初中七年級數(shù)學(xué) 函數(shù)及其性質(zhì) 函數(shù)的概念

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第二篇函數(shù)及其性質(zhì)

專題2.01函數(shù)的概念

【考試要求】

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域；

2.在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象

的作用；

3.通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

【知識梳理】

1.函數(shù)的概念

設(shè)A,B都是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中

都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A-B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x),xG

A.

2.函數(shù)的定義域、值域

(1)在函數(shù)y=/(x),xdA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫

做函數(shù)值，函數(shù)值的集合(/U)kGA｝叫做函數(shù)的值域.

(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段

函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾

個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

【微點(diǎn)提醒】

1.直線x=a(a是常數(shù))與函數(shù))，=/)的圖象有0個或1個交點(diǎn).

2.分段函數(shù)無論分成幾段，都是一個函數(shù)，求分段函數(shù)的函數(shù)值，如果自變量的范圍不確定，要分類討論.

【疑誤辨析】

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打7”或“x”)

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(1)函數(shù)y=l與y=io是同一個函數(shù).()

⑵對于函數(shù)戶A-B,其值域是集合B.()

(3次、)=亞二5+產(chǎn)G是一個函數(shù).()

(4)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)相等.()

【答案】(1)X(2)x(3)x(4)x

【解析】

(I)錯誤.函數(shù)y=l的定義域?yàn)镽,而y=x0的定義域?yàn)閧x|x，O},其定義域不同，故不是同一函數(shù).

(2)錯誤.值域CUB,不一定有C=B.

(3)錯誤.f(x)=、x—3+、2—xBx不存在.

(4)錯誤.若兩個函數(shù)的定義域、對應(yīng)法則均對應(yīng)相同時，才是相等函數(shù).

【教材衍化】

2.(必修1P25B2改編)若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)槔?3—282},值域?yàn)镹={州0?2},則函數(shù)y=/(x)的圖

【答案】B

【解析】A中函數(shù)定義域不是［—2,2］；C中圖象不表示函數(shù)；D中函數(shù)值域不是［0,2］.

3.(必修1P18例2改編)下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x+l是相等函數(shù)的是()

A.)，=(，x+1)2B.y=\［x3+1

C.y=：+1D.y=yjx2+1

【答案】B

【解析】對于A,函數(shù)y=(5TT)2的定義域?yàn)?xl侖-1},與函數(shù)y=x+l的定義域不同，不是相等函數(shù);

對于B,定義域和對應(yīng)法則分別對應(yīng)相同，是相等函數(shù)；對于C.函數(shù)y=￡+l的定義域?yàn)閧xk#)},與函數(shù)

y=x+l的定義域xeR不同，不是相等函數(shù)；對于D,定義域相同，但對應(yīng)法則不同，不是相等函數(shù).

【真題體驗(yàn)】

4.(2019?北京海淀區(qū)期中)已知_/(x5)=lgx,則42)=()

A.|lg2B.1lg5C.jlg2D.|lg3

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【答案】A

丄丄]

【解析】令15=2,則x=25,?\/(2)=lg25=glg2.

5.(2019?河南、河北兩省重點(diǎn)高中聯(lián)考)函數(shù)Ax)=，F(xiàn)7+ln(x+4)的定義域?yàn)?

【答案】(-4,1]

4—4i>0,

【解析】危)有意義，則,解得一4—1.

x+4>0,

6.(2019?濟(jì)南檢測)已知函數(shù)人x)=o?—2x的圖象過點(diǎn)(一1,4),則“=.

【答案】-2

【解析】由題意知點(diǎn)(-1,4)在函數(shù)?r)=ox3-2x的圖象上，所以4=一。+2,則“=一2.

【考點(diǎn)聚焦】

考點(diǎn)一求函數(shù)的定義域

[例1](1)函數(shù)y=4l-%2+log2(tanx—1)的定義域?yàn)椋?/p>

(2)若函數(shù)y=/(x)的定義域是[0,2],則函數(shù)g(x)=^空的定義域?yàn)?

【答案】⑴卷1(2)[0,1)

【解析】(1)要使函數(shù)y=\J1—X2+log)(tanx-1)有意義,則1一12川，tan工一1>0,且印:兀+界￡2).

1兀71

?二一爛1且兀vxvL兀+]，k￡Z,

可得;<xSl.

則函數(shù)的定義域?yàn)?；，1.

