCD的邊有兩個交點O、E，當(dāng)3＜OE＜5時，k的取值范圍是_______．【答案】k＞22或k＜0且k≠﹣4【分析】設(shè)BC與y軸交于點M，由OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，可得E點不在AD邊上，即k≠0，分k＞0與k＜0兩種情況進行討論．【詳解】解：如圖，設(shè)BC與y軸交于點M，∵OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，∴E點不在AD邊上，∴k≠0，①如果k＞0，那么點E在AB邊或線段BM上，當(dāng)點E在AB邊且OE＝3時，由勾股定理得AE∴AE＝22∴E（1，22當(dāng)直線y＝kx經(jīng)過點（1，22）時，k＝2∵OB∴OB=17＜5，當(dāng)點E在線段BM上時，OE＜OB=17＜5，∴k＞22②如果k＜0，那么點E在CD邊或線段CM上，當(dāng)點E在CD邊且OE＝3時，E與D重合；當(dāng)OE＝5時，由勾股定理得DE∴DE＝4，∴E（﹣3，4），此時E與C重合，當(dāng)直線y＝kx經(jīng)過點（﹣3，4）時，k=?4當(dāng)點E在線段CM上時，OE＜OC＝5，∴k＜0且k≠?4綜上，當(dāng)3＜OE＜5時，k的取值范圍是k＞22或k＜0且k≠?【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，利用數(shù)形結(jié)合與分類討論是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共68分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．(2023秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E在AB延長線上，且BE=2．求證：DE平分∠BDC【答案】見解析【分析】求得BE=2，證明BE=BD，推出∠BDE=∠E=∠DCE【詳解】證明：∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形，∴BD=12+∵BE=2，∠CDE=∠E∴BE=BD，∴∠BDE=∠E=∠CDE，∴DE平分∠BDC．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，證明BE=BD是解題的關(guān)鍵．18．(2023秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）已知在正方形ABCD中，點E、F分別在AB、BC邊上，DE⊥AF于點G．(1)求證：DE＝AF；(2)若點E是AB的中點，AB＝4，求GF的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）證明△ADE≌△BAF，即可求證；（2）根據(jù)勾股定理可得DE=25，從而得到AF=25，再由S△ADE（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AB=AD，∴∠BAF+∠DAF=90°，∵DE⊥AF，∴∠AGD=90°，∴∠ADE+∠DAF=90°，∴∠ADE=∠BAF，∴△ADE≌△BAFASA∴DE=AF．（2）解：∵AB=4，點E是AB中點，∴AE=2，在Rt△ADE中，DE=A∵DE=AF，∴AF=25∵S△ADE∴AG=4∴GF=6【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．(2023春·江蘇·八年級期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點，且DE＝BF，連接AE．(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面積．【答案】(1)見解析(2)80【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD＝AB，∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°，可利用SAS證得△ADE≌△ABF；（2）根據(jù)勾股定理可得AE＝410，再由全等三角形的性質(zhì)可得AE＝AF，∠EAF＝90°，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°∵F是CB的延長線上的點，∴∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°在△ADE和△ABF中，AD=AB∴△ADE≌△ABF（SAS）．（2）解：∵BC＝12，∴AD＝12在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝12，∴AE＝AD2+D由（1）知△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．∴∠EAF＝90°∴S【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．(2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E是線段OD上一點，連接EC，過點B作BF⊥CE于點F，交OC于點G．(1)求證：BG=CE；(2)若OB=2，BF是∠DBC的角平分線，求OE【答案】(1)見解析(2)OE=2?