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文檔簡介
2021年廣東春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷(4)
注:本卷共22小題,滿分150分。
一、單選題(本大題共15小題,每小題6分,滿分90分)
1.已知集合[={0,1},則下列關(guān)系表示錯誤的是()
A.0G4B.⑴G4C.。D.{0,
【答案】B
【解析】
根據(jù)元素與集合關(guān)系的表示法,0GA,故A正確;
根據(jù)集合與集合關(guān)系的表示法,{1}UA,判斷B假;
0是任意集合的子集,故C正確;
根據(jù)集合子集的定義,{0,1}UA,故D正確;
故選B.
點睛:本題考查的是集合的包含關(guān)系的判斷及其應(yīng)用,元素與集合關(guān)系的判斷,是基礎(chǔ)題.
函數(shù)/(x)=GT+丄的定義域為o
2.
2-x
A.(1,2)U(2,+8)B.[1,2)U(2,+8)
C.(1,2)U(2,+8)D.[1,2)U(2,+8)
【答案】B
【解析】
【分析】
由函數(shù)/(x)=471+丄有意義,x+1>0
得出不等式組.八,即可求解.
2-x2-xw0
【詳解】
由題意,函數(shù)/(x)=67T+丄有意義,則滿足x+1>0
,八,解得了2-1且xw2,
2-x2—"0
即函數(shù)/(X)的定義域為[一l,2)U(2,+o)).
故選:B.
【點睛】
本題主要考查了具體函數(shù)的定義域的求解,其中解答中根據(jù)函數(shù)的解析式有意義,列出相應(yīng)的不等
式組是解答的關(guān)鍵,著重考查運算與求解能力.
3.已知函數(shù)/(x)是定義在R的周期為2的函數(shù),當(dāng)0<x<l時,/(x)=4',則/m=()
<2)
A.1B.4C.2D.32
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)周期性可得再通過0<x<l時,/(x)=4'可得答案.
【詳解】
冋述卜4匕.
解:由已知可得
故選:C.
【點睛】
本題考查函數(shù)周期性的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.
4.若Iga-21g2=1,則a=()
A.4B.10C.20D.40
【答案】D
【解析】
【分析】
利用對數(shù)的運算得出/go-2/g2=/gg=/gl0,從而得出@=10,解出a即可.
44
【詳解】
Iga-21g2=1化為Iga-lg22=1,即1g(=1,
所以,—=10,a=40,
故選D
本題考查對數(shù)的運算性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
5.已知扇形的周長是3cm,面積是一cm?,則扇形的圓心角的弧度數(shù)是(
2
C.1或42或4
【答案】C
【解析】
1,1,,/=2
—lr——l=i
依題意,{22,解得{,或{1,故弧度數(shù)為1或4.
7c。/=]r——
/+2r=3
6.已知sino—cosa,則sinacosa等于()
4
V799
3232
【答案】C
【解析】
【分析】
25
由題意得(s力7。-COSQ)2=—,化簡即得解.
【詳解】
由題意得(s/〃a—coso')'——,
16
,,25
即Rnsina+cos'a—2sinacosa——,
16
r2,225
Xsina+cosa=\,'.1—2smacosa=—,
16
9
smacosa=——.
32
故選:C.
【點睛】
本題主要考查同角的三角函數(shù)關(guān)系,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
7.在A48c中,內(nèi)角Z,B,。所對的邊分別為b,c.若c?=/十〃一成,出,=6,則A48C
的面積為()
A.3B.C.D.3G
22
【答案】C
【解析】
【分析】
通過余弦定理可得C角,再通過面積公式即得答案.
【詳解】
根據(jù)余弦定理C2=/+/-2"COSC,對比T=/+〃—",可知cosC=,
2
,于是。=工,根據(jù)面積公式得5=丄竝sinC=邁,故答案為C.
322
【點睛】
本題主要考查余弦定理和面積公式的運用,比較基礎(chǔ).
8.己知向量£=(1,2),6=(2,-2),C=(l,/l),若工//(2£+可,則4=()
11
A.—B.1C.一一D.1
22
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)7/(2Z+B),建立等式關(guān)系,可求出;L
【詳解】
由題意,2%+否=(2,4)+(2,-2)=(4,2),
因為2/(2£+3),所以1x2—4/1=0,解得2=
故選:A.
【點睛】
本題考查向量平行的坐標(biāo)表示,考查學(xué)生的計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.
9.在等差數(shù)列{aj中,已知4+為=16,則該數(shù)列前11項和Su=()
A.58B.88C.143D.176
【答案】B
【解析】
試題分析:等差數(shù)列前n項和公式s.="3;"卩,小="伍廣)=U"+/)=笆=88.