(2)因?yàn)閥=/(x)的定義域?yàn)閇0,2],

[0<2x<2,

所以要使g(x)有意義應(yīng)滿足"一解得0Sv<l.

[%—17^0,

所以g(x)的定義域是[0,1).

【規(guī)律方法】1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法

求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不

等式組求解；對于實(shí)際問題，定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義.

2.求抽象函數(shù)定義域的方法

(1)若已知函數(shù)大x)的定義域?yàn)閇a,b],則復(fù)合函數(shù)/[g(x)]的定義域可由不等式a<g(x)<b求出.

(2)若已知函數(shù)/Ig(x)]的定義域?yàn)榭?，b],則|x)的定義域?yàn)間(x)在以上的值域.

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【訓(xùn)練1】(1)(2019?深圳模擬)函數(shù)y="—：=x+2的定義域?yàn)?)

A.(-2,1)B.[-2,1]

C.(0,1)D.(0,1]

(2)(2019?山西名校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)加)=lg(l—x),則函數(shù)內(nèi)⑴]的定義域?yàn)?)

A.(-9,+oo)B.(-9,1)

C.[-9,+oo)D.l-9,1)

【答案】(1)C(2)B

-X2—x+2>0,

【解析】(1)要使函數(shù)有意義，則

Inx/0,

—2<x<l,

解得八口?J函數(shù)的定義域是(0,1).

心>0且存1.

(2)易知fifix)]=/[lg(l-x)]=lg[1-lg(1-x)],

[1一尤>0,

則,、八解得一9。<1.故用⑺]的定義域?yàn)?一9,1).

[1—lg(1—x)>0,

考點(diǎn)二求函數(shù)的解析式

【例2】(1)已知yQ+i)=igx,則y(x)=

(2)已知外)是二次函數(shù)且的)=2,加+1)—犬x)=x-l,則加尸；

(3)已知函數(shù)人x)的定義域?yàn)?0,+oo),且兀i)=船)則於)=.

【答案】⑴1g二產(chǎn)>1)(2)1x2—|x+2(3)|5+g

22

【解析】⑴令，=二+1(/>1),則彳==7,

A[1

22

?vw=ig-即/a)=ig^二7a>i).

(2)設(shè)fix)=ax2+bx+c(a#0),

由人。)=2,得c=2,

八工+l)—/(x)=〃(x+1)2+/7(九+1)+2—ax2—6x-2=2ax+〃+b=%-1,

一3=1,Ja=2fi3

所以｛丄1,即〕a，,/(x)=/2—尹+2.

a+b——l,1,3厶z

Vb=-2-

(3)在40=昵)?/一1中,

將x換成:,則;換成X,

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由解得危尸56+女

.￡)=2於)

1,

【規(guī)律方法】求函數(shù)解析式的常用方法

(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法.

(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)/儂刈的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.

(3)構(gòu)造法：已知關(guān)于J(x)與妁或八一x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式，通過解方程組

求出於).

【訓(xùn)練2】(1)(2019?杭州檢測)已知函數(shù)兀v)=ax一伙a>0),且飲X)]=4L3,則貝2)=；

⑵若川)滿足紈x)+_/(—x)=3x,則/)=.

【答案】(1)3(2)3%

【解析】⑴易知/[/(x)]=a(a￥—b)—0=GX一出?一人,

/.a2x—-b=4x-3(G>0),

“2=4,a=2,

因此<解得

"+b=3,b=l.

所以,/U)=2r—1,則-2)=3.

(2)因?yàn)閷O)+八一x)=3x,①

所以將x用一x替換，得4一x)+/(x)=-3x,②

由①②解得40=3工

考點(diǎn)三分段函數(shù)

角度1分段函數(shù)求值

【例3—1](2018?江蘇卷)函數(shù)於)滿足於+4)=Ax)(xdR),且在區(qū)間(-2,2]上,

TIX八

cos~2-,0<x<2,

/(x)=則飲15)]的值為

1

x+(],—2<r<0,

【答案】

2

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)人x)滿足於+4)=/(x)(xeR),所以函數(shù)人x)的最小正周期是4.因?yàn)樵趨^(qū)間(-2,2]±,

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Jcos,0<v<2,

Ix+^,—2<r<0,

所以汽15)=穴—1)=攝

因此歡15)]=/Q)=COS；=坐

角度2分段函數(shù)與方程、不等式問題

，

⑴設(shè)函數(shù)以)=[(3x，—0b,x<\若我「A初V

【例J3-2]=4,則/?=()

D.；

A.1B

lC.4

；+l'爛"則滿足於)+(-0>1的x的取值范圍是________

(2)設(shè)函數(shù)/U)=

(2)(一；,+8)

【答案】(1)D

(M[)=3x|i=|f'

【解析】

53

若bvl,即時，

則，臨[=/勛)=3(1一力一。=4,

解得/，=7(不合題意舍去.