【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得∠EOC=∠GOB=90°，OC=OB，易證△EOC≌△GOB（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）根據(jù)BF⊥CE，可得∠EFB=∠CFB=90°，根據(jù)BF是∠DBC的角平分線，可知∠EBF=∠CBF，可證△EBF≌△CBF（SAS），可得BE=BC，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可知BC=2，即可求出OE．（1）證明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OC=OB，∴∠EOC=∠GOB=90°，∴∠OEC+∠OCE=90°，∵BF⊥CE，∴∠OEC+∠OBG=90°，∴∠OBG=∠OCE，在△EOC和△GOB中，∠EOC=∠GOBOC=OB∴△EOC≌△GOB（ASA），∴BG=CE；（2）解：∵BF⊥CE，∴∠EFB=∠CFB=90°，∵BF是∠DBC的角平分線，∴∠EBF=∠CBF，∵BF=BF，∴△EBF≌△CBF（SAS），∴BE=BC，在正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=90°，∵OB=2，根據(jù)勾股定理，得BC=2，∴OE+2=2，∴OE=2-2．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，涉及全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．(2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點P是邊AB上的定點．(1)如圖1中僅用圓規(guī)分別在AD、BC上作點E、F，使EP⊥PF，且EP=PF，保留作圖痕跡，不寫作法；(2)根據(jù)你的作圖步驟，利用圖2證明：EP⊥PF，且EP=PF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用圓規(guī)在AD上截取AE＝BP，在BC上截取BF＝AP；（2）利用正方形的性質(zhì)得到∠A＝∠B＝90°，再證明△APE≌△BFP得到PE＝PF，∠AEP＝∠BPF，再證明∠EPF＝90°，從而得到PE⊥PF．【詳解】（1）解：如圖1，點E、F為所作；（2）證明：如圖2，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A＝∠B＝90°，在△APE和△BFP中，AE=BP∠A=∠B∴△APE≌△BFP（SAS），∴PE＝PF，∠AEP＝∠BPF，∵∠AEP+∠APE＝90°，∴∠APE+∠BPF＝90°，∴∠EPF＝180°－（∠APE+∠BPF）＝90°，∴PE⊥PF，即EP⊥PF，且EP＝PF【點睛】本題考查了作圖，此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．22．(2023秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，點E在邊AB上，連接ED，過點D作FD⊥DE與BC的延長線相交于點F，連接EF與邊CD相交于點G，與對角線BD相交于點H．(1)若AB=6，且BD=BF，求BE的長；(2)若∠2=2∠1，求證：HF=HE+HD．【答案】(1)BE=12?6(2)見解析【分析】（1）在正方形ABCD中，由FD⊥DE，利用等式的性質(zhì)得到一對角相等，再由一對直角相等，且AD=DC，利用AAS得到ΔDAE≌ΔDCF，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到AE=CF，進而利用BE=AB?AE計算BE的長；（2）在HF上取一點P，使FP=EH，連接DP，利用SAS得到ΔDEH≌ΔDFP，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到DH=DP，∠EDH=∠FDP，進而確定出ΔDHP為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，DF⊥DE∴AD=CD，∠A=∠DCB=∠ADC=90°∵DE⊥DF∴∠EDF=90°∴∠2=90°?∠EDC=∠CDF，∠A=∠DCF=90°在△DAE和△DCF中∠2=∠CDF∴ΔDAE≌ΔDCF∴AE=CF又∵CF=BF?BC=BD?BC=6∴AE=CF=6則BE=AB?AE=6?（2）在HF上取一點P，使PF=HE，連接DP由（1）ΔDAE≌ΔDCF∴DE=DF則△EDF是等腰直角三角形∴∠DEF=∠DFE=45°在△DEH和△DPE中DE=DF∴ΔDEH≌ΔDFP則DH=DP，∠EDH=∠FDP∵∠DEF=∠HBF=45°，∠EHD=∠BHF∴∠EDH=∠1=∴∠EDH=15°，∠FDP=15°則∠HDP=90°?15°?15°=60°∴ΔDHP為等邊三角形∴HD=HP∵HF=HP+PF∴HF=HE+HD【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．23．(2023春·江蘇·八年級期中）已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．【答案】(1)45(2)DF＝BE+EF，證明見解析(3)2【分析】（1）把ΔABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ΔADE′，則F、D、E′在一條直線上，ΔADE（2）將ΔABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到Δ