考點:數(shù)列前n項和公式.
10.已知不等式ax2-5x+b>0的解集為"|一3<x<2},則不等式/一5x+a>0的解集為
()
A.{x|x<—或x>—}B.{x|—vx<
C.{x|-3<x<2}D.{%[%<-3或1>2}
【答案】A
【解析】
【分析】
由不等式ax?-5x+b>0的解集為{x|—3<x<2},可得4/一5%+6=0的根為—3,2,
,由韋達(dá)定理可得。力的值,代入不等式6/_5工+0〉0解出其解集即可.
【詳解】
,/ax2-5x+Z>>0的解集為{x|-3<x<2},
/.ax1-5x-^b=Q的根為一3,2,
即-3+2=』,-3x2=-,
aa
解得。=-5,6=30,
則不等式bx?-5x+a>0可化為30/-5X-5>0,
即為6x2—x—1>0,
解得或x>g},故選A.
【點睛】
本題考查的知識點是一元二次不等式的解法,及一元二次不等式的解集與一元二次方程的根之間的
關(guān)系,其中利用韋達(dá)定理求出的值,是解答本題的關(guān)鍵.
11.一個球的體積為36萬,則這個球的表面積為()
A.12萬B.361C.108萬D.44
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)球的半徑為R,由球的體積可求得R=3,代入表面積公式即可得到答案.
【詳解】
4
設(shè)球的半徑為R,球的體積為36%一乃川,解得&=3,則球的表面積4兀R?=4x9%=36萬,
3
故選:B
【點睛】
本題考查球的體積,表面積公式的應(yīng)用,屬于簡單題.
12.已知點P(x,y)為圓C:x?+必—6x+8=0上的一點,則W+爐的最大值是()
A.2B.4C.9D.16
【答案】D
【解析】
【分析】
利用?+/表示的幾何意義可求其最大值.
【詳解】
由圓的方程可知圓心為(3,0),半徑為1.
£+/可看作點尸(x,田,。(0,0)距離的平方即|OP|2,
又\OP\<J(3-0)2+1即|。冃(4,故+爐的最大值為16,
故選:D.
【點睛】
本題考慮圓中的最值問題,注意轉(zhuǎn)化為幾何對象到圓心的距離來考慮,本題屬于基礎(chǔ)題.
13.設(shè)加,〃是兩條不同的直線,a,£是兩個不同的平面,()
A.若a丄4,加ua,nu0,則加丄〃
B.若7〃丄a,mlln,n//0,則a丄4
C.若丄〃,加ua,nu0,則a丄4
D.若alip,帆ua,nu/3,則mlln
【答案】B
S【解析】
【分析】
根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系,逐項判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】
若。丄/,mua,nu(3,則加與〃相交、平行或異面,故A錯誤;
,加丄a,/〃〃“,...〃丄a,又a丄尸,故B正確;
若加丄〃,mua,nup,則a與£的位置關(guān)系不確定,故C錯誤;
若£//月,mua,nu(3,則加〃〃或加,〃異面,故D錯誤.
故選:B.
【點睛】
本題主要考查線面、面面有關(guān)的命題的判定,熟記線面、面面位置關(guān)系即可,屬于??碱}型.
14.某學(xué)校有高中學(xué)生900人,其中高一有400人,高二300人,高三200人,采用分層抽樣的方
法抽取一個容量為45的樣本,那么高一、高二、高三各年級抽取的學(xué)生人數(shù)為()
A.30、10、5B.25、15、5C.20、15、10D.15、15、15
【答案】C
【解析】
試題分析:易知每個學(xué)生被抽取的概率型=業(yè)上<=二'.所以根據(jù)隨機抽樣的定義,高一、高二、高
啰施谷:
三各年級被抽取的人數(shù)為400—=20.300x丄=15,200、丄=10故選C
202020
考點:分層抽樣
15.《周髀算經(jīng)》中提出了“方屬地,圓屬天”,也就是人們常說的“天圓地方”.我國古代銅錢的
鑄造也蘊含了這種“外圓內(nèi)方”“天地合一”的哲學(xué)思想.現(xiàn)將銅錢抽象成如圖所示的圖形,其中
圓的半徑為r,正方形的邊長為a(0<a<r),若在圓內(nèi)隨機取點,得到點取自陰影部分的概率是p,
則圓周率〃的值為()
a2a2aa
A,(l-p),B'(1+0/C,(l-p)fD-(i+p?
【答案】A
【解析】
【分析】
計算圓形錢幣的面積和正方形的面積,利用幾何概型的概率公式求出P,則萬可求.