O

若行花1,即痣,則九=4,解得6=]

ZZ22

(2)當(dāng)爛0時，/(.￥)+y^x—z)=(.r+l)+(x—y+1

1

3-

原不等式化為2X+E，4

當(dāng)0yg時，/0)+厶_:)=21+(工—；+1),

原不等式化為該式恒成立，

當(dāng)時，式幻+4(—9=2I+2.L；

1A

又人>2時，2x+2X-I>22+2o=1+，^>1恒成立,

綜上可知，不等式的解集為(T，+oo).

【規(guī)律方法】1.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值.首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析

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式代入求解.

2.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所

求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.

【提醒】當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時，應(yīng)分類討論.

xH—x>2,

【訓(xùn)練3】(1)(2019?合肥模擬)已知函數(shù)x—2則加⑴]=()

力+2,x<2f

A.一；B.2C.4D.ll

(l-2a)x+3mx<l,

(2)已知函數(shù)式x)=的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

2r-l,X>1

【答案】(DC(2)0,2)

【解析】(1)由題意知丸1)=12+2=3,

因此例1)]=用)=3+￡=4.

⑵當(dāng)應(yīng)1時，/(X)=2LG1,

(1-2a)x+3a,x<l,

???函數(shù)式用=的值域?yàn)镽,

2.1-1,x>l

[l-2a>0,1

.?.當(dāng)x<l時，(l—2a)x+3a必須取遍(-8,1)內(nèi)的所有實(shí)數(shù)，貝！1,解得03yd

[l-2?+3a>l,2

【反思與感悟】

1.在判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時，要緊扣兩點(diǎn)：一是定義域是否相同；二是對應(yīng)關(guān)系是否相同.

2.函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，它決定了函數(shù)的值域，并且它是研究函數(shù)性質(zhì)和圖象的基礎(chǔ).因此，我們一

定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先意識.

3.函數(shù)解析式的幾種常用求法：待定系數(shù)法、換元法、配湊法、構(gòu)造解方程組法.

【易錯防范】

1.復(fù)合函數(shù)Hg(x)]的定義域也是解析式中x的范圍，不要和於)的定義域相混.

2.分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個

部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

【分層訓(xùn)練】

【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時：35分鐘)

一、選擇題

1.函數(shù),/(X)=52r—1+J工的定義域?yàn)?)

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A.[0,2)B.(2,+oo)

C.[0,2)U(2,+oo)D.(-oo,2)U(2,+oo)

【答案】C

[2r-l>0,fxK),

【解析】由題意知、八得、所以函數(shù)的定義域?yàn)閇0,2)U(2,+00).

x~2/0,[/2,

2.(2019?鄭州調(diào)研)如圖是張大爺晨練時離家距離(y)與行走時間(x)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象.若用黑點(diǎn)表示張大

爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是()

J□△IQ

ABCD

【答案】D

【解析】由)，與r的關(guān)系知，在中間時間段y值不變，只有D符合題意.

3.下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)》=10電工的定義域和值域相同的是()

A.y=xB.y=lgx

C.y=2vD.y=j

【答案】D

【解析】函數(shù)y=10igx的定義域、值域均為(0,+(?),而丫=x，y=2x的定義域均為R,排除A,C；>?=

Igx的值域?yàn)镽，排除B；D中的定義域、值域均為(0,+oo).

4.設(shè)函數(shù)式x)=I，]j>[則式-2)+/(log212)=()

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】根據(jù)分段函數(shù)的意義，人-2)=1+1082(2+2)=1+2=3.又1。8212>1,

.■./(log212)=2(iog2⑵-1=210g26=6,

因此—2)+；Uog212)=3+6=9.

5.(2019?西安聯(lián)考)已知函數(shù)式x)=-：n+4x,xe[/n,5]的值域是[-5,4],則實(shí)數(shù)，”的取值范圍是()

A.(—00,—1)2]

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c.［-l,2］D.［2,5］

【答案】C

【解析】/（x）=—x2+4x=—（x-2"+4.