【詳解】
圓形錢幣的半徑為九m,面積為5財=不?尹;
正方形邊長為dem,面積為S正方形=,.
在圓形內(nèi)隨機取一點,此點取自黑色部分的概率是
a2
故選:A.
【點睛】
本題主要考查幾何概型的概率求法及應(yīng)用,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.
二、填空題
16.國家氣象局統(tǒng)計某市2016年各月的平均氣溫(單位:C)數(shù)據(jù)的莖葉圖所示,則這組數(shù)據(jù)的中
位數(shù)是___.
【答案】
【解析】
【分析】
將莖葉圖各數(shù)據(jù)從小到大排列,再根據(jù)中位數(shù)定義得結(jié)果.
【詳解】
將莖葉圖各數(shù)據(jù)從小到大排列,可得中位數(shù)為型坦=20.5.
2
【點睛】
本題考查莖葉圖以及中位數(shù),考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.
21
17.已知x>0,歹>0,且一+—=1,貝Ux+2V的最小值是
xy
【答案】8
【解析】
【分析】
由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.
【詳解】
x+2y=(x+2y)-+—=2+—+^-+2>4+2=8,
【xy丿yx
當(dāng)且僅當(dāng)土=肛時等號成立.
y%
故x+2y的最小值為8,
故答案為:8.
【點睛】
本題考查基本不等式求和的最小值,整體代入法,屬于基礎(chǔ)題.
x+y>4
18.若實數(shù)x,V滿足<x+3y—6K0,則2=》一^的最小值是.
”0
【答案】2
【解析】
【分析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義得到最值.
【詳解】
如圖所示,畫出不等式組表示的平面區(qū)域,
可知不等式組表示的平面區(qū)域為三角形/図所在區(qū)域,其中N(4,0),8(3,1),C(6,0),
2=%-^可轉(zhuǎn)化為直線>=》-2,可知當(dāng)直線過8時,z取得最小值為2.
故答案為:2
【點睛】
本題考查了線性規(guī)劃問題,畫出圖象是解題的關(guān)鍵.
19.下表給岀一個“直角三角形數(shù)陣”
滿足每一列成等差數(shù)列,從第三行起,每一行的數(shù)成等比數(shù)列,且每一行的公比相等,記第i行第
j列的數(shù)為為。2j,i,jeN+),貝桁83等于.
丄
【答案】2;
1
-1
【解析】由題意得表示第8行第3列的數(shù),因為每一列成等差數(shù)列,首列為4,第二列首項是上,
832
1
—111
所以公差是4,第8行首項是歿=6+71=丄+7x丄=2,每一行的數(shù)成等比數(shù)列,公比是丄,
,442
鉄=2x,)4
三、解答題
20.為了豎一塊廣告牌,要制造三角形支架,三角形支架如圖所示,要求NZCB=60。,8C長度
大于1,且4c比Z3長米,
(1)設(shè)6c=。,求4c長?
(2)為了廣告牌穩(wěn)固,要求ZC的長度越短越好,求ZC最短為多少米?且當(dāng)NC最短時,8c長
度為多少米?
【答案】(1)6J—0-25(q〉]);(2)ZC最短為2+G米,當(dāng)ZC最短時,BC長度為1+?
a—12
米.
【解析】
【分析】
(1)運用余弦定理建立函數(shù)表達(dá)式;
(2)分拆分式型函數(shù)式,用基本不等式求最值.
【詳解】
設(shè)BC=a(a〉l),4C=b,則N8=6-0.5,
V(b-0.5)2=b2+a2-2abeos60°,A-b+0.25=a?—ab,
整理得6="-0,250
a-\
(2)令=>0),:.a=t+\,
(f+1)2-0.25/2+2/+0.753?“巨_九八
tt4tV4
(當(dāng)且僅當(dāng)/=2,即/=正時取等號)
4/2
綜上,當(dāng)8。=1+且米時ZC最短,為2+JJ米.
2
【點睛】
分式型函數(shù)分拆后能否用基本不等式,要遵循“一正、二定、三相等",如果不能取等則轉(zhuǎn)化為函
數(shù)求最值.
21.等比數(shù)列{%}中,/=1,%=4%.
(1)求{%}的通項公式;
(2)若a.>0,bn=log2a2+log,+???+log2an+l,求數(shù)列|>的前〃項和.
他J
2%
【答案】⑴a,=T';(2)T=--.
nn+1
【解析】
【分析】
(1)直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的首項和公比,進一步求出數(shù)列的的通項公式.
(2)利用(1)的結(jié)論,進一步利用裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用求出數(shù)列的和.
【詳解】
42
解:(1)依題意,a
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