當(dāng)x=2時，沢2）=4.

由/（x）=-%2+4x=—5,得x=5或x=-1.

二要使Ax）在加，5］上的值域是［—5,4］,則一13nW2.

6.某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選

一名代表.那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=［力（［劉表示不大于x的

最大整數(shù)）可以表示為（）

A龍+3

.產(chǎn)闈B.y=.10J

_「工+4x+5

c-y~\_ioJD.y-Lio.

【答案】B

【解析】代表人數(shù)與該班人數(shù)的關(guān)系是除以10的余數(shù)大于6,即大于等于7時要增加一名，故），=甯

丿L10.

7.（2017?山東卷）設(shè)貝若加0=/3+1），則心=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】由已知得則/（a）=W，加+1）=2。，

所以m=2”，解得或〃=0（舍去），

所以=*4）=2（4-1）=6.

8.（2019?上饒質(zhì)檢）已知函數(shù)兀0='一’若。儀。）一八一。）］>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

—3x,x<0.

A.（l?+a>）B.（2,+oo）

C.（一8,-1）U（1,+oo）D.（—8,-2）u（2,+oo）

【答案】D

【解析】當(dāng)a=0時，顯然不成立.

當(dāng)〃>0時，不等式a）］>Q等價于〃2—2a>0,解得a>2.

當(dāng)a<0時，不等式等價于a2+2a>0,解得a<-2.

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綜上所述，。的取值范圍為(一8,—2)U(2,+00).

二、填空題

9.函數(shù),穴x)=ln[l+』+)1—3的定義域?yàn)?

【答案】(0,1]

【解析】要使函數(shù)/(x)有意義，

1+->0,x<—

=>0<x<l.

{|-X2>O

.?./)的定義域?yàn)?0,1].

10.已知函數(shù)滿足A9+1—幻=2x(#0),則X—2)=.

【答案】彳7

【解析】令x=2,可得/?+)—2)=4,①

令L一/可得貝-2)-4(9=-1②

聯(lián)立①②解得人-2)=纟

11.下列四個結(jié)論中，正確的命題序號是.

①/W=7■與g(x)=(?_表示同一函數(shù)；

②函數(shù)y=/U)的圖象與直線犬=1的交點(diǎn)最多有1個；

@fix)=X2—2x+1與g?)=Z2—2/+1是同一函數(shù)；

④若大x)=lx—II—3,則//@=0.

【答案】②③

iv-i1ft

【解析】對于①，由于函數(shù)兀0=巴的定義域?yàn)閧xkeR且繭夕卜而函數(shù)g(x)=的定義域是R,

x[—1,x<0

所以二者不是同一函數(shù)；對于②，若x=l不是y=/(x)定義域內(nèi)的值，則直線x=l與)，=/口)的圖象沒有交

點(diǎn)，若x=l是)，=兀0定義域內(nèi)的值，由函數(shù)的定義可知，直線x=l與y=/(x)的圖象只有一個交點(diǎn)，即y

=/(x)的圖象與直線x=l最多有一個交點(diǎn)；對于③，/U)與g⑺的定義域和對應(yīng)關(guān)系均分別對應(yīng)相同，所以

火x)與g")表示同一函數(shù)；對于④，由于后)=1—|||=0,所以/(J=/(0)=1.

⑵，立0,1

12.設(shè)函數(shù)式x)=(八則使70)=5的X的集合為________.

Ilog^xl,x>0,2

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【答案】卜匕\/2,乎:

【解析】由題意知，若爛0,則力=；,解得尸一1；

I丄

若爲(wèi)>0,則Ilog貝=3,解得x=22或啜=2-丄.

~Z2

故X的集合為—1，帀,

【能力提升題組】(建議用時：15分鐘)

13.具有性質(zhì)：￡)=一%)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)'’變換的函數(shù).下列函數(shù)：

x,0<x<l,

-

A1-Ix\0,無=1,

①尸X一1；②y=lnY^-③曠二

1

I----,x>\.

X

其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是()

A.①②B.@@C.②③D.①

【答案】B

【解析】對于①，/U)=x—x=-./(x),滿足題意；對于②，yu)=ln貝Ij/g)=ln

不滿足;

對于③，4)=)0,：=1，

則右)=一危).

所以滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是①③.

—x+aY<1(/IWR)

14.